3 指数函数-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读〉商中效学必修第一册BSD色 §3 指数函数 高考要求】学业标准·考情分析 一考点分布· 学科素养· 一学法导引· 对于指数函数的图象，不仅要对其自身的 L通过实例了解指数函数的实际 图象熟练掌握，还需对其儿种基本变换引起重 第 意义，理解指数函数的概念 视.如fx)=a',则f(-x),-f(x),f(x十m) 数学运算 等与f(x)的关系是什么.性质是指数函数的 2.能用描点法或借助计算工具画 直观想象 重点，要熟练掌握.定义域、值域在以函数形式 第二章 出具体指数函数的图象，探索并 构造不等式，求解复合函数的单调区间中都有 理解指数函数的单调性与特 重要的应用.运用函数单调性是比较大小、解不 第三意 殊点 等式、求最值最直接的方法，高考中时常涉及. 第四章 考点分类考点透析·典例到析) 考点1 指数函数的概念 第五鱼 ·核心总结 办难点突破… 1.指数函数的定义 指数函数定义中规定 第六章 根据指数幂的定义，当给定正数a,且a≠1时，对于任意 a>0且a≠1的原因 的实数x,都有唯一确定的正数y=a与之对应.因此，y=a 1.如果a=0,当x>0 第七鱼 是一个定义在实数集上的函数，称为指数函数， 时，a恒等于0：当x≤0时， 2.指数函数的定义域 a'无意义， 因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在底数 2.如果a<0.例如y= a>0且a≠1的前提下，定义域为x∈R （一，这时对子号子… 3.指数函数y=a'(a>0且a≠1)的解析式的结构特征 在实数范围内函数值不存在 (1)底数：大于0且不等于1的常数 3.如果a=1,则y=1是 (2)指数：自变量x. 一个常量，无研究的必要 (3)系数：前的系数必须是1. 为了避免上述各种情况， 指数函数的三个结构特征是判断函数是否为指数函数的 所以规定a>0且a≠1. 三个标准，缺一不可 [注意]严格符合y=a (a>0且a≠1)这种形式的画 ⊙考题面(2024，湖南师大附中模块测试)给出下列函数： 数才是指数函数。 ①y=4; ②y=x: ③y=-4: ④y=(-4)F； ⑤y=π； ⑥y=4: ⑦y=x'; 图y=(2a-1)r(a>2且a≠1片 158 第三章)指数运算与指数函数 其中为指数函数的是 (填序号). ②方法梳理… 解析匠②不是指数函数，自变量不在指数上：③中4“前的系数 1.判断一个函数是指数 是一1，不是指数函数：④中底数一4<0，故不是指数函数：⑥中指 函数的方法 数不是自变量x,而是x的函数x2:⑦中底数x不是常数.它们都 (1)看形式：只需判断其 不符合指数函数的结构特征， 解析式是否符合y=a(a>0 且a≠1)这一形式. 答案①⑤⑧. (2)明特征：看是否具备 ⊙考题2(2024，南京金陵中学单元测试)函数y=(a2 指数函数解析式具有的三个 4a十4)a'是指数函数，则实数a的值为 特征.只要有一个特征不具 第 解析，函数y=(a2一4a十4)a是指数函数， 备，该函数就不是指数函数。 (a2-4a+4=1, 2.已知某函敏是指数函 .由指数函数的定义得 第 1a>0且a≠1. 数求参数值的方法 a=1或a=3, (1)令底数大于0且不等 ∴.a=3. a>0且a≠1. 于1，系数等于1，列出不等式 答系3. 与方程. (2)解不等式与方程，求 ⊙变式11若p:函数f(x)=(m2一3m十3)m是指数函 出参数的值 数，9：m2一3m十2=0，则q是p的( ). A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 考点2 指数函数的图象及其应用 ·核心总结。 办难点突破… 1.指数函数的图象 L怎样快速画出指效西数 底数 a>1 0a<1 y=(a>0且a≠1)的图象？ 由指数函数y=(a>0 y a 且a≠1)的性质可知，指数面 图象 0,1D 数y=a(a>0且a≠1)的图 象恒过点(0,1)，(1，a), (1,)只要确定了这三个 [注意]函数图象过定点(0,1)，即x=0时，y=1,恒有 点的坐标，即可快速地画出指 a°=1 数函数y=a(a>0且a≠1) 2函数y=与y=(日广 (a>0且a≠1)的图象间的关系 的图象 2.底数a对指数函数的 图象有什么影响？ (1)底数a与1的大小关 (0.10 系决定了指数函数图象的 “升”与“降”.当a>1时，指数 159 考点同步解读>高中数学必修第一册SD 函数的图象是“上升”的：当 在同一平面直角坐标系中画出y=2和y= 两个函 0<a<1时，指数函数的图象 数的图象，如图.经过仔细研究可发现，它们的图象关于 是“下降”的。 (2)底数a的大小决定了 y轴对称.一般地，函数y=a与y (a0且a≠1)的图 图象相对位置的高低：不论 象关于y轴对称. a>1还是0a<1,在第一象 事实上，在函数y=a的图象上任取一点P(x,y),点 限内底数越大，函数图象越 P(x,y)关于y轴的对称点为P'(一x,y),显然点P在函数 靠上 第 量 y=(日厂=a的图象上，由于点P是任意取的，所以y=c 碧 上任意一点关于y轴的对称点都在y= 的图象上，反之 也成立 ②方法梳理… 第三意 ⊙考题3函数y=a一8十3(a>0且a≠1)的图象过定点 处理函数图象问题的方法 1.抓住特殊点：指数函数 的图象过定点(0,1)，求指数 解析航因为指数函数y=a(a>0且a≠1)的图象过定点 型函数图象所过的定，点时，只 (0,1),所以在函数y=a一3十3中，令指数x-3=0,即x=3,得 第五鱼 要令指数为0，求出对应的y y=1十3=4，即函数的图象过定点(3.4). 的值，即可得函数图象所过的 答案(3,4). 定点 第六章 点评指数型函数的图象过定点的问题，实质上是函数图象 2.巧用图象变换：函数图 的平移问题.通过上下平移，还可以求解指数型函数图象不经过 象的平移变换（左右平移、上 第 第二或第三象限之类的条件探索问题，如变式2-1， 下平移). ⊙变式21若0<a<1,b>1,则函数f(x)=a-b的图象 3.利用函数的性质：奇偶 一定经过( ). 性与单调性 A.第一、第二象限 B.第二、第四象限 C第一、第三、第四象限 D.第二、第三、第四象限 ⊙考题4(2024，石家庄二十四中模拟)如图，曲线C,C2, C,C:分别是指数函数y=,y=,y=和y=的图象，则 山规律总结， a,b,c,d与1的大小关系是( 1.解决有关指数西数性 A.a<b<I<c<d 质的问题的关键在于抓住指 B.a<b<<d<c 数函数的图象特征， C.K<a<<<d 2.利用底数的变化引起指 D.K<a<1<d<c 数函数图象的变化这一规律可 解析由图象可知C3,C的底数必大于1，C,C2的底数必小 减少计算量，简化解题过程 于1.过，点(1,0)作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线 3.由指数函数y=a与 的交，点的纵坐标即为各指数函数的底数，则1<d<c,b<a<1,从 直线x=1相交于点(1，a)可 160 第三章〉指数运算与指数函极儿 而可知a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c. 知，在y轴右侧，图象从下到 答案D 上相应地底数由小变大 点评熟记指数函数图象在第一象限内“底大图高”的规律， :图所示的指数函数的 防止出错 底数大小关系为0<a,< a1<d241. ⊙变式2四（多选）已知实数a,b满足等式（号）°=（号），则 y3a 下列关系式中不可能成立的是( ) A.0<b<a B.a<<0 y-a y-a C.O<a<b D.b<a<0 第 。考题国函数)=贸(a>1)的图象的大致形状为 指数函数的底数与图象 间的关系可概括记忆为：在y 第 轴右侧“底大图高”：在y轴左 侧“底大图低” 4.指数函数图象的变换 规律 (1)平移规律 解机当>0时，函数化为y=,由于a>l,则y= 在 左移风市>≥0)个单位共度 y= (0,十)上单调递增，排除C,D;当x<0时，函数化为y=一d 右移0>0个单位共 y= 由于a>l,则y-晋在（一∞，0）上单调递减，排除A故选B 上移机布>0)个单位长度 “y=十b 下移风作>0)个单值长 第 答案B y=- ⊙变式23(2024，邵东三中月考)函数y=a(a>0且a≠1) (2)对称规律 莞于y轴对称 与y=(1一a)x的图象有可能是下图中的( +y= 美十工恤时补 关于原点对称 y=-a +=一 ⊙考题6(2024，合肥二中月考)要得到函数y=2-2的图 象，只需将函数y=(分)广的图象( A.向左平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度 办视野拓展 C.向左平移2个单位长度 D.向右平移，个单位长度 一般地，若已知y=f(x) 的图象，作函数y=f(x|)的 解丽函数y=(得厂'=(2r=2,设将其图象向左平移@ 图象时，只需保留y轴右边的 个单位长度后，得到函数y=2-r的图象，则一2(x十a)=1一2x, 图象，再把它对称翻到y轴左 边即可（因为y=f(x)是偶 解得a=一之 函数，其图象关于y抽对称， 161 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 故将函数y=()】 的图象向右平移号个单位长度可以得到 且当x≥0时，f(|x|) f(x);若已知y=f(x)的图 函数y=21-“的图象. 象，作函数y=|f(x)川的图象 答系D 时，只需保留x轴上方图象， ⊙变式24(2024，商洛中学月考)已知函数f(x)为偶函 再把x轴下方图象对称翻上 数，当x≥0时，f代x)=3一，若直线y=a与函数y=f(x)的图 来即可（因为当f(x)<0时， f(x)|=-f(x). 象有4个交点，则实数a的取值范围是 第 考点3 与指数函数有关的函数定义域和值域问题 核心总结 海难点突破 对于指数函数y=a(a>0且a≠1)，其定义域为实数集 y=a(a>0且a≠1)的 蚕 R,意味着x可以为有理数，也可以为无理数.前面我们讲过分 函数值的特征 数指数幂，即x为有理数.也介绍过当a>0,x为无理数时，a y=(a>1) y=a'(0<a<1D 第三章 也是一个确定的实数.并且若a>0,当x>0时，显然a>0:当 x∈(-0,0) r∈(-∞.0)= y∈(0,1： ￥∈(1，+四)： x<0时，则一x>0,此时y=a=a-= >0:当x=0时， 第四章 特 x[0,+∞) r∈[0，十o)= ye[1,+o∞) y∈(0,1] 则y=a°=1.故当x∈R时，y=a>0,即指数函数的值域为 第五鱼 (0,十∞). ⊙考题7求下列函数的定义域和值域： 第六章 (1)y=/1-3. (2)y=2六. 第七鱼 3-(得)网 ④y=(合》 解析(1)要使函数式有意义，则1一3≥0，即3≤1=3. 因为函数y=3在R上是增函数，所以x≤0. 故函数y=√1一3的定义城为（一∞，0] 因为x≤0，所以03≤1，所以0≤1一3<1. 所以√1一3∈[0,1)，即函数y=√1-3的值域为[0,1). (2)要使函数式有意义，则x一4≠0，解得x≠4 山规律总结 所以函数y=2广的定义域为{xx≠4}. 1.利用指数函数y=a 国为0，所以2六≠1，即函数y=2户的值城为0y> (a>0且a≠1)的定义城和值 0且y≠1}. 域来求变形或复合后的函数的 (3)要使函数式有意义，则一x≥0，解得x=0. 定义城与值城时的方法如下： (1)由于指数函数y= 所以函数y=() 的定义域为{xx=0}. (a>0且a≠1)的定义域为 为=0，所以（）可=（》=1，即教y=(》 R,所以函数y=a(a>0且 a≠1)与函数f(x)的定义城相 162 第三章)指运算与指极函极 的值域为{yly=1. 同，再利用指数函数的单调性 (4)函数式的定义域为R 求值域 因为x2-2x-3=(x-1)2一4≥一4， (2)求与指数函数有关的 所以(》广<》‘=16 函数的值城时，要注意充分考 虑指数函数本身的要求，并利 又(》>0，所以画数y=(侵) 用好指数函数的单调性， 的值域为(0,16] 2.一般地，若指数函数为 ⊙变式3求下列函数的定义域和值域： 外层函数，即y=a,则求其 (1)y=10市. (2)y=32-1- 值战时，只需令1=f(x),先求 第 9 1=f(x)的值战，再利用y=d 的单调性求其值城[如考题 7(4)].若指数西数为内层西 数，即y=f(a),则求其值城 时，先令1=，求t=a的值 城D(若x有限制条件，则利 用单调性求其值域：若x无限 制条件，则应注意1=a>0), ⊙考题8如果函数y=a2+2ar-1(a>0且a≠1)在[-1,1] 再求外层函数y=f(t)在D内 上有最大值14，则a的值为 的值城即可 解析令t=a'(>0),则原函数可化为y=(t十1)2一2，其图 象的对称轴为直线1=一1. 若a>1,因为x∈[-1,1]， 所以∈[日小，则y=+1-2在[日上单洞递增， 七盘 所以ymx=(a+1)2-2=14,解得a=3或a=一5（舍去）. 若0<a<1,因为x∈[-1,1]， 所以1a,则)=十1D-2在[c,上单调造增， 所以ym=(日+-2=14，解得a=号或a=一号（合去)。 综上可知，a的值为3我号 国3或号 ⊙变式32函数f(x)=m(a>0,且a≠1)在[1,2]上的最 大值比最小值大号，则a的值为( ）. A2或 c D.2或3 163 /考点同步解读》高中效学必修第一册BSD色 考点4 指数函数的单调性及其应用 ·核心总结 布难点突限… 指数函数y=a'(a>0且a≠1)的性质 l.如果b≤x≤c,那么a, a>1 0<a<1 a,的大小关系如何？ 定义域为R,值域为R 利用函数的单调性，结合 图象都过点(0,1) 函数图象可以发现： 当a>1时，b≤x≤c曰 性质 当x>0时，y>1: 当x>0时，0y<1: 第 aa'≤a; 当x<0时，0<y<1 当x<0时y>1 当0<a<1时，b≤x≤ 在R上是增函数 在R上是减函数 第 cHa≤aa. 2.底数不同时如何比较 ⊙考题9(2024，南昌一中高一测试)比较下列几组值的大小： a与b的大小呢？ 第三意 (1)(-2.5),(-2.5). 2 ,(0.4). (1)当a>b>1时，x< 0→1>6>a>0:x=0→ 第四章 3》.(》 (4)0.425,2-02,2.51.6 a'==1:.x>0→a>i>1. (2)当0<b<a<1时， 解折(1)易知(-2.5)1=2.5时，(-2.5)=2.5. x<0→>a>1:x=0→ 第五鱼 25>1,>号，25>25，即(-25)>(-25 a==1:x>0→1>a> >0. 第六章 2)易知(0.4)=（得） 综上可得，当x>0.a> b>0时，a>b:当x=0,a> 第七鱼 0<号<1.2>是)<0.4 b>0时，a==1:当x<0, a>b>0时，a<. 3传)>1.()1，（传）>() (4).0.4-25=2.52.5,.∴2.525>2.51,6>1>2-02 ∴.0.425>2.51.6>202 合方法梳理… @菱武若a=(停)，6=()c=(得)，则( 1.比较暴值大小的三种 A.b<c<a B.c<b<a C.a<c<b D.b<a<e 类型及求解方法 ⊙考题0(2024，南宁二中调考)已知函数y=(侵广在[- 底数相同， 利用指数西数的 指数不同 单调性来比较 2,一1]上的最小值是m,最大值是，求m十n的值. 利用底数不同 服称：y=(传)广在R上为减函数， 底数不同， 的指数函数的 指数相同 图象的变化规 ∴m=(3）=3,=(3） =9,故m十n=12. 律来比校 底数不同。 通过中间量米 ⊙变式42 已知函数fx)=(号)“a是不为零的常数。 指数不同 比较 164 第三章)指运算与指极函极 )若(3)=2，则使f(x)≥4成立的x的取值范围为 2.与指数函数最值有关 问题的求法 (1)指数函数y=d(a>1) (2)若f(x)在区间[一1,2]上的最大值是16，则a的值为 为增西数，在闭区间[m,n]上 存在最大值和最小值，并且当 ⊙考题11(2024，岳阳一中单元测试)已知a>a+7(a> x=m时有最小值a",当 0且a≠1)，求x的取值范围. x=n时有最大值a" (2)指数函数y=a(0< 解祈①当a>1时，因为ai>c+7, 1)为减函数，在闭区间 第 所以-5x>x+7,解得xK-名： [m,n门上存在最大值和最小 值，并且当x=n时有最小值 ②当0<a<1时，因为ar>a+7 第 a",当x=m时有最大值a. 所以-5r<十7，解得x>-有 (3)对于函数y=a心 x∈D,其最值由底数a和 综上所述，当>1时x的取值范围是（一∞，一）月 f(x)的值城确定 当0a<1时x的取值范围是名，十∞ (4)求指数函数的最值时 要注意函数的定义战 ⊙变武因不等式2≥（侵》 的解集为 ⊙考题12(2024，南昌二中月考)函数y=22一2r+1十3的 单调递增区间为 ,单调递减区间为 解折y=22-2+1十3=(2)2-2·2十3=(2-1)2+2，其 中x∈R.设t=2,x∈R,则有y=(t-1)2+2(t0). 第七章 当t≥1时，y=(t-1)2十2在[1，十∞)上为增函数，由2≥1， 可得x>0,又t=2在[0，十∞)上为增函数，由复合函数的单调性 的判断方法知，原函数在[0，十©)上是增函数.同理，原函数在 (一○，0)上为减函数」 答案[0，十∞)：(-∞，0). ⊙变式44(2024，石家庄二中单元测试)已知a>0且a≠1， 试讨论f(x)=a+2的单调性。 165 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 考点5 指数函数的综合问题 ·核心总结 ②方法梳理+ 1.一般地，对于形如f(x)=a(a>0且a≠1)的函数而 1指数型复合函数的单 言，当a>1时，f(x)与g(x)的单调性相同；当0<a<1时， 调性问题的求解方法 f(x)与g(x)的单调性相反. (1)根据函数单调性的定 2.函数f(x)=a的定义域与g(x)的定义域相同， 义进行判断。 3.先确定函数g(x)的值域，再由指数函数的单调性，确定 (2)形如y=a(a>0 第 函数f(x)=a的值域. 且a≠1)的函敏的单调性要根 4.指数函数图象的位置与底数的大小关系如表所示 据y=a",u=f(x)两函数在 相应区间上的单调性来确定， 增减情况 同增 同减 其单调性遵循“同增异减”的 底的关系 a>>1 1>a>b>0 规律 第三章 y v=d 2.指数型复合函数的奇 偶性的判断方法 图象 第四章 判断指数型复合函数的 奇偶性的常用方法：(1)定义 ①若x>0,则>b>1: 第五鱼 ①若x0,则1>a>6>0: 法.(2)验证法.(3)图象法， 性质 ②若x<0,则1>>0 ②若x<0,则a>1 3.解决与指数函数有关 的综合问题的方法 第六章 ⊙题国已知/)-公>0且a≠. (1)性质法 利用指数函数的有关性质 (1)求f(x)的定义域、值域. 可以解决有关定义域、值域、单 第七鱼 (2)讨论f(x)的单调性， 调性、不等式、方程等问题 国围(1)由题意可得)的定义城为R)-号1 (2)隐含性质法 在利用指数函数的性质 2 a+1 解决问题时，要善于挖掘函数 所隐含的性质，以利于解题 .a'>0,.a'+1>1. (3)图象法 a+i<2,-1<1- 0< a+1<1. 利用指数函数来解决有关 .函数的值域为（一1,1） 综合问题时，应充分利用其图 2)f)=1一子当a>1时，3y=为增函数 象.利用图象的直观形象可降 低思雏难度，简化解题过程 (4)构造法 y=2 十1为减函数 利用指数函数解决有关 =1。子为增品数 综合问题的关键在于构造函 数，这就需要观察、分析题目 故当a>1时，f(x)在R上为增函数.同理，当0<a<1时， 中函数式的结构特征并构造 f(x)在R上为减函数. 出相关的西数. 166 第三章)指运算与指极函极 @变式5①(2024，郑州九中单元测试)设a是实数，f(x) a一2r十x∈R),试求证：对任意的a,f(x)在R上为增函数. ⊙考题☑已知函数f(x)=(2与十2)·2. 山规律总结， 第 1,指数函数的单调性与 (1)求f(x)的定义域. 底数有关，因此讨论指数函数 第 (2)讨论f(x)的奇偶性 的单调性时，一定要明确底数 (3)求证：f(x)>0. 与1的大小关系.与指数函数 解析(1)由题意得2一1≠0，即x≠0， 有关的函数的单调性也往往 .f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞). 与底敏有关，其解决方法一般 112+1 是利用函数单调性的定义 第 (2)令g(x) 2-122(2-1'g(x)=xr2, 四 2.对于函数的综合性问 21+11+2 题，往往与函数单调性，奇偶 则g-x)=22-2d1-2=-gx), 第 性，值域等性质结合，综合考 g(x)为奇函数。 查分析与转化能力，这类问题 又，e(x)=x为奇函数， 的求解需要有较强的运算能 ∴f)=(2十号》·x为偶函数。 力，因此，要加强训练才能得 到全面的提高 第 3)当>0时，2>1,2-1>0、2十2>0， 3.指数函数是非奇非偶 函数，但与指数函数有关的且 又x>0,.f(x)>0. 具有奇偶性的函数也是常见 由偶函数的图象关于y轴对称知， 的.与指数函数有关的函数奇 当x<0时，f(x)>0也成立. 偶性问题主要是通过奇偏性 故对于x∈(-o∞，0)U(0,十∞)，恒有f(x)>0. 定义来求解，其难点在于指数 ⊙变式52已知函数f(x)=3十A·3r(A∈R). 式的化简与变形. (1)是否存在实数入使得f(x)为奇函数？若存在，求出实数 入：若不存在，请说明理由. (2)在(1)的结论下，若不等式f(4-1)+f(2-m)>0在 t∈[一1,1]时恒成立，求实数m的取值范围。 167参考答秦与提示> 以a=70.同理，可得应=70，=70.所以· b·c÷=702·703.70,即(abc)六=702++片，又 士士+}+上所以ak=0因为a6c为正整 w x y 数，且a==c≠1，所以a,b,c均不为1，所以1< a≤h≤，又70=2×5×7，所以a=2,b=5,c=7. S3指数函数 【变式训练】 [变式31](1)由|x十x≠0可知x>0, [变式11]C提示：若命题p为真，则m一3m+3= 1,解得m=1或2，又m≠1，所以m=2:若命题q为真， 六此函数的定义城为0，十四，十之>0 则m=1或2，所以q是p的必要不充分条件.故选C 又函数y=10是增函数， [变式2-1]D提示：函数y= y ∴.函数y=10的值域为(1，+∞). (0<a<1)是R上的减函数，图象 (2)油3->0得3*>号=3。 过定点(0,1)，在x轴上方，经过第 一，二象限，又b>1,则函数f(x) “y=3为增函数，∴2x-1>-2,即x≥-号 =一b的图象可由函数y=:的图象向下平移b个单 此函数的定义坡为[一之，十∞)》 位得到，所以函数f(x)=一b的图象与y轴的负半轴 相交，如图，所以函数f(,x)=a一b的图象一定经过第 由以上分析可知31-号>≥0，∴20， 二、三、四象限 故函数的值域为[0，十∞). [变式22]CD提示：画出函数y=(号)）广和y= [变式32]A提示：①当0<a<1时，函数f(x)=d (a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)=f(1)= (号）广的图象，由图知，若a,b均为正数，则>b>0(如 a=a,最小值fx)m=2)=a2,所以a-a=号，解 图1)：若a,b均为负数，则a<b0(如图2).故C.D不 可能成立 得a=专或a=0(舍去)：@当a>1时，函数fx)=d (a>0,且a≠1)在[1,2]上的最大值f(x)a=f(2)= d,最小值fr)=j1)=d=a,所以d2-a=受，解 得a=号或a=0(会去).综上所述，a=2或a=号 3 0五2 a50 [变式+]A提示：易知y=（号)广在(0，+∞)上单 图1 图2 调递减， [变式2-3]D提示：当a>1时，函数y=口单调递 增，图象恒过点(0,1)，函数y=(1一a)x单调递减：当 所以（号）<（号），唧： 0<a<1时，函数y=a单周递减，图象恒过点(0,1)，函 易知y=x产在(0，十∞)上单调递增， 数y=(1一a)x单调递增.故选D. 所以（号）>（号）广，即心心 [变式2-4](1,3)，提示：将函数y=3的图象在 综上，bc<a.故选A y轴右侧图象保留，并将其沿y轴翻折到y轴左侧，得函 [变式+2](1)汇4，十∞).(2)7或-14. 数y=3的图象，再向右平移1个单位长度，得函数 y=3一的图象，保留y轴右侧的图象得到x≥0时 提示：1油3)=士得(（兮)》-号解得a=3期 f(x)的图象.因为f(x)为偶函数，所以可得y=f(x)的 f(x)=2-0,所以不等式f(x)≥4等价于2"≥22， 图象如图所示.因为直线y=4与函数y=(x)的图象 又y=2是R上的增函数，所以3x一10>2，解得x≥4， 有4个交点，所以实数a的取值范围是(1,3). 即x的取值范围是[4，十∞. 35 重考点同步解读)高中载学必修第-一SD色 2)当a>0时，)=（合）一="是R上的增函 .4-1>m-2, 则m<4+2-1=(2)+2-1(t∈[一1,1])恒成立. 数，所以当x∈[-1,2]时，f(x)s=f(2)=2-"=16, 解得a=7:当a<0时，x)=(宁)》心=2"是R上 令2=ne[合2]，则m<+-1=(+）广-是 的减函数，所以当x∈[一1,2]时，f(x)a=f(一1)= 令gm-(+2)）'-年n∈[3,2]， 2-0=16,解得a=-14.综上，4=7或a=-14. 则gm0m=g(合）=一子 [变式+3](-∞，2]U[3,+∞).提示：不等式 2山>（安）2->，由函数y=2在定义 ∴实数m的取值范围为（一，一子）： 域内单调递增，可得，x2一3x≥2x一6->x2一5x+十6≥0→ 【基础通关测评】 (x-2)(.x-3)≥0>x∈(-∞，2]U[3,十c∞). 11-3≥0. 1.A提示：由题意得 解得一2<x≤0. [变式4灯设w=-2+8+2=-(-是)广+只. x+20, 2.A提示：由题意得函数的定义城为{xx≠0}，且关于 则当>时，山是减函数：当x<时，u是增函数。 原点对称， 又因为当a>1时，y=是增函数：当0<a<1时，y 记)，则0-)=多± 2+2 2-2=-fx), a"是减函数， 所以(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除D. 所以，当a>1时，原函数/)=a在[受，十) ②+ 上是减函数，在(-∞，多)上是增函数：当0<a<1时， (2) 2+1 12-1 =3>1,排除C 2 原函数f)=a在[是+)上是增函数，在 2 f(1)= 号<（合）=3，排除且故选八 (-0,号)上是减函数。 [变式5-1]设x∈R,x<x,则有 3.C提示：由y=心的增减性知②⑤成立：由指数函数 a)-)=(a2）(a2） 在第一象限的图象“底大图高”知④成立 4.D提示：令x一1=0，得x=1,所以y=1十3=4，故 2 2 2(2-2) =2+2+1(2*+10(24+1D 函数f(x)的图象必经过点(1,4). 5.[-1,1].提示：因为为=2+1>1，w=-2-1< ,指数函数y=2在R上是增函数，且<， 一1，y与无公共点，而y=b为平行于x轴的直 .24<24,即25-24<0. 线，所以当b∈[一1,1门时，y=b与y均无公共点. 又，2>0，.2+1>0,24+1>0， 6.一1.提示：因为fx)是奇函数，所以f一x)=一f代x). .f)-f(r)<0,即fx)<f(2). ,此结论与a的取值无关， 则器+ =0 2十b ,对任意的a,f(x)在R上为增函数 整理得(ab+1)(2十1)+2(a十b)2=0, [变式5-2](1)若f(x)为定义在R上的奇函数， ab+1=0,1a=1, 则f(0)=0,即1十A=0,解得1=一1. 所以 得 ，或/a=-1, a+b=0.b=-1,lb=1. 此时f(-x)=3一3=-(3-3)=-f(x), 故存在A=-1,使得f八x)为奇函数. 又0）=3.所以生-3即2a-动=5 (2)由1)得f)=3-3(x∈R,:函数y=(号) 所以d=1,b=一1，a十2b=一1. 【高考通关测评】 在R上是减函数，∴函数y=一（号）广在R上是增函 1.C提示：函数fx)=二e一的定义域为(-∞，0U 数，则f(x)在R上为增函数.又：f(x)为奇函数， o+m--=。=-fa 2 ∴.f(4'-1)+f(2-m)>0,即f(4-1)>f(m-2). 36 儿参考答秦与提示>引 即函数(x)是定义域上的奇函数，其图象关于原点对 a),故必有3r<1且3>1.又f(c)-f(a)>0,即1 称，排除A,B:当x>0时，e>1,0e<1,x>0,则 3-(3-1)>0,即3+3<2.故D成立，C不成立. f(x)>O,排除D.故选C 再由c<ba,结合指数函数的性质易知3<3,3< 2.A提示：a=1.4,b=21=(2),c=84=2= 3,故A.B均不成立.故选ABC (246)产，因为1.4<2=245<2m5<20,且y=x2在 7.(受，4小.提示：令2x-3=0,解得x=是.当r=号 (0,十∞)上单调递增，所以4<b<c, 3.D提示：当a>1时，f(x)=la2*ar-1|= 时，f(受)=。十3=4，所以函数f代x)的图象恒过定 1,0, 此时0≤f(x)<1:当0<a<1时， 点P(号4). 1-4+,x>0, 8.(一∞，一2)U(1,十∞).提示：令g(x)=2一2， 1-,x≥0， f(x)=la'*a-11= 此时0≤f(x） l1-a5,x<0, 定义域为R,且g(一x)=一g(x),所以函数g(x)为奇 函数，且在R上单调递增，则f(x)=g(x)十1，则 <1,所以f(x)的值域为[0,1). f(a)+f(a-2)>2.即g(a2)+g(a-2)>0,即 4.D提示：4一2≥0.∴2≤4.即x≤2，即函数的 g(a2)>一g(a-2).因为g(x)为奇函数，所以g(a2) 定义域是(-00,2].0<2≤4，∴.一4≤-2<0， >g(2-a).又因为g(x)在R上单调递增，所以a ∴.0≤4一2r<4.令1=4一2，则1∈[0,4)，所以√1∈ 2-a,解得a<-2或a>l,故实数a的取值范围是 [0,2),所以y∈[-1,1)，即函数的值域是[一1,1). (-0∞，-2)U(1,十o∞. 5.D提示：①当0<a<1时，作出函数y=|a+t-一3|的 9.(1)f(x)是“1距”增函数.理由如下： 图象，如图 对任意的x∈R,f(x十1)-f(x)=2-2=2>0, 所以f(x+1)>f(.x).故f(x)是“1距”增函数. (2)因为f(.x)=2+,x∈(-1，+o0), 其中k∈R,且f(x)为“2距”增函数， 若直线y=a与函数y=+l一3|的图象有两个公 所以当x>-1时，f(.x+2)>f(x)恒成立， 共点。 因为y=2为R上的增函数， 由图象可知0<a<3,所以0<a<1. 所以(x+2)2十k|x+21>x2+kx. ②当a>1时，作出函数y=a+1一3引的图象.如图. 当x≥0时，(x+2)2+k(.x+2)>2+kx, 即4x十4+2k>0恒成立， 所以4十2k>0.解得k>一2. 当-1<x<0时，(x+2)2+k(.x+2)>-kx 即4x十4+2kx十2k>0恒成立， 若直线y=a与函数y=a+1一3|的图象有两个公共 所以(x十1)(k十2)>0，解得k>一2. 点，由图象可知0<a<3,所以1<a<3.综上所述，实 所以>一2. 数a的取值范围为(0,1)U(1,3).故选D. 故fx)=2+,x>-1,k>-2, 3-1.x≥0. 令1=x≥0.则f(x)=2+ 6.ABC提示：依题意得f(x)=3一1= 1-3,x<0. ①当-专≤0，即>0时，当=0时，x=1 故可作出f(x)的图象如图. @当-专>0，即-2<<0时， 当1=-今时，fx)a=24. 12片，-2<k<0, 综上，f(x)m 1,k≥0. 由图可知，要使c<<a且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c0且a>0.令f(t)=f(a),且t≠a,则b∈(1， 10.1)当a=1时，f(x)=1+(号）广+()）广 37 考点同步解读)高中数学必修第-一SD色 [(广+打+是 2.(一o∞，1).提示：函数f(x)的图象如图所示，当a< 1时，函数y=f(x)的图象与函数y=x+a的图象有 :f(x)在（一，0）上单调递减， 两个交点，即方程f(x)=x十a有且只有两个不相等 .f(x)>f(0)=3, 的实数根.故实数a的取值范围是（一o∞，1）， 即f(x)在（一oo,0)上的值域为(3，+o∞）. 故不存在常数M>0,使f(.x)≤M成立. ,函数f(x)在（一∞，0）上不是有界函数 (2)由题意知1f(x)1≤3在[0，十∞)上恒成立， .-3≤f（x)≤3. -4-()广≤a…(2)<2-()月， -4·2-(2)广≤a≤2·2-(2)广在 -3 [0,十∞)上恒成立. 第四章对数运算与对数函数 [-42-(合)门<a≤[22-（合门 1对数的概念 §2对数的运算 设2r=1,h0=-4-,p)=21-。 【变式训练】 由x∈[0，十oo)得t1.设1≤t<, [变式1-]B提示：易知A,C,D中互化正确：27寸 则)-h)==)4=D>0,p) -号即1-一，B中互化不正确 1 p)=4-)2+1D<0. [变式1-2](1)由5-x>0得x<6. t1在 故x的取值范围为（一，5）. ∴，h(t)在[1，+oo)上单调递减，p(t)在[1，十∞)上单 (2-x>0, (x2, 调递增， (2)由 得 2-x≠1 x≠1. h(t)在[1，十o∞)上的最大值为h(1)=一5，p()在 故x的取值范围为（一o∞，1）U1.2). [1,+∞)上的最小值为p(1)=1. .实数a的取值范围为[-5,1门. [变式13】1)油gsx=一2得x=16十=(e)十= (3)若定义在D上的函数∫(x)满足：对任意x∈D, 存在常数M>0,都有f(z)川≥M成立，则称f(x)是 D上的有界函数，其中M称为函数f(x)的下界 (2)由1og8=6,得=8， 例如，f(x)=3是下界为3的函数. 所以x=8时=(2)寸=2对一√2. 证明：，对任意x∈R,f(x)|=3≥3， (3)由lg1000=x,得10=1000=102，所以x=3. 命题成立 (4)由-2ne=,得-受=lne=2,所以x=-4 【实验班选做题】 1.A提示：设f(x)=2十，显然f(x)-2十x2是 [变式2-1]BD提示：A不正确，如(l0g4)=8, 偶函数，且易得当x>0时，f(x)单调递增：当x<0 1og24=log2=6: 时，f(x)单调递减。 B正确，因为kog行=l6gr=六og.x: 由2十x>2别+y2,得f(x)>f|y), .x>ly,即x>y,∴.(x-y)(x+y)>0. C正确，设logx"=y,则(a)=x,即x=a可=a号 x+y>0,x-y>0,.2x>0,x>0. a,..y=log,log/.r"=logr: ∴.“2十x>2十y”是“x>0”的充分条件 D正确，因为1g号g()'=-og多 取x=1y=2,2十x2=2+1=32m+y=4十4=8. [变式2-2](1)原式=log[(1+2+3)(1+√2-√3] ∴.“2十2>2十y”不是“x>0”的必要条件 综上，“2十x>2十y"是“>0"的充分不必要条件 =lbg[1h②y-3J=g3+22-3)=lg2=号 38