第2章 函数单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读>高中数学必修第一册BSD色 单元知识整合 一、微专题妙总结 内酒阐释知识融汇·方法总结 微专题1 几种常见函数及其应用 即得函数y= 3一2x的图 r-3 2 L.“双曲”函数 象，如图 123 形如y=ax十b c≠0，a≠0)的函数，通过 由图象可知，其单调递增 cx+d 区间是(-∞，3)和(3，十∞). 第三章 分离常数可转化成y=m十千n1≠0)的形 由于函数在[一1,2]上单调递增， 式，故它的图象可由反比例函数y-兰1≠0) 且y=-1=- y儿2=1， 5 的图象通过平移得到，其形状与反比例函数 所以其值城是[一，1小 第五鱼 y=二(t≠0)的图象一样，都是双曲线.故常称 2.“对勾”函数 其为“双曲”函数.其对称中心是（一，m),定义 我们常见到形如fx)=ax十b(a>0,b>0) 第六章 域为{xx≠一n,值域为{yy≠m以. 当t>0时，函数在（一∞，一n)和（一n, 的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶性 第七鱼 +∞)上单调递减： 及图象的形状 当t<0时，函数在（一∞，一n)和（一n, (1)不难看出它的奇偶性，因为函数的定 十∞)上单调递增， 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且有f(-x)= ⊙例题司画出函数y=3一2的图象，写 x-3 -a.x十 b=一-f(x),所以f(x)为奇函数. 出函数的单调区间，并求出函数在区间[一1,2] 上的值域， (2②)函数fx在-√臣，0)和0，√)上 篇玩y=3-2g=6-2）-3=-2 x-3 x一3 单调递减：在(0，一√②)和(、臣，十∞)上 3 单调递增。 x-3 (3)图象如图. 设f=3,则y3=fx-3)-2 x x-3 这个函数的图象形 =az- 根据平移变换的规则可知，将函数f(x)= 如两个对勾，因此，我们 )=dc 称它为“对勾”函数，利用 3的图象先向右平移3个单位长度，再向下 x 这个函数我们可以解决 平移2个单位长度， 些函数的单调性、最值 142 第二章)函数 与值域等问题。 出x的值，然后求得相应的y值 ⊙例题2(2024，襄阳四中月考)求下列 3.抽象函数 函数的值域： 抽象函数是一种特殊的函数形态，求解与 1)y=2+5 其有关的问题时，常常需要依据条件，利用赋 Vx2十4 值法、配凑构建法等方法结合处理， (2y+x+2x≥2). ⊙例题3已知定义在（一∞，0）U(0, 1)y=工牛生1=V2平开+ 十o)上的函数f(x)满足： √x2+4 ①Vx,y∈(-∞，0)U(0,十∞)，f(xy)= 1 f(x)+f(y): √x2+4 ②当x>1时，f(x)>0,且f(2)=1. 令=F+,则≥2y=十} (1)判断函数f(x)的奇偶性。 (2)判断函数f(x)在(0，十o∞)上的单调性. 图象如图 (3)求函数f(x)在区间[-4,0)U(0,4]上 y=1+}在[2，+o∞)上 的最大值 单调递增， (4)求不等式f(3x-2)+f(x)≥4的解集. 22+号-是 解折(1)函数f(x)的定义域关于原，点对称。 令y=1,则fx)=fx)十f1),.f1)=0. 故所求函数的值城为[十∞ 令x=y=-1,则f1)=f-1)十f-1),得 f(-1)=0. (2)y 1 x+2+1 (x≥2)， 令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1)= f(x),.函数f(x)为偶函数. 令f)=x+2(≥2. (2)任取x1,x2∈(0，十o∞)，且1<x2,则 则f(x)在[2，十oo)上单调递增. 有>1. ∴.f(x)≥f(2)=3. 1 ≤4，且y>0. “当x>1时，fx)>0,六f(）>0, .y=- +2+ 而f)=f·）=f)+f货 故所求画数的值城为0， f(x), 方法总结(1)利用“对勾”函数的性质解决 ,函数f(x)在(0，十∞)上单调递增. 问题时，要注意以下两点：一是要记准单调区 (3).f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),且 间的端点值及区间的增减性：二是要注意对函 f2)=1,.f(4)=2. 数解析式的转化，并注意转化后函数的定 又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在 义城 (0,4]上单调递增， (2)画“对勾”函数图象的关键是找出两个 .函数f(x)在区间[-4,0)U(0,4]上的 “顶点”，其方法是令前后两个式子相等，先求最大值为f(4)=f(一4)=2. 143 夏考点同步解读>高中效学必修第一滑SD么 (4)f(3.x-2)+f(x)=f(x(3.x-2), 增，若1)=0，则不等式f(x-2)<0的解集 4=2+2=f(4)+f(4)=f(16), .原不等式等价于f(x(3x-2))≥f(16). 为 又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在 解折因为f(x)是奇函数，且f(1)=0, (0,十∞)上单调递增. f(x)在(0，十∞)上单调递增，所以f(一1)= x(3.x-2)≠0， 一f(1)=0,且f(x)在（一∞，0）上单调递增. 原不等式又等价于 1x(3x-2)1≥16， 所以不等式fx一)0可化为 第 即x(3.x2)≥16或x(3.x-2)≤-16，解 得K-2或≥号 >0 r-20. 或 第 ∴.不等式f(3x一2)十f(x)≥4的解集为 <-D). 金 8 即0<x-2<1或x-2<-1, 第三章 微专题2 函数性质的综合应用 函数的单调性是函数的重要性质，对于某 四 些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间 所以原不等式的解集是x口<一豆或 的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而 达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明 r< 不等式，求值域、求最值、研究方程根等方面应 第 用非常广泛.而奇偶性是函数的又一重要性质， 利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围， 2.函数的单调性、奇偶性与周期性的综合 第 避免求解问题时进行复杂的讨论。 应用 函数周期性的概念：对于函数f(x),如果 有关函数的单调性、奇偶性与周期性的问 存在一个非零常数T,使得定义域内的每一个 题，常常构建一类数式大小的比较问题，求解 x值都满足f(x十T)=f(x),那么函数f(x)就 时常利用奇偶性、周期性，将数转化到同一单 叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周 调区间，进而利用单调性来处理。 期，T的最小正数取值称为函数的最小正周期 ⊙例题5已知定义在R上的奇函数f(.x) (教材拓展) 满足f(x一4)=一f(x),且在区间[0,2]上单 1.函数的奇偶性、单调性的综合应用 调递增，则( 有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主 A.f(-25)<f(11)<f(80) 要有比较大小、解不等式等，关键是利用奇、偶 B.f(80)<f(11)<f(-25) 函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个 C.f(11)<f(80)<f(-25) 自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函 D.f(-25)<f(80)<f(11) 数的单调性来处理，从而使问题得以解决 解析，f(x)满足f(x一4)=一f(x), ⊙例题4函数y=f(x)(x≠0)是奇函 f(x-8)=f(x),.函数f(x)是以8 数，且当x∈(0，十∞)时，函数y=f(x)单调递 为周期的周期函数，则f(一25)=f(一1)， 144 第二章)函数 f(80)=f(0),f(11)=f(3). R上是奇函数， 又f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 .f(x)在区间[一2,2]上单调递增， f(x-4)=-f(x), .f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)< ∴.f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1). f(80)<f(11). f(x)在区间[0,2]上单调递增，f(x)在 答案D 二、高频考点整合 高频考点真题斜析·能力提升 高频考点 函数的定义域和值域问题 高频考点3 函数的奇偶性问题 ⊙真题1 (2019,江苏卷)函数y= ⊙真题3(2021，全国乙卷)设函数f(x) √7十6x一x的定义域是 则下列函数中为奇函数的是( 解要使函数有意义，则7十6x一x2>0, 解得一1≤x≤7，则函数的定义城是[一1,7]. A.f(.x-1)-1 B.f(x-1)+1 四 答案[-1,7]. C.f(x+1)-1 D.f(.x+1)+1 学科素养研析 解标方法一 因为f)=是所以 第 知识要点 函数的定义域、值城和函数值 核心素养 数学抽象，数学运算 4-D-器=.f+D 命题意图 考查函数的三要素，会求定义域 1-(x+1)_-x 考查级别 水平一 1+(x十1)x+21 高频考点2 函数的表示法问题 对于A,F(x)=f(x-1)-1=2-x-1 ⊙真题2(2021，浙江卷)已知a∈R,函 2-2工，定义城关于原点对称，但不满足F() -4,x>2, 数f(x)= 若f(f(6)= |x-3|+a,.x≤2 =一F(一x). 3,则a= 对于B.令G(x)=f(x-1D+1=2二1+1 解新因为6>2，所以f(√6)=6一4=2. 2 ,定义域关于原点对称，且满足G(x)= 所以f(f(w6)=f(2)=1十a=3,解得a=2. x 答案素2. -G(-x). 学科素养研析 对于C+)-1=克-1=-2， x十2' 知识要点 分段函数及函数的表示方法 定义域不关于原点对称。 核心素养 直观想象，逻辑推理 命题意图 考查对分段函数的理解，并会简单应用 对于D,+1)+1=+1=是 +2,定 考查级别 水平一 义域不关于原点对称.故选B. 145 考点同步解读>高中数学必修第一册BSD色 方法二f)==2出 当x=0时，显然符合题意. 1+x 综上，原不等式的解集为[-1,0]U[1,3]. 1十一1，为保证函数变换之后为奇函数，需将 2 方法二当x=3时，f(3-1)=0,符合题 函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度， 意，排除B:当x=4时，f(4一1)=f(3)<0,此 再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的 时不符合题意，排除A,C.故选D. 函数为y=f(x一1)十1，故选B. 答案D 答案B 学科素养研析 解题通法判断一个函数的奇偶性，通常分 知识要点 画敏的单调性与奇偶性 为两步：先判断函数的定义城是否关于原，点对 核心素养 逻辑推理、数学运算、直观想象 称，再判断f(x)与f(一x)之间的关系. 命题意图考查函数的单调性与奇偶性及其图象特征 考查级别 水平二 学科素养研析 第三章 知识要，点 函敏的奇偶性及其图象特征 函数的奇偶性与周期性的综 核心素养 数学抽象、直观想象 高频考点 5 第四章 合问题 命题意图 考查奇偶性的判断及其图象特征 ⊙真题5(2021，全国甲卷)设函数f(x) 考查级别 水平一 第五鱼 的定义域为R,f(x+1)为奇函数，f(x+2)为 函数的单调性与奇偶性的综 偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=a.x2+b.若 高频考点 4 第六章 合问题 f0)+f3)=6,则f(号)=( ⊙真题4(2020，全国I卷)若定义在R 第 上的奇函数f(x)在（一∞，0）上单调递减，且 A-9 f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0的x的取值范 c n号 围是( A.[-1,1]U[3,+∞) 解析由于f(x十1)为奇函数， B.[-3,-1]U[0,1] 所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称， C.[-1,0]U[1,+∞) 即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(1)十 D.[-1,0U[1,3] f(2-1)=0,得f(1)=0,即a+b=0. ① 解祈方法一由题意知∫(x)在（一∞， 由于f(x十2)为偶函数， 0),(0,十∞)上单调递减，且f(一2)=f(2) 所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称， f(0)=0. 即有f(x)-f(4一x)=0,所以f(0)十f(3) 当x>0时，令f(x-1)≥0，得0≤x一1≤ =-f(2)+f1)=-4a-b+a十b=-3a=6.② 2,即1≤x≤3： 根据①②可得a=一2，b=2, 当x<0时，令f(x-1)≤0，得-2≤x一1 所以当x∈[1,2]时，f(x)=-2x2+2. ≤0，即-1≤x≤1.丈x<0,.-1≤x<0. 根据函数f(x)的图象关于直线x=2对 146 第二章>函数 称，且关于，点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期 续表 为4， 命题意图 考查盛数的单调性与利用单调性求最值 的综合应用 所以)=2）)=-(2)=2×（受》 考查级别 水平二 2 2 高频考点7 函数的图象问题 答系D ⊙真题7 (2020,天津卷)函数y= 4. x2+1 学科素养研析 的图象大致为( 知识要点 函敏的奇偶性与周期性 核心素养 数学运算、逻辑推理、直观想象 命题意图考查函数的奇偶性与周期性的综合应用 考查级别 水平二 高频考点6 函数的最值问题 ⊙真题6(2019，浙江卷)已知a∈R,函 数f(x)=ax2一x若存在t∈R,使得f(1十2) f0)1<号，则实数a的最大值是 团国设)=杆定又该为R,则 4.T 解ft十2)-f(1)=a(1十2)3一(1十2) f(-x)=一 一x)2+1=一f(x),所以f(x)为 (at-t)=2a(3+6t+4)-2, 奇函数，排除C,D.又f(1)=2>0,所以排除 因为存在∈R俊得/+2)-0≤号， B.故选A. 答案A 所以-号≤2a(3r+6+40-2≤号有解。 学科素养研析 因为3t+6t+4>1, 知识要，点 函数的奇偶性、单调性及函效的图象 2 所以3(3r十0+D<a≤33r+6+有解 核心素养 数学抽象、直观想象 命题意图 考查西数的单调性、奇偶性、图象特征的 综合应用 考查级别 水平二 所以a的最大值为学 函数的图象与性质的综合应 国 高频考点 8 用问题 学科素养研析 ⊙真题8(2019，全国Ⅱ卷)设函数f(x) 知识要点 函数的单调性与最值 的定义域为R,满足f(x十1)=2f(x),且当x∈ 核心素养 逻辑推理，效学运算、直观想象 (0,1]时，f(x)=x(x-1).若对任意x∈(-oo, 147 夏考点同步解读〉高中效学必修第一册BSD色 m],都有f(x)≥- 8,则m的取值范围是 答案B 学科素养研析 知识要点 分段函数的图象及性质 A(-, B(-,] 核心素养 逻辑推理、数学抽象、直观想象 c（,] 命题意图 D.(∞，] 考查函数图象与性质的综合应用问题 考查级别 水平二 解析当一1<x≤0时，0<x十1≤1，则 高频考点9 幂函数的图象与性质 f)=2fx+1)=x+1Dx ⊙真题9(2020，全国Ⅱ卷)设函数f(x) 第 当1<x≤2时，0<x一1≤1，则f(x) 2f(x-1)=2(x-1)(x-2): =r是则/ 第三章 当2<x≤3时，0x-2≤1.则f(x)=2f(x A.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递增 -1)=2f（x-2)=22(x-2)(x-3)… B.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递减 第四章 C.是偶函数，且在(0，十○)上单调递增 D.是偶函数，且在(0，十∞)上单调递减 第五鱼 bx+I,-1r≤0. 解掘函数f(x)的定义域为（一∞，0）U 由此可得f(x) x(x-1),0≤1， (0,十∞)， 第六章 2(x-1)(x-2),1<2, 22(x-2)(x-3),2<x≤3， 且f(-x)=(-x)3- + 第七鱼 =-(-）=-f 由此作出函数∫(x)的图象，如图.由图可 .f(x)是奇函数 知当2<x≤3时，令2(x-2)(x-3)=- 8 又，y=x3在(0，十o∞)上单调递增， 整理，得（一7）(3x-8)=0,解得x=号支7 y=- 在0，十e)上也单调递增， 一号将这两个值标注在图中，要使对任意x∈ .f(.x)=x- 在(0，十)上单调递增。 (一∞，m]都有f(x)≥ 8必有m≤，即实 容率A 学科素养研析 7 数m的取值范国是（一∞，3故选B. 知识要，点 函数的奇偶性与单调性 核心素养 逻辑推理、数学运算、直观想象 命题意图 考查函数奇偶性与单调性的判断，复合 函数的性质 考查级别 水平二 1148 第二章)函数 三、易错考点归纳 纠错笔记答卷统计·误区诊断 错因错答的原因是没有先求函数的定义 用换元法求值域时忽视变量的 易错点 取值范围 域为(-∞，-3]U[2,+∞). 正解函数f(x)的定义域为x∈（一o©， ⊙典例面（失分率：25%）函数y=x十 √2x+1的值域为 -3]U[2,+∞)，而4=，r+x-6=(x+号)》 错解[一1，十∞). 孕的图象的对称轴为直线x=一昌：是开口 错因在用换元法求值域时，必须确定换元 向上的抛物线，故u在（一∞，一3]上是减函 之后新元的取值范围，否则会产生错解.新元 数，在[2，+∞)上是增函数.而y=√m是[0， 的范围要根据已知函数的定义域求解，本题求 十∞)上的增函数，所以f(x)的单调递减区间 解时换元1=√2.x十1不能丢了>≥0这一限制 为(-∞，一3]，单调递增区间为[2，十∞). 条件 利用奇偶性解不等式时因变形 四 正解令1=2x+,则≥0，且x=,1, 易错点 3 2 不等价而致错 第 故)y-f号+i-u+1r-1ue[o,+oo ⊙典例3（失分率：20%）已知偶函数y= f(x)定义在（一1,1）上，且在（一1,0]上是单调 画出1[0，十o∞)时函数y=2u十1)2-1 递增的.若不等式f(1一a)<f(3a一1)成立， 的图象，如图所示 则实数a的取值范围是 由图象知1=0时y=一2即一2 留（合号） 故画数的值城为[-十∞】 错因忽视偶函数f(x)=f(一x)=f(|x), 将f(1-a)<f(3a-1)错误等价为1一a<3a 一1而致错. 正解，偶函数y=f(x)在（一1,0们上单调 递增， ·y=f(x)在[0,1)上单调递减， .f(1-a)<f(3a-1)等价于 易错点2 求单调区间时忽视函数的定义域 11-al>3a-1l, ⊙典例2（失分率：35%）函数f(x) -1<1-a<1, 解得0<a<2, √x2十x一6的单调递增区间为 ,单调 -1<3a-1<1, 递减区间为 错解 -2+∞(-∞，-2) “实数a的取值范国是o,》 149