4 函数的奇偶性与简单的幂函数-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD §4函数的奇偶性与简单的幂函数 高考要求学业格谁·考情分析 一考点分布 一学科素养 一学法导引· 1,结合具体的函数，了解奇 1.函数的奇偶性是函数的重要性质，应重点理 偶性的概念和几何意义 解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法， 豆 理解并学会运用奇（偶）函数图象的对称性研究函数 的性质 数学抽象 2.通过具体实例，结合y 2.幂函数的图象特征及性质与参数α密切相 直观想象 t.y=I y-y= 关，其定义域、值域可能会因为ā取值的不同而不 同：幂函数在第一象限内总有图象，而在第四象限内 第三章 y=x的图象，理解它们 永远不会有图象，这是因为幂的运算性质一正数 的变化规律，了解幂函数 的任何次幂均为正数. 考点分类考点透析·兵例制析 第五鱼 考点1 函数的奇偶性及其判断 ·核心总结 第六章 办难点突破… 1.函数奇偶性的定义 1.奇偶性定义中的“任 第七章 偶函数 奇函数 意”两字可以省略吗？ 般地，设函数f(x)的定义域 般地，设函数f(x)的定义域 不能省略.如函数y 为A,如果对任意的x∈A,有 为A,如果对任意的x∈A,有 x,x∈[-2,3]，有f(-2)= 定义 -x∈A.且f-x)-f(x),那 -x∈A,且f(-x)=-f(x) 4=f(2),f(-1)=1=f(1). 么称函数(x)为偶函数 那么称函数(x)为奇函数 但不能因此就说函数y=x, 定义域 关于原点对称 关于原点对称 x∈[-2,3]是偶函数，因为 [注意]当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇 f(一3)是没有定义的.从这个 偶性. 意义上来说，“任意”两字实则 强调的是函数的定义域一定 2.函数按奇偶性分类 要关于原点对称，这个条件是 函数按奇偶性可分为奇函数（如y一x,y一x)、偶函数（如 必不可少的.因此在讨论一个 y=x)、既是奇函数又是偶函数（如f(x)=0,x∈R),非奇非 函数的奇偶性之前，要先探讨 偶函数（如y=3x十2）.特别地，如果常数函数的函数值不为 西数的定义城 0,那么该函数是偶函数 2.函数的奇偶性与单调 ⊙考题](2024，东北师大附中单元测试)下列叙述中正确 性的差异 的是( ). 函数的奇偶性是相对于 128 第二章>函数 A.若函数f(.x)的定义域关于原点对称，则它是奇函数 函数的定义域来说的，这一点 B.若函数f(x)是偶函数，则它的定义域关于原点对称 与研究函数的单调性不同.从 C.偶函数的图象一定与x轴相交，奇函数的图象一定通过原点 这个意义上来说，函数的单调 D.既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R) 性是函数的“局部”性质，而画 解析只有当函数f(x)的定义域关于原点对称，且f(一x) 数的奇偶性是函数的“整体” 一f(x)时，函数f(x)才是奇函数，故A错误. 性质，只有对函数的定义域内 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件， 每一个x,都有f(一x)=f八x) 故B正确. (或f代一x)=一fx),才能说 奇（偶）函数的定义域必须关于原点对称，但f(x)在x=0处 函数是偶函数（或奇函数）， 不一定有意义，如y=x与y=x,它们分别是偶函数和奇函数， 规律总结 但当x=0时都无意义，故C错误， 根据定义判断函数 奇偶性的步骤 对于函数f(x)=√一1十√1一，定义域为{一1,1}，关于原 点对称，且f(一1)=土f(1),所以该函数既是奇函数又是偶函数， 是香关于 否「既不是寺玉散地不 是偶函变 故D错误. 答案B 判断/八-民香年于 士代底判新f-玉 第 土f(2是柔等于0 四 特别说明对于f(x)=0,在满足其定义域关于原，点对称时， 既是奇函数又是偶函数， 了《是否有寺阅性 ⊙变式11(2024，荆州中学月考)对于定义在R上的函数 ②方法梳理， f(x),下列说法中正确的是 (填序号). 判断函数奇偶性的常用方法 ①若f(x)是偶函数，则f(-2)=f(2): 判断函数奇偶性的首要 ②若f(一2)=f(2),则函数f(x)是偶函数： 考虑条件是函数的定义域是 ③若f(一2)≠f(2),则函数f(x)不是偶函数： 否关于原，点对称，若函数的定 ④若f(一2)=f(2),则函数f(x)不是奇函数， 义战不关于原点对称，即可判 ⊙考题2判断下列函数的奇偶性： 定该函数既不是奇函数也不 (1)f(x)-x+2.x2+3. (2)f(x)=1x-1-x+1. 是偶函数：若函数的定义域关 于原点对称，可用以下方法判 4-x2 (3)f(x)=x+2-2 2+工 (4)f(x)=(x-2)·√2-x 断函致的奇偶性， 1.定义法 (5)f(x)=Vx-1+W1-x. 对于函数定义域内的任 解(1)函数的定义域为R,关于原点对称 意一个x,若f(一x)= ,f(-x)=(-x)1+2(-x)2+3=x+2x2+3=f(x), 一f(x),则函数f(x)为奇函 .f(x)=x十2x2十3是偶函数 数；若f(一x)=f八x),则函数 (2)函数的定义城为R,关于原，点对称 f(.x)为偶函数 ,f-x)=|一x-1-|-x+1=x+1-x-1=-f(x), 2.相加判别法 ∴.f(x)=x一1一x十1为奇函数. 对于函数定义城内的任 (3)4-x≥0， 意一个x,若f(一x)十f(x)= lx+2-2≠0， 0,则f(x)是奇函数：若f(x) 129 考点同步解读》高中数学必修第一册SD色 f(x)的定义域为[一2,0)U(0,2],关于原点对称. +fx)=2f(x),则f(x)是偶 光时)品写 函数. 3.相减判别法 又f-=4=亚=-4乙=-. 对于函数定义城内的任 意一个x,若f(x)一f(一x)= -品为时品 2f(x),则f(x)是奇函数：若 fx)-f(-x)=0,则f(x)是 2一x≠0， 偶函数， (4)由题意得 2十x≥0， .-2≤x2. 4,相乘判别法 2-x 对于函致定义城内的任意 故f(x)的定义域为[一2,2)，不关于原，点对称， 一个x,若f(x)·f(一x)= 一(x),则f(x)是奇函数： ∴.f(x)既不是奇函数也不是偶函数 若f(x)·f(-x)=f(x), (5)由题意得 x2-1≥0，.x≥1或x≤-1， 则f(x)是偶函数. 第三章 1-x≥0，-1≤x≤1. 5.相除判别法 故f(x)的定义域为{1，一1}，关于原点对称，且f(一x) 对于函数定义域内的任 四 f(x)=-f(x)=0. 意一个x,设f(x)≠0，若 ∴此函数既是奇函数又是偶函数。 f一卫=-1，则f(x)是奇函 f(r) 第五鱼 ⊙变式12(2024，黄冈中学单元测试)判断下列函数的奇 数：若八二2=1，则f代x)是 偶性： f(x) 第六章 1-2 偶函数 ①fx)=-2+V2-x.(2)f）=x+2-2 6.图象法 若函数f(x)的图象关于 第 3))=2+》 原点对称，则函数f(x)为奇 函数：若西数f(x)的图象关 于y轴对称，则函数f(x)为 偶函数 7.性质法 奇，偶函数的运算性质及 ⊙考题3(2024，西南大学附中单元测试)判断下列函数的 复合函数的奇偶性如下： 奇偶性： 设f(x),g(x)的定义战 x(1-x),x<0 分别是F,G,若F=G,则有下 (1)f(x) x(1+x),x>0. 列结论： x2-2x+3,x>0, 奇函数士奇函数=奇函数： 偶函数士偶函数一偶函数： (2)f(x)= 0,x=0. 奇函数×奇函数=偏函数： -x2-2.x-3,x<0. 偶函数×偶函数=偶函数： 解析(1)函数f(x)的定义域为（一○，0）U(0,十∞)，关于原 奇函数×偶函数=奇函数 点对称， [注意]任何一个函数 当x>0时，一x<0, f(x)(定义域关于原点对称) 130 第二章>函数 .f(-x)=(-x)[1-(一x)]=-x(1十x)=-f(x): 都可以拆分成一个奇函数和 当x<0时，一x>0, 一个偶函数的和，即f(x) ∴.f(-x)=-x(1-x)=-f(x). F(x)+G(x),其中F(x)= 故函数f(x)为奇函数. f(x)十f一x2(偶函数) 2 (2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称 G)=f)==卫（奇函教），. 2 ①当x=0时，-x=0,f(x)=f(0)=0,f(-x)=f(0)=0, 误区防错， .f(-x)=-f(x). 1.易错点 ②当x>0时，一x<0, (1)判断函数奇偶性时忽 .f-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-fx). 略了定义域 ③当x<0时，一x>0, (2)忽略了解析式的隐含 ∴.f-x)=(-x)-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-fx. 条件 由①②③可知，对Hx∈R时，都有f(一x)=一f(x),故函数 (3)定义域计算错误。如 对解析式先进行了化简，导致 f(x)为奇函数. 扩大了函数的定义城 ⊙变式13(2024，南京一中月考)判断下列函数的奇偶性： 2.防错良方 x3-3x2+1,x>0, 四 (1)f(.x)= 判断函数的奇偶性，首先 x3+3x2-1,x0. 看函数的定义战是否关于原点 2+1心0. 对称：在定义域关于原点对称的 条件下，再根据f(一x)与f(x) (2)f(x) 22-1r<0, 的关系作出判断。 规律总结 1.分段函数奇偶性的判 断问题 (1)分段函数奇偶性的判 断要点： ①分段函数的定义城是 ⊙考题4(2024，清华大学附中单元测试)判断f(x)=x十a 各段自变量范国的并集， 一x一a(a∈R)的奇偶性. ②根据奇偶性的定义，要 解析因为x∈R,所以定义城关于原，点对称。 判断f(-x)与f(x)的关系， 当a=0时，f(x)=|x-x=0, 需求出f(一x). 所以(x)既是奇函数也是偶函数； ③当x>0时，f(一x)要 用第二个（一x<0)解析式，但 当a≠0时，因为f(一x)=|一x十a一|一x一a=|x一a一 f(x)是第一个(x>0)解析式. lx十a=-(|x十a-.x-a)=-f(x). ④奇（偶）函数的定义耍 所以f(x)是奇函数. 求是对定义域内任意x都有 综上所述，当a=0时，函数f(x)既是奇函数也是偶函数； f(-x)=-f(x)(f(-x) 当a≠0时，函数f(x)是奇函数. f(x)),此处对x分x>0与 点评判断含参函数的奇偶性时要注意对参数进行讨论 x<0进行讨论. 131 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD② ⊙变式14(2024，衡水中学月考)判断函数f(x)=x2 (2)对于分段西数奇偶性 x十a(a∈R)的奇偶性. 的判断，需特别注意x与一工 所满足的对应关系 (3)分段函数的奇偶性可 通过函数图象的对称性加以 判断. 2.含参函数奇偶性的判 断问题 对含参函数的奇偶性进 行判断时要分类讨论，讨论时 要合理取值. 考点2 奇函数和偶函数的图象特征及其应用 ·核心总结 有难点突限 第三章 1.奇函数的图象特征 研究函数奇偶性的意义 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对 研究函数的奇偶性对于 第四章 称中心的中心对称图形：反之，如果一个函数的图象是以原点 了解函数的性质非常重要，对 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数 于一个奇函数或偶函数，根据 第五鱼 2.偶函数的图象特征 它的图象关于原，点对称或关 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为 于y轴对称的特性，只要把这 个函数的定义域分成关于原 第六章 对称轴的轴对称图形：反之，如果一个函数的图象关于y轴对 点对称的两部分，由函数在其 称，则这个函数是偶函数 中一部分上的图象和性质，即 第七鱼 3.求解奇偶性与图象对应关系问题的方法 可推断出它在整个定义域内 观察图象的对称性特征，若关于原点对称，则为奇函数：若 的图象和性质。 关于y轴对称，则为偶函数 意规野拓展 4.奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 1.函数图象的对称性 (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小 奇、偶函数图象的对称性 及解不等式等问题. 可作如下推广（其中a,b,c为 常数)： (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图 f(x)在定义城 y=f(x)的围象 象直接观察. 内恒满足 的对称轴（中心） ⊙考题5(2024，扬州中学期末考试)函数f(x)= 2x f(a+r)=f(a-x) 直线x=a 2x2的 f(r)=a-x) 直线=号 大致图象是( f(a十)=f(b-x) 直线xa十6 2 fa十r)+fa-r) 点(a,0) f(a+r)+f(b-r)=0 点（生.o) fa+x)十f6-x= 点（受） 132 第二章>函数 由题可得22-1≠0，即红≠士号，故排除A,C,又 2.既是奇函数又是偶函 数的函数 一2x 设f(x)既是奇函致又是 f代一x)=2二=一fx),所以f八x)是奇函数，其图象关于原点 偶西数，则f(一x)=一f(x). 对称，故排除D.故选B. 且f(-x)=f(x),故-f(x) 答案B =f(x),所以f(x)=0,且定 ⊙变式21如图所示是偶函数f(x)在y轴右侧部分的图 义城需关于原点对称，故既是 象，试画出函数f(x)在y轴左侧部分的图象 奇函数又是偶品数的函数有 无数个，它们为f(x)=0,且 其定义域是关于原点对称的 非空数集 ⊙考题6(2024，常州一中期中考试)若定义在R上的奇函 数f(.x)在（一∞，0）上单调递减，且f(2)=0,则满足xf(.x一1)≥ 0的x的取值范围是(). A.[-1,1]U[3,+o∞) B.[-3,-1]U[0,1] 山规律总结 四 C.[-1,0]U[1,+∞) D.[-1,0]U[1,3] 1.利用奇，偶函数图象的 对称性作出函数的大致图象， 解由f(x)是定义在R上的奇函数可 使问题的求解直观明了，这是 知f(0)=0,又f(x)在（一○，0）上单调递减， 我们处理有关不等式问题的 因此f(x)在(0，十∞)上也单调递减，因为 第 常用策略 六 f(2)=0,因此f(一2)=-f(2)=0,由此可画 2.解决奇、偶画数的图象 出函数y=f(x)的大致图象如图所示. 问题，一般需要借助奇、偶函 第 要求满足xf(x一1)≥0的x的取值范围，解不等式xf(x 数图象的对称性，由y轴一侧 x≥0， x0, 的图象可画出另一侧的图象， 1)≥0即可，而xf(x-1)≥0→ 或 f(x-1)≥0(f(x-1)≤0. 有了函数图象，我们可直观地 由图可知f(x一1)00≤x-1≤2或x-1≤-2=1≤x≤ 研究函数的性质 3或x≤-1.又x≥0，故1≤x3 f(x-1)≤0台-2≤x-1≤0或x-1≥2台-1≤x≤1或x ≥3.又x≤0，故-1≤x≤0. 因此x的取值范围为[-1,0]U[1,3]. 答案D ⊙变式22已知偶函数f(x)的定义域为[一5,5]，且在区间 [0,5]上的图象如图所示，则使f(x)>0的x的取值范围为 -5-2 133 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 考点3 函数奇偶性的简单应用 ·核心总结 女难点突破… 函数奇偶性的简单应用一般体现在以下两个方面： 1.奇函数y=f(x)的函 1.利用函数奇偶性可由函数的部分解析式求整体解析式。 数值f(0)怎样确定？ 2.由函数奇偶性的特征求字母系数的值或求函数值 如果一个奇函数f(x)在 原点处有定义，即「(0)有意 ⊙考题7(2024，武汉外国语学校月考)已知f(.x)=x十 义，那么一定有∫(0)= 第 a.x2+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于( 一f(-0),即f(0)=0,有时 A.-26 B.-18 C.-10 D.10 可以用这个结论来判定一个 量 函数是否为奇函数 第 解折方法一令g(x)=x十ax3十hx,易知g(x)是R上的 2.常见函数（一次函数、 奇函数，从而g(一2)=一g(2).又f(x)=g(.x)一8， 反比例函数、二次函数)的奇 .f(-2)=g(-2)-8=10.g(-2)=18. 偶性如何？ 第三章 ∴.g(2)=-g(-2)=-18. 画数 奇钙性 一次西数 b=0时是奇虽数： ∴.f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. y=x十风k≠0) b≠0时既不是奇画 四 处也不是码函处 方法二由已知条件得 反比例西数 f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8, ① y=是(a≠0 奇函数 第五鱼 f(2)=25+a·2+b·2-8, ② 二次函数 b=0时是偶函数： y=ax十十cb≠0时既不是奇 ①+②得f(2)+f(-2)=-16. (40) 数也不是偶函数 第六章 又f(-2)=10,.f(2)=-26. 念方法梳理… 答有A 1.利用函数的奇偶性求 第七章 点评方法一利用了转化的数学思想，虽然f(x)不是奇函数， 函数值的方法 但注意到f(x)十8是奇函数，可使问题简便解决：方法二直接列 解决此类问通时应注意 方程组求解，简单明了， 运用f(一x)与一f(.x)的关系 转换，同时要充分关注整体代 ⊙变式3(2024，宝鸡中学月考)已知f(.x),g(x)均为R 换的技巧 上的奇函数，且F(x)=af(x)十bg(x)+2在区间(0，+∞)上的 2.利用函数的奇偶性求 最大值为8，则F(.x)在区间（一○，0）上的最小值为 解析式的方法 ⊙考题8(2024，黄冈中学调考)已知f(x)是定义在R上的 解决此类问题时应按以 奇函数，且当x>0时，f(x)=x3十x十1，则函数的解析式f(x)= 下步骤进行： (1)设所求区间上任意x (2)把所求区间内的变量 解析设0，则一x>0,用一x替换f(x)=x十x十1中的x, 转化到已知区间内。 得f(-x)=(一x)3十(-x)十1=一x3-x十1. (3)利用函数奇偶性的定 又，f(x)是奇函数， 义fx)=一f(-x)或f(x)= ∴.f(x)=-f(-x)=-(-x2-x+1)=x3+x-1. f(一x)求所求区间的函数解 文f(x)是定义在R上的奇函数，∴.f(0)=0. 析式 1134 /第二章>函效 x3+x+1,x>0, 3.利用函数的奇偶性求 综上所述，f(x)=0,x=0, 参数的值或取值范国的方法 x3+x-1,x<0. (1)当定义域中含有参数 x3+x+1,x>0, 时，由奇函数、偶函效的定义城关 答案 0,x=0, 于原点对称，可直接求出参数. x3+x-1.x<0. (2)当解析式中含有参数 时，根据函数奇偶性的定义列 ⊙变式32(2024，杭州二中模块测试)函数f(.x)是一个偶 出等式f(一x)=一f(x)(或 函数gx)是一个奇函数，且f()十g)=则f(x) f(一x)=f(x)),由等式或不 等式求出参效的值或取值范 围，有时也可由特殊值或由函 ⊙考题日(2024，九江一中高三摸拟)若函数f(x)= 数的性质直接分析求解。 (2十1)(z一a)为奇函数，则a=( 4.利用函数的奇偶性求 最值的方法 A号 B号 c D.1 对于奇（偶）函数，若在 解析，f(一x)=一f(x), [a,b](b>a>0)上，f(x)的最 第 大值是f(),在图象上表现 四 ∴(-2.x+1)(-x-a) (2.x+1)(x-a) 为点(xo,f(x)是函数图象 a= 在[a,b]上的最高，点，则由图象 ∴.(2a-1)x=0. 2 的对称性可知，（一0，f(一x) 答案累A (或（一xn,f(x)一定是图 ⊙变式33(2024，泉州科技中学期中考试)若函数f(x)= 象在[一b,一a]上的最低（高） a.x十bx十1是定义在[一1一a,2a]上的偶函数，则该函数的最大 点，因此可结合图象得出最值」 值为( ) A.5 B.4 C.3 D.2 考点4 简单幂函数的图象和性质及其应用 。核心总结 有难点突破… L.幂函数的定义 对幂函数的概念的理解 般地，形如y一x(α为常数)的函数，即底数是自变量、 1.形如y=(a为常数) 指数是常数的函数称为幂函数 的函效叫作暴函数，这里需满 2.常见幂函数的图象和性质 足条件：①系数为1：②指数为 解析式 y=x y=r y=r y=rl y-√履 常数：③后面不加任何项.例 y 如y=3x,y=x,y=x2+1 图象 均不是幂函数。 2.y=x中a∈R 定义域 R R {xx≠0 [0,+∞) 3.确定一个暴函数，只需 值域 R [0,+o∞) R (yly≠0} [0.+oe) 确定a即可. 135 考点同步解读〉高中数学必修第一册SD色 续表 关于原点 关于y轴 关于原点 对称性 关于原点 对称 对称 对称 对称 无 (-00, (-o∞，0]1 (-o∞， 单调性 (-o∞，0)4 [0,+oc)才 +c∞)刀 [0.+∞)入 十o∞)入 (0,+)4 定点 (1,1) ⊙考题10 (2024,港水-中月考)在函数①y=子，@y=, 第 ③y=2,④y=2,⑤y=2.x2,⑥y=x±中，是幂函数的是( ). A.①2④⑤ B.③④⑥ 第 C.①②⑥ D.①②④⑤⑥ 解幂函数是形如y=x(a∈R,a为常数)的函数，①是a= 第三章 -1的情形.②是。=2的情形.⑥是a=一号的情形，所以①@回 都是幂函数；③不是幂函数；⑤中x的系数是2，所以不是幂函 四 数；④是常函数，不是暴函数.故选C 第五鱼 答案C ⊙变式41(2024，杭州第十四中学月考)已知函数f(x)= 令方法梳理 (a2-2a一2)x为幂函数，则实数a的值为(). 求幂函数解析式的依据 第六章 A.-1或3 B.-3或1C.-1 D.1 和常用方法 ⊙考题11(2024，南昌一中月考)已知幂函数f(x)的图象 1,依据：若一个函数为暴 第七鱼 函数，则该函数应具备幂函数 过点(4,2)若fx)=8,则x=( ). 解析式所具备的特征，这是解 决与幂函数有关问题的隐含 A.22 B.64 0. 1 条件 爵团设f(x)=2,将点(4,2)代入，得号=4华，所以a 2常用方法：设暴函效的 解析式为f(x)=,依据条 1 所以f八x)=x.令xt=8,得x=82= 1 件求出a. 64 如：已知暴函数y=x"(a 答率D 为常数)的图象过某点，只需 ⊙变式42(2024，合肥二中月考)若幂函数y=f(x)的图 将此点的坐标代入，求出a即 象过点(2，)，则该函数的解析式为 可求出该暴函数的解析式 ⊙考题2若函数y=(2a十3)·x是幂函数，则实数a的 值为 解析因为y=(2a十3)·x是幂函数，则2a十3=1，得a 一1，此时2一3=一2.因为函数y=x2为暴函数，所以4=一1 136 第二章》函数 符合题意 答案-1. ⊙变式43(2024，郴州一中期末考试)已知幂函数f(.x) k.的图象过点(2,4)，则k十a= ⊙考题3(2024，成都二中诊新)如图，图 ☆特别提围 中曲线是幂函数y=在第一象限内的图象，已 1.形如y=m,y (m.x)°，y=x+,y=(x+ 知a取士2，士2四个值，则相应曲线C,C,C, C m)(m为不等于0的常数)的 C的a值依次为( 函数都不是暴函数 A-2,22 &2-2 2.暴函数y=x”中的c 为任意实数，在中学阶段，我 c--22 D.22-2,-司 们主接关注。=123.-1，号 解析由于幂函数y=z的图象在第一象限内直线x=1的 这几种情形 右侧从上到下相应的指数a由大变小，故曲线C对应的a的值为 2,曲线C对应的。的值为2，曲线C对应的。的值为-司：曲线 C对应的a的值为一2. 蓓案B ⊙变式44已知幂函数f(x)的大致图 象如图所示，则f(x)= (写出一个 可能的结果即可) 考点5 函数的奇偶性与单调性的综合应用 ·核心总结· ②方法梳理， L将函数的奇偶性与单调性相结合，可知： 1.利用奇偶性判断对称 (1)奇函数在（一b,一a)和(a,b)上有相同的单调性： 区间上函数的单调性的方法 (2)偶函数在（一b,一a)和(a,b)上有相反的单调性. (1)奇函数在y轴两侧的 这里，区间（一b,一a)和(a,b)都在函数定义域内， 单调性相同，偶函数在y轴两 因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等问 侧的单调性相反， 题，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内则由对称性可得 (2)奇函数或偶函数的单 2.研究函数的单调性，奇偶性必须在定义域上进行，如果 调性的对称规律在不同区间 没有给出定义域，则需先求出其定义域。 内函数值的大小比较中起到 ⊙考题14(2024，揭阳一中期末考试)已知奇函数f(x)是 的作用很大。对于偶函数，如 果两个自变量的取值在关于 定义在（一1,1）上的减函数，则不等式f(1一x)+f(1一3x)<0 原点对称的两个不同的单调 的解集为 区间上，即正负不统一，应利 解f(1一x)十f(1-3.x)<0,即f(1-x)<一f(1-3.x), 用图象的对称性将两个值化 137/儿参考答秦与提示>7 f(a)=b, (a+2)(a+1)=b. §4函数的奇偶性与简单的幂函数 所以 即 f(b)=a, (b+2)(b+1)=a, 【变式训练】 两式相减可得(a一b)(a十b+4)=0. [变式1-1门①③.提示：①正确：②错误，仅两个特殊 因为a<b,所以a十b十4=0，所以a十b=-4. 值的函数值相等不足以确定函数的奇偶性：③正确： ②当a<-是<<-1时，函数f在[a,上的最 ④错误，例如，f(x)=0满足条件，该函数既是奇函数又 是偶函数 小值为(-受)=子 [变式1-2](1)：f(x)的定义域为2)，不关于原点对称， 因为f)的值城为[a,小，所以a=一子，与a<-是 .函数(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2),f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1,关于原点对称， 矛盾，故舍去 ③当-是<a<<-1时，函数fx)在[a,上单调 又fx)= 1-r=1- x+21-2 递增， -0=D=-立=-e. 所以 fa=a即 (4+2)(a+1)=a, f(b)=h,(h+2)(+1)=, f八(x)是奇函数 可得a,b为方程x2十2x+2=0的两根，所以a十b= (3),函数f(x)的定义域为(xr≠0x∈R},关于原点 一2.与4<b≤一1矛盾，故舍去. 对称。 ①当-2≤a<-1<2时，f(x)在[a,b们上的最大值 又f-)=(-x(2与十）】 为0，所以b=0, 所以f(x)m=f0)=-2,所以a=一2，所以a+b=-2 =(） ⑤当一1<a<h<0时，f(.x)在[a,b]上单调递减， f(a)=b,. 1-(a十2)(a+1)=b. =(+点) 所以 即 f(b)=a, -(b+2)(b+1)=a, =x(2+号)=f 两式相减得(a一b)(a十b+2)=0. .f八x)为偶函数 因为a<b,所以a十b十2=0，所以a十b=-2,与 [变式1-3](1)函数f(.x)的定义域是（一∞，0）U(0, 一1<a<<0矛盾，故舍去. 十)，关于原点对称. @当0a<<号时，)在[a,止单调递减， 当x>0时，-x<0,则f(-x)=(-x)3十3(-x)2 |f（a)=b,(a-2)(a+1)=b. 1=-x3+3.x2-1=-(x2-3.x+1)=-f(x):当x<0 所以 即 f(b)=a, (b-2)(b+1)=a, 时，一x>0,则f(一x)=(-x)-3(-x)2+1=- 两式相减得(a十b)(a一b)=0,此式显然不成立. 3.x2+1=-(x2+3x2-1)=-fx. ⑦当u<名<b时，)在[a,上的最小值为-号。 综上，对任意x∈(-∞，0)U(0,十c∞)，都有f(-x) -fx), 所以a=-是a)=/(-号)-最<分<b, 所以f(x)为奇函数 所以f(.x)=f()=b, (2)函数f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,+∞)，关于原 所以(-2)(h+1)=b,即一-2b-2=0,解得=3+1， 点对称. 所以a+b8-是 当x>0时，-x<0,f(-x)=-号(-x)-1= ⑧当2<a<b时，在[a,上单调递增。 -(2x+1）=-f: (a-2)(a+1)=a, 所以 fa)=a即 f()=h,(h-2)(b+1)=, 当<0时，->0，-)=之（-x+1=计 两式相减得(a十b)(a一b)=0,此式显然不成立， 1=-（-2r-l）=-fxw 综上所述，a+6=-4或-2或5-号 综上，对任意x∈(-∞，0)U(0,十o∞)，都有f(-x)= 29 考点同步解读〉>高中敏学必修第一将D色 -f(x), 线x=0, 所以f(x)为奇函数. 所以该函数的最大值f(2)=4十1=5. [变式14]：x∈R,∴定义域关于原点对称. [变式+1]C 若a=0,则f(x)=x2-x,此时f(-x)=(一x)2 [变式+2]y=x2(r≠0) 1(-x)=x2-x=f(x),∴f(x)为偶函数. [变式+3)3. 若a≠0，则f(-x)=x2一a-x,此时f(-x)≠士f(x), [变式+4]x(答案不唯一).提示：由题中幂函数 ∴.f(x)为非奇非偶函数. 图象知，函数f(x)的定义域是（一©∞，0）U(0,十0∞)，且 综上，当a=0时，f(x)为偶函数：当a≠0时，f(x)为非 在(0，十©)上单调递减，于是得该幂函数的幂指数为负 奇非偶函数 数，且幂函数f(x)是偶函数，所以f(x)=x [变式2-1]利用偶函数的图象关于y轴对称的特点， [变式5] (3号)：(-1，+∞). 提示：因为函数 可作出函数y=(x)在y轴左侧部分的图象（如图）. f(x)为偶函数，所以f(x)=f(|x),所以f(2x一1) f(号)→2x-1)<f(号)，又函数fx)在区间[0. +∞)上单调递增，所以12x-1<号，即-号<2x- [变式2-2]（一2.0）U(0,2).提示：：f.x是偶函数， 1<3,解得3<x<号.同理可得f1-x)<fx+3) ∴其图象关于y轴对称，可根据f(x)在区间[0,5] →f(1-x)<f(x+3|)→11-x|<x+3|,即(1 上的图象作出f(x)在区间[一5,0)上的图象，从而得到 x)2<(x十3)，解得x>一1. f(x)在区间[一5,5]上的图象（图略）. [变式5-2](1)取x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),即 由题图可知，使f(x)0的x的取值范围为（一2,0）儿U(0,2). f(y)=f(0)+f(y), [变式子1]-4.提示：由f(x),g(x)均为R上的奇函 所以f(0)=0. 数，知y=af(x)十bg(.x)为R上的奇函数.由F(x)=afx) 因为f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1)+ +bg(x)+2在(0，十o∞)上的最大值为8，得F(x)一2= f1)=3f(1)=6,所以f(1)=2. af.x)十g(x)在(0.十oo)上的最大值为6.根据奇函数的 (2)因为函数f(x)是定义在R上的函数，所以定义域关 性质可知F(x)一2=af(x)十bg(x)在（一o∞，0）上的最小值 于原点对称 为-6，故F(.x)=af代x)+bg(x)十2在（一oo,0)上的最小值 取y=一x,得f(0)=f.x+(一x)=f(z)+f(一x)=0, 为-6+2=一4 即f(-x)=一f(x), [变式32】马提示：+g)马 ① 所以函数f(x)是奇函数. (3)选择条件①. 以-x代替x,得-刊+g(一)=与 因为f(,x)是奇函数，且f(kx2)十f(2x-1)<0在x∈ 又f(x)为偶函数，g(x)为奇函数， [分3]上相成立。 /x)-gx)=- x+1 @ 所以r)<I-2在xe[合3]上恒成立. ①+②，得2(x)=1-1 2 -1x+-2 因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(0)=0< )=马 f1)=2, 所以f(x)在R上是增函数， [变式33]A提示：因为偶函数的定义城关于原点对称， 所以-1一a十2a=0,解得a=1, 所以r<1-2x在x∈[3]上恒成立， 所以f(x)=x+bx+1. 所以<（上）-2(）在x∈[2,3]上恒成立。 由于函数f(x)为偶函数，故b一0，所以f(x)=x2十1. 又因为x∈[-一2,2]，f(x)的图象开口向上，对称轴为直 令=则3<≤2.(2）广-2（日）=r-2 30 参考答秦与提示>7 又y=-2x在[号2]上的最小值为-1 【高考通关测评】 L.C提示：因为f(x)=3ax+br-5a+5b是偶函数， 所以k<一1. 所以=0.又函数f(x)的定义域[3a一1，a]关于原点 选择条件②. 因为f(x)是奇函数，且f(kx2)十f(2x一1)<0在x∈ 对称.所以3a-1十a=4a-1=0.解得a=},所以 [23]上有解， a+6是 所以r)<-2)在x[是3]上有解。 2.A提示：因为函数图象关于y轴对称，所以与x轴的 四个交点关于原点对称.所以f(x)=0的所有实数根 因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(0)=0< 之和为0. f1)=2. 3.D提示：奇函数f(x)在(0，十∞)上为增函数，且f1)= 所以f(x)在R上是增函数。 所以kr2<1-2x在x∈[23]上有解， 0,画出fx)的大致图象（如图，.因为）二代一2= 所以k<(2）-2(2)在x∈[33]上有解。 2卫<0，所以由函数的图象得不等式的解集为 (-1,0)U(0,1). 令=1则时≤≤2.(3）-2（日）=r-2m 又y=-2在[号，2]上的最大值为0， 所以k<0. 【基础通关测评】 L.D提示：：y=(r2一4m十4)xw+5为幂函数， 4.C提示：函数f(x)是偶函数，.f(x)=f(x) ,.m2一4m十4=1，即(m-1)(m一3)=0. .f(1-m)=f(1-ml).f(m)=f(m), 又当m=3时.y=x1:当m=1时，y=2.故m=1满 -2≤1-m≤2， 足题意 ∴原不等式等价于一2≤≤2， 2D提示：对于Af(-)=(-x)+马 1-ml>ml, -(x+)=-f(x):对于B.f(-x)=-上≠ 故实数m的取值范围是[-1，号)， -fx):对于C,f(-x)=WT+I=f(x):对于D, f(一x)=(一x)=-x=一f(x),故A,D都是奇函 5.ACD提示：由①知函数 y 数用定义法可求得/x)=x+子在(0,1)上为减函 f(x)为偶函数：由②知函数 f代)在(0，+∞)上单调递=f 数，f(x)=x2在(0,1)上是增函数. 减，则函数f(x)在（一o∞， 3.A提示：因为g(x)=f(2x)+x2是奇函数， 0)上单调递增：由③知f(1) 所以有g(-1)+g(1)=f(-2)+1+f(2)+1=0. =f(一1)=0.出函数的 因为f(2)=2,所以f(一2)=-4. 大致图象如图.f(3)>f(4)=f(一4)，A正确：由f(x 4.D提示：当x<0时，一x>0,所以f(一x)=x+2x -1)<f(2)得x-1<-2或x一1>2，解得x<-1 又因为f八x)是奇函数，所以f八x)=一f一x)=一x2一 或r>3,B错误：若卫<0，则当>0时，fx)<0, x-2x,x20, 2x,所以f(x)= 所以f(x)= -x2-2x,x<0, 解得x>1,当x<0时，f(x)>0,解得-1<x<0. x(1x-2). C正确：根据函数单调性及函数在R上的图象连续 5.zx2十1（答案不唯一）.提示：由题意知f(x)是偶函 知，函数存在最大值f(0),则只需M≥f(0),即可满 数，且f(x)的值域为[1，十oo),故f(x)=x2+1 足条件，D正确. 6.增.提示：偶函数在对称区间上的单调性相反. 6.BC提示：由于函数f(x)为幂函数，故m一m一1一 31 考点同步解读)高中载学必修第-一SD色 1,即m2-m一2=0，解得m=一1或m=2.当m=一1 与5，因为1，所以6， 2 时x)=子当m=2时，)=.由“对任意， 若≥1，则f(x)在（一o∞，1]上单调递减，则f(x)mn ∈(0，+∞)，且≠，满足)2>0” f1)=1-b=-1.所以b=2. TI-x 知，函数f(x)在(0，十∞)上为增函数，故f(x)=x, 综上6或6=2 易得f(一x)=一f(x),故函数f(x)=x是单周递增 (3)由题意得，对任意的r∈[1,2h们，f(x)ma一f(x)m≤ 的奇函数.由f(a)十f(b)<0,即f(a)<一f(b)= 2h+3. f(一b),得a<一b,所以a十0，此时，若当a=0时， 因为6>2，所以6c[1,261,且1+20 <0,故ah=0:当a>0时.0<a<-b,故b<0,故ab 21 <0:当a<0时，由a<-b知，b<一a,故<0或b=0 所以f(x)mx=f(2b)=b,f（x)m=f(b)=一+b, 或>0，即alb>0或ab=0或ab<0.综上可知，a十b 则6-(-P+b)≤2h+3,即层-26-3≤0，解得-1≤ <0,且ab>0或ab=0或ab<0.故选PC 6≤3，又b2,所以2≤6≤3， 7.(2,十oo.提示：因为>x>0,所以一程>0， 即实数b的取值范围为[2,3， >0,又Hm、∈(0，十o),且≠，都有 10a易知y=+1)-1=中-1=-士为奇 f)一f2>0成立， 函数， 所以f()-xf()>0, 所以y=f(x)的图象关于点(1,1)中心对称. 所以g()-g()>0,即g()>g(n), (2)若对任意的x∈[2.3]，总存在∈[2,3]，使 所以g(x)在(0，十o∞)上单调递增。 f()=g(o)成立，只需当r∈[2,3]时，函数y 因为f(2)=4,所以g2)=2=2. f(xr)的值城为函数y=g(x)的值城的子集， 2 当x∈[2,3]时，易知函数f(x)单调递减，故函数 所以不等式口>2可化为g(x)>g(2,所以>2， 的值域为[是，2]，下面讨论g()=mx+1- 所以不等式2的解集为(2，十). 2m∈[是，2]的值 8.一15.提示：因为函数f(x)在[3,6]上是增函数，所 ①当m=0时g(x)=1,不符合题意，舍去： 以f(6)=8,f(3)=-1,又函数f(x)为奇函数，所以 ②当m>0时，g(x)的值域为[1，m十1]，只需m十 2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1= 1>2,解得m≥1： -15. ③当m<0时，g(x)的值域为[m十1,1]，不符合题 9.(1)因为函数f(x)=x2十a.x十b的单调递增区间是 意，舍去 [b,+o∞)， 综上，实数n的取值范围为{mm≥1}. 所以-号=6，即a=一2h,则f(x)=r-2br+6 【实验班选做题】 1.0.提示：令x=一2，则f(2)=f(-2)十2f(2), 又代)>}，即x-2+>0对xeR恒成立， 又f(-2)=f(2),所以f(2)=0,于是f(x+4)=f(x), 所以△=4坊-4(6-)≤0，即(2b-1)≤0， 所以f(,x)的周期T=4,f(2022)=f(2)=0. 2(-,52)提示：因为函数x)为R上的奇 故b=号a=-1 函数，所以不等式等价于f(f(x)<f(1一x.① (2)由(1)易知f(.x)=x-2bx十b图象的对称轴为直 由x≥0时，f(x)=x单调递增，函数f(x)在R上为 线x=ba 增函数，所以①式等价于f(x)<1一x 若<1，则f(x)在（一∞，b门上单调递诚，在(b,1门上单 调递增，所以f八x)=f(b)=一1， 当≥0时，有r<1-,解得0<r<5,当r<0 所以？一2+b=一1，即F-b-1=0,解得b 时，-x>0,f(.x)=-f(-x)=-(-x)=-x， 32 参考答秦与提示>7 故有一x<1一x,此式恒成立， =a+a1+a-a1=2a=4. 综上r6-1 2 [变式3-2习)=2eR 第三章指数运算与指数函数 a+-a=++异2中2+2 4 41“4“ 4 §1指数幂的拓展 §2指数幂的运算性质 2+2=1 4 【变式训练】 [变式1-1]C提示：A中，一√=一x(x≠0)，故A (2)设s=f(22)+f(2a）+f(2a)+…十 错误；B中，x寸= 宏放B错误：C中，（号）十- (2)· 则5=（号）+…+1(2a）+f(2品)+ (一y)(y<0),故D错误。 2a), [变式2（①）原式-[（受）门-（保厂'+六× 两式相加得 [(号)门-是-（保）'+×（号）=是-是+ 2s=[(20a)+(2]+[5(2a)+ 品×号-1 (号8)]++[r(2)+(2a] 2)原式=x一+（号）产+(-2少+2分×2叶=号 由(1)得了(202）+f(号)=1.f(2a)+ -+子+4+2=1 (38)-1,(28器)+(2a)=1. .2S=2020,S=1010. [变式3-]()心+a-1 a2+a-1 ar十a (d+ar)a十aa-1) 1+1=1 [变式+门a)因为y'所以 1 1 +a=±√a+=±√P++2 a=b a=b.@ 将①代人②，得=b兰， 所以a=b六，所以ar=B, (2)因为a是128的七次方根，所以a=7128=2=2 所以片=，所以a=(ab ①品。 1 (2)由a=(ab得a=(ab)于=a2·b. 2 2 (1+a)1-a1+wa+a 因为好+号-所以-1-号号-1一 所以a=a产·N方，即a子=6， 将1一产换城等，得a于=，所以a=b (1-va)(1+a1+a 两边同乘，得b=(ab). [变式+2] a(房)厂=aa=a= a3-a6 a @原式=a+a+l)(a-a元十aa十a子 a-4 0<<8,r∈N.而16，=-子r为整数。 _(a-a)(a+1+a)4(a-at)2 (a-a)(a'+1十a1）a-a r为4的倍数。 _(ata-I)(a-a)ra-a- a-al 当r=0时，163-4为整数：当r=4时，163r-1 4 33