3 函数的单调性和最值-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD色 §3 函数的单调性和最值 高考要求学业格谁·考情分析 一考点分布 一学科素养· 一学法导引· 1.借助函数的图象，会用符 号语言表达函数的单调 L.函数的单调性是函数的一个重要性质。 第 性，理解它的作用和实际 2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合 意义 函数的图象进行判断，对于一般函数需用单调性的 数学运算 定义加以证明. 数学抽象 金 2.借助函数的图象，会用符 3.单调性的应用表现在两个方面：(1)根据自变 号语言表达函数的最大 量的大小关系得到函数值的大小关系：(2)根据函数 第三章 值、最小值，理解它的作 值的大小关系得到自变量的大小关系， 用和实际意义 第四章 考点分类考点透析·典例制析 第五鱼 考点1 函数单调性的判断与证明 核心总结· 奇难点突破… 第六章 名称 定义 图形表示 几何意义 1.所有的函数都具有单 设函数y一f(x)的定义域是 调性吗？ 第七鱼 D如果对于任意的0,2∈ 并非所有的函数都具 D,当<x时，都有f() yx》 函数f(x) 有单调性.如函数∫(x)= 增 <f(),那么就称函数y 的图象在D 1,x为有理数， f(x)是增函数.特别地，当1 上从左到右 它的定义城 0,x为无理数， 是定义城D上的一个区间 是上升的 为R,但不具有单调性， 时，也称函数y=f(x)在区 2.函数单调性的定义中 间1上单调递增 有三个核心，例如在增函效定 设函数y=f(x)的定义域是 义中： D.如果对于任意的，∈ ①1<x:②f(x1)< D,当<x时，都有f() 函数f(x) f(z):③函数f(x)为增函数. 减 >(x),那么就称函数y= /x- 入y=f八x 的图象在D 若1，x2满足任意性，那 数 f(x)是减函数.特别地，当I 上从左到右 么以①②③中任意两个作为 是定义域D上的一个区间 是下降的 条件，能不能推出第三个？ 时，也称函数y=f(x)在区 这是可以的，所以有下面 间上单调递减 三个结论成立： 114 第二章》函数儿 ⊙考题1(2024，杭州二中单元测试)若函数∫(x)的定义域 x< →f(x) f(x,)<f(x) 为(0，十∞)，且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0，+o∞) 是增函数： 上( ). < →f()< A.是增函数 B.是减函数 f代x)为增函数 f八x): C.先增后减 D.单调性不能确定 f()f), 解析函数单调性的定义突出了，的任意性，仅凭区间内 f(x)为增函数 有限个函数值的关系，不能作为判断单调性的依据，故ABC错误. 对于减函数也有类似的 结论，显然x1,也要满足任 答累D 意性 ⊙变武11(2024，青岛一中期末考试)设函数f(x)的定义 办解疑释惑， 域为I,D二I,记△x=-x,△y=f(x)-f(x),则( 函数的单调性是函数在某个 区间上的性质 A.函数f(x)在区间D上单调递增的充要条件是H,x2∈ 1,这个区间可以是整个 D,西≠，都有Ay<0 定义战 △x 例如，y=x在整个定义城 B.函数f(x)在区间D上单调递减的充要条件是Hx,x2∈ (一c0,十o∞)上是增函数，y= 一x在整个定义域（一o©，十©） D,≠，都有公0 上是减函数 2.这个区间也可以是定 C.函数f(x)在区间D上不单调递增的充要条件是了，2∈ 义城的真子集 D≠，使得>0 例如，y=x在定义城 (一∞，十∞)上不具有单调 D.函数f(x)在区间D上不单调递减的充要条件是3x,x∈ 性，但在（一∞，0]上单调递 减，在[0，十©)上单调递增. D,1≠，使得会≥0 3.有的函数不具有单调性 例如，y=x十1，x∈Z,它 ⊙考题2(2024.南昌一中单元测试)求证：函数f(x) 的定义域不是区间，也不能说 x3十x在R上是增函数. 它在定义域上具有单调性 证明任取x,x2∈R,且<x2,则x2一x1>0, ②方法梳理… f(x2)-f(.x1)=(x2十x2)-(x十x1) 函数单调性的证明方法 =(x-x1)(x十x2x1十x)+(x2x1) 利用定义证明函数f(x) 在给定的区间D上的单调性 =(x2-x)(x+x2x1+x十1) 的一般步骤： =(-[+}++ (1)取值：任取x1,x:E D,且<x2: (m+号)+子+1>0->0， (2)作差：f（n)一f2). (3)变形：通过因式分解、 ∴.f(x2)-f(x)>0,即f(x2)>f(x1). 配方、通分、有理化等方法，向 .f(x)=x3十x在R上是增函数. 有利于判断差值的符号的方 115 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD② ⊙变式2(2024，安阳一中月考)已知函数f(x)= 向变形. x2+8' (4)定号：判断f(x) 判断并证明(x)在区间[一2,2]上的单调性. f(x2)的正负. (5)下结论：指出函数 f(x)在给定的区间D上的单 调性 规律总结 回考题☒讨论函数f(x)=x十“(a>0)的单调性，并作出 1.证明西效单调性时的注 意点 当a=1时函数的图象 (1)“任意取x1,2”中的 第 “任意”二字一定不能丢掉，更 解析显然f(x)的图象关于原点对称，所以先讨论函数∫(x) 不可用两个特殊值随意替换， 第 在(0，十∞)上的单调性， (2)xx有大小之分，通 任取x1,x2∈(0，十o),且x1>x2 常规定x<x. (3),属于同一个单 调区间. 第三章 则f)-f)-(+）-(+号 2.常见函数的单调性 画数 单调性 第 a>0时，在R上单调 一次函教 :当0<<a时>1，六此时1一40 递增： y-ux+b 1<0时，在R上单调 (a≠0) 第五鱼 ,x1-x>0, 适减 d>0时，函数在（一6∞， f(x)一f(x2)<0,故f(x)在(0Na]上是减函数 反比例函数0)和(0，十©)上单钢 第六章 当x1>x≥a时，0<4<1，则f(x1）-f(x)>0, 递减： T12 10时，函数在（一00， (a≠0) 0)和(0，十)上单调 故f(x)在[Va,十oo)上是增函数. 递增 第七章 ,f(x)的图象关于原点对称， >0时，函数在（一o, 二次函教 m门上单调递减，在[m ∴.f(x)在(-o∞，一√a],[a,十∞)上为增函数，在[-√a, 十)上单调递增： y=a(x一m） 0),(0,Wa上为减函数. 1<0时，函数在[m, 十n(u≠0) 十∞)上单调递减，在 当a=1时，函数图象如图. (一o,m]上单调递增 3,函数单调性判断的等 价变形 (1)f(x)是增函数台对定 义域上的任意<，都有 f儿a)fa),或f)-f 0一x >0,或[f(xn)-f(x)](x1- x2)>0. ⊙变式1因(2024，临川一中单元测试)讨论函数f()=ax士) x十2 (2)f(x)是减函数一对定 义城上的任意x1<r,都有 (a≠2)在(-2，十∞)上的单调性 fn)>f),或)) 一 0,或[f(x)-fx)](m x)<0 116 第二章)函数 考点2 函数的单调区间及其求解 ·核心总结 ②方法梳理 1.如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那 求函数单调区间的常用方法 么就称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.此时区间I为函 1.定义法 数y=f(x)的单调区间. 用定义法求函数的单调 [特别提示]函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数 区间，其步骤也是取值、作差、 的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的 变形，然后分析差式的符号何 子集 时为正，何时为负。 2.确定函数的单调区间 2.图象法 (1)区间端点的确认 (1)函数解析式中含有绝 对值时，可以采用分界点讨论 函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数 去绝对值的方法，将函数转化 在某点处的单调性没有意义.因此，书写函数的单调区间时，若 为分段函数，再画出函数的图 函数在区间端点处有意义，则既可写成闭区间，也可写成开区 象，通过函数的图象观察函数 间：若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间。 的单调性 (2)多个单调区间的写法 (2)应用数形结合的思想， 四 当单调递增（减）区间有多个时，区间之间一定不能写成 先画出函数的图象，再通过观察 并集。 图象，由图象的上升或下降趋势 确定函数的单调区间 ⊙考题4求下列函数的单调区间. 3.复合函数法 (1)f(x)=x+1+x-2l.(2)f(x)=-x2+2x+3. 利用常见函数的单调性 -2.x+1,x≤-1. 进行分析. 解配(1)因为f(x)=|x十1|十x-2|=3,-1<x≤2， 2x-1,x>2, 作出函数图象，如图1 查规野拓展” 由图象可知，函数的单调递减区间是（一∞，一1]，单调递增 判断复合函数y=f(g(.x) 区间是(2，十∞)，在区间（一1,2]上是常函数， 的单调性：若u=g(x)在区间 [a,b们上的单调性与y=f(u) 在[g(a),g(b)](或[g(b). g(a)门)上的单调性相同，则复 合函数y=f(g(.x)在[a,b]上 012 3-2-1o123 单调递增，否则单调递减，可 图1 图2 简记为“同增异减”，见下表： -z2+2x+3=一(x-1)2+4,x≥0， n=g(r） y=f() y-f(g(r)) (2)f(x)=-x2+2|x+3= -2-2x+3=-(x+1)2+4,x<0, 增 增 增 作出函数图象，如图2 画 减 增 减 由图象可知，函数f(x)=一x2十2|x|十3的单调递增区间是 减 增 (-o∞，-1]，[0,1]，单调递减区间是[-1,0]，[1，+∞). 117 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD么 ⊙变式21(2024，淮南一中单元测试)求解下列问题： ●规律总结… (1)作出函数f(x)=|x一3+x十3的图象，并指出函数 求单调区间时应注意的问题 f(x)的单调区间. 有些函数如果不能通过 (2)求函数f(x)=|一x”+4x+5的单调区间 作出图象的方法来观察其单 调区间，则可以用定义法来求 其单调区间.例如，求函数y= 十>0)的单满区间：任 取x1,数∈(0.十o),且< 第 。考面(2024，西安二中月考)函数fx)=千的单调递 x,则f(x)一f(x1)=(x4 减区间为 )一这里关镜就是 第 解析f(x)的定义域为（一∞，一1）U(一1，十o∞)， 要确定（一）的特号，我 任取x1,x2∈(-1，十c∞)，且x1<x2, 们可以看出，当x1,都大于 第三章 2(x2-x1) 则f)-fx)=a千十)>0，即f)>f, 1时，1-1 ity >0;当，都 故f(x)在（一1，十o)上单调递减. 大于0且小子1时.10 同理可证得f(x)在（一o∞，一1）上也单调递减. 从而可知(0,1)为减区间 第五鱼 综上)=的单调递减区同为（一o,一1.《-一1，十o (1,十∞)为增区间，但有些函 数不能直接观察出增减区间 答案(-0∞，一1)，(-1，十∞). 的分界点，该怎么办呢？我们 第六章 点评求解函数的单调区间，首先要求定义域，再依据给定函数 可以令1=x2=xa,根据 的特征选择适当的方法求解」 f()-f(x)=0来找到分 第七章 ⊙变式2☑(2024，西安莲湖区期中考试)函数)y一4十3-x 1 界点.例如，此题就可以令 西=x9=五，则由1-=0 的单调递增区间为( A[3+四 得x=士1，但x>0,所以舍 (1,] 去r=一1.故r=1就是分 c[是，和4，+o) 界点，我们把这种方法称为 D.(-,-1DU(-1,别 “相等分界法” 考点3 函数的最值及其求解 核心总结 套难点实艰 1.函数的最大（小）值的概念 L.怎样理解函数最值的 设函数y=f(T)的定义域是D,若存在实数M,对所有的 概念？ x∈D,都有f(x)≤M,且存在x∈D,使得f(x)=M,则称M (1)定义中M首先是一 为函数y=f(x)的最大值 个函敏值，它是值域中的一个 元素，如函数f(x)=一x 同样地，可以定义函数y=f(x)的最小值.函数的最大值 (x∈R)的最大值为0，且有 和最小值统称为最值， f(0)=0.注意对“存在”的 118 第二章)函数儿 2.函数的最值与函数的连续性相关 理解 (2)对于定义域内任意元 若f(x)为闭区间[a,b们上的连续（关于“连续"”这里暂理解 素x,都有f(x)≤M或f(.x)≥ 为不断开)函数，则f(x)在[a,b们上必能取得最大值和最小值. N成立，“任意”是说对每一个 若f)不在[a,b]上连续，则不然，如y=在x∈[-1,1上 值都必须满足不等式。 [拓展]对于函数y 既无最大值，也无最小值，因为y一在x=0处无意义，函数 f(x)的最值，可简记如下： 最大值：ymx或f(x)mx: 的图象是断开的。 最小值：y或f(x)m, ⊙考题6(2024，襄阳四中月考)已知函数f(.x)= 2x+1 x十1· 2.利用函数的单调性就 可以求出最值吗？ (1)用定义证明f(x)在区间[1，十∞)上是单调递增的. 一般情况下，利用函数的 (2)求该函数在区间[1,4]上的最大值和最小值. 单调性就可以求出西数的最 解而(1)任取x1,x2∈[1，十∞)，且x1<2, 值，但是对于定义域为闭区间 则f()-f()=2十-2+1=2十1)-1 的函效，还需要确定出函效在 x1+12+1 +1 端点处的函数值的大小，与前 2(x2十1)-1=-1_-1 C1—T2 面的值进行比较，值最大（小） x2+1 x1+12十1(x1+1)(x2+1) 者即为函数的最大（小）值 .1≤x1<x2,.x1+1>0,x2+1>0,x1一x2<0. .f(x1)-f(x2)0,即f(x)<f(x). ∴.f(x)在[1，十○)上是单调递增的. (2)由(1)知函数f(x)在[1,4]上是单调递增的， ②方法梳理… 当x=1时，x)有最小值，最小值为号，当x=4时， 1,应用函数的单调性，可 以求函数的值域，解决与值域 有最大值，最大值为 有关的问题，例如求函数的最大 值或最小值 ⊙变式31 函数fx)=在[4]上的最大值是 (1)运用函数的单调性求 最值是求函数最值的重要方 ）. 法，特别是当函数图象不易作出 A B号 C.2 D.4 时，单调性几乎成为首选方法. (2)函数的最值与单调性 ⊙考题7(2024，黄冈中学单元测试)记实数x1,2,·,x。 的关系： 中的最大数为max{xi,x2,…,xn},最小数为min{xx2,,xn. 若函数在闭区间[a,b们上 若函数f(x)=min{x十1，x一x十1，一x十6}，则函数f(x)的最 是减函数，则f(x)在[a,b]上的 大值为( 最大值为f(a),最小值为f(b): 若函数在闭区间[a,b]上 A.3 C.4 D.6-√5 是增函数，则f(x)在[a,b门上的 最大值为f(b),最小值为f(a). 解析在同一个平面直角坐标系中绘制函数y=x十1，y=x 2.利用函数图象求最值 一x十1，y=一x十6的图象如图， 是求函数最值的常用方法，需 119 考点同步解读>商中效学必修第一册BSD色 结合题中的定义可知函数f(x)的图象为图中的实线部分. 注意最值必须在函数值域内， y y=x-x+1 即图象的最高（低）点为实心 点.这种方法以函数最值的几 何意义为依据，对较为简单且 图象易作出的函数求最值较常 3 用.图象法求最值的一般步骤是： 作出西数困经 -4-3-2Z101234方67x x+6 在图象上我到函数的单 第 -2 调区间 -3 第三 确定高数的及大（小）值 第 2 由 y=x十1， 得 中函数)的最大值为子。 3.求分段函数的最值时， y=-x+6 需要注意的是分段函数的最大 2 第三章 (小)值是各段函数的最大（小） 落案B 值中的最大（小）者 ⊙变式32已知函数f(x)=2.x2-1,g(x)=ax,x∈R,用 第四章 M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记M(x)=max{f(x),g(x)}, 若M(x)的最小值为 第五鱼 则实数a的值为( ). A.0 B.±1 C.土2 D.±2 第六章 考点4 函数单调性的应用 一核心总结 有难点突破 第七鱼 应用函数的单调性应把握以下三点： 准确理解增、减函数的意义 1,坚持“定义域优先”的原则：在研究函数性质时，要优先 增西数、减西数的定义中 考虑函数的定义域， 蕴含了在定义区间内自变量 2.“局部”性：函数的单调性是函数在某个区间上的性质， 的不等关系与相应函数值不 它研究的是函数的局部性质 等关系的相互转化，这一点要 紧紧依赖函数的单调性， 3.“任意”性：单调性定义中的x1,x2必须是在这一局部 (区间)内任取的两个值 ②方法梳理 (2b-1)x+b-1,x>0, ⊙考题8若函数f(x) 在R上为 1.利用单调性比较大小 -x2+(2-b)x,x≤0 (1)利用单调性可以比较 增函数，则实数b的取值范围是 函数值的大小，即增函数中自 2b-1>0. 变量大的函数值也大，减函数 解析由题意得 220 解得1≤b≤2. 中自变量小的函数值反而大 (2)利用单调性比较函数 1b-1≥f(0), 值大小时应注意将自变量放在 答秦[1,2]. 同一单调区间内. 1120 第二章>函数/ x2+1,x≥1， 2.利用单调性解不等式 ⊙变式4若函数f(x)= 在R上是增函数， a.x-1,x<1 (1)利用单调性解不等式 则实数a的取值范围是 就是利用函数在某个区间内 的单调性，推出两个变量的大 回考题国已知函数f代x)=a匹(u≠0). 小关系，然后去解不等式 (1)若a>0,求f(x)的定义域. (2)利用单调性解不等式 时应注意函数的定义城，即首 (2)若函数在区间(0,1]上单调递减，求实数a的取值范围. 先考虑使给出的解析式有意 爵(1)由题意得a>0,1一az20,所以ax≤1.所以x≤， 义的自变量的取值范围， (3)利用单调性解不等式 故函数)的定义减为(-0，]a>0。 时，一定要注意变量的限制条 (2)当a>0时，t=1一ax在(0,1]上单调递减，y=√t在 件，以防出错。 3.根据函数的单调性求 [0,十∞)上单调递增， 参数的取位范围的方法 所以=匹在0,1门上单调递减，且fx)a (1)利用单调性的定义. 设单调区间内<x,由 ≥0，所以0<a≤1. 四 f)一f()0[或f()- 当a<0时，t=1一a.x在(0,1]上单调递增，y=1在[0，十o∞) f(x2)>0]恒成立，求参数的 上单调递增， 取值范围 所以函数y=√1一ax在(0,1]上单调递增， (2)利用具体西敛本身所 因为t=1一a.x>1,对任意的x∈(0,1]恒成立， 具有的特征.例如，二次函数的 单调区间被对称轴一分为二，根 所以a0时，f(x)在(0,1]上单调递减. 据对称轴相对于所给单调区间 综上，实数a的取值范围为（一o∞，0）U(0,1]. 的位置求参数的取值范国 D四（多选》函数）-在区间6，+0)上单 山规律总结 调递增，则下列说法正确的是( 1.利用函数的单调性可以 A.a>-2 B.b>-1 C.b≥-1 D.a<-2 比较函数值或自变量的大小 ⊙考题0已知f(x)是定义在区间[一1,1]上的增函数，且 2.相关结论 f(x一2)<f(1一x),则x的取值范围为 (1)正向结论：若y=f(x) 在给定区间上是增函数，则当 -1≤x-2≤1， 解析由题意得 解得1≤x≤2. ① xx2时，f(x1)f(x)；当 -1≤1-x≤1， x1>x2时，f()>f(x). 因为f(x)是定义在区间[一1,1]上的增函数，且f(x一2) (2)逆向结论：若y=f(x) -.所以一21-，解得K毫》 ② 在给定区间上是增函数，则当 f（)<f()时，<x:当 由①②得1<x<三所以x的取值范国为[1,2)】 f(x1)>f(x2)时，x1>2, 当y=f(a)在给定区间上 是减函数时，也有相应的结论 121 考点同步解读>高中效学必修第一册BSD色 考点5二次函数的单调性与最值 ·核心总结 女难点突破 a>0 a<0 二次函数最值的常见类型 4 求二次函数的最值有两 函数 种类型：一是函数的定义城为 y=ax+bx+ 实数集R,这时只要根据抛物 c(a≠0)的图象 线的开口方向，应用配方法即 第 可求出最值：二是函数的定义 域为某一区间，这时二次函数 开口方向 向上 向下 的最值由它的单调性确定，而 第 对称轴 -品 x=一2 它的单调性又由抛物线的开 口方向和对称轴的位置（是在 第三章 顶点坐标 （品如。 区间上，还是在区间的左侧，还 是在区间的右侧)决定，当开 亮 在区间（仁， ] 在区间（一，一名]上单 口方向或对称轴位置不确定 单调递减： 调递增 时，需要进行分类讨论 单调性 第五鱼 在区间[一会+）上在区间一会+)上单 b 单调递增 调递减 第六章 当x= 急时、函数取得 当x= 会时，函数取得最 最值 第七鱼 最小值如c一足 大值ac一公 4a ⊙考题1可(2024，武汉二中月考)已知二次函数f(x)= x2-2x十3. (1)当x∈[-2,0]时，求f(x)的最值 (2)当.x∈[-2,3]时，求f(.x)的最值 解析因为f(.x)=x2一2x十3=(x一1)2+2，其图象的对称 轴为直线x=1,开口向上. (1)当x∈[一2,0]时，f(x)在[一2,0]上是单调递减的， 故当x=-2时，f(x)有最大值f(-2)=11: 当x=0时，f(x)有最小值f(0)=3. (2)当x∈[一2,3]时，f(x)在[一2,1]上单调递减，在[1.3] 上单调递增， 故当x=1时，f(x)有最小值f(1)=2: 又因为-2-1>3-11， 122 /第二章>函： 所以f(x)在[一2,3]上的最大值为f(一2)=11. ●规律总结… ⊙变式51(2024，衡水中学单元测试)已知函数f(x)= 1.单调区间是一个整体 3.x2一12x十5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值 概念，比如说函数的单调递减 和最小值 区间是I,指的是函数递减的 (1)R (2)[0,3]. (3)[-1,1]. 最大范围为区间【而函数在 某一区间上具有单调性，则是 指此区间是相应单调区间的 子区间，所以我们在解决函数 的单调性问题时，一定要仔细 第 读题，明确条件的含义， 2.求二次函数f(x)= ⊙考题12(2024，准北一中月考)求函数f(x)=x2一2a.x a.x+bx+c(a>0)在区间[m, 1(a为常数)在[0,2]上的最值. n]上的最值一般分为以下几 第 解析f(x)=(x一a)2一1一a2,图象的对称轴为直线x=a. 种情况： (1)当a<0时，由图1可知，f(x)=f(0)=-1,f(x)mx= （1诺对希轴1=一品在 第 f(2)=3-4a. 区间[m,n]内，则最小值为 (2)当0≤a<1时，由图2可知，f(x)m=f(a)=一1一a, f(品)最大值为f(m) f(x）mx=f(2)=3-4a. f()中较大者（即区间端点 (3)当1≤a≤2时，由图3可知，f(x)mm=f(a)=一1-a2, f(x)mx=f(0)=-1. m,n中与x= 距离较远 2a 第 (4)当a>2时，由图4可知，f(x)mn=f(2)=3一4a,f(x)mx 的一个端点所对应的函数值) =f(0)=-1. (②)若对称轴x=一名 第 -1,a<0, 1d.0e<2.xm-1 (3-4a,a<1, ,则f(x)在区间[m,n]上是 综上，f(x)mn= 增函数，最大值为f(n),最小 3-4a,a>2, 值为f(m). 43 (3)若对林轴工=一品 n,则f(x)在区间[m,n]上是 92 减函数，最大值为f(m),最小 值为f(n. 阁1 图2 图3 图4 ⊙变式52(2024，西安铁一中学月考)已知函数f(x) x2一2.x+2,x∈[1，t十1]，t∈R,求函数f(x)的最小值， 123II 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD (3)由图象可得f(x)的值域为[0,1) ./1542. 解得#<# 10.(1)当0<1时,由2(1-r) <得x→2,2}< 3<16x-4<4. 1; 当1<x<2时,由x-1<x得xEB,故1<2 s3 函数的单调性和最值 综上可知,不等式的解集为{x<<2. 【变式训练】 [变式1-1] D 提示:函数f(x)在区间D上单调递增 (2)由题可知,f(0)-2.f(1)-0,f(2)-1. 的充要条件是Vx.xc:D.x≠x,都有y0.证明过 当x=0时,f(0)=f(f/(0)))-ff(2))-f(1)-0. △r 同理,当x=1时,f(1)-1;当x-2时,f(2)=2. 程如下. 故对任意xEA,恒有f(x)=x. 证明充分性: (3)不正确.理由如下:例如,x-[0.2],/()- Vr.D,不妨设x r,则A二 0 又y_/()-/(rs)0.所以(n)-f(n)<0. ((())-f((1))-/(o)-2,即/(rn)= r一r: 即fn)<fx),所以函数/(x)在区间D上单调递增 ,不成立. 证明必要性: 故“对任意xE[0,2],总有f.(x)=x”不正确 Vx.ED.x&x.不妨设x x.因为函数/(x)在 【实验班选做题】 区间D上单调递增,所以f(x)</(x). 提示:因为函数f(x)=ar+br十c(a<b)的 则△y-f(x)-f(x)o,又△r=x-x 0. 定义域为R. r一: 所以ax*+hr+c0,xER恒成立, 所以函数f(c)在区间D上单调递增的充要条件是 4' +2 令M-a+2h+4c二 -{+2ab+r}二 函数f(x)在区间D上单调递减的充要条件是Vxt. -a a(-a) b- xEDx≠x,都有△y<o.证明过程如下. 二1 证明充分性: V,ED,,不妨设x r,则△r=x-0 又f(n)-f(rs)<o,所以/(n)-/(c)>o, △r r-r 即/(x)>/(x),所以函数/(x)在区间D上单调递减 证明必要性: 所以的战大是 Vx.Dx子x,不妨设x<r 因为函数f(x)在区间D上单调递减, 2.(1)4. (2)7). 所以f(x)f(xo). 提示:(1)当x-时,4x-7. 则△y=f(x)-f(x)0.又△r=r-r<0. (-[]-1(--[]-3 x1-r 所以函数f(x)在区间D上单调递减的充要条件是 .(-f(s(-/(3)-[3]-3. .f()+f(1)-4 [变式1-2] /(x)在区间[-2.2]上单调递增,理由如下; 任取x,x:[-2,2],且xr. (2)由题意知f(x)=[4x]-1,则g(x)-4x-1; $(x)-f(r)--1-1 'f(x)-f(4r-1-[16x-4]-3 x+8+8 24 I参考答案与提示> (xr-1D(+8)-(x-1)(r+8) (2).函数/(x)-|-+4x+50. (2+8)(&十8) '.该函数的图象除在文轴上的两点外,其余点都在x轴 (n-)(x+x+8-nx) (r十8)(r十8) 的上方. 因为-2<r x<2,所以x-<0.-4<xr+<$$ 画出函数fx)-一+4x+5|的图象,如图2.由图象 4.-4r<4,则x+x+8-xx>0. 可知,函数f(x)=|-x*+4x+5|的单调递增区间为 所以f(x)-f(x)<0,即fx)f(x). (一1.2和(5,+),单调递减区间为(一,一1]和(2,5 所以函数((x)在区间[一2,2上单调递增 [变式2-2] C 提示:由4+3x-x字0,得x-1且 [变式1-3]任取x,x。(-2,+-). 且xr,则x-x>0. _44. 设(--*+3-+4,则1--(n-3)*+25. x十2 -(x)-f(n)-(a+2)-(a+12) 故1e(-co.0)U(o,25]. (1-20() 由二次函数的性质可知,z的单调递增区间为(一,-1). r一r =(1-2a)·(1:+2)(+2) (-1.3].单调递减区间为[3,4)(4.+oo). -2 又2<<r.·.()(+2)<0. 又y-士在76(-00)和(0,25]上单调递减, ·当1-2a>o.即a<时,/(x:)-/(x)<0.即 调递增区间为[,4)和(4,+o0). f(r:)f(x:); 当1-2<0.即时,/(ns)-/(n)>0.即(x)> [变式3-1]C提示:当1<r4时,/(x)--1-1 r /(x). ##1---)+#. .当<时:#(x)#-十(a-)在(-2,+)上 由1<<4.得<1<1,所以当士-时,f(2)取得 为减函数; 当a>时:(x)-)(a≠)在(-2,+o)上为 最大值,为; 增函数。 #寸 时 ()-1-(-)## [变式2-1] (1)原函数可化为f(x)=x-31+x+3]= 由<<1,得1~<2. (-2r<-3. 6.-3<3. 所以当士-2时,/(x)取得最大值,为/()= 2r.x>3. 图象如图1,可得/(x)的单调递减区间为(-o,-3]. (2-)#-12 单调递增区间为(3,十o),而f(x)在(-3,3]上为常 综上,/(c)在[1,4]上的最大值为2.故选C. 函数. 一## [变式3-2] B 提示:当a>0时,作函数f(r)-2*1. g(x)-ar,xER的图象,如图所示. &y y=/Go 图1 图2 #s I 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD乡 因为M(x)=maxt/(x),g(x)),所以函数M(x)的图象 当1+1<1,即7<0时,函数图象如图1,函数/(x)在区 如图所示. 间[,7+1]上为减函数,所以最小值为f(t+1)=^+1; 当/1 (+1.即0 1时,函数图象如图2,最小值为 -M(x) f(1-1; 当>1时,函数图象如图3:函数((x)在区间/./+1 上为增函数,所以最小值为/(1)-r^*-2t十2 {f十1.<0. 令2r*-1--,得x--(正值舍去),故A(-1. 综上所述,f(r)m-1.011. -2+2.>1. -),代人g(x)-ax,得-1--a,故a=1. [变式6-1](1)令a-b-0,则/(0)]-/f(0). 当a<0时,同理可得a=-1. 又f(0)子0,所以f(0)-1. 当a=0时,易知M(x)的最小值为0,不合题意,舍去 证明:当x>0时,一x0,所以f(一x)>1. [变式4-1](0,3]. 提示:因为f(x)在B上是增函 又f(x)f(-x)-f(x-x)-f(0)-1, 数,所以/(x)在(一oo,1)上也是增函数,故a>0.设y 所以/(r)- -,即0</(x)<1. 1. ar-1,x(-x,1),因为a>0,故ya-1.又因为y (2)/(r)在B上单调递减. r*+1(x1)是增函数,且y=1十1-2.故只需a- 证明;设x<x,则f(x)-f(x)-f(x一x:+r) 12即可,求得a3,所以0a<3. f(x)-f(x-x)f(a)-f(x)-f(x)[f(x-x) [变式4-2] AC 提示:/(x)-2x-a2(x+1)-2-a x十1 x十1 -1. 又x<x,所以x一x<0,所以f(x一x)1. 又当x0时,fx)1,当x>0时,0 f(x)<1.f(0 以a十2>0,所以a-2 -1, 由f(x)在区间(-1.+oo)上单调递增,得6-1. 所以f(x.)-f(x)0,即f(x)>f(x). [变式5-1]f(x)-3*-12x+5-3(-2)?-7,作出$ 所以f(ro)在R上单调递减 函数y一f(r)的图象,如图. (3)因为/(2)-,所以/(8)-/(2)·/(6)-/(2)· (1)当rER时,/(r)-3(r-2)*-7> 一7,当x-2时,等号成立. f(2)·f(4)-[(2)]-1 故当xER时,函数/(x)的最小值为 所以(5^-60)1,即/(5^一60)>f(8). 一7.无最大值 (2)由图可知,在[0,3]上,函数/(x)在 又f(x)在R上单调递减,所以5*-6~8. x-0处取得最大值,最大值为5;在x 2处取得最小值,最小值为一7. (-4,2). (3)由图可知,函数f(x)在[一1,1]上是减函数,在x 一1处取得最大值,最大值为20;在x一1处取得最小 [变式6-2] D 提示:令x+2-i(1E[0,2]),则x 值,最小值为一4. -2. [变式5-2]f(x)=-2x+2=(-1)+1,x[. 故2vr+2--2-f+2,即f(x)可化为y=-*十 【十1],1B,对称轴为x-1 ### 2+2(1[0.2]),则yE[2.3]. 又对于任意的x[一2.2],f(x)m恒成立. 所以n一3.即实数n的最小值是3 011 【基础通关测评】 图2 图1 图3 1.D 提示:根据函数单调性的定义知,所取的两个自变 量必须是同一单调区间内的值,才能由该区间上函数 26 I参考答案与提示> 的单调性来比较函数值的大小,而本题中的x,无:不在 3.B 提示:因为函数/(x)=一*十2x十1的定义域为 同一单调区间内,故f(x)与f(x)的大小不能确定 (一2,3),对称轴为直线x-1,开口向下, 2.ACD提示:因为“对任意x.x。(0,十),都有 所以函数fx)满足-2<x <3,所以一3<3. f(x)-f()o”,所以不妨设0<x<x,都有 又f|xl)=-x+2|xl+1(-3<r3)是偶函数, 对一1 所以由二次函数的图象与性质可知,函数/(x)的单 f(x)<f(x),所以f(x)为(0,十o)上的增函数,对 调递增区间是(-3,-1)和(0,1). 4.A 提示:因为((x)一(m-1).x十b在R上是增函数, 于B./(x)一-3x十1在(0.+2)上为减函数,B错 所以n-1>0,所以m>1,所以f(m)>f(1). 误;对于C.f(x)一x十4x十3图象的对称轴为直线 5.ACD提示:因为aE(0.+o),所以a<2a.又f(x) x=-2.开口向上,所以在(0,十o)上为增函数,C正 为区间(一o,十o)上的减函数,所以f(a)f(2a). 确;对于D./(x)--一,因为y=r在(0,+co)上 故A正确;因为a*-a-a(a-1)与0的大小关系不 定,所以无法比较f(a)与f(a)的大小,故B错误;因 为a*+1-a-(a-)+3→o,所以a+1>a,又 /(x)=x-1在(0,十oo)上为增函数,D正确. f(x)为区间(一o,十oo)上的减函数,所以f(a+1) f(a),故C正确;因为a+a-a-a{>0,所以a*+a 3.B 提示:由题意知函数图象的对称轴方程为工=一2. a.又f(x)为区间(一,十)上的减函数,所以 .--2.m=-8. f(a十a)<f(a),故D正确. '/1)-2×1+8×1+3-13. 6.BC 提示:当f(x)=r*}时,不妨设/(x)=f(r) 4.A 提示:对任意nR(n),有f()/(n) 4.此时可取x-2,r=-2,则x子r,故A不正确; p-1 0.则x一x 与f(x)一f(x)异号,则f(x)在R上是 减函数.又3>2>1,则f(3)f(2)f(1). B正确;由f(x)一f(x)时总有x=xr可知,当x去 5.(-oo.2].提示:当x>0时,f(x)m=f1)-2;当 时,f(x)f(x。),故C正确;函数f(x)在某区间 x0时,f(x)=f(0)=a.因为f(0)是f(x)的最 上具有单调性时,在整个定义域上不一定具有单调 小值,所以a2. 性,因而/(x)不一定是单调函数,故D不正确。 6.(-o0.2]U[3,+oo). 提示:因为函数f(x)在区间 7.3. r十1 (,1)上是单调的,且其图象的对称轴为直线x= n2. 当n>2时,函数f(x)在[0.1]上单调递减,则 【高考通关测评】 1.C 提示;二次函数f(x)=ar*+2x-1在区间(-oo.1) 当 2时,函数/(x)在[0,1上单调递增,则 a0. f(s)_一(1)=22-3.解得 m=4(会去). 上单调递增- #### 解得-1a<0. 综上,m-3. 8.(-0o.0)U(2,3]. 提示:因为函数f(c)-3-m n-2 区间(一o,1)上单调递增的一个充分不必要条件 在区间(0.1上是减函数 2.C 提示:y--3]-|x+1 [m-2>0. [n-2<0. 所以n0. (-43. 或n<0. 3-m×1>0 -2r+2,-1<x3. 3-m×00. (4-1. 解得2n3或n0. 所以一4y4. 故实数n的取值范围是(-oo,0)U(2.3] 27 I 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD乡 9.(1)选择条件①.因为f(x)=ar*十bx十c(a子0),所以 故/(x)在(0.十xo)上是增函数 (4).f(2)-1. f[+1)-f(x)=a(r+1)+b(+1)+c-(ar+b '.2-f(2)+f(2)-f(4). + )-2ar+a+b-2--2. fr+2)-f(2r)>2→f(r+2)>f(2r)+f(4)→ 即2(a-1)x+a+b+2-0对任意的xER恒成立 f(r+2)f(8x). -1-0. -1, 又.f(x)是定义在(0.十co)上的增函数, 所以 解得 1--3. a++2-0.” (r28x. 选择条件②.因为不等式f(r)<0的解集为(x 1 .{20. 21. 8x>0. 1+2- 解得0 所以{1x2-, (--3a. 解得 且a0. 故不等式/(x+2)-/(2x)>2的解集为{0< l-2a a0. #2}1.# 选择条件③.因为函数v一f(x)的图象过点(3,2). (5).f(n)+f(n) 所以9a+3+c-2. #(m),(”) 若选择条件①和②,则a=1.=-3,c-2,此时f() 1[#(“”)}(“”)]-(“”). --3x十2. 若选择条件①和③,则a-1,b--3.c-2,此时/(x) 又(“m”)-m一(”){→o0. --3x+2. ..(__”) m(当且仅当一”时取等号). 若选择条件②和③,则a=1,b=-3,c-2,此时f(x) --3x+2. .f(x)在(0,十o)上是增函数, (2)由(1)知g(x)=r-(n+3)x十2.其图象的对称 .f((m”))>f(mn). 轴为直线n+3. .f(m)(n)(n). 当+3<1.即n<-1时,g(x)mn=(1)-3-(m+ 2 【实验班选做题】 3)--m-3.解得m--3. 1.--4或-2或3-. 当32,即m>1时,g(x).-g(2)6-(2m+6) 提示:f(x)-(|xl一2). 2 ((2)(r+1)x-1. --2n-3,解得n-- -3(舍去). 1一 -(r+2)(x+D.-1r0. 当1、m3<2.即-1<m<1时,g(x)n=8(“3)= (x-2)(x+1)0. 作出函数f(x)的图象,如图所示 (n+3)*2-3.无解. 综上所述,实数n的值为一3. 10.(1)令n=n=1.由条件得/(1)-/(1)十/(1 /(1)-0. (2)f(m)-/(”.n)=f(-)+/(n), 即/(”)-/(m)一f(n). (3)任取x.:(0,+oo)且x<x,则>1. 由图可知,当--时,/(c)取最小值,最小值为一 由(2)得/(r)-/(n)=/()>o.即/(x)>(x). ①当a<一 3时,/(z)在[a,b]上单调递减, 28 I参考答案与提示> /(a)-b. $4 (a+2)(a+1)=b. ”即 函数的奇偶性与简单的寡函数 所以 lf(b)-a,” (+2)(+1)- 【变式训练】 两式相减可得(a-b)(a十b十4)-0. [变式1-1] ①③. 提示:①正确;②错误,仅两个特殊 因为a<b,所以a+b+4-0,所以a+b=-4. 值的函数值相等不足以确定函数的奇偶性;③正确; ②当a<-<b<-1时,函数f(x)在[a,b]上的最 ④错误,例如,f(x)一0满足条件,该函数既是奇函数又 小值为(-)--. 是偶函数. [变式1-2](1)·(x)的定义域为(2),不关于原点对称 因为f(x)的值域为[a,6],所以a--1,与a<-3 .函数/(1)既不是奇函数也不是偶函数 矛盾,故舍去. (2)f(x)的定义域为[-1.0)U(0,1],关于原点对称, ③当一{a<-1时,函数f(x)在[a,b]上单调 ##(c)#-1- 递增, -2 ((a+2)(a+1)-a. 2 所以 /()-” (b+2)(+1)-b. /(x)是奇函数. 可得a,b为方程x{}+2x+2-0的两根,所以a+b (3).函数f(x)的定义域为(xx0,xR),关于原点 一2.与a一1矛盾,故舍去 对称, ④当-2<a -1<2时,fx)在[a,b]上的最大值 #/(-)#-(-)(+寸) 为0,所以-0. ##(-)# 所以f(r)=f(0)--2,所以a--2,所以a+b--2 当一1<a<b<0时,/(x)在[a,b]上单调递减, -#(1#) (-(a+2)(a+1)-b. 所以 f(b)-a.” -(+2)(+1)- ###(#)-(x) 两式相减得(a-b)(a+b+2)-0 ..f(x)为偶函数. 因为a<b,所以a+b+2-0,所以a+b--2.与 一1<a<b<0矛盾,故舍去 [变式1-3](1)函数f(x)的定义域是(一o,0)U(0. 十),关于原点对称 当0<a<b<吾时,f(x)在[a,]上单调递减, 当x0时,-x<0,则f(-x)-(-x)+3(-r) [f(a)-b,{(a-2)(a+1)-b. ”即 =- +3 -1--(r-3+1)--f();当x <$ 所以{ fb)-a.” l(-2)(十1)-. 时,->0,则/f-x)-(-x)-3(-x)+1=- 两式相减得(a十b)(a-b)-0,此式显然不成立. 3r+1--(r+3r-1)=-f(). 当a<<时,/(cx)在[a,b]上的最小值为-}. 综上,对任意x(一o,0)U(0,十oo),都有f(-x) 所以a--#(a)#/(-)-<<6# 一f(). 所以/(c)为奇函数. 所以fx)=f(b)-b (2)函数f(x)的定义域为(一oo.0)(0.十o).关于原 所以(-2)(b+1)-b,即r-2-2-0,解得b-3+ $ 点对称. 当x→o时,-r<0./(-x)--(-)*-1- ⑧当<a<b时,f(x)在[a,b]上单调递增, -(*+1)--/(x); f(a)-a. ((a-2)(a+1)-a. '即 所以 当<0时,-x>o /(-)-(-)”+1-+ /(b)-b.” -2)(+1)-b. 两式相减得(a十b)(a一b)一0,此式显然不成立. 1--(-1-1)--/(x). 综上,对任意x(-,0)U(0,十o),都有f(-r) 29