2 函数-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第二章)函数 §2函数 高考要求】学业标准·梦情分析 一考点分布 一学科素养· 一学法导引· 1,用集合语言和对应关系 1,函数的概念是在初中函数知识的基础上出 刻画函数，建立完整的函 现的全新的现代定义方式，相对来说比较抽象，学 数概念，体会集合语言和 习时要注意对概念的理解、对函数的三要素的把 对应关系在刻画函数概 握，重点理解定义中的“任意性、存在性、唯一性”， 念中的作用，了解构成函 还要通过适量的练习加以巩固，为后续的学习打牢 数的要素，能求简单函数 基础.此部分题目多变而灵活，要学会举一反三，领 的定义域。 数学运算 悟核心要素 直观想象 2.画函数的图象一般采用列表、描点、连线的方 2.在实际情境中，会根据不 法，主要解决两个问题：位置和形状，函数图象位置 同的需要选择恰当的方 的确定以它的定义域为主要依据：函数图象形状的 法（如图象法、列表法、解 刻画是依据对应关系而定的，要注意分段函数图象 析法)表示函数，理解函 的画法：同时，函数的图象也可以是一些点、一些线 数图象的作用 段或一段曲线等。 考点分类考点透析·典例剂祈 考点1 函数的概念 ·核心总结 位难点突破… 1.给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在 1.函数的定义中，定义域 个对应关系「，使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都 是非空数集A,值域是非空数 有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系「称为定义在 集B,正确吗？ 集合A上的一个函数，记作y=f(x),x∈A.其中集合A称为函 理解函数的概念时要注 数的定义域，x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值，集 意，函效的定义域是非空数集 合{f(x)x∈A)称为函数的值域 A,但函数的值域不一定是非 2.函数的本质含义：定义域内任意一个x值，必须有且仅有 空数集B,而是集合B的子集 唯一的y值与之对应 2.如何理解函数的三 (1)特殊性：定义中的集合A,B必须是两个非空的数集 要素？ (1)在函数的三要素中， (2)任意性：A中任意一个数都要考虑到， 定义战和对应关系确定后，值 (3)唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应 城就随之确定了， (4)方向性：A→B. (2)定义域必须是非空数 99 考点同步解读>高中效学必修第一册SD 3.f(a)表示当x=a时函数f(x)的值，是一个常量；f(x)》 集：考虑问题要全面，要找出所 有制约自变量取值的条件.一 是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，而f(a)是 般地，如果没有给出定义域，那 f(x)在x=a时的一个特殊值，如一次函数f(x)=2x+5,当 么通常认为定义域为R x=2时，f(2)=2×2+5=9,是一个常量 3.如何理解对应关系中 4.当一个函数的对应关系和定义域确定后，其值域就随之 “∫”的含义？ 确定，所以两个函数当且仅当定义域和对应关系相同时，才为 对应关系∫是函数的本 同一个函数.换言之，(1)定义域不同，两函数不同：(2)值域不 质特征，好比是计算机中的某 第 同，两函数不同：(3)对应关系不同，两函数不同.即使定义域和 个“程序”，当f()的括号内 值域分别相同的两个函数，也不一定是同一个函数.如y=8, 输入一个值时，在此“程序”作 用下便可输出某个数据，即函 与y=x,它们的定义域和值域都是实数集R,但不是同一个 数值.如f(x)=3r+5,f表 函数 示“自变量的3倍加上5”.需 第三章 要注意的是：这里的“x”既可 ⊙考题下列对应关系是集合A到集合B的函数的个数 以是一个数，也可以是一个代 为( 数式，还可以是某个函数符 ①A=R,B={xx>0},f:x→y=|x: 号，如fz)=3r+5,则f2x-1) ②A=Z,B=Z,f:x→y=x; =3(2x-1)+5,f(g(x) 第五鱼 3g(x)+5等. ③A=Z,B=Z,fx+y=√x: 山规律总结… ④A=[-1,1],B={0},f:x→y=0: 第六章 1.A,B都是非空数集，因 ⑤A={1,2,3},B={4,5,6},对应关系如图所示. 此定义域或值拔为空集的函 A.1 B.2 C.3 D.4 第 解析 数不存在，如y= x就不 √1-x 序号 正误 原因 是函数 2.集合A就是定义域，因 ⑦0 集合A中的元素0在集合B中没有对应的元素，故 ①不是集合A到集合B的函数 为给定A中每一个x的值都 对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系「： 有唯一确定的y值与之对应 ② 工→y=x,在集合B中都有唯一一个确定的整数x 3.“f(x)”是一个整体，不 与其对应，故②是集合A到集合B的函数 可分开，也不能理解成“∫·x”, 集合A中的元素是负效时，没有算术平方根，即在集 4.函数的概念中强调“三 3 × 合B中没有对应的元素，故③不是集合A到集合B 性”：任意性、存在性、唯一性 的函数 这是因为函数定义中有明确 对于集合A中任意一个实数，按照对应关系广：工→ 要求：对于非空数集A中的任 ④ y=0,在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应， 故④是集合A到集合B的函数 意一个（任意性）效在非空 集合A中的元素3在集合B中没有对应的元素，且 数集B中都有（存在性）唯一 ⑤ 集合A中的元素2在集合B中有两个元素5和6与 确定（唯一性）的数y和它对 之对应，故⑤不是集合A到集合B的函数 应，这“三性”只要有一个不满 足，便不能构成函数 答率B 100 /第二章>函： ⊙变式1①(2024，东北三校联考)下列从集合A到集合B ⊙方法梳理， 的对应关系中，不能确定y是x的函数的是(). 两个函数相同的判定方法 ①A=xxZ,B=(yZ,对应关系fxy- 1,对应关系相同、定义城 不同的函数是两个不同的函 ②A={xx>0,x∈R},B={yly∈R),对应关系f:x→y2=3x: 数，如y=x(x∈R)与y=x ③A={xx∈R,B={yly∈R},对应关系f:x→x2+y=25; (x∈R且x>0),它们的图象 ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x: 分别为图1、图2，显然为两个 ⑤A={(x,y)x∈R,y∈R},B=R,对应关系：(x,y)→s= 不同的函数 x+y: =x(R》 ⑥A={x-1≤x≤1，x∈R,B={0},对应关系f:x→y=0. A.①⑤⑥ B.②④⑤ C.②③④ D.①②③⑤ 图1 ⊙考题2(2024，临川一中单元测试)下列各组函数表示同 y=x(.xeR且x>0) 一个函数的是( A.f(x)=|x,g(x)=(x)2B.f(x)=x2+1,g(t)=+1 第 四 Cfx)=(x-1)°，g(x）= 留2 D.f(x)=x,g(x)=x 2.定义域相同、值域不同 第 解析 的两个函数也是不同的函数， 选项正误 原因 如y=x(x∈R)与y=V√ (xER),它们的图象分别为 由于f(x)=x的定义城为R,g(x)=(WT)”的定义城为 图3，图4，显然也为两个不同 A × [0,十©)，故它们的定义域不相同，所以它们不是同一个 的函数 函数 B 函数的定义拔和对应关系都相同，所以它们是同一个函数 由于八)=(x一1)°的定义城为{xx≠1，g(x)=兰的 图3 a × 定义城为{xx≠0，故它们的定义域不相同，所以它们不是 同一个函数 两个函数的定义域相同，但对应关系不同，所以它们不是 D 图4 同一个函数 3.定义城和值城都分别 答率B 相同，而对应关系不同的西数 ⊙变式12(2024，杭州第十四中学单元测试)（多选）下列 是两个不同的函数 函数中，与函数y=x十1是同一个函数的是( A.y=1+t B.y=(V) D.y=x2+1 101 考点同步解读>商中效学必修第一册BSD色 考点2 函数的定义域 ·核心总结· 女难点突破… 函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的 求函数定义域的一般原则 重要组成部分，如果没有标明定义域，那么定义域就是使函数 1.若f(x)为整式，则其 解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围.列不等 定义域为实数集R 式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要找出所有制约 2.若f(x)为分式，则其定 义域是使分母不等于0的实数 自变量取值的条件 的集合 第 ⊙考题3函数y=2x2-3x- v-x 的定义域为 3.若f(x)为偶次根式， 则其定义域是使根号内的式 第 x≥0， x≤0， 子大于或等于0的实数的 解析由题意知 2x2-3x-2≠0x≠2且x≠-2 集合 4.若f八x)是由几部分数 第三章 0且≠- 学式子构成的，则函数的定义 城是使各部分数学式子都有 ÷函教的定义城为(-©，-号)U(-号0] 意义的实数的集合，即使各部 分数学式子有意义的集合的 图(-∞，-2u(-3,0] 交集. 第五鱼 点闻求给出解析式的函数的定义域城，关键是找出使函数式 5.f(x)=x°的定义城是 (x∈Rx≠0. 有意义的条件 第六章 ⊙变式21(2024，正定中学月考)求下列函数的定义域： ②方法梳理， (1)f(.x)=2x+3. 1.由解析式求定义城的 第七鱼 方法 (2)f(x)=√x-1·√4-x+2. (1)求函数的定义域往往 (3)f(.x)= 1-x2 需要将问题转化成解不等式 1+x 或不等式组的问题，并将结果 (4)fx)= 5-x 正确合并，定义域的表达形式 x-3 可以是集合形式，能用区间表 (5)f(x)= 1 +v2x-3. 示时也可以用区间表示，同 √x-I 时，求定义域的基本原则是不 化简解析式.例如，求函数y= 二的定义域时，不能将其化简 成y=x之后再求解，否则所 求的定义域的范围将扩大， (2)函数的定义域要用集 ⊙考题4(2024，衡水中学限时作业)求解下列问题： 合或区间形式表示，若用区间 (1)已知函数f(x2一1)的定义域为[0,1]，求f(x)的定义域. 表示数集，不能用“或”连接 (2)已知函数f(2.x+1)的定义域为(0,1)，求f(2.x一1)的定 而应该用并集符号“U”连接， 义域 这一点初学者易忽视 102 第二章函数 (3)已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3)，求f(+2)的定 2.求复合西数定义城的 方法 义域。 (1)已知f(x)的定义域， 解析(1)：f(x2-1)的定义域为[0,1门，即x∈[0,1]， 求f(g(x)的定义战，其实质 是由(x)的取值范围求出x .0≤x2≤1. 的取值范围。 .-1≤x2-1≤0..f(x)的定义域为[-1,0]. (2)已知f(g(x)的定义 (2),f(2.x+1)的定义域为(0,1)，即0<x<1, 域，求(x)的定义城，其实质 .1<2.x十13 是由x的取位范国求出g(x) 令1-2.x+十1，则f(t)的定义城为(1,3)， 的取值范围。 (3)已知f(p(x)的定义 .1<2.x-1<3,即1<x<2. 城，求f(h(x)的定义城，先由 ∴.f(2.x-1)的定义域为(1,2). x的取值范围求出g(x)的取 (3)由f(x+1)的定义域为[一2,3)得x∈[-2,3)， 值范围，即f(x)中的x的取值 .x+1∈[-1,4) 范围，再根据h(x)的取值范围 求出x的取值范国，如考题4 f(x)的定义域为[一1,4) (2)(3). 第 由-1≤+2<4得-3<<0或0<<2， 四 (4)若f(x)的定义城为 D,则f(g(x)的定义城是使 -或> g(x)∈D有意义的x的集 合.若f(g(x)的定义城为 “函教f是+2到的定义城为(-©，-号]U(2,+∞】 D,则g(x)在D上的取值集 合即为f(x)的定义域 点评求复合函数的定义域，关键是明确定义域的含义，熟悉 3.函数定义域逆向问题 三种常见的模式。 的求解方法 第 ⊙变式22(2024，双流一中模块测试)已知函数f(x)的定 已知函数的定义域，逆向 义域为[0,1]，则f(x2+1)的定义域为 求解函数中参数的取值，需运 用分类讨论以及转化与化归 ⊙考题5已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求g(x)=f(z 的思想方法.这种思想方法是 +m)+fx一m)(0<m<2)的定义域. 通过某种转化过程，将一个难 以解决的问题转化为一个已 解机由f(x)的定义域为[0,1]可知对应关系∫作用的范围 经解决或者比较容易解决的 为[0,1]，而f(x十m)十f(x一m)的定义域是指当x在什么范围 问题，从而获解 内取值时，才能使x十m,x一m都在[0,1]这个区间内，从而使 f(x十m)十f(x一m)有意义. 0x+m≤1， 由题意得 :厂m≤≤1-m 0≤x-m≤1， m≤x≤1十m. :0<m2 ，∴.一r<1一1十m.∴≤x1-m. 误区防错… L.易错，点 .函数g(x)的定义域为[m,1一m]. (1)对概念理解模糊，不 103 考点同步解读〉高中效学必修第一册SD ⊙变式23(2024，武汉二中单元测试)已知函数f(.x)的定 能深刻理解函数的概念，造成 义城为[-，多]，求r)=far)+f任)a>0)的定义域 解题失误。 (2)对函数定义域、值城 本质理解不清，特别是对 f(g(x)型复合西数的定义 域求法思路不清。 (3)最后求出的定义拔一 ⊙考题6(2024，长沙一中单元测试)已知函数y= 定要用集合或区间的形式表 第 2x千3十的定义域为R,则实数k的值为 k.x十1 示出来，“定义域是x≠一1” 是错误的书写形式， kx+1 解团函数y一子x十3h十的定义找，即为使，r十3x十 (4)求函数的定义城时， 不能对解析式进行不等价变形. 1≠0的实数x的集合 比如容易出现这样的错误：y= 第三章 由函数的定义域为R得方程k2x2十3kx十1=0无解. +1 出马故使函敛式有 k.x十1 当k=0时，函数y干3h十1，函数定义城为R,因 意义的x应满足x一1≠0，即 此k=0符合题意； x≠1，故函数的定义域为{x 当k≠0时，k2x2+3kx+1=0无解，即△=9k2一4k2=5k2< x≠1. 第五鱼 0,不等式无解。 2.防错良方 综上，实数k的值为0 无论∫是作用于x还是 第六章 答案率0. g(x),定义域都是指x的取值 范围，只要把提住这一点，就 点有关定义域逆向问题的求解核心是进行等价转化. 不会出错 第七章 ⊙变式24(2024，启东一中单元测试)已知函数y √a.x+bx+18的定义域为[-3,6]，则a,b的值分别为 考点3 函数的值域 ·核心总结 奇难点突酸 1.在函数y=f(x)中，与x的值对应的y值叫作函数值， 在求值城时要遵循定义 函数值的集合叫作函数的值域 域优先的原则，即求值域时要 2.函数的值域可以用集合表示也可以用区间表示 先考虑函数的定义域，在定义 3.求函数值域的常见方法有配方法，换元法、判别式法，观 域的前提条件下求值域 察法、裂项法、图象法，随着进一步的学习，还会有更多的方法. ⊙方法梳理 ©考题7(2024，东北有才学校单元测试)求下列函数的值域： 1.求函数值城的几种常用 (1)y=2x+3. 方法 (2)y=x2-2x十3，x∈{-2，-1,0,1,2,3}. (1)配方法：当所给函数 (3)y=2x+1 是二次函数或可化为二次画 x-3 数处理的函数时，可利用配方 104 第二章>函数引 (4)y=√x-1-x(x≥2). 法求其值域此时要注意自变 量的取值范国，如变式3-1(3). 解析(1)，x≥0，.2√x十3>3. (2)换元法：如考题7(4)， 故y=2√x十3的值域为[3，十o) 用换元法求值城时，应注意折 (2)当x=-2,-1,0,1,2,3时，y=11,6,3,2,3,6. 自变量的取值范国. 故函数的值域为{2,3,6,11}. (3)判别式法：若所给函 (3y=2-6+7=2+7 数是可化为关于某变量的二 x-3 -3 次函数，可用判别式法求函数 “30,42 的值战，用判别式法求二次函 数的值域时，应注意二次项系 故函数的值域为{yy≠2 数为零的情况 (4)令√x-1=t,则x=+1,由x>2和t>0知t≥1， (4)观察法：对于一些比 y=-+-1=-(-2广-≥1. 较简单的函数，其值域可通过 观察得到。 当≥1时y=-(-》-≤-1-》-=-1 (5)分离常数法：若一个分 式函数可化为几个函数式相加 四 函数的值域为（一©，一1] 减，则可用裂项法求其值域，此 ⊙变式3)(2024，黄冈中学单元测试)求下列函数的值域： 方法时y(-) (1)y=元-1. 2-号 型函数非常有效，如考题7(3). (6)图象法：结合具体的 (3)y=√2x2-4.x+3. (4y=+1(x>0. 函数图象求值域 2.求函数值域的逆向问 题，主要是利用已知函数的值 域，求出满足条件的参数的值 ⊙考题国已知函数y-mr十8十”的定义域为(-o,十)， 误区警示+ x2十1 1.在求值城时忽视定义 值域为[1,9]，则m的值为 ,n的值为 域的限制作用，特别是在求解 爵显由y=mx十8+得gy一mx一8x+（y一m)=0. 复合函数和实际问题时容易 x2+1 出现这种错误.如考题7(4)换 ,x∈R,若y一m≠0， 元后易忽视≥L. 则△=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0， 2.求值城时一定要注意 定义城的影响.如函数y 即y2-(m+n)y+(m-16)≤0. x-2x十3的值域与函数y= 由1≤y≤9知，关于y的一元二次方程y2一(m十n)y+(m- x2-2x十3，x∈[0,3)的值域 16)=0的两个根为1和9， 是不同的 105 考点同步解读>高中数学必修第一册SD乡 m十n=1+9, m=5, 山规律总结… 故有 解得 mn-16=1×9, n=5. 已知函数的值域求参数 若y-m=0,即y=m=5,对应x=0,符合题意. 问题的解题思路 .m=n=5即为所求. 1.注意调整思雏方向，根 据值城的含义，将给出的值域 答秦5；5. 转化为方程的解或不等式的 ⊙变式32若函数y=x2一3.x一4的定义域为[0，m],值域 解集的问题 为[草一4小，则实数m的取值范围是( 2.根据方程的解或不等 式的解集情况来确定参数的 A.(0,4] B[- 值或取值范国. c[.s D.[.+) 考点4 函数的表示法 第三章 核心总结 章难点突破… 1.解析法 第四章 1,所有的函数都能用解 含义 定义域 值域 示例 析法表示吗？ 用数学表达式表使解析式有意 不能.解析法是利用代数 第五鱼 因变量y的 示两个变量之间 y=√匠的定义域是{xx 义的自变量x 方程y=f(x)(x∈A)来表示函 取值范围 的对应关系 的取值范围 ≥0，值域是{yJy0 数的方法，通常f(x)是一个含 第六章 2.列表法 有自变量的表达式，当无法用表 达式表示y与工之间的关系 含义 定义域 值域 示例 第七鱼 时，函数不能用解析法表示 列出表格来 x123 2.列表法的优缺点是什么？ 表示两个变表格中自变量 表格中相应) y0-11 无须计算 仅能表示 量之间的对x的取值集合 的取值集合 定义域是{1,2,3 可以直接 自变量取 应关系 值域是{0，-1,1》 看出与自 优列 在 法】 较少的有 变量对应 限值时的 3.图象法 的函数值 对应关系 含义 定义域 值域 示例 借助表格的直观性，可以 比较明确地刻画出自变量与 用图象表示两 函数值的对应关系。 图象在x轴 图象在y轴 o12正 3.图象法的优缺点是什么？ 个变量之间的 上的投影 上的投影 只能近似 对应关系 定义域是[1,2]， 能形象 表示出自 值域是[0.6,2.8] 直观地 变量的值 表示函 优 所对应的 ⊙考题9(2024，武汉洪山区期中考试)如图，函数f(.x)的 数的变 函数值，而 图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4)，(2,0)， 化情况 且有时误 差较大 (6,4),则f(f(f(2))= 106 第二章>函数/ ②方法梳理… 1.判断给定的表格中的 变量是否为函数关系的方法 根据西效的定义，一看是 123456 否为非空数集，二看“任意性” 解析结合图象可得f(0)=4,f(4)=2,f(2)=0,则f(f(f(2)) 与“唯一性” =f(f(0)=f(4)=2. 2.由给定表格表示的函 答案2. 数求函数值可根据给定的对 ⊙变式41(2024，浙大附中单元测试)某大学生应聘到一 应关系反复代入 3.用列表法表示函数关 家企业工作，合同期限为一年，经协商该企业给这个大学生支 系的方法 付工资的方式是：第一个月3000元，以后每个月比上一个月多 (1)根据题设确定自变量 100元.若该大学生工作后的第x个月的工资为y元，则y是x x的值 的函数，分别用解析法、列表法和图象法表示该函数 (2)根据题设确定对应的 函数值 (3)根据自变量与函数值 之间的对应关系列表表示 4,实际问题中在由给定关 系求解析式时，常用待定系数法 ⊙考题10(2024，临川一中周练)作出下列函数的图象： (1)y= 2x+1 山规律总结… x1 (2)y=x2-2x+1. 用三种方法表示函数时的 得霸1)：y=2士-2+，3 -1' “先作出函数y=3的 注意事项 x-1 1,解析法必须注明函数 国象，起它向右平移1个单位长度得到画数y马的国象，秀 的定义域 2.列表法必须罗列出所 把它向上平移2个单位长度便得到函鼓y=2士的图象，如 x-1 有的自变量与函数值的对应 图1. 关系. 3.图象法必须清楚函数 图象是“点”还是“线” 0123 女视野拓展， 图1 图2 函数图象的常见变换方式 1.平移变换 (2)先作y=x2一2x的图象，保留x轴上方的图象，再把x轴 下方的图象对称翻折到x轴上方，最后把它向上平移1个单位长 y=f(x)向右手移 ▣个单位长度 度，即得到y=x2一2x十1的图象，如图2. y=f（r-a): 107 夏考点同步解读〉商中效学必修第一滑BSD色 ⊙变式42作出下列函数的图象： 向上平移 y=f(x)- 6个单位长度 (1)y=x. y=f(r)+b. (2)y=2x-1,x∈{0,1,2,3. 2.对称变换 8y-+武 y=f(工)美于x轴对愁 y=-f(x): y=∫(x)关子y轴对称 y=f(-x): 第 y=f(x)美于原点对称 y=f(-x). 第 3.其他变换 y-f(x) ⊙考题11由给定条件求下列解析式： 保留上轴上方的图象，再把工抽 下方的图象翻斯到x轴上方 第三章 (1)已知f(x)=x2,求f(2x+1) y=|f(x): (2)已知f(Wx-1)=x+2Vx,求f(x) y=f(r) (3)如果函数f(x)满足方程af(x)+f 保留y轴右边的图象，再把y轴 ax,x∈R且 右边的图象翻析到y轴左边 第五鱼 x≠0，a为常数，且a≠士1，求f(x). y=f(la). (4)已知f(.x)是一次函数，且f(f(x))=4x一1，求f(x). 解(1)f(2x十1)=(2.x十1)2=4.x2十4x十1. 第六章 (2)方法一（拼凑法）fvx-1)=(W-1)+4(wWx-1)+3, ②方法梳理… 第 而元-1≥-1，故所求的函数f(x)=x2十4x十3(x≥-1). 求函数解析式的常用方法 方法二（换元法）令1=√x一1，则≥-1，且x=t十1， 1.拼凑法：已知f(g(x) ∴.f(t)=(t+1)2+2(t+1)=+4t+3. 的解析式，要求f(x),可从 故所求的函数f(x)=x2十4x+3(x≥-1) f(g(x)的解析式中拼凑出 “g(x)”,即用g(x)来表示 (3)af)+f）=ax, ① f(g(x),再将解析式两边的 将x换成则上变成x,得af)十f)=只 g(x)用x代替即可 ②四 2.换元法：已知f(g(x) ①xa-@,得a-1Dfx）=ax-是 的解析式，要求f(x),可以把 g(x)看作一个整体t,进行换 ,a≠士1， 元，从而求出f(x) a2r-4 3.方程组法（又称消元 )=a-子，脚0-axR且≠0. 法)：已知f(x)与f(g(x)满 (a2-1)x 足的关系式，要求f(x)时，可 (4)设f(x)=a.x十b(a≠0)， 用g(x)代替两边所有的t,得 f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a'x+ab+b. 到关于f(x)及f(e(x)的方 因为f(f(x)=4x-1,所以a2x十ab十b=4x一1. 程组，解之即可求出f(x). 108考点同步解读)高中数学必修第-一D色 2,-1,15-1+5 整除的数在B中没有对应的值，所以不能确定y是x的 2 2 .结合(1)中A={2,-1 函数.②在对应关系∫下，A中的数在B中有两个数与 可知，AB. 之对应，所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f 2.如图1，当点P在AB上运动时，PA=x:当点P在BC 下，A中的数（除去5与一5外）在B中有两个数或没有 上运动时，由Rt△ABP可得PA=√+(x-1)下：当 数与之对应，所以不能确定y是x的函数.⑤A不是数 点P在CD上运动时，由Rt△ADP易得PA= 集，所以不能确定y是x的函数.④⑥⑤显然满足函数的 √I十(3-x)了：当点P在DA上运动时，PA=4一x. 特征，故能确定y是x的函数. x,0x≤1， [变式1-2]AB提示：对于A,y=1+1与y=x十1虽 √T-2x+2,1<x≤2， 然表示自变量的字母不同，但定义域都为R,对应关系相 故f代x)的表达式为fx) √/F-6.+10,2<x3, 同，是同一个函数，A正确：对于B,y=(x+T)=x十 1的定义域为R,与y=x十1的定义域相同，对应关系相 4-r,3<4. 同，是同一个函数，B正确：对于Cy=(（上）十1的定 义域为{xx≠0，与y=x十1的定义域不同，不是同一 个函数，C错误：对于D,y=?+1=|x|+1与y= x十1的对应关系不同，不是同一个函数，D错误 [变式2-1](1)显然函数f(.x)-2x+3的定义域为R 图1 1x-120, (2)要使函数∫(x)有意义，需满足 解得1≤ 由于点P在正方形ABCD上不同位置时，△ABP的 4-x≥0. 面积也不同，因此必须对点P的位置进行分类讨论. x≤4. 如图1.当点P在AB上，即0≤x≤1时，△ABP的面 所以函数f(x)=√一1·√4一x十2的定义域为(x 积S△M=0:当点P在BC上，即1<x≤2时，S△P 1≤r≤4. =2AB·BP=(x-1):当点P在CD上，即2< (3)要使函数f代x)有意义，需满足1+x≠0，解得x≠一1. ≤3时，Sm=号×1X1=名：当点P在DA上.即 所以函数)-号的定文线为(-，-1DU(-1 十0o). 3K<时.Sm=号AB,PA=号4-， 5-x≥0， (4)要使函数f(x)有意义，需满足 即 |x-3≠0. 0.0≤r≤1 15, 1 (x-10,1<xr2. 在数轴上表示出来，如图1所示，故函数f(x) x≠士3， 故g(x)= 2,2<≤3， 1 的定义域为(-o∞，-3)U(-3,3)U(3,5]. 4-x0.3Kr< g(.x)的简图如图2所示. 图1 图2 1lx-1>0, (5)要使函数∫(x)有意义，需满足 即 2x-3≥0. x一1或x>1, 3 在数轴上表示出来，如图2所示，故函 图2 §2函数 数)的定义城为[是+) 【变式训练】 [变式2-2]{xx=0.提示：因为函数f(x+1)中 [变式1-1]D提示：①在对应关系∫下，A中不能被3 的x2+1相当于函数f(x)中的x,所以0≤x+1≤1，即 20 参考答秦与提示> 一1≤x≤0.所以x=0,故/(x+1)的定义域为{xx=0. [变式2]设4=a,=若 则F=w)+).且a∈[-，是]， 25 a>0, 1 [变式+门依题意得，第x个月的工资比第一个月多 2 << 100(x一1)元，则用解析法表示该函数为y=3000+ ①当≥1时，不等式组的解集为{女一品<≤爱}： 100(.x-1)=100x+2900,x∈N,,且x<13. 用列表法表示该函数为 ②当0<a<1时，不等式组的解集为{x|-号≤ 2 3 5 6 30003100 3200 3300 3400 3500 7 8 9 10 11 12 综上所述，当a≥1时，FP)的定义域为[一云，之]： y3600 3700 3800 3900 4000 4100 当0<a<1时，F的定义城为[-号，号]， 用图象法表示该函数如图所示 34 [变式2-4]一1,3.提示：由题意得不等式ax2十x十 4100 4000 18>0的解集为[-3,6们，因此x=-3和x=6是方程 3900 a.x2十bx十18=0的两个根，且a<0, 3800 3700 -3+6=- 3600 a a=-1, 3500 于是 解得 3400 -3×6=18 b=3. 3300 3200 3100 [变式31](1)>0，-1≥-1. 0123456789101112主 故y=√-1的值城为[一1，+∞). x,x≥0， 241=-1+名子0， [变式+2](1)y=x= 图象如图1 -x,0, y≠-1故y一的值线为≠-1。 (3)2x2-4x+3=2(.x-1)°+1≥1. y=√2x-4r+3>1. 故y=√②x一4x+3的值域为[1，十oo). 0:>0,y-中=+>2…=2当 x x 图1 图2 且仅当x=士即=1时取等号.故函数y中>0) (2)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y 2x-1上. 的值域为[2，十∞). x∈{0.1.2,3}，y∈(-1,1,3,5. [变式3-2]C提示：y=r-3x-4=(x-号） 这些点称为整数点，图象如图2 竿画出图象如因所示由题意并结合图象可得m∈ (3)把定义域（一∞，+o∞）划分为（一∞，一1），[-1,0)， [0,1),[1,+∞)四个部分，分别进行化简。 [是3] 当(-，-1》时y-日-号-1 21 重考点同步解读)高中载学必修第-一SD色 1一x=x十1 当x[-1,0)时y-1五 所以a=一受（舍去.综上所述a=一是 0,1D 当x[0,1)时y1+x 1-x2 =x十1： [变式5-2]A提示：依题意，设当1=12时，C(1) (-1,0） 0(1.0) 10,排除D:由年平均气温为10℃，知C(1)不会都在 当x1,+o)时y- 10℃以下，排除B:依题图知，在t∈[0,6]内，Q()的图 图3 x-1. 象关于(3,0)中心对称，因此C(6)=0,排除C故选A -x-1.r∈(-∞，-1）)， [变式53】.提示：由)-x-2,得（婴） x+1,x∈[-1,0)， 即y= -x+1,x∈0,1)， f(9-2)=f(号).又因为f(9)=R(9）-7, x-1x∈[1，+o∞). f5)=f5-2)=R5-2)=0,所以f(9）+5) 可画出此函数的图象，如图3. [变式43](1)：f(元+1)=x+2元 = .f(WE+1)=(w)+2+1-1=(E+1)2-1,其 【基础通关测评】 中F+1≥1. ∴.fx)=x-1(x≥>1). 1A提示：要使函数f(x)有意文.则仁一10即 x-2≠0， (2)用时代换x,得2x)+/()=是 r1. 即函数f(x)的定义城为[1,2)U(2,十). x≠2， 2()+fx)=x 2.D提示：A中，f(x)=√x+T·x-I的定义域为 于是得到关于(.x)的方程组 2)+(）= {xx≥1，g(x)=√(x+1)(x-1)的定义城为{x x≥1或x≤一1}，它们的定义域不同，不是相同函数： 解得/)=品一青红0以 B中，f)=(25)的定义域为{≥号} (3)设f(r)=ax+b(a≠0)，则f(f(x))=f(a.x+b)= a2=4, g(x)=2x一5的定义域为R,定义域不同，不是相同函 a(a.x+b)十b=a2x+ab+b=4.x+6,于是有 ab+b=6, 数：C中，)号与g)=与的对应关系不 a=2, a=-2, 解得{ 或 1b=2 b=-6. 同，不是相同函数：D中，fx)=D=x(x>0)与 所以f(x)=2x+2或f(x)=-2x-6. =1(>0)的定义域与对应关系都相同， (4)设二次函数的解析式为f(x)=a.x2+bx十c(a≠0)， c=1, a=1, 是相同函数 由题意得a十b十c=2,解得b=0,故f(x)=x+1. 3.B提示：A中，定义城是{x一2≤x≤0}U{2),不是 4a+2h+c=5, c=1, M:C中，图象不表示函数关系：D中，值域不是N= [变式5川一是 (yl0≤y≤2. 提示：当a<0时，1-a>1,1+a<1, 所以f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, 4C提示：设，则x=-1D,所以) f(1+a)=2(1+a)+a=3a+2. 因为f(1-a)=f1+a), +( 所以-1-a=30十2，所以a=-是 5.2. 提示：因为√6>2，所以f(W6)=6-4=2,所以 当a>0时，1-a<1,1十a>1, f(f(w6)=f(2)=1十a=3,解得a=2. 所以f(1-a)=2(1-a)十4=2-a, f(1十a)=-(1十a)-2a=-3a-1. 6子.提示：令1=1，则x=2+2,1∈R0 因为f(1-a)=f1+a),所以2-a=-3a-1, 2(24+2)-5=41-1,故f(x)=4x-1,则f(a)=4a 22 儿参考答秦与提示>7 1=6,解得a=子. (2)因为f1十x)+f(1-x)=2, 所以f(x)+f(2-x)=2,当x∈(1，+o∞)时，2-x∈ 【高考通关测评】 (-00,1). 上A提示：由题意可知，函数)=丹的定义政 所以f(x)=2-f(2-x)=x2-4x+4,f(1)=1= 为(2，十∞)，.函数y=f(2x)一∫(13-x)的x需 1一4十4，满足表达式. 所以当x∈[1，+∞)时，/(x)=x2-4.x+4. 满足2.x>2且13-x>2,∴.1<xr<11. 2.A提示：f(g(x)=3g(x)-1=2x+3, &[-+∞)[分] 提示：若c=0,当-2≤x≤ 3)=2r+4)-号r+号 0时)=r+r=(+号)广-十，函数y=+ 3.Λ提示：当x=1或x=2时，g(1)=g(2)=1, x,x∈R的图象的对称轴方程为x=一了，所以当x∈ f(g(1)=f(g(2)=f1)=4:当x=3或x=4时， g(3)=g(4)=3,,.f(g(3)=f(g(4)=f(3)=2. [-2,0]时，f-2)为最大值，最大值为2f(-)为 故f(g(x)的值域为{2,4》. 4.CD提示：结合题表可知，当x=1时，f(1)=2,则 最小值，最小值为-子，即fx)∈[-，2]：当0< f(f(1)=f2)=3≠1-1=0：当x=2时，f(2)=3, ≤3时，fx)=士随着x的增大而减小，赦当x f(f(2)=f(3)=4≠2-1：当x=3时，f(3)=4, f(f(3)=f(4)=2=3一1，此时满足题意：当x=4 03]时，f(x)的最小值为f(3)=专，则f(x)∈ 时，f(4)=2,f(f(4)=f(2)=3=4-1,此时满足题 意：当x=5时，f5)=3.f(f(5)=f(3)=4=5-1, [号十∞)综上可得f)的值域为[-十+o∞)。 此时满足题意.故选BCD. 由函数y=x+x的图象得，当x∈[一2,1门时，函数 品AC提示：图为fx)=吉号，所以f(- f)的最小值为(-之)=一}，最大值为-2)= f(1)=2,且当x≥1时，x2十x的值随者x的增大而增 大，则由题意可得（≤1.当c<x≤3(>0）时，x)=1 的值随着x的增大面减小，值蛾为[片，).所以由 1-(- +=一fx 2-1 题可得上≤2，解得≥之，故实数e的取值范围为 1x2,-2x<1, 6.BC提示：函数f(x)= 定义域是 [ -x+2,x≥1， 9.(1)当-1≤x<0时，[x]=一1，所以f(x)=x+1: [-2,十o∞)，故A错误； 当0≤r1时，[x]=0,所以f(x)=x 当-2≤x<1时，f(x)=x2,f(x)∈[0.4]，当r≥1 当1≤x<2时，[x]=1,所以f(x)=x-1. 时，f(x)=一x十2，f(x)∈（一∞，1]，故f(x)的值域 x+1.-1≤x<0. 为（一o∞，4]，故B正确： 综上，fx)={x,0≤x<1, 由值的分布情况可知，f(x)=2在x≥1时无解，故 x-1,1≤x<2. 一2≤x<1,即f(.x)=x2=2,得到x=一√2（正根舍 (2)f(x)的图象如图所示. 去)，故C正确： 当-2≤x<1时，令f(x)=x<1,解得x∈(-1,1). 当x≥1时，令f(x)=-x+2<1,解得x∈(1，十o∞) 故f(x)<1的解集为（一1,1）U(1,+c∞)，故D错误. 7.(1)1.(2)x-4x+4.提示：(1)令x=0,代入①中 等式得f(1+0)十f1-0)=2,所以f(1)=1. 23 考点同步解读)高中教学必修第一：SD色 (3)由图象可得f(x)的值域为[0,1). 11≤4x<2. 解得<< 10.1当0<≤1时.由20-<r得≥号故号≤ 13≤16.x-4<4 x≤1： 故清足题意的x的取值范围为[品·之)。 当1<x≤2时，由x-1≤x得x∈R,故1<x≤2 §3函数的单调性和最值 综上可知，不等式的解集为{号<x≤2。 【变式训练】 [变式1-1]D提示：函数f(x)在区间D上单调递增 (2)由题可知，f(0)=2,f(1)=0,f(2)=1. 当x=0时，f6(0)=fff0))=ff(2)=f(1)=0. 的充要条件是Y.∈D≠，都有y>0,证明过 △r 同理，当x=1时，f3(1)=1:当x=2时，(2)=2. 程如下 故对任意x∈A,恒有f(x)=x, 证明充分性： (3)不正确.理由如下：例如，r=号∈[0,2,5(2) Vn∈D,≠.不妨设<，则△x=一<0. 又Ay-)-f型>0，所以f)-fn)0. (((2)）=1)=f0)=2≠2，即f6a)= △x 即f八n)<f(n),所以函数f风x)在区间D上单调递增. x不成立. 证明必要性： 故“对任意x∈[0,2]，总有(x)=x”不正确。 ,xED,x1≠x,不妨设1<2，因为函数f(.x)在 【实验班选做题】 区间D上单调递增，所以f(1)<∫()， L名：提示：因为函数fx)=Var+ha+ca<b)的 则△y=f(x)-f(.)<0,又△x=石一<0， 定义域为R, 所以Ay=f）=fx>0. 所以ax2+x十c≥0，x∈R恒成立， 所以函数∫(x)在区间D上单调递增的充要条件是 所以4>0，-a≤0，即a>0,c≥长 Vm∈Dn≠，都有y>0,故A.C不正确， 函数f(x)在区间D上单调递减的充要条件是Y, 令M=+2%+4c≥ +26+足 a =a'+2ab+h b-a b-a a(b-a) 4∈D≠都有会<0，证明过程如下 1++（）】 令1=么>1，则M≥+2+1= 证明充分性： a 1-1 H,∈D,≠，不妨设，则△x=一<0. 1+,十>2√-)·青+4=8，当且仅当 又Ay=f)-f)<0,所以fa)-f)>0, △x 即()>f(),所以函数风x)在区间D上单调递减. 1=片即1=3,6=3c=a时，等号成立， 证明必要性： 所以。十的最大值是行 V西，x∈D,D≠xr,不妨设r<r, 因为函数f(x)在区间D上单调递减， 2.(1)4. 2[品号) 所以f()>(), 则△y=f(x)-f(.x)>0.又△x=x1一<0， 提示：：当x=时，=子， 所以Ay=f)-f<0. Ar (保)=[]=1，()=子-[]= I-T 所以函数f(x)在区间D上单调递减的充要条件是 ∴（居）=(g(6)=(）=3]=3. 5∈D≠，都有g<0,故B不正确，D正确。 △ ∴（品）+f(居)=4 [变式1-2]f八x)在区间[一2,2]上单调递增.理由如下： 任取x1x∈[-2,2]，且x<x (2)由题意知1(x)=[4x]=1,则g(x)=4x一1。 ∴.f(.x)=f1(4.x-1)=[16.x-4]=3, ))-会 24