4 一元二次函数与一元二次不等式-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读》高中效学必修第一册SD色 §4一元二次函数与一元二次不等式 高考要求学业标准·考情分析 一考点分布· 学科素养· 一学法导引 1.通过配方法，理解函数图象的变换 1,抓住一元二次函数配方式的特 过程. 点，变换出一元二次函数的图象，结合图 2.通过函数图象理解一元二次不等式与 象理解一元二次函数的性质， 二次函数、一元二次方程之间的紧 2.理解三个“二次”之间的关系是导 第二章 密联系，理解一元二次不等式的儿何 出一元二次不等式解集的依据，也是本 数学运算 意义. 节的难点，应重点突破. 直观想象 3.解一元二次不等式的关键是熟练 第三章 3.掌握一元二次不等式的一般解法，能 数学建模 掌握一元二次不等式解集的结构特征， 运用三个“二次”的关系解决有关的数 “对号入座”即可快速地写出其解集， 第四章 学问题， 4.要抓住一元二次不等式解集的结 4,能够从实际生活和生产中抽象出一元 构特征，通过分类讨论解决含有参数的一 第五鱼 二次不等式的模型，并加以解决 元二次不等式问题。 考点分类考点透析·典例剑析 第六章 考点1 一元二次函数 第 ·核心总结 难点突破… 1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 一元二次函数y=ax+bhx十c 2.一元二次函数y=a(x-h)2十k(a≠0)的图象可由y= (a≠0)的系数a,b,c a.x2(a≠0)的图象经过向右(h>0)[或向左(h<0)]平移h个 对函数图象的影响 单位长度，再向上(k>0)[或向下(k<0)门平移k个单位长度 (1)二次项系数4决定抛 而得到。 物线的开口方向和大小。 ⊙考题1(2024，鹿泉一中单元测试)如图 当a>0时，抛物线开口 向上；当a<0时，抛物线开口 所示是二次函数y=a.x2十bx十c图象的一部分， 向下，a越大，开口越小 图象过点A(一3,0)，对称轴为直线x=一1.给 (2)一次项系数b和二次 出下列四个结论：①6>4ac;②2a-b=1:③a 项系数a共同决定对称轴的 b+c=0:④5a<h. 位置 其中正确的是(). 当a与b同号（即ab>0) A.②④ B.①④① C.②③ D.①③ 时，对称轴在y轴左侧：当口 解泥因为函数图象与x轴有交点A(一3,0)，对称轴为直线 与b异号（即ab0)时，对称轴 x=一1，所以函数图象与x轴的另一个交点为(1,0)，所以函数图 在y轴右侧（简称：左同右异）. 68 第-章>预条知识/ 象与x轴有两个交点，所以仔一4c>0,①正确： (3)c的值决定抛物线与 对称轴为直线=-1，即品。-1，所以2a一6=0.②错误： y轴交点的位置 当x=0时，y=(,所以抛 结合图象，当x=一1时，y>0,即a一b十c>0,③错误； 物线与y轴有且只有一个交 由对称轴为直线x=一1，知b=2a:由函数图象开口向下，知 点(0，c),故有如下结论： ①c=0时，抛物线经过 a<0;因为5>2，a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确. 原点： 答案B ②c>0时，抛物线与y轴 ⊙变式11(2024，杭州二中期中考试)若关于x的不等式 交于正半轴： 2x2-8.x+6一a≥0在1≤x≤4时有解，则实数a的取值范围是 ③<0时，抛物线与y轴 交于负半轴， ). 第 (4)△决定抛物线与x轴 A.a≤6 B.a≥>-2 C.a>≥6 D.a≤-2 的交点个数 ⊙考题2(2024，六安一中周练)由函数y=2.x2的图象变换 当△=一4ac>0时，抛 第 为函数y=2x2十4x一6的图象，只需将y=2x2的图象先 物线与x轴有2个交点：当 个单位长度，再个单位长度 △=：一4ac=0时，抛物线与x 第 四 解析将y=2.x2+4.x-6配方得y=2(.x+1)2一8. 轴有1个交点：当△=∥-4c< 0时，抛物线与x轴没有交点 第 因此，把函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度，得到函 山规律总结， 数y=2(x十1)2的图象，再向下平移8个单位长度，得到函数y= 海上质0流阿 第 2(x十1)2-8的图象，即函数y=2x2十4.x一6的图象. 答案向左平移1：向下平移8. 海（后> 第 ⊙变式2将二次函数y=x2十bx十c的图象向左平移 个 向上1)：五，在 个 2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数2= 的象 x2一2x十1的图象，则b= C= 考点2 一元二次函数的性质 ·核心总结· 章难点突破 二次函数y=a2+bx十c=a(x十2 +4一 -(a.b.c 1.一元二次函数的性质 函数 主要由二次项系数a的符号 是常数，且u≠0) 和对称轴的位置决定 二次项系数 a>0 a<0 2.当对一元二次函数的 43 自变量工进行限制时，函数的 最值要看图象的开口方向及 图象 顶点的横坐标是否在自变量 的取值范围内。 = 2a 一元二次函数y=a(xr一h) 十k(a≠0)有如下性质： 69 考点同步解读>商中就学必修第一册BSD么 续表 (1)函数y=a(x一h)+k (a≠0)的图象是一条地物线， 开口 向上 向下 顶点的坐标是(h,k),对称轴 对称轴 是直线x=h 方程 (2)当a>0时，抛物线开 顶点 （品如。） 口向上：在区间（一∞，h]上， 坐标 函数值y随自变量x的增大 而减小：在区间[h,十o©)上， 在区间(-∞，一 ]上，函 在区何(，]上： 函数值y随自变量x的增大 数值y随自变量x的增大 函数值y随自变量x的增 而增大：函数在x一h处有最 而减小： 大而增大： 小值，记作ym= 增减性 在区间[一名+)上，函 在区间[名+)上 当a<0时，抛物线开口 向下：在区间（一∞，h]上，函 数值y随自变量x的增大 函数值y随自变量x的增 三章 数位y随自变量x的增大而 而增大 大而减小 增大：在区间[h,十©∞)上，函 当x= 时，y有最小值， 2a" 当x=- 时y有最大 数值y随自变量x的增大而 最值 减小：函数在x=h处有最大 Aac-b Aa 值，mx 4ac-6 第五鱼 Aa 值，记作ymx=k. ©考题3已知函数y=3.x2+2x十1. 第六章 (1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴方程。 误区警示， (2)不计算函数值，试比较x的值分别为一子，时.依次对应的 研究二次函数y=ax十 第七鱼 hx十c(a≠0)的性质时，一定 函数值y,边的大小 要记得考虑x2的系数a的特 y=32+2x+1=3++号 号，研究限定了自变量的取值 范固的二次函数的最值时，不 1)函载国象的顶点坐标为一弓，号引，对称轴方程是=一子 能简单地利用二次函数的性 质，要结合图象进行思考， (2)由)一3（十3》+号知，二次画鼓图象开口向上，且对称轴 为直线=一号 :-圣-(<-( y<y ©变式2(2024，西安雁塔区期末联考)（开放题）写出一 ®方法梳理： 个同时具有下列四个性质中的三个性质的二次函数：f(x)= 1.已知二次函数的解析 式求图象的顶，点坐标及对称 ①f(x)的最小值为一1：②f(x)的一次项系数为一4：③f(0) 轴方程，一般先用配方法把二 =3:④图象的对称轴为直线x=1. 次函数解析式写成顶点式： 70 ∥第-章>预务知识 ⊙寄题☑已知函数y=2女一3江一是，则函数图象的顶点坐 y=a(x一h)户十k,进而确定顶 4 点坐标为(h,k),对称轴为直 标为 ,对称轴方程为 函数的最小值为 线x=h. 2.比较两西数值的大小， 爵将函数的解析式配方得y= -3-2 可以先比较两点离对称轴的 距离大小，然后结合二次函数 所以函数图象的项点坐标为(3，-)，对称轴方程为工=3， 的开口方向，从而得到两函数 值的大小关系，也可以将要比 函数的最小值为- 头，无最大位 较的两个点转化到对称轴的 同一侧，再利用函数的性质比 国(3，-4)x=34 较两函数值的大小 ⊙变式22(2024，大同一中周练)分别求下列函数的最值. 3.二次西数最大值或最 (1)y=-x2-x+3. 小值的求法 (2)y=x2-3.x+4. 第一步：确定a的符号， a>0时有最小值，a<0时有 (3)y=-x2+2x+1. 最大值： 第二步：配方法求顶点， 顶点的纵坐标即为对应的最 大值或最小值 考点3 一元二次不等式的概念 核心总结 查难点突破 1.一元二次不等式 对一元二次不等式的 一般地，将只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 概念的理解 2的不等式叫作一元二次不等式.通常，一般表达式是a.x2十x+ 1.一元二次不等式概念 c>0或ax”十b.x十c<0或ax2+bx十c≥>0或a.x2十bx十c≤0， 中的关键词为：(1)一元，即只 其中a,b,c均为常数，且a≠0 包含一个未知数，其他元素均 2.一元二次不等式的解集 为常数，(2)二次，即未知数的 使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫 最高次数必须为2，且最高次 作这个一元二次不等式的解集. 项的系教不能为0. 2.一元二次不等式一定 ⊙考题5(2024，烟台一中月考)下列不等式是一元二次不 为整式不等式.例如工-2+ 等式（其中a,b,c,m为常数）的是 (填序号). 1>0是分式不等式，而不是一 ①x2>0:②-x-x2≤5；③a.x2>2;④x3+5x-6>0:⑤m.x2 元二次不等式 -5y<0:⑥a.x2+bx+c>0. 3.“只含有一个未知数”， 71 考点同步解读>高中效学必修第一滑SD色 解析①②是，符合一元二次不等式的定义.③不是，因为当 并不是说式子中不能含有其 a=0时，不特合一元二次不等式的定义.④不是，因为x的最高次 他字母表示的量，只要明确指 数是3，不符合一元二次不等式的定义.⑤不是，因为当m=0时， 出这些字母所代表的量哪一 它为一元一次不等式：当≠0时，它含有两个未知数，也不是一 个是“未知数”、哪些是“变 量”、哪些是“参数”即可 元二次不等式.⑥不是，因为当a=0时，不符合一元二次不等式 4.“最高次数是2”是对于 的定义 “未知数”而言的，若还含有其 答弱①②. 他参数，则其他参数的次效不 ⊙变式31(2024，麻城一中月考)下列关于x的不等式中 受此条件限制. 为一元二次不等式的是( ). 碧 A.x3+2.x-3≤0 B.ax2+3.x+1>0(a∈R C.3.x-x2>≥0 D.a2x+2a-1>0(a≠0) ®方法梳理， ⊙考题6(2024，长安一中单元测试)一元二次不等式一x2十 1.判断一个不等式是否 第三章 号>0的解集中必含有元素( 为一元二次不等式，必须紧扣 2x- 它的概念 C.1- D1+9 (1)是否为a.x2十x十c>0 A.-1 B.1 3 (或≥0，或<0，或≤0)的形式 解析分别将A,B,C,D中的数代入不等式中进行验算. 第五鱼 (2)二次项系数是否为0 A中-1-2-号0，A不成主： (可能为0的便不是) (3)是否为一元不等式 第六章 B中，：-1+2-号->0， ∴B成立； (即未知数是否只有一个)， 2.荆断某元素是否在一 第七鱼 CD中.：-(1士}+2×1±》-号=0CD不成立 元二次不等式解集内的方法 是代入验算法—将元素代 答案B 入不等式，能使不等式成立的 ⊙变式32(2024，龙岩一中月考)已知关于x的不等式a.x< 就在解集内，否则就不在。 b的解集为（一2，+∞），则 ,关于x的不等式a.x2十 bx-3a>0的解集为 考点4 一元二次不等式的求解方法 核心总结 海难点突破 一元二次方程的根对应二次函数图象与x轴交点的横坐 1.理解三个“二次”的关 标，一元二次不等式的解集对应二次函数图象在x轴上方或 键是抓住由特珠到一般的思 下方的部分，或在x轴上，因此根据二次函数图象的开口方向 想.如： 及与x轴交点的情况可以确定一元二次不等式的解集，这样 就形成了二次函数图象与一元二次方程相结合解一元二次不 y=2x-7广到-收 等式的方法 ar+b类y=x￥-x-6 72 儿第-章>预务知识/ 当a>0时，解形如a.x2+bx+c>0(>0)或ax2+bx+c< 推广到-瓶y=a十r十c 0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步： (a≠0). (1)确定对应方程a.x2十bx+c=0的根. 2.联结三个“二次”的组 (2)画出对应函数图象的简图 带是坐标思想.如：函数值y (3)由图象得出不等式的解集. 是否大于0，等价于点P(x,y) 是否在x轴的上方. 具体类型分析如表所示，其中a>0,,2是一元二次方 3.三个“二次”关系的实 程ax2十bx十c=0的两个实根，且x1<. 质是数形结合思想.如：ax2十 类型 bx+c=0的解台y=a.x2+ ar+hr+c>0 ar+hc+c0 ar +br+c<0 ar++0 bx十c图象上的点(x,0)的横 4>0 xx或x> {rx1或x≥ rSr) raSI 坐标：a.x十bx+c>0的解台 第 y=ax2+bx+c图象上的点 △=0 b R g (xy)在x轴上方的x的取 第 A<0 R R a 值范围 结合对应的二次函数图象认识和分析含参数的一元二次 4.研究三个“二次”的作用 不等式时，参数可能会出现在二次项系数中，判别式中、两根之 四 的 中，都需要分别讨论后写出解集， 一足二关方粉习 机的前论、 一元二下子元 求很缓 ⊙考题7(2024，临川二中月考)不等式3z2+5.x-2>0的 5.一元二次不等式的解 解集为 的结构 解方程3x2+5x一2=0的两个根是 一元二次不等式经过变形 =3x2+5x-2 五=一2,0=3函数y=3+5x一2的图象 可以转化成以下两种标准形式： (1)a.x2+bx+>0(a>0). 如图所示，它是开口向上的抛物线，与x轴有 (2)a.r2+hr+c0(a>0). 通过方程a.x+bx+c=0 两个交点，交点坐标分别为（一2,0）和（号，0月 求得两个根x1,工，若x1< 观察图象可得不等式的解集为|女<一2或>} (此时△>0)，则不等式(1)的 解在“两根之外”，即大于大 x<一2或>} 根、小于小根，此时有(xx> x或x<x}:不等式(2)的解 ⊙变式4(2024，武汉第十五中学单元测试)解下列一元 在“两根之间”，即小于大根 二次不等式 大于小根，此时有{x<x< (1)-x2+23.x-2. x.若=x(此时△=0)， (2)月2+2x+4>0. 则不等式(1)的解集为{xx≠ ,x∈R:不等式(2)的解集 (3)(2.x+1)(.x-3)>3(x2+2). 为空集，若△<0，则不等式(1) 的解集为R:不等式(2)的解 集为空集 73 夏考点同步解读〉商中效学必修第一滑SD② @考题8(2024，衡水中学月考)不等式-2x2+x+1<0的 ●规律总结… 解集为 求解过程中，必须考虑开 口方向(a>0或a<0)、判别式、 解析方程一2x2十x十1=0的实数根为x1=一 22=1,蓝 两根大小、不等号的方向 数y=一2x2十x十1的图象是开口向下的抛物线，与x轴交于点 (,≥，<≤)，即一看（看二次 项系数的正负)，二算（求对应一 (一20)和(1,0)（如图）.由图象得不等式的解集 y 元二次方程的根)，三写（利用对 为xx<-2或x>1 应二次函数的图象写出解集)， 国r<号我>1 第二章 ⊙变式42(2024，衡水中学单元测试)求下列不等式的 解集： 第三章 (1)-4<x2-5.x+2<26.(2)0<x2-x-2<4. 四 第五鱼 第六章 ⊙考题9(2024，深圳中学月考)解关于x的不等式： a(x2+1)>≥2.x. 第七鱼 解析原不等式可化为a.x2一2.x十a≥0. 方法梳理… (1)当a=0时，不等式化为-2x≥0，解得x≤0. 含参数的一元二次不等式的 (2)当a>0时，△=4-4a2=4(1-a2). 求解策略 ①当0<a<1时，△>0，此时方程a.x2-2.x十a=0有两个根， 1.熟练掌握一元二次不 即1=1--=1十-@ 等式的解法是解决含参数的 a a 不等式问题的基础，所以应当 x21+=或x<1-1=a 熟练记住形如a.x2十bhx十c>0 d (或<0)(a>0)的不等式在各 ②当a=1时，不等式化为x2一2.x十1≥0，此时x∈R. 种情况下解集的形式， ③当a>1时，△<0，此时x∈R 2.含参数的不等式的解 (3)当a<0时，△=4-4a2=4(1-a2). 题步骤：(1)将二次项系数转 ①当一1<a<0时，△>0，此时方程a.x2一2x十a=0有两个根， 化为正数.(2)判断相应方程 即=1-正4=1+正. 是否有根（如果可以直接分解 因式，可省去此步).(3)根据 :-<<+-@ 根的情况写出相应的解集，若 方程有两个不相等的实数根， 174 儿第一章)预条知识 ②当a=一1时，不等式化为一x2-2.x一1≥0，解得x=一1. 为了写出解集还要分析两个 ③当a<-1时，△<0，其解集为0. 根的大小， 综上可知，当a<一1时，不等式的解集为☑. 3.根据上面的步骤可能 当a=一1时，不等式的解集为{xx=一1}. 产生的讨论形式： (1)二次项系数若含有参 当-1<a<0时，不等式的解集为x-C≤r≤ 数，应讨论参数是等于0、小于 0还是大于0，然后将不等式 1+1-a 转化为二次项系数为正的不 当a=0时，不等式的解集为{xx≤0 等式 (2)判断方程根的个数. 当0<a<1时，不等式的解为xr≥1+正或r≤ (3)确定无根时可直接写 出解集，确定方程有两个根 1-1-a 时，要讨论两个根的大小关 当a≥1时，不等式的解集为R 系，从而确定解集的形式 ⊙变式43(2024，通山一中单元测试)解关于x的不等式： a.x2+(1-a)x-1>0. 考点5 一元二次不等式的综合问题 核心总结 第 ⊙方法梳理+ 1.已知一元二次不等式的解集，求有关参数的值或有关不 1.若已知一元二次不等 等式的解集，只需逆用一元二次不等式的解法即可。 式的解，则由一元二次不等式 2.对于解决某些含参不等式恒成立的问题，可以转化为函 解的结构可逆向推知它的系 数的最值问题， 数所满足的条件（即相应的一 ⊙考题0若不等式a.x2十bx十c>0的解集为{：x一3<x< 元二次方程的两个根及二次 项系数的正负性)，再利用韦 4},则不等式bx2+2a.x一c-3b<0的解集为 达定理即可解决问题， 解，a.x2十b.x十c>0的解集为{x一3<x<4}, 2.一元二次不等式在实 .a<0且一3和4是方程a.x2十b.x十c=0的两个根. 数集R上的恒成立问题的解 -3+4=-b 决方法： b=-a, 对于一元二次不等式在 由韦达定理得 即 3×4=￡， c=-12a. R上的恒成立问题，恒大于0 就是相应的一元二次函数的 ∴.将b,c代入不等式bz2+2a.x-c-3b<0得-a.x2+2a.x+ 图象在给定区间上全部在x 15a<0,即x2-2x-15<0,解得-3<x5. 物上方，恒小于0就是相应的 75 考点同步解读>商中就学必修第一册BSD么 故所求的不等式的解集为{x一3<x<5}. 一元二次函数的图象在给定 答秦{x-3<x<5. 区间上全部在x轴下方.设 ⊙变式5-1(2024，九江一中月考)（多选）已知关于x的不 y=a.x+bx+c(a≠0). 等式a.x2十bx十c≥0的解集为{xx≤一2或x≥4}，则( (1)y>0在R上恒成立 a>0, A.a>0 △<0. B.不等式bx+>0的解集为{xx<一4} (2)y<0在R上恒成立 C.a+b+c>0 a<0, 第 D.不等式cx2一bx十u≤0的解集为xx≤-或x>号 △0. (3)y≥0在R上恒成立 ⊙考题11已知不等式m.x2一2x十m>0,若对所有的实数 a>0, x,不等式恒成立，则m的取值范围为 △≤0. 解析令y=mx2-2x十m, (4)y≤0在R上恒成立 第三章 ,对一切x∈R,mx2一2x十m>0恒成立， a<0, ∴.函数y=nx2一2x十m的图象全部在x轴上方. △≤0. 第 ①若m=0,则y=一2.x,显然不符合题意. 如果题目未点明不等式 ②若m≠0，则y=1.x2一2.x十m为一元二次函数， ar2+x+c>0(≥0，<0，≤0) 需满足其图象开口向上，且与x轴无交点， 为一元二次不等式，那么还需 第五鱼 要对二次项系数a=0时的情 m>0, m>0, ∴.m>1. 况进行讨论，这是一个易 △=4-4m2<0. m>1或m<-1. 漏点 第六章 ∴.m的取值范围为(1，十0∞). 答案(1，十∞). 第 ⊙变式52关于x的不等式(1十m)x”十m.x十m<x2十1对 x∈R恒成立，则实数m的取值范围为 考点6 一元二次不等式的实际应用 核心总结。 海难点突娘… 解一元二次不等式应用题的关键是设未知数，根据题日中 1.解应用题的关健是首 的不等关系先构造一元二次不等式，然后解不等式即可。 先应理解题意，然后理顺数量 ⊙考题12(2024，湖南师大附中单元测试)汽车在行驶中， 之间的关系，集中条件，建立 由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住， 目标函数，以方程或不等式为 我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要 工具求出数学问题的解，再转 因素.在一个限速为40km/h的弯道上，甲、乙两辆车相向而行， 化为实际问题的解。 司机发现情况不对后同时刹车，但还是相碰了.事后现场勘查测 2.解一元二次不等式应 得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m已 用题的关键在于构造一元二 知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位：m)与车速x(单位： 次不等式模型，即分析题口中 km/h)之间分别有如下关系：sm=0.1x十0.01x2,s2=0.05x十 有哪些未知量，然后选择其中 0.005.x2 起关键作用的未知量，将其设 76 儿第一章)预条知识 问：甲、乙两车有无超速现象？ 为x,用x来表示其他未知 解由题意知，对于甲车，有0.1x十0.01x2>12,即x2十 量，再根据题目中的不等关系 10x一1200>0，解得x>30或x<一40（不符合实际意义，舍去）， 列不等式 这表明甲车的车速超过30km/h. 但根据题意知，甲车的刹车距离略超过12m,由此估计甲车 的车速不会超过限速40km/h. 对于乙车，有0.05.x十0.005.x2>10,即x2+10x-2000>0. 解得x>40或x<一50（不符合实际意义，舍去），这表明乙车的 车速超过40km/h,即超过规定限速， 山规律总结” ⊙变式61(2024，赣州教育发展联盟联考)某光伏企业投 解一元二次不等式 资144万元用于太阳能发电项目，n(n∈N“)年内的总维修保养 应用题的步骤 费用为(42十20)万元，该项目每年可给公司带来100万元的收 (1)阅读理解，认真审题， 入.假设到第年年底，该项目的纯利润（纯利润=累计收入一总 把握问题中的关键量，找准不 维修保养费用一投资成本)为y万元。 等关系 (1)写出纯利润y的表达式，并求该项目从第几年起开始盈利. (2)使用数学符号，用不 (2)若干年后，该公司为了投资新项日，决定转让该项日，现 等式表示不等关系 四 有以下两种处理方案： (3)解不等式. ①年平均利润最大时，以72万元转让该项目： (4)回归实际问题. ②纯利润最大时，以8万元转让该项目 你认为以上哪种方案最有利于该公司的发展？并说明理由. 对标演练分级测评·及时清训 >基础通关测评 限时15分钟n 3.考点5若不等式mx2一m.x十1>0的解集为 一、选择题 R,则实数m的取值范围是( 1.考点4若25一x2≤0，则( ) A.{mm≥4} B.{m0≤m<4} A.0≤x≤5 B.-5≤x≤0 C.{mm≥4或m≤0}D.{m0<m<4} C.-5≤x≤5 D.x≥5或x≤-5 4.考点1.2(2024，安庆一中月考)已知二次函数 2.烤点5若关于x的不等式x2-4x一2-a≤0 y=a.x2十bx十c同时满足下列条件：①二次 有解，则实数a的取值范围是( 函数图象的对称轴是直线x=1:②最值是 A.{aa≥-2} B.{aa≤-2 15:③图象与x轴有两个交点，其横坐标的平 C.{aa≥-6 D.{aa≤-6 方和为15一a.则b的值是().参考答案与提示> 10.(1).a,b.c是不全相等的正数且abc=1. $4 一元二次函数与一元二次不等式 【变式训练】 [变式1-1] A 提示:不等式2-8x+6-a 0在 #### 1<r4时有解,等价于当1<x<4时,a<(2r-8x 6)..由二次函数y=2-8x十6的图象(如图所示) #<士+.五<(+)# 知,当1<4时,-2<2^-8r+6<6,所以a $$$$ . #理#、1<(+)#<(+。). 又a,b,c不全相等,以上三个不等式中至少有一个等 号不成立, #++<寸{(+-)+(+士) ()-+寸+# [变式1-2] -6;6.提示:y--2x+1-(x-1$ 其图象的顶点坐标为(1,0).将二次函数y-r-2x+1 #$1#2ab +26(等号成 的图象向下平移3个单位长度,再向右平移2个单位长 立的条件为b-c),同理可得(等 度后,所得函数图象的顶点坐标为(3,一3),得到的抛物 线方程为y-(r-3)-3. 号成立的条件为a-c).ca{} .=”十br十'(x-3)-3-”十hr十c.即?- 6r+6-r十b十c..b--6.c-6. 立的条件为-a). [变式2-1]-4x十3(答案不唯一) 提示:第一种 情况:f(x)具有①②③三种性质,由②③可设f(x)一 ar-4x十3(a去0),则根据①可得a-1,所以f(x)一 -4r十3. 【实验班选做题】 第二种情况:/(x)具有①②④三种性质,由①④可设 提示:9-x(r+2y)-x(1x+1x+2)x· 1.54. /()-a(x-1){-1(a>0),则根据②可得-2a=-4. 解得a-2,所以f()-2(-1)-1-2-4r+1. 第三种情况:f(x)具有①③④三种性质,由①④可设 f(x)-a(x-1)-1(a>0),则根据③可得f(0)-a-1 则y2·3-54,当且仅当x-2y,即x-.y 3.解得a-4,所以f(x)-4(x-1)-1-4x-8x+3. 时,等号成立.所以vy的最大值为54. 第四种情况:f(x)具有②③④三种性质,由②③可设 2.10-+10+ y+x 得a-2,所以/(x)-2r-4r+3. (2+2)+(8+)+(8y+) [变式2-2](1)函数y--*-x+3--(c+)*}+ ry+y十r2 3.结合函数图象(图略)可知,当x--1时,v-13. 4x+4rs+4ys xy十z十y 无最小值. -4. (2)函数y--3-x+4-(-)+,结合函数图 当且仅当x-y--时,等号成立. 象(图略)可知,当x-时,yrn一7.无最大值. 故10+10的最小值为4. xy十y+x2 (3)函数y--+2x+1--(r-1)+2,结合函数图 2 I 考点同步解读 高中数学 必修 第一册 BSD 乡 象(图略)可知,当x-1时,yx-2,无最小值. ③当a<-1时,-1<1, [变式3-1] C 提示:A中x的最高次数为3;B中a不 所以原不等式的解集为{-1<<1》. 能为0;D中x的最高次数为1. [变式3-2] -2;x-1<x<3. 提示:因为关于1 综上所述,当a一0时,原不等式的解集为{xlx>1); 当a→0时,原不等式的解集为({xx>1或<-1: 一2,所以b=-2a.此时可将不等式ar^*}+bx-3a 0转 当-1<<0时,原不等式的解集为{ 1<<-1): 化为r}-2ax-3a>0.因为a0,所以-2x-3<0. 解得一1<x<3,故关于x的不等式ar+bx-3a>0的 当a<-1时,原不等式的解集为{-1<<1: 解集为xl-1<x<3. 当a三一1时,原不等式的解集为② [变式4-1](1)原不等式可化为r+3x-4-(x+4)· [变式5-1] ABD 提示:关于x的不等式ax*}+b士 (-10. c0的解集为(xx-2或x4,所以a>0,A选项 x+40.(x4<0. 等价于 或 正确;由题意知-2和4是关于x的方程ax{}十bx+c-0 -10“ 1-1<0. 解得x1或x-4. 的两根,由根与系数的关系得 则一 故原不等式的解集为(rx<一4或x1. (2)原不等式等价于(r十4)0,故原不等式的解集为R -2a,c--8a,则a+b+c--9a<0,C选项错误;不等 (3)原不等式等价于-+5x+9<0,对应一元二次方程 式6x十 0即-2ar-8a>0,解得x-4.B选项正 的根的判别式A-52-4×1×9--11<0,即对应一元 确;不等式cr?-br+a<0即-8ax*+2ax+a<0,即 二次方程无实数根,故原不等式的解集为 8r-2-1>0.解得-1或x,D选项正确. (r-5x+2-4. [变式4-2](1)原不等式可化为 [变式5-2](-o,0]. -5r+2<26. 提示:原不等式等价于n十 1-5.r+6>0. (r>3或2. nx+m-1<0对xER恒成立. 即 解得 1-5.r-24<0. 1-318. 当n-0时,0·+0·x-1<0对xER恒成立. '.原不等式的解集为rl-3 x<2或3 x<8 (n0. 当n关0时,由题意得 → 1--20--2>0. △-n-4m(n-1)<0 (2)原不等式可化为 “即 1--r-2<4.” 1*--6<0. (0. (0. r-1或r>2. 解得 3m-4m0 1-2<3. 综上,实数n的取值范围为nm0. '.原不等式的解集为rl-2<x-1或2<x3). [变式6-1](1)由题意可知y-100n-(4r+20)- [变式4-3] 原不等式等价于(x一1)(ax+1)>0. 144--4n+80n-144(nN). (1)若a-0,则-1D0,所以原不等式的解集为xx>1. 令y>0,得-4r+80n-1440,解得2<<18 (2)若a>o,则-1<0. 所以公司从第3年起开始盈利 (2)若选择方案①,设年平均利润为y: 所以原不等式的解集为{ x>1或x<-1. (3)若a<0(a<0时,还要注意两根大小的讨论) 当且仅当n-36.即n-6时等号成立,所以当n-6时, 所以原不等式的解集为{ 1<<-1. y取得最大值32,此时该项目共获利32×6十72 264(万元). ②当a=-1时,原不等式变为-(x-1*>0. 若选择方案②,纯利润y--4r*+80n-144--4(n- 所以原不等式的解集为. 10)十256. 16 参考答案与提示> 所以当n一10时,纯利润取得最大值256,此时该项目共 【高考通关测评】 获利256+8-264(万元) 1.C 提示:因为不等式(a-2)r+2(a-2)x-4>0的 以上两种方案获利均为264万元,但方案①只需6年,而 解集为. 方案②需要10年,所以仅考虑该项目的获利情况的话 所以不等式(a-2)r+2(a-2)x-4<0的解集为R 选择方案①更有利于该公司发展 当a-2-0,即a-2时,不等式为-4<0,符合题意. 【基础通关测评 当a-2<0,即a<2时,△-[2(a-2)+4×4×(a 1.D 2)<0,解得-2<a<2. 2.C 提示:若关于x的不等式x一4x-2-a<0有解. 综上,实数a的取值范围是a|-2<a<2). 则A-16+4(2+a)0.解得a-6. 2.C 提示:不等式-(m+3)x+3n<0,即(x-3)( 3.B 提示:当n=0时,1>0,符合题意;当m:0时 -m)0. [m>0. 解得0m4.综上,0n4. 当n>3时,不等式解集为(3,m),此时要使解集中恰 △-m-4n<0. 有3个整数,则这3个整数只能是4.5,6.故6<n7. 4.C 提示:由已知条件得二次函数y一ar十r十c的 当n一3时,不等式解集为,此时不符合题意 图象的顶点坐标为(1,15),可设解析式为y-a(x-1) 当3时,不等式解集为(n.3),此时要使解集中恰 +15(a0),即y-ax}-2ax+15+a 有3个整数,则这3个整数只能是0.1,2,故-1n0 .二次函数的图象与x轴有两个交点,设其横坐标分 故实数n的取值范围为[一1,0)U(6,7]. 别为x,r, 3.B 提示:根据给出的定义,得x(x-2)=x(x-2)十 '.,x:是一元二次方程ar^*-2ar+15十a-0的两 2+(r-2)-x+x-2-(x+2)(x-1). 个根. 又x(x-2)<0.则(x+2)(x-1)<0. 根据一元二次方程根与系数的关系,得十x。一2. 故这个不等式的解集是(x-2<x1. x:15-+a 4.CD 5.AC 提示:因为不等式ar十bx十c0的解集为x $.r+-(x+z)*-2xi=2*-2×15+ nx.其中n>0. 2a-30 所以aC0,n,n是方程ar十br十c=0的两个根,所 以A正确. .2a-30-15-a. :+-15-. (b--(n十n)a. 由A知 '-13-30-0,解得a--2或a-15. 解得 1c-m. nnC. 当a--2时,y--2r+4x+13,b-4; 当a-15时,y-15x^*-30x+30,此时,函数图象开口 因为0,n n,所以0 向上,项点坐标为(1:15),与x轴没有交点,与已知不 又由于a<0,所以c二g<0.所以B错误 符。.-4. cr+bx+a>o可化为mna.x-(n+n)·a.r+a>0. 5.(1)1.(2)(al-1<a0. 提示:(1)由题意知>0 即mnr-(m+n)x+10.即(mx-1)(nx-1)0. 且A-(-2)-4a-0,解得a-1. 因为m>0,所以1~1 _ (2)由0S.且-1s.得a<0且ax(-1)-2x 所以不等式c+b+a>0的解集为{|<<1. (-1)+a>0,解得-1a0. 6.(xx一2或x>3.提示:由题表可知,函数的图 所以C正确,D错误 象开口向上,且零点为x=-2,x一3,从而一元二次不 6.是;(1,十).提示:原命题是假命题,则原命题的 等式ar十十0的解集为(xlx-2或x3). 否定是真命题,所以两位同学所出的题目中的取值 17 I 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 BSD乡 范围是一致的,因为r+2x十m 0对于任意的xR 第二章 函数 恒成立,所以相应方程根的判别式A-4-4m<0.所 s1 生活中的变量关系 以m1. 【变式训练】 7.(1)设大矩形的长为x,宽为y; [变式1-1]300,100;s.1 提示:在这一变化过程中 依题意有2(r+y)-160,即x+y-80. 两地距离和汽车平均速度没有发生变化,变化的是行驶 时间及汽车距离上海的路程 [变式2-1](1)具备函数关系.只是在葫芦完全没入水 当且仅当x三一40时,底面面积最大 中以前,葫芦所受的浮力随葫芦没入水中的深度的变大 96000 -2400. (2)依题意有S-ry 而变大.而到葫芦完全没入水中以后,葫芦所受的浮力 40 就是一个常量了. 框架用料最少等价于底面用料为2x十3v最小即可. (2)若把水面与葫芦相交处的圆的半径作为因变量,劫 $+3y2v6xy-240,当且仅当2x=3y,即y=40 芦没入水中的深度作为自变量,则它们之间具备函数关 x-60时取等号. 系,而将以上两者互换,则不具备函数关系,因为在相同 故当长为60cm,宽为40cm时,框架用料最少 的半径下,葫芦处于水中的深度可能不同 8.(1)由题意知,r”+ax+3-a>0对任意xER恒成立 [变式3-1] (1)图象表示了时间与离家的距离两个变 则△-a”-4(3-a)<0,解得-6<a<2 量之间的关系,时间是自变量,离家的距离是因变量. (2)在10时和13时,小明离家分别为10千来和30千来 所以实数a的取值范围是al一6a2 (3)小明在12时至13时这一时间段离家距离最远 (2)由题意知,当x1时,r十ax+3一a0有解 (4)不是,因为对于某一个确定的离家距离,与之对应的 {-# {1. 时间的值不是唯一的,例如,离家距离为30千米时,离 则 或 :-4(3-a)>0 家的时间是12时至13时这一段,不唯一 1+a+3-a<0. [变式4-1](1)当0 ra时,y=3十c; 解得a2,即实数a的取值范围是ala2 当x>a时,y-3+c+(r-a)b-xb+3+c-ab. 【实验班选做题】 所以每个月的燃气费y(单位:元)关于该月使用的燃气 1.A提示:令6+3c-x,8c+4=v.3a+2b= (3+c0xa. 量r(单位:m)的函数解析式为y #-+#1 xb+3十c-ab,x>a (2)因为仅7月份的燃气使用量未超过am,所以3士 则#- c-4,解得c-1. #-+1 因为仅7月份的燃气使用量未超过am,所以8、9月份 的燃气使用量超过了am}. #所以40 256+3+1-ab-14. 解得 (6-0.5. 所以 1356+3+1-a6-19. a-5. (#(+)()({+) 所以a-5,b-0.5.c-1. (4.0r<5. ##-·+·大# 所以y一 函数图象如图 (0.5x+1.5.x5. -7. ,元 当且仅当x·y:-1:2:3,即a:b:c-10:21 1 时取“一”. x'm 18