3.2 基本不等式-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读>高中就学必修第一册BSD么 3.2 基本不等式 高考要求学业标准·考情分析 一考点分布 学科素养· 一学法导引 1.了解算术平均数、几何平均数的概念，理解基 1.应用基本不等式解决有关 本不等式的代数证法和几何证法。 问题时，必须紧扣它的适用条件， 第 否则就会得出错误的结论。 2.熟练掌握基本不等式及其变形形式，并能熟 2.要善于活用基木不等式，也 数学运算 第二章 练运用基本不等式来比较两个实数的大小，求 就是不仅要善于“正用”“逆用”，更 逻辑推理 某些函数的最大（小）值、证明简单的不等式. 要善于“变形用” 数学建模 3.要善于应用基本不等式解 第三章 3.通过应用基本不等式解决有关实际问题，进 决比较大小，求最值、证明不等式 ~步提高运用数学知识分析和解决实际问题 等问题，提炼，归纳、总结解题规 第四章 的能力。 律和方法，并熟练掌握。 第五鱼 考点分类考点透析·典例剖析 考点1 基本不等式 第六章 ·核心总结 约难点突浪 L.重要不等式：如果a,b∈R,那么 基本不等式的证明 第七鱼 a2十2>2ab(当且仅当a=b时，等号成立). 1.代数法 2.对重要不等式a2+b≥2ab(a,b∈R)的理解 方法-当a≥0，b≥0 (1)不等式中的a,b既可以是某个具体的实数，也可以是 时，-a瓜=@+ 2 一个代数式 (2)“当且仅当”的含义：①当a=b时，取等号，即a=b→ 6-2a6]=2(a- a2+=2ab;②仅当a=b时，取等号，即a2+=2ab>a=h. b)≥0，当且仅当a=b,即 3.基本不等式：如果a≥≥0，b≥0，那么 a=b时，等号成立. a>d(当组仅当a=6时，等号成立) 方法二当a≥0，b≥0 时要注安宁>瓜，只要证 其中，生称为a,6的算术平均值，va西称为a,6的儿何 a+b≥2ab,只要证a+b 平均值.因此，基本不等式又称为均值不等式，也可以表述为： 2√ab≥0，只要证(Wa)>0. 两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 显然，最后一个不等式成 4.应用基本不等式时，应注意它的变形不等式的灵活运 主，所以中>瓜底立，当 用，常用的变形不等式如下(a,b∈R,): 且仅当va=√b,即a=b时，等 58 ∥第-章>预务知识 号成立 (1)ab≤ 2.几何法 2号+>2 如图，AB是圆的直径，点 C是AB上一点，AC=a, 2 @于E(当且仅当a=b时，等 BC=b.过点C作垂直于AB 2 2 的弦DE,连接AD,BD.利用 a b 这个图形可以得出基本不等 号成立) 式士>√的儿何解样。 ⊙考题面(2024，成都七中月考)（多选）《九章算术》中有一 D “勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏 晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出 第 了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和 E 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正 易证R△ACDR△DB. 第 方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将这三种颜色的图形进 那么CD=CA·CB,即CD= 行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a十b,宽为内接正方 ab. 形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图 四 这个圆的半径为“十中，显 3,设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形的对 2 角线AE,过点A作AF⊥BC于点F,则下列推理正确的是( 然，它大于成等于D.即艺 第五章 √ab,当且仅当，点C与圆心重 第 六 合，即当a=b时，等号成立. 国光，基长不学式安宁 第 七 图2 √ab的几何意义是“半径不 图 图3 小于半弦” A由图1和图2面积相等得d=2 ab a+Fa十b B由AE≥AF可得√2 2 a2+、 2 由AD≥AE可得，2工+ D.由AD≥AF可得a2+b≥2ab 解析对于A,由图1,2面积相等得S=ab=(a十b)×d,所以 d=a a干b,故A错误。 对于B,因为AFLBC,.所以号XaXb=号+FXAF,所 以AF= ab √a2+ 59 考点同步解读>高中t学必修第一滑BSD色 设图3中内接正方形的边长为1，根据三角形相似可得4二 a a十b所以AE=21=2ab 6,解得1=ab a+b' 因为AE≥AF,所以2ab 队a+b√a+ ,整理可得 2 2 ,故B正确 第 对于C,因为D为斜边BC的中，点，所以AD=@于F 2,因为 第二章 厚常，子 2 正确。 第三章 对于D.因为AD>AF,所以@于E≥ab 2 ,整理得a √a+ +b≥2ab,故D正确. 第 答案BCD 围已知6>0，b>0,则A=√@，B=,C 山规律总结， 第五鱼 1.若问题中一端为“和 Vab,D=- 2 的大小顺序为 式”，而另一端为“积式”，这便 11 第六章 是应用基本不等式求解的“题 解泥，a>0,b0, ∴a√（当且仅当a=b时，取等号）. 眼”，不妨试试运用基本不等 2 式，看能否解决问题 第七鱼 +B_a十b- ：2 a2+2 (a+b) 2.在应用基本不等式解 2N2 4 题时，还应注意不等式性质的 2a2+2b a2+6+2ab 运用，如考题2中便运用了性 4 4 而a+≥2ab>0,∴.2a2+2≥a2++2ab>0. 质若a>b>0,则日长分 ∴.√2a+2bG>√a2+b+2ab. 3.应用基本不等式比较 @于正≥a时b(当且仅当a=b时，取等号)，即A≥B. 大小，关键在于构建两个数的 2 “和”与“积”，再利用基本不等 111a+6且a>0,b>0,a+6>2ab. 又 2 2ab 式得到它们之间的大小关系 01s1 a+b 2ab 2ab 2ab=Jab, ∴a+b2√ab vab≥2a(当且仅当a=b时，取等号)，即C②≥D. a+b “≤<（当且当a6时取等号》 2 160 第-章>预条知识/ .A≥BC≥D 答系A>B>C>D, ⊙变式1若0<a<1,0<b<1,且a≠b.则a十b,2vab, 2ab,a2+中最大的一个是( A.a2+6 B.2ab C.2ab D.a十b 考点2 最值定理 ·核心总结 难点突破， 当x,y均为正数时，下面的命题均成立： L,最值定理的证明 (1)若x十y=s(s为定值)，则当且仅当x=y时，xy取得 :x,y都是正数， 最大值 .≥w 2 (2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x=y时，x+y取得 (1)积xy为定值p时，有 最小值2√币， , ⊙考题3(2024，郑州一中单元测试)求解下列问题： ∴x+y≥2Wp,当且仅当 第 四 ()若>0，求2+3x的最小值. x=y时，取等号 x 因此，当x=y时，和x十 (2)若<0，求2+3x的最大值 y有最小值2√p. (2)和x十y为定值8时， 得程1)：x>0,由慕本不等式得2+3x≥2、 12 .3x= 有< 2√丽=12，当且仅当3=号时：取等号，即当=2时，是+3取 y≤，当且仅当 得最小值12. x=y时，取等号 (2)x0,.-x>0, 因此，当x=y时，积xy 有装大位. 2.利用最值定理，可快速 12+3≤-12，当且仅当12 =一3x时，取等号， 求出最大值和最小值，即两正 即当工=一2时，2+3x取得最大值-12. 数之积为定值，其和有最小 值；两正数之和为定值，其积 ©变式21（多选）下列说法正确的是( 有最大值 A若0<<号，则x1-3x)的最大值为号 然名师支招… 1.利用基本不等式求画 B函数y=十3+3(>-1)的最小值为2 x+1 数的最大值或最小值的基本 技巧是“拼凑”，即要求和的最 C已知x+y=1,>0>0.则2十y千有的最小值为 小值，必须拼凑出两个正数， D.若正数x,y满足x2十xy一2=0，则3.x十y的最小值为3 使它们的积为定值：要求积的 61 考点同步解读>高中效学必修第一册SD色 ⊙考题4(2024，山东省实验中学月考)已知x>2,则 最大值，也必须拼凑出两个正 2的鼓小值为 数，使它们的和为定值，也就 是“和小积定”“积大和定” 国：-2 2.利用基本不等式求最 值的关键在于“一正二定三相 令1=x一2，则t>0,x=t十2， 等”：(1)“一正”是指各项必须 4 ∴.2x2一8x七8=2一2+24+4=2 为正，(2)“二定”是指要求积 x2-2.x+4 +4+2 的最大值，则其和必须为定值： 要求和的最小值，则其积必须 +4>4,04 +4+2 为定值，常用方法有：拼凑系 数、整体代换、部分分式、倒数 <2,当且仅当1=号即1=2x=4时，等 相除、换元、平方等.(3)“三 +4+2 相等”是指必须验证等号是否 第三章 成立 号成立，故所求的藏小值为 章视野拓展… 第五鱼 ⊙变式22 x2+x+1 x2+2.x+1 (x>0)的最小值为 不等式a+>2ab和生 √ab的常用变形及推广 ⊙考题5(2024，上海格致中学期中考试)若正数x,y满足 第六章 x+3y=5xy,则3.x+4y的最小值是( 1名+号≥2a6月 A.2 B.3 C.4 D.5 台+号≤-2a.6异号 第七鱼 解机方法一 由条件得y=5x-3' 2.a+1>2(a>0): 由x>0>0知x>号从而3十4y=3x十”3=3江十 4.x a+日k-2a<0n 4-)+号 +≥ba>0 (。-引 25(-) b0). 4若ka0b0. 5.2(a+)≥(a+b) (a,b∈R), 号.故3.x十4y的最小值为5. 6.a+a十…+a 方法二由原条件式转化得2+}=5，则3x十4)=(2十 ≥Va1agan (aag,…,aw∈R且n≥2. a+)-+4+249）3+2g· 0=5,当且 n∈N). 仅当12y=3x+3y=5xy,即x=1,y=2时，取等号. 7.(a1十a:+…十aw) 62 第-章>预条知识/ 故3.x十4y的最小值为5. 答案D a. aw∈R,且n≥2，n∈N). ⊙变式23(2024，邢台一中单元测试)已知a>0,b>0,x> 0,y>0,4+b=1,则x十y的最小值为 x y ⊙考题6(2024，山东师大附中测试)已知a>0,b>0,ab= a十b十3，则ab的最小值为 山技巧归纳… 解析呢，'a>0,b>0,∴.ab=a十b十3≥2ab十3. 利用最值定理求最值的 ∴.(Vab)*-2vab-3≥0，即(ab-3)(ab+1)≥0， 常用技巧有如下几种： .ab≥3或vab≤-1（舍去），∴.ab≥9， (1)裂项法. (2)分离常数法. 等号成立的条件是a=b且ab=9,即a=b=3. (3)并项法， 故ab的最小值为9. (4)“1”的代换法 答率9. (5)换元法. ⊙变式24(2024，长沙雨花区期末考试)若实数a,b满足 (6)消元法. 第 ab>0,则a+6+的最小值为 (7)解不等式法 考点3 利用基本不等式证明不等式 ·核心总结 利用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑” 意难点突破 第 “拆”“合”“放”“缩”等变形，从而构造出符合基本不等式条件的 均值不等式链十 查 结构. a b 第 va≤≤ 后+ ⊙考题7(2024，华南师大附中测试)已知a>0,b>0,>0, 2 -(a 求证合++a+叶 b∈R-)的证明如下： (1)由a,b∈R可得 团a>06>0>0,g+5≥2、会罗 bc ac-2c. a6念 同理+20%+24 2 + ≤ab,当且仅当a=b ∴2+g+ ≥2(a+b+c). 时，等号成立」 故g+g+心>a十6叶（当且仅当g-g-中，申a=6=c a b c (2)v届<生中，当里仅 时，等号成立 当a=b时，等号成立，已证 (3)a2+6≥2ab ⊙考题8(2024，临川一中单元测试)已知a,b,c均为正数，且 →2(a2+b6)≥>(a+b) +6=1求证日++≥ → 4 63 考点同步解读》】高中数学必修第一册BSD台 围方法-是+石+=叶牛+诊+ (a+b) a 4 3+(倍+号)+（台+）+（信+2）≥3+2+2+2=9， =a+b1_=a+b 2 . 当且仅当a=b=(-=号时，等号成立. 所以，当a,b∈R时，有 方法二：a,b,c均为正数，a十b十c=1, 岁≤要，当具仅当 2+6+=a+b+e日+7+2) a=b时，等号成主 综合(1)(2)(3)可得，当 第 =1++后+8+1+后+++ aa 日bER时，有2V而 第二章 =3+(2+8)+(后+)+（后+2）≥3+2+2+2=9， a十6 当且仅当a=b=c-3时，等号成立. a=b时，等号成立. 第三章 @变式3团已知a,b,c∈R且a+b什c=1,求证：（合-1）： 山规律总结 在应用基本不等式解决 第四章 (2-1)(2-1)≥8 问题时，要注意它们各自成立 的条件，以确保推理的正确 第五鱼 性，有时雪要适当地运用添 项、分拆、拼凑，组合等恒等变 形的技巧，如在考题8中，通 过变量代换简化了分母，为运 用基本不等式创设了条件（出 第 现倒数) 考点4 基本不等式的综合应用 。核心总结 难点突破… 1.应用基本不等式解决实际问题的步骤： 如果实际问题需要用多 (1)仔细阅读题目，透彻理解题意， 个变量才能描述清楚量与量 (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示 之间的关系，那么可能需要利 其他的变量，进而把目标表示成它的代数式。 用基本不等式构造关于目标 (③)应用基本不等式求出目标代数式的最值. 变量的不等式，解此不等式并 (4)还原实际问题 验证等号成立的条件，即可求 2.不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等 出最值，进而解决实际问题 式中参数的取值范围.对于求不等式成立时参数的范围问题， 在满足条件的情况下可以把参数分离出来，使不等式的一端是 含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把 问题转化为只有一端是参数的不等式的形式，便于问题的解决。 64 /第-章)预条知识/ ⊙考题9(2024，烟台三中测试)如图，要设计 张矩形广告，该广告含有大小相等的左、右两个矩形档 目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm, 四周空白的宽度为10cm,两栏之间中缝空白的宽度为5cm.怎 样确定广告的高与宽（单位：cm)的尺寸能使矩形广告的面积 最小？ 解析设矩形栏目的高为acm,宽为bcm,则ab=9000.① 广告的高为(a十20)cm,宽为(2b+25)cm.其中a>0,b>0. 广告的面积S=(a+20)(2b+25)=2ab+40b+25a+500 18500+25a+40b≥18500+2√25a·40b=18500+2√/1000ab= 24500. 当且仅当25a=406时，等号成立，此时0=8a,代入①式得 a=120,从而b=75. 即当a=120,b=75时，S取得最小值24500cm2. 故当广告的高为140cm,宽为175cm时，可使矩形广告的面 积最小 @考题D若不等式9x+今>≥a+1(常数u>0)对一切正实 ②解题策略 有关不等式恒成立的问 数x恒成立，则实数a的取值范围为· 题的常见求解策略是转化为 解机若9x十Q≥a十1（常数a>0)对一切正实数x恒成立， 求最值问题，即 y2m恒成立台ym≥m: 第 则a+1≤(9x+ ym恒成立一ymx≤m, 七意 但要注意分离参数法不 又9x+≥29r=6a,当且仅当9x-,即x=号时， 是万能的，如果分离参效后得 等号成立， 出的西数解析式较为复杂，性 质很难研究，就不要使用分离 故6a≥a十1，解得a≥ 参数法 对标演练分级渊评·展时待训 》基础通关测评限时15分钟” A.2 B.2√② C.3 D.4 一、选择题 1.考点1、2(2024，枝江一中月考)如果a>0,那 2图国已知正数a6清足a十20=3，则。 么a十1+2的最小值是(). 十名的最小值为( 65 考点同步解读〉高中效学必修第一册BSD么 A R号 C.2 D.3 少)的选择是(). A.9.5m B.10mC.10.5mD.11m 3.考点了已知a>0,b>0,下列不等式中不正确 4.考点④权方和不等式作为基本不等式的一个 的是( 变化，在求二元变量的最值时有很广泛的应 A.at 2 B.aba'tb 用，其表述如下：设a,b,x,y>0,则g+≥ ca≤) D(o-atw 2 a时，当且仅当号-时，等号成立，根 x十y 4.考点2已知正实数a,b满足2a十b=1,则 9 a+ab的最小值为( 5a+b 据权方和不等式，函数/)=是十”2 A.3 B.9 C.4 D.8 0<x<)的最小值为( 二、填空题 A.10 B.25 C.36 D.49 第三章 5.考点1.2已知a∈R,b>0,且(a十b)b=1,则 5.考点2（多选）若a>0,b>0,a十b=1,则下列 4+2 的最小值是 说法正确的是( 6.考点12已知x>0,y>0,8x+2y一xy=0, A.ab的最大值为 则x十y的最小值为 第五鱼 五a+b+号)的最小值为4 >》高考通关测评 限时40分钟 一、选择题 C.4a- 6的最大值为2 第六章 1.考点1已知a是实数，则“a<一1”是“a十 D+号的最小值为3+22 第七章 。长-2”的0 6.考点1、2（多选）早在公元前6世纪，毕达哥拉 A.充分不必要条件 斯学派就已经知道算术中项、几何中项以及 B.必要不充分条件 调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在 C.充要条件 《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术 D.既不充分也不必要条件 中项、几何中项的定义与今天大致相同.而今 2.考点1,4(2024，广东名校联盟期末联考)最 我们称“士为正数a,b的算术平均数a品 早发现勾股定理的人应是我国西周时期的数 学家商高，根据记载，商高曾经和周公讨论过 为正数a,b的几何平均数，并把这两者结合 这个定理的有关问题.如果一个直角三角形 的不等式a<艺(a>0,b>0)叫作基本 的斜边长为22，则当这个直角三角形的周 不等式.下列与基本不等式有关的命题中正 长取最大值时，其面积为(). 确的是( A.2 B.1 C.2 D.6 A.若ab=1,则a十b≥2 3.考点④将一根铁丝切割成三段，做一个面积 为4.5m、形状为直角三角形的框架，在下 且若a>0.6>0,是+方1.则a+6的最小 列四种长度的铁丝中，最合理（够用且浪费最 值为4② 66 儿第-章>预务知识/ C若a>0.b>0,2a+b=1.则2+≥4 10.考点3(2024，浏阳一中月考)求解下列问题： (1)已知a,b,c∈R+,且不全相等.若abc D.若实数a,b满足a>0,b>0,a十b=4,则 千2片，的最小值为2 1,求证va+6++方+ 二、填空题 (2)已知正数ab,c满足ac=,求证： 7.考点1②已知m,n∈(0，十c∞)，若m=m+2, ++≥1 则2的最小值为 8.考点2(2024，南昌二中质量检测)已知x>0, y>0,且x+十2y=3,则xy的最大值为 3x+Y的最小值为 三、解答题 9.考点4某人计划建造一个室内面积为1500m 的矩形温室大棚，并在温室大棚内建造两个 第 大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温 室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5m宽的 》实验班选做题限时10分钟 通道，两养殖池之间保留2m宽的通道.设温 五章 1.(2024,全国高中数学联赛福建赛区预赛)若 室的一边长度为xm,两个养殖池的总面积为 正实数x,y满足x(x十2y)=9,则xy的最 ym,如图所示 大值为 (1)求y的表达式 2.(2022,上海交大强基测试)x,y,x为正数，求 (2)当x取何值时，y取最大值？最大值是多少？ 10x2+10y+之的最小值. xy+yz+ag 养殖池 杀效地 1 67考点同步解读)高中载学必修第-一SD色 -b号>0，所以a>空>6，故A为真命题 又a>b,d>c,∴.0<b+ca十d. ② 因为>6>0，·=g>1,所以>a,同理可得 ①×@得品>台 b+c √ab (3),b+c <品<品或< b十c √ab>b,即a>√ab>b,故B为真命题. 因为a<b<0,>0,所以点--b_c-a)-a(c-b 名<理由如下 a c-a a(c-a) -总80，放C为假命题 :a+>b+e>0,0<a-c<b-dD 1 因为a<0,a<b<c,所以a<0,e>0,b-c<0,所以 “告<<或<< -0,故D为假命题。 合六（写出其中-个即可， 6.ABD 【实验班选做题】 78提示：将不等式@等价变形，后>号心0 ab 由ab>0,x>ad可得②成立，即①③→②：若ab>0, 1.令=号，则工=，代人+少=x c二ac0,则hc>ad.故Dg③：若c>ad,c二aL ab ab >0,则ab>0,故②③→①.所以可以组成3个正确的 此时+以·异1，且由r+=y知> 命题。 y>0,所以>1. 8.[-1,20].提示：设9.x-y=m(x-y)+n(4x一y) =(m十4n)x一(m十n)y, 所以<出 5 则/n+4n=g, 加三 3 因为告--0+名+2>22+2. 解得 m十n=1, 8 n=3 所以入的最大值为22+2. -4≤x-y≤-1.-1≤4r-y≤5， 3.2基本不等式 【变式训练】 [变式1-1]D提示：0a<1,0<1,a≠h, 号-号<99+号即-10ry0 ∴.a十b>2√ab,a2+>2ab..四个数中最大的应从 9.设A,B,C,D的体积分别为V,Vm,Vc,Vn,则Va a+b,a2十中选择.，a2+-(a十b)=a(a-1)+ r.Va=ry.Vc=ty.Vp=y. b(b-1),且0a<1,0b<1 当x>y时，则x>x2y>xy2>y2, ∴.a(a-1D<0,b(b-1D<0, 即Vu>Va>Ve>V. ∴a2十-(a十b)<0.即a2十<a+b,∴a十b最大. 当x<y时.则y2>y2x>x2>x2, [变式21]AC提示：x1-3x)=号×3x1-3x)≤ 即Vo>Ve>Va>Va. 又x+y2-(xy2+x2y)=(x2-x2y)+(y2-xy)= 号×(3号2)'-当且仅当3x=1-3x,即x= (x-y)2(x+y)>0, 言时，等号成立，A正确 在不知道x,y的大小的情况下，甲取A,D能够稳操 胜券，其他取法都没有必胜的把握。 设1=x十1，”x>-1,则>0，y=+3+3 x+1 10.(1)|b>c且>0，<0，，>-c,即b十>0. (2)c<<0,.-c>-d>0.又a>b>0, 中=1什片+1≥2+1=3，当且仅当1=1时：等号 t .a-c>b-d0..(a-c)>(b-d)>0. 成立，y的最小值为3，B错误。 1 12 /儿参考答素与提示>7 “法+品=（会+品儿x+(y+]×音 号=(h+).++必=[1+4+ 4 (岩+，第+受)×≥(2+号)×号-是当且仅 2a出+]≥[1+4+2× 当岩-系且十=1，即=号=号时，等号成 号，当且仅当a-。%且a>0,6>0,即a b 立，“安有的最小值为号-1=，C正确， 号：6=号时，等号成立所以十号的最小值为品 :x+y-2=0,y=2工=2-，3r+y 2 3A提示：当a>0,b>0时，因为+ -≤vab,所以 3x+是-=2z+2>2W2…三=4，当且仅当x=1 时，等号成立，3x+y的最小值为4，D错误 云十方当且仅当a=6时，等号皮立，故A不 [变式2-2] 景提示：y=品 正确。 =1 1 4B提示：，6均为正实数，流-- a(a-+b) x2+2x+1=1- ->1 ++222+2 当 x +日-(（+b+)a++a=4+1+。 a十b 且仅当x=,即=1时，取等号，则=是。 +≥5+2受=9.当且仅当书， a [变式2-3]a+b+2√a.提示：x+y=(x+y)·1= ,即a=6=号时，等号成立。 a (x+(受+)=a+6++g≥a+6计2v瓜， y 52提示：6>0，且u+)6=1,a=方-b, 当组仅当警-冬且受+乡-1.即 r=Ja(va+B), y y=/B(Ja+B) a+2=1 +ab=6-b+1 、之2=方6+26=方十 时，等号成立. 故所求的最小值为a十b十2v√ad. ≥2V会·h=2当且仅当方-6，即6=1时，等号成 [变式2】4提示：因为a>0,所以。2+4+品 立，故a+。子的最小值为2 2v匠·4G+b=b+≥2Va6~品=4，当且仅 6.18.提示：当x>0y>0时，8r+2y-xy=0=2+ a=4f,fa=1,「a=-1, 。-号。一时.等9政立 当 g= [变式31]：a,b,c∈R4,a+b+c=1, +y=(+0(侵+8)-10+g+2>≥10+2x y -1=1a_件-b+￡≥2医 4=18,当组仅当号-号，且十y=18,即=6y=2 aaa 时，x+y取得最小值18. 同理可得片-12严，-1>2画 【高考通关测评】 上述三个不等式两边均为正，将其两边分别相乘，得 1Λ提示：当a=-时a+日=--2<-2当a< (日-(6-1)(-)≥2匹.2匹.画 b -1时a+日=-(-a+a)K-2Va…。 8,当且仅当a=6=c=号时，等号成立。 -2,当且仅当-a=。即a=-1时等号成立，所以 【基础通关测评】 I.D 当a<-1时a十<-2成立.所以“a<-1是“a+ 2B提示：由a+2%=3得(a+1D+26=4,于是。+ 日<一2”的充分不必要条件。 13 考点同步解读)高中教学必修第一#$D色 2.C提示：设该直角三角形的斜边长为：=2√2，直角 仅当a=b=2时取等号，B错误。 边长为a,b,则a2十斥=c2=8.因为2ab≤a2+∥，所以 >0.6>0,2a+6=1.则品+方=2+2 2a b a2+F十2a≤2(a十F),即(a+b)产≤16，当且仅当 a=b,且a十∥=8，即a=b=2时，等号成立，因为 2+会+≥2+2√会·要=4.当组仅当会-碧且 a>0,b>0,所以a十≤4，所以a+b的最大值为4，该 2a十b=1,即a=b=时取等号，C正确 直角三角形的周长为a十b+c≤4+2√2，故这个直角 a>0,b>0,a十b=4,令m=a+2,n=b+2,则m>2 三角形的周长取最大值4十2√2时，a=b=2,此时该三 角形的面积为号×2×2=2， >2m十n=8则千2+片茶2-mn2+2型 a+2十b+2 3,C提示：不妨设直角三角形的两直角边长分别为a, b,则b=9,注意到直角三角形的周长为1=a+b+ =2(2+品+只)≥号(2+2)=2，当且仅当m=n √a+形，从而1=a+b+√+≥2ab+2ab= =4时取等号，即a==2时取等号，D正确. 6十3V2≈10.24，当且仅当a=b=3时，1取得最小值. 从够用且浪费最少的角度来看，应选择10.5m. 7.8.提示：因为m=四+2，化简可得m=m十2≥ 4B提示：因为0<<号，所以1一2x>0,于是得 2√2n.所以m≥8，当且仅当m=2n=4时，等号成 立，即mm的最小值是8. -瓮+>22如5，当且仅当号 32 8骨7g 提示：x>0,y>0,x十2y=3, 2即x=吉时取=“，所以函数f)=是+ ∴+2y=3≥2√2则<号，当且仅当x=2y 2(0<<号)的最小值为25， 多时取等号，即的最大值为号 5.ACD提示：因为4>0，b>0,所以a十b=1≥2/ab. 即ab≤子，当且仅当a=b=2时取等号，放A正确， 3结-}+号-号x+20(+号)-号（+ (a+)(若)=叶品++号≥2a·品+ +）≥号(+√，）-5，当且仪 2会·名=4，当且仅当a=6=1时取等号，此时 当经-号即=3y183时取等号。 x y 10 a十b=2与已知条件a+b=1才盾，故B错误， 故3+的最小值为+2⑥ 3 4a-品=41-6)-6=4-(h+)≤4 9.(1)依题意得温室的另一边长为150m,因为 2Vb~品=2.当且仅当h=即a=是6=时 x-3>0, 1500-5>0. 所以3Cx300. 取等号，故C正确， +=a+w(+)=3++≥8+ 则养殖池的总面积y=(x-3)(500-5)=1515 2√合·要=3+22.当且仅当6=。时取等号，故 4500-5x,3<r<30. D正确。 (2)由(1)知y=1515-(4500+5x)≤1515 7 6.CD提示：当a<0.0时，A显然不成立. 。>0,b>0,是+方=1，则a十6=(a十)· 2√0·x=1515-30=1215,当且仅当40 =5.x,即x=30时，等号成立， (日+)=2+台+号≥2+2√会8=4，当且 所以当x=30时，y取最大值，为1215m. 14 参考答秦与提示>引 10.(1),a,b,c是不全相等的正数且ac=1, §4一元二次函数与一元二次不等式 a++=√+√+V辰= 【变式训练】 [变式1-1]A提示：不等式2x2-8.x+6-a≥>0在 √低+Va 1≤r≤4时有解，等价于当1≤x≤4时，a≤(2.r2一8.x+ 6).由二次函数y=22一8.x十6的图象（如图所示） 2层<名+，√(g+) 知，当1≤x≤4时，-2≤2x2-8x+6≤6，所以a≤6. 同理V<号（日+2）√<（合+d) 又4，b,c不全相等，以上三个不等式中至少有一个等 号不成立， a+6+<[(6+）+(日+2)+ 可24主 (合+)]-++2 [变式1-2]-6：6.提示：边=x2-2.x十1=(x-1), (2)a ab 其图象的顶点坐标为(1,0).将二次函数=x2-2x+1 +打a+2ac+26产。+作+元（等号成 的图象向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 立的条件为6=)，同理可得行≥。++元（等 度后，所得函数图象的顶点坐标为(3，一3)，得到的抛物 线方程为y=(x-3)2-3. 号成立的条件为=0，开≥十云记（等号皮 a y=x2+br十c,.(x-3)-3=x2+bx+c,即x2- 6.x+6=2+bhx+c,∴.b=-6,c=6. 立的条件为b=a), [变式2-1门x2一4x十3（答案不唯一）.提示：第一种 故兴+品+开中 情况：f(x)具有①②③三种性质，由②③可设f(x)= 。十+元=1（当且仅当a=b=〔=方时取等号. ax2一4x+3(a≠0)，则根据①可得a=1,所以f(x)= 2 x2-4x+3. 【实验班选做题】 第二种情况：「(x)具有①②④三种性质，由①④可设 154.提示：9=xr+20)=x(号r+2x+2y)≥x· f八x)=a(x-1)-1(a>0),则根据②可得-2a=-4, 解得a=2,所以f(x)=2(x-1)F-1=2x2-4.x十1. 31 1 3√1…7x…2,所以3≥x·豆t…立x…2y, 第三种情况：f(x)具有①③①三种性质，由①④可设 f(x)=a(x一1)2一1(a>0),则根据③可得f(0)=a一1= 则.cy≤2·3=54，当且仅当号r=2y,即r=6y= 3,解得a=4,所以f(x)=4(x-1)2-1=4x2-8x+3. 时，等号成立.所以r的最大值为5头 第四种情况：f(x)具有②③④三种性质，由②③可设 2.10x+10y+x x)=ar-4r+3a≠0)，则根据④可得-右=1.解 ry+y十e 得a=2,所以f(x)=2x2-4x+3. (2r+2yr)+(8r+号）+(8y+2:】 [变式22】（函数y=--x+3=-(+号)广+ ry十y2十rg ≥4红十4红十4些 号，结合函数图象（图略）可知，当x=一之时是。 xy十gx十 无最小值 =4, (②函数上-3虹+4=()）+子，结合函数图 当且仅当x=y=时，等号成立. 象（图略）可知，当=受时=子无最大值 故0一士10Y十三的最小值为4. y十ye十x2 (3)函数y=-x2+2.x十1=-(x-1)+2,结合函数图 15