2.2 全称量词与存在量词-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第一章〉预条知识儿 2.2全称量词与存在量词 高考要求学业标准·考情分析 考点分布 学科素养 一学法导引一 1.结合学过的数学知识理 1.充分理解全称量词命题与存在量词命题的概 解全称量词与存在量词 念，重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假 的意义 判断，以及全称量词命题与存在量词命题的否定，熟 记一些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方 2.能正确使用存在量词对 数学抽象 式，并能够熟练运用其表示符号 全称量词命题进行否定 逻辑推理 2.学会判断一个命题是全称量词命题还是存在 量词命题。 3.能正确使用全称量词对 3.运用函数思想，数形结合思想解决含有一个 存在量词命题进行否定. 量词的命题的求参问题 考点分类考点透析·宾例剖析 考点1 全称量词命题与存在量词命题 ·核心总结。 难点突限： 1.全称量词与全称量词命题的概念 1.正确理解全称量词命 在给定集合中，断言所有元素都具有同一种性质的命题叫 题和存在量词命题 作全称量词命题.在命题中，诸如“所有”“每一个”“任意”“任 全称量词命题是陈述某 何”“一切”这样的词叫作全称量词，用符号“y”表示，读作“对 集合中的所有元素都具有（不 具有)某种性质的命题，无一 任意的” 例外，其强调“整体”“全部” [注意](1)一个全称量词命题可以包含多个变量.如 存在量词命题是陈述某 Hx∈R,y∈R,x2+y≥>0 集合中有（存在）元素具有（不 (2)在某些全称量词命题中，有时全称量词可以省略，在判 具有)某种性质的命题，强调 “个别”“部分”的特殊性 断某命题是否为全称量词命题时要特别注意.例如，棱柱是多 2.全称量词命题和存在量 面体，它指的是“所有的棱柱都是多面体” 词命题的若干表述形式 2.存在量词与存在量词命题的概念 (1)由于全称量词的不同 在给定集合中，断言某些元素具有一种性质的命题叫作存 表述，对同一个全称量词命题 在量词命题.在命题中，诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫 往往也有不同的表述形式，如： 作存在量词，用符号“3”表示，读作“存在”。 企称量词命题：“Hx∈M,p(x) 成主" [注意](1)一个存在量词命题可以包含多个变量，如 ①对每一个x∈M.p(x)成立： “3a,b∈R,使(a+b)2=(a-b)2” 2②对所有的r∈M,p(x)成立： 表 ③对一切xEM,p(x)减立： (2)如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大， 形 ④任取一个r∈M,p(x)成立： 都是存在量词命题 ⑤几x∈M.都有(x)成立 43 考点同步解读>商中就学必修第一册SD台 ⊙考题面(2024，西北工大附中周练)用量词符号表述下列 (2)由于存在量词的不同 全称量词命题： 表述，对同一个存在量词命题 (1)任一个实数乘以一1都等于它的相反数. 往往也有不同的表述形式，如： (2)对任意实数x,都有x3>x2. 存在量词命题，“了r∈A,p(D (3)凸n边形的外角和等于2元. 成立” ①存在x∈A,使p(x)成主： 解析(1)Vx∈R,x·(一1)=一x. 不@至少有一个r∈A,使p() (2)Hx∈R,x>x2. 成立： (3)Hx∈{xx是凸n边形}，x的外角和等于2π ③对来个r∈A,使p()成立 式④对来些∈A,使px)成立： ©变式11(2024，临川一中月考)给出下列语句，其中是全 ⑤有一个rEA,使p(x)成立 称量词命题的是 (填序号). ⊙方法梳理… ①对任意实数x,x2十1≥2. 1.判断一个语句是全称 ②有一个实数a,a不能作分母， 量词命题还是存在量词命题 第三章 ③每一个负数的平方都是正数吗？ 的步骤 ⊙考题2(2023，东北师大附中周练)用量词符号“3”表示 (1)判断该语句是否为命题 下列存在量词命题： 四 (2)看命题中是否含有量 (1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立. 词，含有量词时，该量词是全 第五鱼 (2)至少有一个整数x,使(2x十3)3<0. 称量词还是存在量词。 (3)有些整数既能被2整除，又能被3整除。 (3)对不含或省略量词的 (4)某个四边形不是平行四边形， 命题，要根据命题涉及的实际 第六章 解析(1)3(x,y)∈{(x,y)x∈R.y∈R},2x十3y+3<0. 意义进行判断 (2)3x∈Z,(2x+3)3<0. 2.注意哪些词是量词，同 第七鱼 (3)3x∈Z,x既能被2整除，又能被3整除 时应注意全称量词命题和存 (4)3x∈{xx是四边形}，x不是平行四边形. 在量词命题的结构形式。 考点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 ·核心总结 海难点突破… 1.全称量词命题的否定 常见量词及其否定形式 一般地，要否定一个全称量词命题，只需要在给定集合中 如下表： 找到一个元素，使命题的结论不正确，则全称量词命题不成立， 量词 否定词 量词否定词 全称量词命题的否定是存在量词命题. 等于 不等于 大于不大于 对于全称量词命题p:Hx∈M,x具有性质p(x),通常把 能 不能 小于不小于 至少 一个 至多至少 它的否定表示为 有一个 都凌有 有一个有两个 3x∈M,x不具有性质p(x). 都是 不都是 是 不是 2.存在量词命题的否定 没有 至少有一个 属于不属于 一般地，要否定一个存在量词命题，需要判定给定集合中 每一个元素均不能使存在量词命题的结论成立： 44 第一章)预条知识/ 存在量词命题的否定是全称量词命题 ②方法梳理 1.两种命题之所以有区 对于存在量词命题p:3x∈M,x具有性质p(x),通常把 别是因为构成两种命题的量 它的否定表示为 词不同，全称量词与存在量词 Hx∈M,x不具有性质p(x) 正好构成了意义相反的表述， 如：“对所有…都成立”与 ⊙考题3(2023，杭州二中月考)已知命题p:3x∈R,使得 “至少有一个…不成立” x2一x-2<0,则p为 “都有”与“不都有”等 答有Vx∈R,x2-x-2>0. 2.在书写全称量词命题 与存在量词命题的否定时，一 ⊙变式2(2024，绵阳中学月考)命题“对于任意的x∈R, 定要抓住决定命题性质的量 x3-x2十1≤0”的否定是(). 词，从对量词的否定入手，书 A.不存在x∈R,x2-x2十1≤0 写命题的否定.由于全称量词 第 B.存在x∈R.x1-x2+1≥0 的否定是存在量词，而存在量 词的否定是全称量词，因此， C.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 全称量词命题的否定一定是 第 D.存在x∈R,.x2-x2+1>0 存在量词命题，存在量词命题 ⊙考题4(2023，银川一中月考)写出下列命题的否定，并判 的否定一定是全称量词命题 第 断其真假： 3.在书写全称量词命题 与存在量词命题的否定时，还 (D)p:VrER.z-x+1>0. 需注意三点：(1)弄清命题是 全称量词命题还是存在量词 (2)p:所有的正方形都是矩形. 命题，这是正确写出命题的否 (3)p:3x∈R,x2+1≤0. 定的关健：(2)注意命题的否 (4)p:至少有一个实数x,使x2+1=0 定与否命题的区别：(3)当命 题的否定的真假不易判断时， 解1)是全称量词命题，一p:3x∈R,2-x十寻<0.因为 可以转化为去判断原命题的 真假 对于任意的x,-x十}=(e-》广≥0，所以p为假命题， 对比潮析 (2)是全称量词命题，一：存在一个正方形，它不是矩形.因 “一般命题的否定”与“含有一个 量词的命题的否定”的辨析 为正方形是特殊的矩形，所以一p为假命题 1.一般命题的否定通常 (3)是存在量词命题，p:Hx∈R,x2十1>0.因为对于任意 是保留条件，否定其结论，得 实数x,x十1>0，所以一p为真命题， 到真假性完全相反的两个命 (4)是存在量词命题，p:Hx∈R,x3+1≠0.因为当x=一1 题；含有一个量词的命题的否 定，是在否定结论p(x)的同 时，x3十1=0，所以一p为假命题. 时，改变量词的属性，即全称 ⊙变式22写出下列命题的否定，并判断真假： 量词改为存在量词，存在量词 (1)任何一个平行四边形的对边都平行 改为全称量词」 2.与一般命题的否定相 (2)非负数的平方是正数， 同，含有一个量词的命题的否定 (3)有的四边形没有外接圆： 的关键也是对关键词的否定， 因此，对含有一个量词的命题 的否定，应根据命题所叙述对象 的特征，挖掘出其中的关键词 45 考点同步解读》】高中数学必修第一册SD色 考点3 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 ·核心总结· 布难点突破… 1.判断全称量词命题“x∈M,(x)”成立，需要对M中 判断全称量词命题和存在量词 的每一个x,都证明p(x)成立，则为真命题：如果在M中存在 命题的真假时应注意的问题 一个x,使p(x)不成立，则为假命题. 1.全称量词命题的真假 2.判断存在量词命题“3x∈M,p(x)”成立，只需在集合 一定要通过生活和数学中的 M中找到一个元素x,使p(x)成立，则为真命题：如果M中的 丰富实例，结合相关的数学知 所有x都使p(x)不成立，则为假命题 识综合判断.例如，判断“所有 ⊙考题5(2024，南昌一中单元测试)下列全称量词命题中 的素效是奇数”的真假，因为2 第 是假命题的有( 是素数，但不是奇数，所以该 ①2.x十1(x∈R)是整数：②对所有的x∈R,x>一1：③对任 命题是假命题. 2.存在量词命题的真假 第 意一个x∈Z.2x2十1为奇数 也要通过生活和数学中的丰 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 富实例，结合相关的数学知识 四 ①取x=3,则2x十1=号EZ,假令题.②取x=-2, 综合判断.例如，判断“(1)有 2<一1，假命题.③Hx∈Z,2x2十1均为奇数，真命题. 一个实数x,使x十2x十3 第五鱼 答案C 0:(2)有些整数只有两个正因 ⊙考题6(2024，禹州一中月考)已知命题p:“3x∈R,使不 数”的真假.在(1)中，△<0，使 x+2r+3=0成立的实数x 第 等式x2一2x一m≤0成立”是假命题. 不存在，故(1)是假命题：在(2) (1)求实数m的取值集合A. 中，3有两个正因数，即1和3， 第 (2)若q:一4<m一a<4是p的否定的充分不必要条件，求实 故(2)是真命题。 数a的取值范围， 3.在存在量词命题中，有 解析(1)已知命题：“3x∈R,使不等式x2一2x一m≤0成 “唯一”“至少”“存在”等词语 立”是假命题，则“Hx∈R,使不等式x2一2x一m>0恒成立”是真 出现时，常用反证法来处理. 命题，故△=4+4m<0,解得m<-1,故m∈(-o∞，-1)，即A= {xx<-1. 规律总结 (2)命题q:一4<m一a<4,整理得a一4<m<4十a,由(1)得 全称量词命题和存在量词命题 m<一1，由于g是p的否定的充分不必要条件，所以a十4≤一1， 真假判断的思维程序 解得a≤-5，故实数a的取值范围为{aa≤一5}. 经证明为真或与性 ⊙变武3判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词 质、定理等真命题 命题，若是，用符号表示，并判断其真假 称量调命 相特 (1)存在x,y为正实数，使x2+y2=0. →可举出反例一假命题 (2)对所有的实数a,b,方程ax十b=0都有唯一解 可找到x,使 真命题 (3)存在实数x,使得-十=2， 在量词命 P(r)成立 找不到工，使 假命题 p(r)成立 46 第一章〉预条知识儿 考点4 与全称量词命题和存在量词命题有关的参数问题 ·核心总结 ②方法梳理+ 已知p(x)为真命题，求实数x的取值范围，实质上这是对 1.利用全称量词命题求 全称量词命题意义的考查.p(x)为真命题，即存在一个实数x 值及参数范围的问题，常以一 取值的限定集合A,它的所有元素都使得(x)成立.显然这个 次函数、二次函数为载体，若 限定集合就是p(x)表示的不等式（或方程）的解集， 全称量词命题为真命题，就 意味着限定集合中的每一个 ⊙考题7若“对任意的实数x,不等式x2十2x十a>0均成 元素都能具有某种性质，因 立”是假命题，则实数a的取值范围是( 此，当给出限定集合中任一 A.a>1 B.a≥1 C.a<1 D.a≤1 个特殊元素时都应具有这种 第 解析因为“对任意的实数x,不等式，x2十2.x十a>0均成立” 性质，即赋值法（类似于代入 是假命题，所以“存在实数x,使2十2x十a≤0成立”是真命题. 思想)，同时要会运用西数思 第 所以方程x”+2.x十a=0的△=4一4a≥0，解得a≤1. 想、致形结合的思想分析问 答素D 题、解决问题 2.利用存在量词命题求 第 ⊙变武4(2023，九江一中月考)若对1≤x≤2，有x2 四 参数范国的问题中常出现“存 a≤0恒成立，则实数a的取值范围是( ). 在”等词语，对于此类问题，通 A.a≤4 B.a≥4 C.as5 D.a≥>5 常是假设存在满足条件的参 ⊙考题8(2024，辽宁省实验中学月考)已知p:3x∈R, 数，然后利用条件求参数的范 m.x2十1≤0，q:Hx∈R,x2十m.x十1>0.若命题p和命题q中至少 围，若能求出参致的范国，则 查 有一个为真命题，则实数m的取值范围是 假设成立；否则，假设不成立 点拨从正面分析，命题p和命题q中至少有一个为真命题 解决有关存在量词命题的参 数的取值范国问题时，应尽量 等价于p真q假或p假q真或p,q均为真：从反面分析，命题P 分离参数 和命题q中至少有一个为真命题时，m的取值范国与命题p,g均 为假命题时m的取值范围互补 解祈方法一当p是真命题时，m<0:当q是真命题时，方 程x2十mx十1=0的判别式△=m2一4<0，解得一2<m<2.因 此，当命题p和命题g中至少有一个为真命题时，m<0或一2 m<2,即m<2. m0, 方法二若命题p,q均为假命题，则m需满足 △=m2-4≥0， 解得m≥2.则当命题p和命题q中至少有一个为真命题时，m2. 答案{mm<2. ⊙变式42由命题“存在x∈R,使x2十2x十m≤0”是假命 题，得m的取值范围是m>a,则实数a的值为 47 考点同步解读>商中就学必修第一册BSD么 对标演练分级洲评·及时特训 基础通关测评限时15分钟” 6.烤点3已知命题p:3x∈R,x2十x十1<0： 一、选择题 p2:Hx∈{x1≤x≤2}，x2-1≥0.其中为真 1考点2(2023，九江一中月考)存在量词命题 命题的是 (填“p”或“p”) “]x￠M,p(x)”的否定是( >高考通关测评 限时30分钟一一 A.Hx∈M,p(x) B.YrM,p(x) 一、选择题 C.Vx￠M,p(x) D.Hx∈M,(x) 1.考点2命题“3x∈R,x3-2x十1=0”的否定 2.考点3下列命题为真命题的是( 是( . A.所有的有理数都有倒数 A.3x∈R,.x3-2.x+1≠0 B.对每一个无理数x,x2也是无理数 B.不存在x∈R,.x3一2x+1≠0 C.3x∈Z,x2-2x-3=0 C.Hx∈R,x3-2x+1=0 第三章 D.有的三角形没有外接圆 D.Hx∈R,x3-2x+1≠0 3.考点34(2024，西北工大附中月考)已知集 2.考点34已知a为实数，使“Vx∈[3,4]，x 合A={x0≤x≤a},集合B={xm2+3≤ a<0”为假命题的一个充分不必要条件是 x≤m2+4},如果命题“3m∈R,A∩B≠⑦” ( ) 为假命题，则实数a的取值范围为( 第五鱼 A.a>4 B.a>5 A.(-∞，3) B.(-o∞，4) C.a<3 D.a≤4 C.(0,3) D.(0,4) 3考点3（多选）已知集合P,Q是全集U的两 第六章 4.烤点2命题“存在实数m,使关于x的方程 个非空子集，如果P∩Q=Q且PUQ≠Q,那 x2十mx一1=0有实根”的否定是( 么下列命题是真命题的是(). 第 A.存在实数m,使关于x的方程x2十mx A.Hx∈P,有x∈Q 1=0无实根 B.了x∈P,使得x任Q B.不存在实数，使关于x的方程x2十 C.Hx∈Q,有x∈P m.x一1=0有实根 D.3x∈Q,使得xEP C.对任意实数m,关于x的方程x2+m.x 4,考点3给出下列四个命题： 1=0都有实根 p1:3x>0,x2>2r: D.至多有一个实数m,使关于x的方程x2十 p2:3x∈R,x2-x+1=0: mx一1=0有实根 ps:Vx>0,1>0: 二、填空题 p4:Hx0,x十x≠0. 5.考点1(2023，南阳一中月考)下列命题中，是 其中为真命题的是( 存在量词命题的为 (填序号) A.pr,p2 B.p1, ①正方形的四条边相等；②有两个角相等的三 C.pi,Ps D.p2,p 角形是等腰三角形：③正数的平方根不等于0： 5.考点了（多选）下列命题是“3x∈R,x2>3”的 ④至少有一个正整数是偶数， 表述方法的是(). 48 ∥第一章)预条知识 A.有一个x∈R,使得x>3成立 》实验班选做题限时10分钟W一 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 1.(2024,铜鼓中学期中考试)已知命题p:H1≤ C.任选一个x∈R,都有x>3成立 x≤2，x≤a2十1，命题q:31≤x≤2，一次函 D.至少有一个x∈R,使得x>3成立 数y=x+a的图象在x轴下方 6.考点2（多选）下列命题正确的是( (1)若命题p的否定为真命题，求实数a的 A.“Vx<1,x2<1”的否定是“3x≥1，x2≥1” 取值范围. B“a>号”是日<2”的充分不必要条件 (2)若命题p为其命题，命题q为假命题，求 C.“a=0”是“ab=0”的充分不必要条件 实数a的取值范围. D.“x≥1且y≥1”是“x2+y2≥2”的必要不 充分条件 二、填空题 7.考点2若命题p的否定是“对所有正数x, N>x十1”，则命题p是 8.考点4已知命题：H1≤x≤2，x2-a0,命 四 题g:3x∈R,x2+2ax十2=0.若p和g都 是真命题，则实数a的取值范围为 第 三、解答题 9.考点3、④(2024，安庆二中调研)从①3x∈R, 第 x2+2a.x十2-a=0,②3a∈R,使得区间A= (2,4),B=(a,3a)满足A∩B=⑦这两个条件中 任选一个，补充在下面的横线上，并解答。 第七章 已知命题p:x∈[1,2]，x2一a≥0，命题q: ,命题p,q都是真命题，求实数a的 取值范围。 49儿参考答秦与提示>7 综上，a≤-2或0≤a≤1. “存在一个平行四边形的对边不都平行” (2)不存在.理由如下： 由平行四边形的定义知该命题是假命题。 假设存在实数a,使得p是g的充要条件，那么A=B. (2)命题的否定： 2a-1=-1. “存在一个非负数的平方不是正数” 则必有 无解.故不存在实数a使得 3a+1=4. 因为0=0，不是正数，所以该命题是真命题。 A=B,即不存在实数a使得p是q的充要条件。 (3)命题的否定： 10.(1)当a=2时，A={x1≤r3,B={x-1≤r≤3. “所有四边形都有外接圆” 则AUB={x一1≤≤3. 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为 (2)选择条件①.因为AUB=B,所以A二B. 真命题，命题的否定为假命题。 因为A={xa-1≤x≤a十1，B={x-1≤x≤3}， [变式31](1)是存在量词命题，用符号表示为“3x,y a-1-1, 为正实数，使x2十y=0”,是假命题 所以 解得0≤u≤2. a+1≤3， (2)是全称量词命题，用符号表示为“Va,b∈R,方程a.x 所以实数a的取值范围是[0,21. 十=0都有唯一解”，是假命题 选择条件②.“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， (3)是存在量词命题，用符号表示为“3x∈R了一c十 则集合A为集合B的真子集 =2”,是假命题。 因为A={xa-1≤x≤a十1，所以A≠心. [变式+1]B提示：对任意的1x2,有x2一a≤0 又B={x-1≤x≤3， 所以a-1≥-1，a-1>-1 相成立，等价于a≥(x2)x,1≤x≤2. 或 解得0≤a≤2. a+1<3 a+1≤3， (x2)=22=4,.a>4 所以实数a的取值范围是[0,2. [变式+2]1.提示：因为“存在x∈R,使x2+2x十 m≤0”是假命题，所以“对任意x∈R,都有x2+2x十m> 选择条件③.因为A={xa-1≤x≤a+1},B=x 0”是真命题。 -1≤x≤3}，且A∩B=0,所以a-1>3或a+1< 因此△=4一4m<0,即m>1,故a=1. -1,解得a>4或a<-2. 【基础通关测评】 所以实数a的取值范围是（一o∞，一2）U(4,十o). L.C提示：由存在量词命题的否定的定义可得C正确. 【实验班选做题】 2.C提示：0是有理数，但0没有倒数，故A是假命题： 1.充要.提示：如题图所示，若D既是△ABC的内心 也是外心，则有AD=BD,所以∠BAD=∠ABD,即 对于无理数3，(3)=3是有理数，故B是假命题 C中，当x=一1时，满足题意，是真命题： 之∠BAC-立∠ABC,所以∠BAC-=∠ABC.同理可 D是假命题，因为所有的三角形都有外接圆 知∠BAC=∠ACB,∠ABC=∠ACB,即∠BAC= 3.A提示：命题“3m∈R,A∩B≠☑”为假命题，则其 ∠ACB=∠ABC,则△ABC为正三角形. 否定“Vm∈R,A∩B=”为真命题.当a<0时，集合 若△ABC为正三角形，则△ABC的内心与外心重合 A=0,符合A∩B=②.当a≥0时，因为+4>0， 所以p是g的充要条件 所以由Hm∈R,A∩B=0,得a<m+3对于任意 2.2全称量词与存在量词 m∈R恒成立.又2十3≥3，所以0≤a<3.综上，实数 【变式训练】 a的取值范围为（一oo,3) [变式11]①.提示：①②是命题，③不是命题.①中 4.B提示：原命题的否定为“对任意实数m,关于x的 含有全称量词，所以是全称量词命题 方程x十mx一1=0无实根”，即“不存在实数m,使关 [变式2-1]D提示：全称量词命题的否定是存在量词 于x的方程x+mx一1=0有实根” 命题，故排除C:命题的否定只否定结论，不否定条件，故 5.①，提示：①可表述为“每一个正方形的四条边相 排除A:“x2-x2十1≤0”的否定是“x一x十1>0”，故 等”，是全称量词命题：②是全称量词命题，即“凡是有 排除B.故选D 两个角相等的三角形都是等腰三角形”：③可表述为 [变式2-2](1)命题的否定： “所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题： 考点同步解读)高中教学必修第一SD色 ④是存在量词命题。 上恒成立 6.p.提示：对于命题p,因为△=1一4<0，所以p 因为x∈[1,2]，所以1≤x≤4.所以a≤1. 是假命题，又Vx∈{x|1≤x≤2，x2一1≥0是真命 因为命题g为真命题，即方程x2+2a.x十2一a=0有 题，故：为其命题 实数根， 【高考通关测评】 所以△=(2a)一4(2一a)≥0，解得a≥1或a≤一2. 1.D提示：存在量词命题的否定是全称量词命题，故排 又p,q都是真命题，所以a≤一2或a=1, 除A:存在量词应改为全称量词“Y”,故排除B:命题 所以实数a的取值范围是（一∞，一2]U(1}. 的否定要否定结论，故排除C.故选D, 选择条件②. 2.C提示：因为“Vx∈[3，，x一a<0”为假命题，所以 由命题p为真命题，得不等式x2一a≥0在x∈[1,2] “3x∈[3,4]，x一a≥0”为真命题，即4一a≥0，解得 上恒成立 a≤4，所以“Hx∈[3,4)，x一a<0”为假命题的一个充 因为x∈[1,2]，所以1≤x2≤4，所以a≤1. 分不必要条件是{aa4的真子集. 因为区间B=(a,3a),所以a>0. 3.BC提示：由题意得Q是P的真子集，所以3x∈P, 因为A∩B=②， 使得xQ,Vx∈Q,有x∈P,即B,C正确 所以a>4或0<3a≤2，即a>≥4或0<a<号 4.C提示：当x=3时，3=9>2=8，故p1为真命题； 因为△=1一4=一3<0，所以：x2一x+1=0无解，故 又pg都是真命愿，所以0<a≤号 ~为假命题：x为正数，其倒数也是正数，故p为真 命题：.x<0,则x十|x|=x十（一x)=0,故p:为假 所以实数u的取值范围是(0，号] 命题 【实验班选做题】 5.ABD提示：原命题为存在量词命题，A,B,D均为对 1.(1)命题p的否定：31≤x≤2，x>42十1. 应的存在量词命题，C为全称量词命题，故A,B,D是 因为命题p的否定为真命题， 原命题的表述方法 所以2+1<2，即-1<a<1, 6.C提示：根据命题的否定可知“Hx<1,x2<1”的否 所以实数4的取值范围为（一1,1）. 定是3<1，r≥，A错误日<2等价于a<0或 (2)若命题p为真命题，则c2+1≥2，即a≥1或a≤一1. 因为命题q为假命题，所以命题g的否定为真命题， 。>,由小范围可以推出大范围、大范围推不出小范 所以“V1≤r≤2，一次函数y=r十a的图象在x轴及 围，可以判断B正确：由a=0能推出ab=0.由ab=0 x轴上方”为真命题， 不一定能推出a=0,C正确：根据不等式的性质可知， 所以1十a≥0，即a≥-1. 由x≥1且y≥1能推出x十y≥2，但x2+y≥2不 所以实数4的取值范围为[1，十o∞)U{一1}. 一定能推出x≥1且y≥1，所以“x≥1且y≥1”是 §3不等式 “x2+y≥2“的充分不必要条件，D错误。 3.1不等式的性质 7.3x∈{xx>0w元≤x十L.提示：因为p是p的 【变式训练】 否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论 [变式1-1]C提示：：长、宽、高之和不超过130cm, 进行否定即可， ,∴.a十b+≤130 8.(aa≤-√21.提示：若p为真命题，则a≤x对任 [变式2]()中-左=/干+ 意的1r≤2恒成立，所以a≤1.若g为其命题，则关 于x的方程x+2ax十2=0有实数根，所以△=4a2一 -可=+x 1 8>0,即a≥2或a≤一√2.综上，实数a的取值范围 因为x+T+√>E+√x-I>0, 为{aa≤-2). 9.选择条件①. 所以++V 由命题p为真命题，得不等式x-a≥0在x∈[1,2] 即√+I-√x<x-x-工 10