2.1 必要条件与充分条件-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第一章〉预条知识小 §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 高考器求学业标准·考情分祈 ·考点分布 ·学科素养· ·学法导引】 1.本讲的重点是充分条件和 L.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件 必要条件的概念，难点是对充分 的意义，理解必要条件与性质定理的关系 条件和必要条件概念的理解.充 分条件和必要条件是高考的必考 内容之一 2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件 数学抽象 2.在本讲的学习中，重点是 的意义，理解充分条件与判定定理的关系 逻辑推理 关注判断充要条件的问题，或利 用已知关系探求参数的取值范围 3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件 的问题.对于充要条件的证明，关 四 键是分清命题的条件和结论，分 的意义，理解充要条件与数学定义的关系. 清充分性和必要性这两个问题. 考点分类考点竣析·典例剖析 90 考点1 必要条件与性质定理 ·核心总结 第 海难点突破+ 1.必要条件的含义 核心总结中的“必要条 般地，当命题“若p,则g”是真命题时，称g是p的必要 件”是数学名词，在高中数学 条件.也就是说，一旦g不成立，p也一定不成立，即g对于p 中大量使用.设A,B是两个 的成立是必要的 命题，若A,则B,就把B称为 2.性质定理的必要条件语言表述 A的必要条件.有了条件B, 一般地，性质定理中“那么”后面的命题是“如果”后面的命 不一定能得到结论A,可是， 题的必要条件.例如，在菱形的性质定理“如果四边形为菱形， 如果连条件B都不具备，结论 那么这个四边形的对角线互相垂直”中，“四边形的对角线互相 A一定不成立.可见，本节使 垂直”是“四边形为菱形”的必要条件 用“必要条件”一词，既符合数 学含义，又言简意戴 ⊙考题司性质定理“对顶角相等”用必要条件的语言可表 述为 山规律总结， 解析“对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这 1.数学中的每一条性质 两个角相等”，其中“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要 定理都给出了相应数学结论 条件 成立的一个必要条件 33 考点同步解读〉商中效学必修第一滑SD② 答案“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件 2.若p→q,则g是p的 ⊙变式1(2024，昌平一中月考)用必要条件的语言可以 必要条件。所谓必要，就是条 件是必须有的，必不可少的， 将定理“对于集合A,B,C,如果A二B且BC,那么A二C”表述 缺其不可，“有之未必成立，无 为 之必不成立” ⊙考题2(2024，孝感高中月考)（多选）下列是“a<0,b<0” 。方法梳理… 的必要条件的是( 要判断9是否为p的必 A.(a+1)2+(b+3)2=0 B.a+b<0 要条件，关健是将问题转化为 第 判断“若p,则g”是否为真命 C.a-b<0 D.分>0 题，如果是真命题，那么q是p 的必要条件，否则便不是 第二章 解析取a=-2,b=一4，得(a十1)2+(b十3)2=2≠0，故选项 A不是“a<0,b<0”的必要条件；由a<0,b<0,得a十b<0,故选 第三章 项B是“a<0,b<0”的必要条件；取a=-2,b=-4,得a一b 一2一（一4）=2>0，故选项C不是“a<0,b<0”的必要条件；由 第四章 a<0,0,得号>0，故选项D是“a<0.0”的必要条件. 答案BD 第五鱼 考点2 充分条件与判定定理 P 第六章 ·核心总结 女难点突很… 1.充分条件的含义 如果“若p,则g”为假命 第 般地，当命题“若p,则g”是真命题时，称p是g的充分 题，那么由p推不出q,记作 条件 g.此时，我们就说p不是 2.充分条件与必要条件的关系 q的充分条件，？不是p的必 p是q的充分条件反映了p>q,而q是p的必要条件也 要条件 反映了>q,所以p是q的充分条件与q是p的必要条件表 述的是同一个逻辑关系，只是说法不同.而p是q的充分条件 只反映p→q,与q能否推出p没有任何关系. 3.判定定理的充分条件语言表述 一般地，判定定理中，“若”后面的命题是“则”后面的命题 的充分条件 ®方法梳现 ⊙考题3(2024，黄石二中周练)判定定理“对角线互相平分 要判断p是否为g的充 的四边形是平行四边形”用充分条件的语言可表述为 分条件，关键是判断“若p,则 ”是否为真命题.如果是真命 解机判定定理可改写为：若四边形的对角线互相平分，则该 题，那么p是g的充分条件， 四边形为平行四边形.故用充分条件的语言可表述为：“四边形的 否则便不是 34 第一章)预条知识/ 对角线互相平分”是“四边形为平行四边形”的充分条件 答案“四边形的对角线互相平分”是“四边形为平行四边形” 的充分条件 ⊙变式21(2024，浏阳一中周练)判定定理“若a>0,b>0, 则ab>0”用充分条件的语言可表述为 ⊙考题4(2024，阳江一中月考)判断g是否为p的必要条 件，简要说明理由. p (1) x是整数 x是有理数 (2) a>3 a>4 (3) x2-1=0 x=1 解析(1)因为“若x是整数，则工是有理数”是真命题，所以 “x是有理数”是“x是整数”的必要条件 (2)因为“若a>3,则a>4”是假命题，所以“a>4”不是“a>3” 的必要条件」 (3)由x2一1=0，得x=1或x=一1，所以“若x2一1=0，则x =1”是假命题，故“x=1”不是“x2一1=0”的必要条件. 五 点评做题时要认真审题，分清要判断的是p是9的必要条 件，还是g是p的必要条件 ⊙变式22(2024，银川一中月考)下列说法中正确的有 (填序号). ①“x=2”是“(x一2)(x一5)=0"的充分条件： 第七盘 ②“x>3”是“x>6”的充分条件： ③“x十y>3”是“x>1,y>2"的必要条件. 考点3 充要条件与判定定理 ·核心总结· 章难点突破… 1.充要条件的定义 对充要条件的两点认识 一般地，如果p→q,且q→p,那么称p是q的充分且必要 1.p是g的充要条件意 条件，简称p是q的充要条件，记作p一q 味着“p成立，则q必成立：p 2.充要条件的含义 不成立，则q必不成立“ 若p是9的充要条件，则q也是p的充要条件，两者虽然 2.符号“一”的含义有多 本质上是一样的，但在说法上还是不同的，因为这两个命题的 种，如“等价于”“当且仅当” 条件与结论不同， “必须且只需“反之亦真”等， 3.充要条件的等价说法 可根据具体问题具体分析其 p是9的充要条件又常说成“p成立当且仅当q成立”或 含义 35 夏考点同步解读〉高中数学必修第一册SD色 ⊙方法梳理… “p与q等价” 充要条件的判断方法 4.充要条件的传递性 1.双向互推法 若p是g的充要条件，g是s的充要条件，即若p一q,g一s, 先刺定p→g成立，再判 则有p台s,即p是s的充要条件 定g→p成立，进而得到p是 q的充要条件 ⊙考题5设x∈R,则“x>1”是“x>1”的 条件 2.转换法 第 mr-1=x-1)(x+x+1)=(x-1D[(+》/+圣]： 当所给命题的充要条件 不易判定时，可对命题进行等 2+x+1=(+2》+>0,>1>1 价转换，改用其逆否命题进行 第二章 判斯 答案充要 第三章 ⊙变式3①(2024，武汉外国语学校周练)设计如图所示的 溪友情提置… 四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充 如果p是g的充要条件， 第四章 分条件的一个电路图是(). 那么q也是p的充要条件，也 就是说，如果p一q,那么p与 第五鱼 q互为充要条件 第六章 A ⊙考题6(2024，东北师大附中月考)方程a.x十x十1=0有 第 实根的充要条件是 解新当a=0时，方程为x十1=0，解得x=一1，故方程有 实根 当a≠0时，要使方程a.x2十x十1=0有实根，则有 a≠0， 解得a<且a≠0， 1△=1-4a>0 综上可得a< 国< ⊙变式32(2024，宣化一中期中)设a,b∈R,则“ab十4= 2a十2b”的充要条件是( A.a,b都为2 B.a,b都不为2 C.a,b中至少有一个为2 D.a,b都不为0 36 第一章)预条知识 考点4 充分条件、必要条件和充要条件的判定问题 ·核心总结 布难点突破… 1.从逻辑推理关系上看条件间的关系： 借助集合间的关系判断 (1)若p→q,但q→p,则p是q的充分不必要条件： 充分条件、必要条件 (2)若g→p,但p≯g,则p是9的必要不充分条件： 设A={xp(.x),B={x (3)若p>g,且g→p,则p是g的充要条件： q(x)},若x具有性质p,则x∈ (4)若p→q,且g→p,则p既不是g的充分条件，也不是q A:若x具有性质q,则x∈B. 的必要条件 如果A二B,就是说x具 2.对于集合A=(xx满足条件p},B={xx满足条件 有性质p,则x必具有性质q, q},具体情祝如下： 即p>.类似地，B二A与q→ 第 (1)若A二B,则p是g的充分条件： p等价，A=B与p=q等价. (2)若A三B,则p是g的必要条件： 从集合的角度判断条件， (3)若A=B,则p是q的充要条件： 可以加深我们对充分条件与 (4)若A至B,则p是q的充分不必要条件： 必要条件的理解。 (5)若A呈B,则p是g的必要不充分条件： ⊙方法梳理… (6)若A生B且A史B,则p是q的既不充分也不必要条件 充分条件、必要条件的 判断方法 ⊙考题☑（多选）下列说法正确的是( 1.定义法 A.“x∈A”是“x∈AUB”的必要不充分条件 (1)分清条件和结论 B.“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件 (2)找推式：判断“p→” C.“x,y为无理数”是“x十y为无理数”的充分不必要条件 及“q→p”的真假 D.“四边形的两组对边分别相等”是“四边形是平行四边形” (3)下结论：根据推式及 的充要条件 定义下结论 解析对于A,因为x∈A→x∈AUB,x∈AUB≯x∈A,所 2.等价法：将命题转化为 以“x∈A”是“x∈AUB”的充分不必要条件，故A错误 另一个等价且便于判断真假 对于B,因为x∈A力x∈A∩B,x∈A∩B→x∈A,所以“x∈ 的命题， 3.逆否法：这是等价法的 A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故B正确， 一种特殊情况 对于C,当x=√2，y=一√2时，x十y=0∈Q,所以不是充分条 (1)若A→B,则B→ 件，反过来，当x十y=√3十2时，√3十2是无理数，此时x可以为 A,A是B的必要条件，B是 V3,y可以为2,2∈Q,所以不是必要条件，所以“x,y为无理数”是 A的充分条件 (2)若B→A,且7A “x十y为无理数”的既不充分也不必要条件，故C错误。 力7B,则A是B的充分不必 对于D,由平行四边形的性质和判定定理可知D正确 要条件」 答秦BD (3)若A→B,且B ⊙变式4(2024，天津南开中学周练)从“充分不必要条 →一A,则A是B的必要不充 件”“必要不充分条件”“充要条件”中选出适当的一种填空。 分条件 37 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD② (1)“x2-1=0”是“|x一1=0”的 (4)若7A=B,则A与 (2)“x<5”是“x3”的 B互为充要条件. (5)若A→B,且B ⊙考题8有甲、乙、丙三个条件，如果甲是乙的必要条件，丙 →7A,则A既不是B的充分 是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么(). 条件，也不是B的必要条件， A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件 4,集合法：写出集合A B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件 (xp(r)B=xlq(r)), 利用集合之间的包含关系加 C.丙是甲的充要条件 第 以判断，用集合法判断时，要 D.丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 尽可能用图示法、数轴、直角 解析，甲是乙的必要条件，∴.乙→甲. 坐标平面等几何方法，因为图 第 又，丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件， 形既形象又直观，能简化解题 过程，降低思雏难度： .丙→乙，但乙中丙 、丙 第三章 结构示意图如图，综上，有丙→乙→甲，但是乙力丙.故有 丙一甲，但是甲力丙，即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要 条件 答率A 第五鱼 ⊙变式42已知p,q都是r的充分条件，s是r的必要条 件，q是s的必要条件，那么p是q的 条件。 第六章 考点5 命题成立的充分、必要、充要条件的探求问题 第 ·核心总结 ②方法梳理… 在已知必要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保 1,寻求q的克分条件p, 证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条 即求使q成立的条件p. 件的一个真子集 2.寻求g的必要条件p, 即求以q为条件可推出的结 ⊙考题9(1)(2024，平顶山市第十五中学期末考试)已知 论p. a>0,设p:一a≤x≤3a,q:一1<x<6.若p是q的充分不必要条 3.探求一个命题成立的充 件，则实数a的取值范围是(). 要条件一般有两种处理方法 A.(1,2) B.[1,2] C.(0,1) D.(0,1] 方法一先由结论寻找 (2)(2023,郴州教研联盟期末考试)设p:x2十x一6=0，q:a,x 使之成立的必要条件，再验证 十1=0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的值为 它也是使结论成立的充分条件， 即保证充分性和必要性都成立 a>-1, 方法二变换结论为等 解园(1)因为p是g的充分不必要条件，所以3a<6, 价命题，使每一步都可逆， a>0, 直接得到使命题成立的充要 解得0a<1,所以实数a的取值范围是(0,1). 条件 38 第-章>预条知识/ (2)由x2十x-6=0,可得x=2或x=一3. 4.求一个命题的充要条 对于ax十1=0，当a=0时，方程无解； 件时，往往要从两个方面进行 求解：一是充分性，二是必 当a≠0时，x=一1 要性. 由题意知p9:9Pp,则可得a≠0，此时应有-日2或一日 =-3,解得a=-号或a=号 综上可知，a=一 容系(1)C ®方法梳理 ⊙变式5(2024，黎川一中月考)（多选）下列说法正确的 寻找条件p的必要不充分 是( 条件q的步骤 A.“a≠1”是“a≠1”的充分不必要条件 L.确定已知条件p对应 B.“a>0且△=-4ac≤0”是“一元二次不等式a.x2十bx十c 的集合A. ≥0的解集是R”的充要条件 2.寻找条件q对应的集 合B,使得AB. C.“a≠0”是“a十a>0”的必要不充分条件 D.已知a,b∈R,则|a+bl=|a+b的充要条件是ab>0 ⊙考题10(2024，黄冈中学月考)已知方程x2十(2k-1)x 十=0，则使方程有两个大于1的实数根的充要条件是 七盘 解析令y=x十(2k一1)x十k,由y的图象（图略）可知，方 程x2+(2k一1)x十k2=0有两个大于1的实数根等价于 △=(2k-1)2-4k2>0. 421 解得k<一2. 12+(2k-1)×1+k2>0, 以上过程的每一步都是等价的，因此，k<一2是使方程x2十 X名师支招 (2k一1).x十k2=0有两个大于1的实数根的充要条件. 对于变式5-2，依题意知 答案k<一2. “选项”是“条件”，“题千”是 ⊙变式52(2024，安师大附中期未考试)“关于x的方程 “结论”，探求“结论”的一个充 分不必要条件，即寻找一个 x2十x十2m=0没有实数根”的一个充分不必要条件可以是 “选项”，使得该“选项”能推出 (). “题干”，但“题干”却推不出该 A.n B.m>2 C.m>0 D.1<1 “选项” 39 考点同步解读》】高中效学必修第一册SD乡 考点6 充分条件与必要条件的综合问题 ·核心总结 ②方法梳理+ 1.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，应主要 1.解决“给出条件关系求 根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系，将问题转 参数的值或取值范图”的问题 的基本方法是：先化简（即等 化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不 价转化)条件和结论，并用集 等式（组）进行求解， 合来表示，然后由题目中给出 第 2.证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分 的充要性，写出集合的包含关 系，进而求出参数的值或取值 性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是 范围 第二章 “谁”的必要条件.尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的 2.充要条件的证明方法 充分条件也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般 (1)定义法：分别证明充 第三章 地，要证明p成立的充要条件为q,在证明充分性时，应以q为 分性和必要性两个方面，在解 题时要避免把充分性当作必 第 “已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q→p:在证明必 要性来证明，这就需要先分清 要性时，则是以p为“已知条件”，9是该步中要证明的“结论”， 条件与结论，若从条件推出结 第五鱼 即p→g 论，就是充分性：若从结论推 出条件，就是必要性 ⊙考题11(2024，绵附中学期中考试)已知P={x一2≤ (2)等价法：就是从条件 第六章 x≤10}，非空集合S={x1一m≤x≤1十m}.若x∈P是x∈S的 (或结论)开始，逐步推出结论 (或条件)，但要注意每步都是 第 必要条件，则m的取值范围为 可逆的，即反过来也能推出 解折妮由x∈P是x∈S的必要条件知S二P, 1一m≤1十m, 则1一m≥一2，所以0≤m≤3. 1十m≤10， 即所求m的取值范国是0≤m≤3. 答案0≤m≤3. ⊙变武61(2024，东北师大附中期中考试)在①充分不必 要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个 补充在下面的横线处.若问题中的a存在，求出a的取值范围：若 问题中的a不存在，请说明理由， 问题：已知集合A={x0≤x≤4}，B={x1一a≤x≤1十a】 且a>0,是否存在实数a,使得“x∈A”是“x∈B”的 40 第一章〉预条知识 对标演练分级洲评·及时特训 竹>基础通关测评 限时15分钟+ “1<x≤2”，则实数m的取值范围是 一、选择题 6.烤点了若条件p是“xy>0”的充分不必要条 1.考点4④“1<x<2”是“x<2”成立的( 件，则p可以是 A.充分不必要条件 》高考通关测评 限时30分钟… B.必要不充分条件 一、选择题 C.充要条件 1.考点5（多选）已知集合A={x一1<x<3}, D.既不充分也不必要条件 B={xx<m十1，则下列是“A∩B=必”的 2.考点1、4（学科综合题）王昌龄是盛唐著名的 充分不必要条件的是( ) 边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传 A.m≤-2 B.m<-2 诵至今.“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关 C.m<2 D.-4<m<-3 黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.”由此推 2.考点4（新情境）2022年11月1日凌晨4时 断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡” 27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现 的( ). “太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦 A.必要条件 天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合 B.充分条件 体前向对接口朝向梦天实验舱赶上来的方 C.充要条件 向，才能实现“太空握手”.根据以上信息可 D.既不充分也不必要条件 知，“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太 3.考点4已知A:0<a<2;B:关于x的一元二 空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处 次方程x2十(a十1).x十a一2=0的一个根大 于同一轨道高度”的( 于零，另一个根小于零.则A是B的( . A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.考点4(2024，安康中学月考)设a,b为实数 4.考点4（多选）下列说法正确的是( A.“A∩B≠⑦”是“A二B”的必要条件 则0<a1"是6合的( B.“x>√2”是“x>1”的充分不必要条件 A.充分不必要条件 C.“m≠0”是“n≠0”的充分条件 B.必要不充分条件 D.“a2十b十c2=ab十bc十ca”的充要条件是 C.充要条件 “a=b=c” D.既不充分也不必要条件 二、填空题 4,考点4若p是r的充分不必要条件，r是9的 5.考点6(2024，合肥八中月考)如果“不等式 必要条件，r是s的充要条件，q是s的必要 x一m≤1成立”的充分不必要条件是 条件，则s是p的(). 41 考点同步解读>高中效学必修第一册SD色 A.充分不必要条件 (2)是否存在实数a,使得p是q的充要条件？ B.必要不充分条件 若存在，求出a的值：若不存在，请说明 C.充要条件 理由 D.既不充分也不必要条件 5.考点4（多选）下列说法中正确的有( A.“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件 B日分是。<少的概不充分也不必要条件 C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 D.“a>b>0”是“a">(n∈N,n≥2)”的充 要条件 6.考点4,6（多选）下列说法正确的有( ). 10.考点6从①AUB=B,②“x∈A”是“x∈B” 第三章 A.已知a,b∈R,则“a>b”是“|a|>b|”的 必要不充分条件 的充分不必要条件，③A∩B=0这三个条 B.“a>0”是“a十1>0”的充分不必要条件 件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线 C.设p:1<x<2,q:2x>1,则p是g的必 处，并求解下列问题。 要不充分条件 已知集合A={xa-1≤x≤a+1},B={x 第五鱼 D.若“x<m”是“x<2021或x>2022”的 -1≤x3}. 充分不必要条件，则实数m的最大值 (1)当a=2时，求AUB. 第六章 为2021 (2)若 ,求实数a的取值范围。 二、填空题 第 7.考点5、6(2024，西北工大附中月考)已知p: -2≤x-8≤2，q:x>1,r:a<x<2a.若r是 p的必要不充分条件，且r是q的充分不必 要条件，则实数α的取值范围为 8.周点国已知≥号，设二次函数y=一ar+ a.x十c,其中a,c均为实数，则对于任意的 x∈{x0≤x≤1}，均有y≤1成立的充要条 件是 三、解答题 9.考点6(2024，西南大学附中期中考试)已知 实验班选做题限时5分钟+ 命题p:A={x2a-1<x<3a+1},命题q: B={x|-1<x<4. 1.(2024,复旦大学强基计划)命题p:“△ABC (1)若p是q的充分条件，求实数a的取值 的内心与外心重合”是命题q:“△ABC是正 范围。 三角形”的 条件 42/儿参考答案与提示)7 A,128=5×25+3,即128∈B,128=7×18+2,即 亮"的充要条件：选项C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 128∈C,故128∈A∩B∩C,故B正确：37￠A,故C错 必要不充分条件：选项D,“开关A闭合”是“灯泡B亮” 误：23=3×7+2，即23∈A,23=5×4+3,即23∈B. 的既不充分也不必要条件. 23=7×3+十2，即23∈C,故D正确. [变式3-2]C提示：因为ah+4=2a+2b.所以ab- 2.(1)当a=1时，集合B={1},此时集合A=1,5,所 2a-2b+4=0,即(a-2)(6-2)=0,解得a=2或b=2,故 以CB={5 “ab十4=2a十2h的充要条件是“a,b中至少有一个为2” (2)选择条件①.由AU(CRB)=R得B二A. [变式+1门(1)充要条件.(2)必要不充分条件. 当a=0时，集合B=d,符合题意： 提示：(1D因为A={xx2-1=0}={-1,1},B={x1|x 当a0时，集合B=(日}，所以是-1或是=5，解 一1=0)={一1,1}，所以A=B,即“2一1=0”是“|x 一1=0”的充要条件 得a=1或a=子 (2)对于A={xx<5,B={xx<3},因为A星B,所以 所以集合C=01,号} “r<5”是“<3”的必要不充分条件 [变式+2]充分. 选择条件②.由A∩B=B得B二A [变式5-1]BC提示：因为≠1，所以a≠±1，所以 当a=0时，集合B=,符合题意： a≠1a≠1，而a2≠1→a≠1，所以“a≠1"是“a≠1"的 当a0时，集合B=(日，所以-1或是=5，解 必要不充分条件，故A错误 得a=1或a=号 当一元二次不等式a,x2+r十c≥0的解集是R时，有 a>0且△=？一4a≤0，且上述过程是等价的，故B正确. 所以集合C-01,号} 易知"a十la>0”“a>0”,所以“a≠0”是“a十|a>0” 选择条件③.因为B∩(CRA)=必，所以B二A, 的必要不充分条件，故C正确 当a=0时，集合B=,符合题意： 由a+l=a+|b1,可得a十bP=(a+1b),即ab 当a≠0时，集合B=(日}，所以。=1或=5，解 =abl,则ab≥0，上述过程是等价的，所以|a+b=a 十b的充要条件是ab>0,故D错误. 得a=1或a= [变式5-2]B提示：若关于x的方程x+x+2m=0 所以集合C=01,号} 没有实数根，则△=1一8m<0,解得m>8,因为 §2常用逻辑用语 mm≥}星{mm>g},(mn>2=nm> 2.1必要条件与充分条件 【变式训练】 君}，mm>0}录{mm>g}{mm<1)与 [变式11]“A二C”是“A二B且B二C”的必要条件. {mm>日}无包含关系，所以“关于x的方程x十x+ 提示：因为对于A,B,C,如果A二B且B二C,则A二C为 真命题，所以“A二C”是“A二B且B二C”的必要条件. 2m=0没有实数根"的一个充分不必要条件可以是m>2. [变式2-1]“a>0,b>0”是“ab>0”的充分条件. [变式61]若选择①，则A是B的真子集， 提示：因为“若a>0,b>0,则ab>0”是真命题，所以“a> 1-a<0,11-a≤0， 则 或 解得a≥3. 0,b心0”是"ab>0”的充分条件。 1+a241+a>4, [变式2-2]①③.提示：①正确，因为x=2→(x 所以存在满足题意的实数a,且a的取值范围为3，十∞). 2)(x-5)=0. 若选择②，则B是A的其子集，又易知B为非空集合， ②错误，因为x>3,x>6. 11-a≥0,11一a>0, 则 或 又a>0,解得0<a≤1， ③正确.因为x>1y>2→x十y>3. 1十a<4l1+a≤4， [变式31]C提示：选项A,“开关A闭合”是“灯泡B 所以存在满足题意的实数a,且a的取值范围为(0,1. 亮”的充分不必要条件：选项B,“开关A闭合”是“灯泡B 若选择③，则A=B,则1一a=0且1十a=4,无解， /考点同步解读)高中数学必修第一册BSD色 所以不存在满足题意的实数α. 4.B提示：p,q,r,s之间的关系如图所示，由p京x=9 【基础通关测评】 图可知→s,但s为p,故s是p的必要不充 1.A提示：若“1<x2”成立，则“2”成立，所以“1< 分条件 x<2”是“x<2”的充分条件：若“x<2”成立，则“1< 5.ABC提示：“a=b”能推出“ac=c”,当c=0时， <2”不一定成立，例如“0<2”成立，但“1<0<2”不 “ac=x”推不出“a=b”,故A正确。 成立，所以“1<x<2”不是“x<2”的必要条件.综上， 当ab>0时，a<b:当ab<0时，a>h.若a<h,则无法 “1<x<2”是“x2”的充分不必要条件， 判低不等式两边同时除以ab后是否要变号，故B正确. 2.A提示：返回家乡→攻破楼兰，故选A. “a≠0”推不出“ab≠0”，若“ab≠0”，则a≠0且b≠0，故 C正确。 3.A提示：关于x的一元二次方程r2+(a十1)x十a 当n=2,a=-2,b=1时，a>6,但a<b,故D错误. 2=0,一个根大于0，另一个根小于0，则a-2<0,即 6.BD提示：因为a>a>bl,a>bpa>b,所 a<2,故0<a<2是结论成立的充分不必要条件， 以“a>"是“1a>b”的既不充分也不必要条件，故 4.BD提示：必要性：A二B,当A=②时，A∩B=⑦， A错误。 A错误：由x>√2可推出x>1,但反之不行，所以“x> 解不等式a十1>0得a>一1.因为aa>0}手{aa ②”是“x>1”的充分不必要条件，B正确：m≠0，若n= 一1，所以“a>0”是“a十1>0”的充分不必要条件，故 0,mn=0,C错误：必要性：a十？十c2=ab十十a,所 B正确. 以(a2+)+(+2)+(a+2)=2ab+2h+2ca,即 由题意得p:1<<2,g:>号，所以>9,9>p,所以 (a-c)2+(6-c)2+(a-b)=0,所以a=b=c,充分 p是q的充分不必要条件，故C错误。 性：a=b=c,则a3十仔+2=3a2=ab十十ac,D正确. 若“x<m”是“x<2021或x>2022”的充分不必要条 5.1≤m≤2.提示：由|x一m≤1，得m一1≤x≤m十1， 件，则m2021,故实数m的最大值为2021，故D正确 由|x一m≤1成立的充分不必要条件是1<≤2， 7.(5,6),提示：易得a>0,p:6≤x≤10.记p,q,r中x 1≥一1 可得 解得1≤m≤2， 的取值构成的集合分别为A,B,C,由于r是p的必要 2≤m+1. 不充分条件，「是g的充分不必要条件，则A军C,C军 故实数m的取值范围是1≤m≤2。 1a6, 6.x>0,>0(答案不唯一).提示：因为当x>0,y>0 B,结合数轴应有 解得5<a<6,即实数a的 2u>10. 时，xy>0一定成立，而当xy>0时.可能有x>0.y>0, 取值范围是(5,6)。 也可能有x<0,y<0,所以“x>0,y>0”是“xy>0”的 充分不必要条件。 【高考通关测评】 a>01. 1.BD提示：设“A∩B=⑦”的一个充分不必要条件是 六当ze{z0≤x≤1)时m=c十 4 p,p对应的集合为C.当A∩B=②时，m十1≤一1，解 得m≤一2，所以C柔{mm≤一2}，故选BD 若1.则=c+}<1.即≤是 2.A提示：由题意知，“太空握手”→“空间站组合体与 9.(1)集合A={x2a-1<x<3a+1}. 梦天实验舱处于同一轨道高度”，“空间站组合体与梦 集合B=(x-1<x<4. 天实验舱处于同一轨道高度”“太空握手”，所以“梦 因为p是g的充分条件，所以A二B, 天实验舱与天和核心舱成功实现·太空握手”是“空 ∴.集合A可以分为A=或A≠两种情况来讨论： 间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分 当A=0,满足题意，此时2a一1≥3a+1, 不必要条件」 解得u≤一2. 3.D提示：一方面，若0<ab<1,则当a<0时，0>b> 当A≠☑时，要使A二B成立， 合，所以K不成立：另一方面，若K。,则当a< 2a-1≥-1， 需满足3a+1≤4， 解得0≤a≤1. 0时，ab>1,所以0<ab<1不成立. 2a-1<3a+1. /儿参考答案与提示>7 综上，a≤-2或0≤a≤1. “存在一个平行四边形的对边不都平行” (2)不存在.理由如下： 由平行四边形的定义知该命题是假命题。 假设存在实数a,使得p是g的充要条件，那么A=B. (2)命题的否定： 2a-1=-1. “存在一个非负数的平方不是正数” 则必有 无解.故不存在实数a使得 3a+1=4. 因为0=0，不是正数，所以该命题是直命题。 A=B,即不存在实数a使得p是g的充要条件。 (3)命题的否定： 10.(1)当a=2时，A={x1≤r≤3，B={x-1≤r≤3， “所有四边形都有外接圆” 则AUB={x一1≤≤3. 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为 (2)选择条件①.因为AUB=B,所以A二B. 真命题，命题的否定为假命题 因为A={xa-1≤xr≤a十1}，B={x-1≤x≤3}， [变式31](1)是存在量词命题，用符号表示为“3x,y a-1>-1, 为正实数，使x2十y=0”,是假命题 所以 解得0≤a≤2. a+1≤3， (2)是全称量词命题，用符号表示为“Va,b∈R,方程a.x 所以实数a的取值范围是[0,2]. 十=0都有唯一解”，是假命题. 选挥条件②.“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件， (3)是存在量词命题，用符号表示为“3x∈R,了一x十可 则集合A为集合B的真子集 =2”,是假命题. 因为A={xa-1≤x≤a+1},所以A≠心. [变式+1]B提示：对任意的1x2,有x2一a≤0 又B={xl-1≤x≤3)， 所以a-1≥-1，a-1>-, 相成立，等价于a≥(x2)x,1≤x≤2. 或 解得0≤a≤2. a+1<3 a+1≤3， (x2)=22=4,.a>4 所以实数a的取值范围是[0,2. [变式+2]1.提示：因为“存在x∈R.使x2+2x+ m≤0”是假命题，所以“对任意x∈R,都有x2+2x十m> 选择条件③.因为A={xa-1≤x≤a+1},B=x 0”是真命题 -1≤x≤3}，且A∩B=0,所以a-1>3或a+1< 因此△=4-4m<0,即m>1,故a=1. -1,解得a>4或a<-2. 【基础通关测评】 所以实数a的取值范围是（一o∞，一2）U(4,十o). L.C提示：由存在量词命题的否定的定义可得C正确. 【实验班选做题】 2.C提示：0是有理数，但0没有倒数，故A是假命题： 1.充要.提示：如题图所示，若D既是△ABC的内心 也是外心，则有AD=BD,所以∠BAD=∠ABD,即 对于无理数3，(3)=3是有理数，故B是假命题 C中，当x=一1时，满足题意，是真命题： 之∠BAC-立∠ABC,所以∠BAC-∠ABC.同理可 D是假命题，因为所有的三角形都有外接圆 知∠BAC=∠ACB,∠ABC=∠ACB,即∠BAC= 3.A提示：命题“3m∈R,A∩B≠☑”为假命题，则其 ∠ACB=∠ABC,则△ABC为正三角形. 否定“Vm∈R,A∩B=”为真命题.当a<0时，集合 若△ABC为正三角形，则△ABC的内心与外心重合. A=必，符合A∩B=必.当a≥0时，因为m+4>0, 所以p是g的充要条件. 所以由Hm∈R,A∩B=0,得a<m+3对于任意 2.2全称量词与存在量词 m∈R恒成立.又2十3≥3，所以0≤a<3.综上.实数 【变式训练】 a的取值范围为（一oo,3) [变式1-1]①.提示：①②是命题，③不是命题.①中 4.B提示：原命题的否定为“对任意实数m,关于x的 含有全称量词，所以是全称量词命题， 方程x+mx一1=0无实根”，即“不存在实数m,使关 [变式2-1]D提示：全称量词命题的否定是存在量词 于x的方程x2十mx一1=0有实根” 命题，故排除C:命题的否定只否定结论，不否定条件，故 5.①.提示：①可表述为“每一个正方形的四条边相 排除A:“x2-x2十1≤0”的否定是“x-x十1>0”，故 等”，是全称量词命题：②是全称量词命题，即“凡是有 排除B.故选D 两个角相等的三角形都是等腰三角形”：③可表述为 [变式2-2](1)命题的否定： “所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题：