1.3 集合的基本运算-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

第一章)预条知识/ 1.3集合的基本运算 高考要求学业标准·考情分析 一考，点分布 一学科素养· 学法导引 1,理解交集，并集、全集、补集的概念，会用文字 语言、符号语言及图形语言来描述这些概念 交集，并集、补集的概念既有 2.了解交集、并集、补集的一些简单性质，会求 区别又有联系，特别是“且”“或” 两个简单集合的交集与并集，会求给定集合 的区别，应结合Venn图或数轴加 的补集。 数学运算 深理解.利用数形结合的数学思 第 3,初步掌握集合的基本运算的常用语言及有关 逻辑推理 想将满足条件的集合用Vcnn图 符号，并会正确地运用它们进行集合的相关 或数轴表示出来，从而求集合的 运算. 交集、并集、补集，这是最直观、最 基本的方法，应注意灵活运用. 4.通过Venn图来描述集合的相关运算，进一 四 步体会数形结合思想的作用和意义， 考点分类考点透析·典例制祈 考点1 交集 ,核心总结。 难点突限… 1.交集的概念 对交集的概念和运算的理解 一般地，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成 1.A∩B仍是一个集合， 的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”). A∩B中的任意元素都是A 2.交集的表示 与B的公共元素，同时A与B (I)A∩B用Venn图表示（如图）： 的公共元素都属于A∩B A(○ B A B 2.“且”字的意义：A∩B 中的元素既属于A,又属于B ①A与B有部分公共元素 ②A与B没有公共元素，A∩B= 3.两个集合A与B没有 ACB A(1) 公共元素不能说两个集合没 ③B年A,则A∩B=B ④AB,则A∩B=A⑤A∩B=A=B 有交集，而是A∩B=心.例 注：图中的阴影部分表示交集A∩B, 如：A={xly=2x十1}，B= (2)A∩B的符号表示：A∩B={xx∈A,且x∈B}. {(x,y)|y=x+2},则A∩ 3.交集的运算性质 B=②.原因是A为数集，B 性质 说明 为点集，两者不可能有公共元 A∩B=BnA 素，故A∩B=0 满足交换律 A∩0=☑ 空集与任何集合的交集都为空集 21 考点同步解读>高中数学必修第一册SD色 续表 ②方法梳理 求两个集合的交集的 性质 说明 方法技巧 A∩4A=A 集合与集合本身的交集仍为集合本身 1.对于元素个数有限的 (A∩B)∩C=A∩(BnC) 多个集合的交集满足结合律 集合，可直接根据集合“交”的 若A∩B=A,则ACB 交集关系与子集关系的转化 定义求解，但要注意集合中元 (A∩B)二A,(A∩B)CB 两个集合的交集是其中任一集合的子集 素的互异性 2.对于元素个数无限的 第 ⊙考题司(2024，龙岩二中期中考试)（多选）设集合A={2, 集合，进行交集运算时可借助 4,2x,B={2,x2,若A∩B=B,则x的值可以为( 数轴，两个集合的交集等于两 A.2 B.-2 C.0 D.-1 个集合在效轴上的相应图形 第二章 解析由A∩B=B,得B二A. 所覆盖的公共范围，但要注意 ①当x2=4时，x=士2.当x=2时，集合A中的元素不满足 端点值能否取到。 第三章 互异性，舍去：当x=-2时，A={2,4,-4},B={2,4},符合B二A ②当x2=2x时，x=2(舍去)或x=0.当x=0时，A={2,4,0), 四 B={2,0),符合B二A. 答案BC 第五鱼 ⊙变武已知集合A={(x,y)y=x},B={(.x,y)y=x, 山规律总结 则集合A∩B中元素的个数为(). 求集合A∩B的步骤 第六章 A.3 B.2 C.1 D.0 1.弄清两个集合的属性 及代表元素 ⊙考题2已知A={x2-5x+6=0},B={xmx-1=0}, 2把所求交集用集合符 笔 A∩B=B,则m的值为 号表示出来，写成“A∩B”的 解A={2,3},当B=⑦时，m=0,满足题意； 形式 当B≠时，m≠0，则B=品，“2或是=3， 3.把化简后的集合A,B 中的所有公共元素都写出来 即可 综上可知，m=0或m=号 或m= 3 国0或号或号 ⊙变式12已知集合A={x2x5},B={xa<x<4a}. (1)若A∩B={x3<x<5},求实数a的值. (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. (3)若A∩B=☑，求实数a的取值范围. 22 第一章)预条知识☑ 考点2 并集 ·核心总结 女难点突破… 1.并集的概念 对并集的概念和运算的理解 般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的 1.AUB仍是一个集合 集合，叫作集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并B”). 它由所有属于集合A或属于 2.并集的表示 集合B的元素组成， (1)AUB用Venn图表示（如图）： 2“或”字的意义：并集中 的“或”字与生活中的“或”字 A(B 含义不同，生活中的“或”只取 ①A与B有部分公共元素 A与B没有公共元素 其一，并不兼存，而并集中的 “或”连接的并列成分之间不一 第 AB) B A A(B) 定互相排斥，例如，“x∈A或 ③B=A,则AUB=A①AB,则AUB=B ⑤AUB=A=B x∈B”包括三种情况，如图. 注：图中的阴影部分表示并集AUB. (aOB aQp (2)AUB的符号表示：AUB=(xx∈A或x∈B. x∈A,但x÷BxFA且x←B 3.并集的运算性质 D c∈B位2在A 性质 说明 3.求集合A与B的并集 AUB-BUA 满足交换律 时，公共元素只能算一次（元 素的互异性). AUO=A 任何集合与空集的并集仍为集合本身 ②方法梳理 AUA=A 集合与集合本身的并集仍为集合本身 求两个集合的并集的 (AUB)UC-AU(BUC) 多个集合的并集满足结合律 方法技巧 七意 1.对于元素个数有限的 (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC) 多个集合的综合运算 集合，可直接根据集合的 (AUB)nC=(A∩C)U(BnC) 满足分配律 “并”的定义求解，但要注意 集合中元素的互异性 若AUB=B,则A二B 并集关系与子集关系的转化 2.对于元素个数无限的 任何集合都是该集合与另一集合并 集合，进行并集运算时，可借 AC(AUB).BC(AUB) 集的子集 助数轴并利用数抽分析法求 解.两个集合的并集等于两个 ⊙考题3(2024，银川一中单元测试)已知集合A=〈1,2， 集合在数轴上的相应图形所 3},B={2,4,5},则集合AUB中元素的个数为 覆盖的全部范围，但要注意端 点值能否取到。 解匠如图，由Venn图知，AUB={1,2,3,4,5},故AUB中 3.利用敛形结合的思想， 元素的个数为5. 将满足条件的集合在Venn 图或效轴上一一表示出来，从 而求出集合的并集，这是必须 答案5. 掌握且能熟练运用的方法. 23 考点同步解读>高中数学必修第一册SD乡 ⊙考题4(2024，安庆五校联考)已知集合A={x一5< 误区防错… x≤2}. 1.对于“AUB={xlx∈ (1)若B={xx≥m},AUB=B,求实数m的取值范围. A或x∈B}”,不能认为“AU B”是由A中的所有元素和B (2)若B={xx<m一2或x>m},AUB=R,求实数m的取 中的所有元素简单相加而得， 值范围。 因为集合A与集合B中可能 解析(1)由AUB=B知A二B,所以m≤-5，即实数m的取 有公共元素，这些公共元素不 值范围为{mm≤一5. 能重复出现在同一个集合里， 这是由集合中元素的互异性 m-2>-5, (2)由题意得 解得-3<m≤2，即实数m的取值 决定的. m≤2， 2求并集时，新确定的集 范围为{m一3<m≤2}. 合要满足元素的互异性，否则 ⊙变式2①(2024，辽西联合校期中考试)（多选）设集合 容易出错 A={xx2-7x十12=0}，B={xax-1=0},若AUB=A,则实 3.由AUB=A得B≤ A,此时B有两种情况：B为 第三章 数a的值可以为( 空纂或非空集合.注意不要漏 A B.0 C.3 掉空集的情况 考点3 全集与补集 第五鱼 ·核心总结 1.全集与补集的概念 办难点突破 (1)在研究某些集合的时候，它们往往是某个给定集合的 1,集合的补集运算与实 第六章 数的减法运算的相似，点 子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U表示.全集包含 所要研究的这些集合。 实数 集合 第七鱼 (2)设U是全集，A是U的一个子集（即A二U),则由U 被减数a 被减集合（全集）U 中所有不属于A的元素组成的集合，叫作U中子集A的补 减数b 减集合A 差a-b 补集CA 集，记作CA 2.全集与补集用Venn图表示（如图）. 2.对全集与补集的关系 的理解 (1)补集相对于全集而存 C.A 在，求补集之前一定要明确其 U 所对应的全集。 3.集合A的补集的符号表示：CA={xx∈U,且x￠A}. (2)全集是一个相对概 4.补集的运算性质 念，它随着研究对象的不同而 改变，如我们只在整数范国内 性质 说明 研究问题，则Z为全集；而当 (CA)UA=U 任何集合与其补集的并集为全集 问题扩展到实数集时，则【为 (0A)∩A= 任何集合与其补集的交集为空集 全集，这时乙就不是全集，我 C(CA)=A 任何集合补集的补集为集合本身 们研究数集时，常常把实敦集 C0U=0,00=U 全集的补集为空集，空集的补集为全集 R作为全集 24 /第-章)预条知识/ ⊙考题5设集合U={1,2,3,4,5,6),M={1,3,5},则 (3)CA的三层含义： CM=(). ①CA表示一个集合. A.{2,4,6 B.{1,3,5} C.{1,2,4} D.U ②CuA是U的子集，即 CACU. 解析因为集合U中有不属于集合M的元素2,4,6，所以 ③CA={x|x∈U且 CM={2,4,6}. x任A. 答系A (4)CA表示U为全集 点评对于给定的有限集求补集的问题，直接用补集的定义 时A的补集，如果将全集换成 求解即可 其他集合（如R)时，则符号中 ⊙考题6(2024，湖南师大附中月考)已知全集U=R,集合 的"”也必须换成相应的集合 M={xlx≤2}，则CM=(). (即CRA). A.{x|-2x<2} B.{x|-2≤x2 C.{xx<-2或x>2 D.{xx≤-2或x≥2} 解析配因为U=R,M={xx|≤2}={x一2≤x≤2}，易知 CM={xx<-2或x>2}. ②方法梳理 答案C 1.求补集的常用方法 ⊙变式3①(2024，潮州金山中学期末考试)（多选）设全集 (1)直接利用补集的定义 U={a,4,a2),集合A={b,c},CA=1},则(). 求解 A.a=1 B.a=-1 (2)用Venn图来求解比 C.b+c=3 D.b=-1,c=4 较直观的问题，求解过程中要 ⊙考题7(2024，广州中学期末考试)已知集合A={y|y> 注意图形语言与符号语言的 a+1或ya},B=(y2≤y≤4}，若A∩B≠☑，则实数a的取 转化。 2.对于含有参数的问题， 值范围为 依据题目条件求出参数的值 解园已知A={yly>a2十1或y<a),B={y2≤y≤4)，我 后，需将参数的值代回检验， 们不妨考虑当A∩B=⑦时a的取值范围，在数轴上表示出集合 舍去不合题意的值，否则容易产 A,B,如图所示 生增解而导致出错， a≤2， a≤2， 3.对于与一元二次方程 由 得 a+1≥4，a≥V3或a≤-√3， a 2 4 a+1 有关的含有参数的问题，要注 故a≤-√3或√3≤a2, 意利用“△”和根与系数的关系 来进行分类讨论. 即A∩B=☑时，a的取值范围为{aa≤一√3或v3≤a≤2}. 故A∩B≠⑦时，a的取值范国为{aa>2或一√3a<3. 答{aa>2或-V3<a<3}. 点评当正面情况较多或较复杂时，从结论的反面入手是简 化问题的一种常用手段，但要注意，从补集入手时，必须明确全集 是什么 25 考点同步解读>商中效学必修第一册BSD色 考点4 交集、并集、补集的混合运算 ·核心总结 女难点突破 I.A=B台A∩B=AUB=ACB且BCA 我们要善于用图示法来解 2.AUB=U且A∩B=O=A=CB. 决集合的交、并、补的运算问 3.德摩根法则 题，注意(CA)∩B.(CB)∩A C(A∩B)=(CA)U(CB),C(AUB)=(CA)∩(CB). 等在图示法中的表示，如图1 该法则可借助下面的Venn图来理解（如图）. 中阴影部分所示。 AUB QB (CA)nB (CB)∩A 图1 ,(CAn阿 CAB 第三章 如图2，两条封闭相交的 C(AnB)=(CA)U(CB) Ce(AUB)=(CA)∩(CB) 曲线将集合U分为四个部分 (“交之补”等于“补之并”) (“并之补“等于“补之交”) U 7 ⊙考题8(2024，河南创新联盟联考)（多选）如图，阴影部分 (2) (3)八(1) 表示的集合为( ). (4) 第五鱼 CAUB) 图2 第六章 A.MU(LN) B.N∩(CM) C.[(MON)]UM D.[(MUN)]UM 第七章 空方法梳理… 解所易知题图中阴影部分为M和CN的并集，故A正确； 1,解决集合的混合运算 [C(MUN)]UM也可表示图中的阴影部分，故D正确： 问题时，一般先计算括号内的 选项B,N∩(CM)表示的区城如图中非阴影部分所示； 部分，如求(CA)∩B时，应先 选项C,[C(M∩N)]UM=U,故不符合题意. 求出CA再求交集：求C(AU 答案素AD B)时，应先求出AUB再求补集 ⊙变式4①(2024，福州一中模拟)已知全集U={1,2,3,4. 2.利用德摩根法则解决 5,6,7,8},集合A={2,3,5,6,集合B={1,3,4,6,7},则集合 问题的好处是不用先求CA 和CB,再求相关集合·从而 A∩(CB)=( 简化了集合的运算， A.{2,5} B.{3,6 3.正确理解集合的交、 C.{2,5,6 D.{2,3,5,6,8 并、补的含义，熟练掌握集合 ⊙考题9(2024，宜昌二中调考)已知全集为R,集合A= 几种表示方法的相互转换， {xx≥0}，B={x2≤x≤4}，则A∩(CRB)=(). 充分利用Venn图是解题的 A.{xx≤0 B.{x2≤x≤4 关键. C.{x0≤x<2或x>4》 D.{x0<x≤2或x≥4} 4,在进行集合的交，并、 26 儿第一章)预条知识引 解析由图可知A∩(CkB)={x0≤x<2或x>4}. 补的运算时，应首先求出各集 B 合，对于数集的集合运算，一 般可借助数轴将问题形象 化、直观化，即借助数形结合 落案C 的思想 ⊙变式42(2024，深圳中学期未考试)（多选）已知全集U =R,集合A={x1≤x≤3或4<x<6},集合B={x2≤x<5}, 下列集合运算正确的是(). A.CB=(-oo,2)U[5,+o∞) B.A∩(CB)=[1,2)U[5,6) C.(CA)∩B=(-∞，1)U(2,5)U[6,+o∞) D.Cu(AUB)=(-∞，1)U[6,+o∞) ⊙考题10(2024，清远一中调研)已知集合A,B均为集合 深记忆窍门： U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},(CB)∩A={9},则 集合的交、并、补运算口诀 A=(). 交集元素仔细找， 第 属于A且属于B: A.{1,3} B.{3,7,9} C.{3,5,9y D.{3,9} 并集元素勿遗漏， 解析因为A∩B={3},所以3∈A 切忌重复仅取一： 五童 又(CB)∩A={9},所以9∈A. 全集U是大范围， 若5∈A,则5B(否则5∈A∩B),从而5∈CB,则(CB)∩ 去掉U中A元素， A={5,9},与题中条件矛盾，故5氏A. 剩余元素成补集. 同理可得1A,7在A,故A={3,9}. 答案D ⊙变式43(2024，西北工大附中单元测试)已知全集U (不大于20的素数}，M,N为U的两个子集，且满足M∩(CN) 3,5},(CM)∩N={7,19},(CM)∩(CN)={2,17},则M ,N= 考点5 利用集合的运算解决参数问题 核心总结 滩点突破… 1.集合间的关系与集合的运算的重要性质 集合间的关系与集合的运算 由图1可知，A∩B=A=A二B: 1在利用集合的交集，并 由图2可知，AUB=A台A2B. 集性质解题时，常常遇到A∩B A B =A,AUB=A等类型的问题， 解答时常借助交集、并集的定 图1 图2 义及集合间的关系去分析，如 A∩B=A=ACB,AUB= 27 考点同步解读〉高中数学必修第一册SD色 2.对于已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的问 A一A口B等，解答时应灵活 处理 题，一般是先观察得到不同集合中元素之间的关系，再列方程 2.当集合BCA时，如果 (组)或不等式（组）求解.另外，在处理有关参数的集合问题时， 集合A是一个确定的集合，而 要注意对结果进行检验，以避免违背集合中元素的互异性，同 集合B不确定，运算时要考虑 时还要注意对空集的讨论，以避免漏解， B=⑦的情况，切不可漏掉. ⊙考题11(2024，常德二中调考)设集合A={.x一1≤x< 3.在解决与不等式有关的 2},B={x|x<a},若A∩B≠心，则a的取值范围是( 子集问题时，画出数抽可使问题 变得形象、直观，易于分析 A.-1<a≤2 B.a>2C.a>-1 D.a>-1 解析方法一因为A∩B≠☑，所以集合A,B有公共元素， 山规律总结， 作出数轴如图1，可知a>一1. 1.A∩B=A等价于A B A B B:AUB=A等价于BCA.我 -】0a12x 第三章 们常利用这两个结论求参数 图1 图2 的取值范围 方法二若A∩B=☑，则A,B没有公共元素，作出数轴如 2.利用集合运算的性质 图2，可知a≤一1，由补集思想知，当A∩B≠☑时，a>一1. 化简集合之间的关系，有利于 答秦案D 准确了解集合之间的联系， 第五章 ⊙变式5已知集合A={xx≤1}，B={xx≥a},且AU 3.对于涉及桑合运算的 B=R.则实数a的取值范围是 问题，首先应看清集合中元素 的范固，化简集合，若是用列 第六章 ⊙考题12(2024，唐南中学月考)设集合M={x|一4<x 举法表示的效集，可以根据交 3},V={xt十2<x<2t-1,1∈R},若M∩N=N,则实数t的取 集，并集的定义直接观察或用 值范围为 Venn图表示出集合运算的结 解由M∩N=N得N二M, 果：若是用描述法表示的数集， 当N=⑦，即2t-1≤t+2,t≤3时，M∩N=N成立； 可借助数抽分析写出结果，此时 1+2<21-1, 要注意若端点不在集合中，应用 当N≠0时，由图可得21一1≤3，此时t不存在. 空心点表示，数抽分析法在集合 1+2≥-4， 运算中经常使用。 M N -4 t-2 2t-1 3 综上可知，实数1的取值范围是（一o,3]. ②方法梳理 答案(-0∞，3]. 求集合运算中的参数的思路 ⊙变式52已知集合A={xx2-3.x十2=0}，B={xx2 1.将集合中的运算关系 a.x+a-1=0},C={xx2-m.x+2=0},且AUB=A,A∩C=C 转化为两个集合之间的关系. 若集合中的元素能一一列举， 则实数a= ,m∈ 则可用观察法得到不同集合 ⊙考题13(2024，惠州一中调研)已知全集为R,集合A 中元素之间的关系：若是与不 {.x2≤x≤6}，B={x3.x-7≥8-2.x}. 等式有关的集合，则可利用数 (1)求AUB,CR(A∩B). 轴得到不同集合之间的关系. 28 第一章)预条知识/ (2)若M={xa一4≤x≤a十4}，且A二CRM,求a的取值范围。 2.将集合之间的关系转 解掘(1)因为B={x3x-7≥>8-2x={xx≥>3}，所以AU 化为方程、不等式是否有解或 B={xx≥2}，A∩B={x3≤x≤6}， 解集的范围问题 3.通过解方程（组）或解 所以CR(A∩B)={xx<3或x>6}. 不等式（组）来确定参数值或 (2)由题意知M≠☑，且CRM={xx<a一4或x>a十4. 取值范围时，需注意两点： 因为A={x2≤x≤6}，A二CkM,所以a-4>6或a十4<2， (1)由集合间的运算得到 解得a>10或a<-2. 的新集合一定要满足集合中 故实数a的取值范围为{aa<一2或a>l0}. 元素的互异性，因此，在求解 点本题考查集合的基本运算，解题时根据要求逐步求解 参数的问题时，要注意隐含的 条件 即可，其中解答第(2)问的关键是将集合间的包含关系转化为不 (2)对于涉及AUB=A或 等式来求解，容易出现的错误是忽视不等式中的等号能否成立 A∩B=B的问题，可利用集合 @变式53(2024，荆州中学单元测试)设集合M={.x一2< 的运算性质将其转化为相关 x<5},N={x|2-t<x<21+1,t∈R},若MUN=M,则实数t 集合之间的关系求解，此时要 的取值范围为 注意空集的特殊性。 第 考点6 集合运算的实际应用与创新问题 四 ·核心总结 海难点突城 第 1.与集合运算有关的实际应用问题 集合中元素个数的计算 集合中的实际应用问题主要涉及集合中元素个数的问题， 若用card(A)表示集合A 先对实际问题进行分析，抽象建立集合模型，转化为集合问题， 中的元素个数，则有card(AU 运用集合知识进行求解，然后将数学问题的解翻译成实际问题 B)=card(A)+card (B)- 的解并进行检验，从而使问题得以解决.用Venn图进行分析， card(A∩B). 往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解。 事实上，由图1可知，A门 2.与集合运算有关的创新问题 B的元素个数在card(A)和 (1)集合的创新问题，其创新性主要体现在新定义与新运 card(B)中均计数一次，也就 是说在card(A)+card(B)中 算上，通过给出一个新定义、约定一种新运算、给出几个新的模 计数两次，而在card(AUB)】 型等，创设一种全新的问题情境，以考查同学们独立获取信息、 中只能计数一次，从而有 加工信息的能力. card(AUB)=card(A)+card(B) (2)此类题型主要的解题策略：在认真阅读并理解题意的 card(A∩B). 基础上，紧扣条件，抓住关键，实现新的信息向已有的集合知识 AnBOC 的转化，从而达到解题的目的 B ⊙考题14某班举行数学、物理、化学三科竞赛，每人至少参 B 加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人， 参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参 图1 图2 加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参 类似地，有card(AUBUC) 加数学、物理、化学三科的有4人，则全班人数为 =card(A)+card(B)+card(C) 29 夏考点同步解读〉高中效学必修第一滑SD么 解析设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分 -card(AnB)-card(A∩C) 别为A,B,C card(BnC)+card(AnBnC). 由题意可知，集合A,B,C中的元素个数分别为27,25,27，集 它可由图2来解释 合A∩B,B∩C,A∩C,A∩B∩C中的元素个数分别为10,7,11,4 画出Venn图（如图）. B 10 4 12 7 3 13 C 故全班人数为10+13+12+6+4+7+3=55. 第二章 答案55. 点理此类实际应用问题偶尔会在高考中出现，通常需要用 第三章 Venn图来处理，有时求总人数，有时求满足某些条件的人数，如 变式6-1. ⊙变式6(2024，黄冈中学单元测试)某大学开设了a,b,G 三门选修课程，某专业的50名学生每人至少需要选择其中一门 第五鱼 课程，部分选课的情况如下表： 课程 选择的学生人数 课程 选择的学生人数 第六章 28 a与b 11 b 26 a与c 12 26 b与c 13 第七鱼 则三门课程都选择的学生人数为 对标演练分级测评·限时特训 >基础通关测评 限时10分钟， 3考点4图中阴影部分表示的集合是( 一、选择题 A.A∩(CB) U 1.考点3已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A= B.(CA)∩B B {2,4,5},则CA=( C.C(A∩B) A.0 B.{2,4,6 D.(AUB) C.{1,3,6,7 D.(1,3,5,7} 4.考点1、2(2024，辽宁省部分中学期末联考)设 2.考点(2024，长沙雅礼中学月考)已知集合 A,B是非空集合，定义A￥B={xx∈(AU M={2,a2},P={-2,-2a},若MUP有三 B)且x在(A∩B)}.已知A={x0≤x≤3}， 个元素，则实数a的取值集合为(). B={xx≥1}，则A￥B=(). A.{1,0 B.{-1,0,1} A.{x|1≤x<3 C.{-2,-1,0) D.-2,0} B.{x|1≤x≤3 30II考点同步解读 高中数学 必修 第一册 BSD & 1个元素,所以①当k--2时,A-1,满足条件; 或{ 2n十1-1. 解得-1<n<1. ln+2<3. ②当-2时,-4-4(+2)-0,解得 --1或$$ 综上,n的取值范围为[-1,十). 人一2.综上,满足条件的实数人的最小值为一2 7.(1)5. (2)fa.a:..a.as). 6.al0<a<4.提示:当a-0时,原方程可化为1-0. 提示:(1)由定义可知×-2-1+2-1-1+4-5,故 显然无解;当a-0时,一元二次方程ar*十ax+1-0 a,a是E的第5个子集. 无解,则需△-a{-4a<0,即a(a-4)<0,解得0 (2)由于211是奇数,因此一定有2--1,即有元素 4. a;由2*-256,2-128知,没有元素a。,有元素as; 综上,实数a的取值范围是al0<a<4》. $ 11-1-128-82,2=64<82,故有元素a;82- 【高考通关测评】 64-18,2-16 18.故有元素a;2-2,故有元素a. 1.C 提示;因为BA,所以x-3或-x.当x-3$$ 综上,211-2+2+2+2+2,故E的第211个子 时,x=士3,此时A-1,3.3或A-1,3.-3 集为a.a.a.a,as}. B-(3,1),符合题意;当x*-x时,x-0或x=1(舍 【实验班选做题】 去),此时A-(0,1,3),B-(0,1),符合题意,故x-0 1.BC 提示:若x-2.y-1.而Z,故整数集不是 或x-士③. 2.A 提示:①当B一,即a一0时,满足题意 “紧密集合”,A错误;根据“紧密集合”的性质可知,实 数集是“紧密集合”,B正确;集合(0,1)是“紧密集合” 故“紧密集合”可以是有限集,C正确;集合A一(0,1 是“紧密集合”,当x-0,y-1时,-y--1A.D错误 B二A.则需-1>3,解得-1<<0. 2.50.提示:(1)当集合A;中只有1个元素时,可为 (1).[2,3.4,共4种,集合A是由集合A中除 综上,实数a的取值范围是[-.1). 去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子 集,这样的“互斥子集组”共有4X(2-1)一28(个). 3.C 提示:.M=xlx=5k-2,kz,P=xlx=5n (2)当集合A;中有2个元素时,可为(1,2,(1,3, 3.nz,S-xlx-10n+3.nE乙. .M-... (1.4),(2,3,(2,4,(3,4,共6种,A:共有2-1 -7.-2,3,8,13,18...),P-..,-7,-2.3,8,13. 3(个),故此时这样的“互斥子集组”有6×3一18(个). 18...),S-...-7.3,13,23,...),故$P-M. (3)当集合A中有3个元素时,可为(1,2.3,(1,2 4.B 提示:N-ER *-5.xr-0]-0,5M- 4),1.3,4,(2,3,4),共4种,A。只有1种情形,这样 R018. 的“互斥子集组”共有4×1一4(个). 5.ACD 提示:因为集合A--1.3),B-(rlax-1. 综上所述,这样的“互斥子集组”共有28十18十4- BCA,当a-0时,B-,满足题意;当a0时,B 50(个). (clar-1)-(),要使B二A.则需要满足l--1 1.3 集合的基本运算 或-3,解得a--1或a- 【变式训练】 1.所以a的值为o或 [变式1-1] B -1或. [变式1-2](1)因为AOB-xl3 x5),所以a-3 (2)因为AOB-A,所以ACB. 6.[-1.十o) 提示:由题意得A=x一1x3 a<2. 所以 解得2. B-xl2m+1<rn+2. l4a5. ①当B-,即m+2<2n+1,即m1时,B=A,满 所以实数a的取值范围是{al<<2). 足题意; (2n+1-1. (3)因为AOB一,所以可分两种情况讨论 ②当B,即m 1时,若BA,则 lm+2<3 当B-②时,a4a,解得a0 4 I参考答案与提示> a0. 解得a→5或0<a. 当C二A时,C-(1)或(2),将x-1和x-2代入方 当B时, 5或4a<2. 程,可得n-3. 综上,实数a的取值范围是{aa<-或a→5. 综上可知,a-3或a-2,m=3或-22<m<2/ [变式2-1] ABD 提示:A-xl-7x+12-0]-3,4. [变式5-3] 1<2.提示:由MUN-M得NCM 由AUB-A.得BCA.当B=时,a=0.BCA成立; 故当N=时,有2+1<2-1,即1<时,MUN-M 当B≠时,B-(3)或B-(4),得a-或a-1. 成立; [变式3-1] BC 提示:若a=1,则a-1,则集合A不 2-12+1. -1, 当N去②时,由图可得2+1<5. 解得<<2. 满足元素的互异性,不符合题意,所以a学a^{,解得a 2--2. a74. -2 2-t 2t+1 5x -1.故U-(-1,4,1),所以A--1,4),故 lc-4 综上可知,实数:的取值范围是(<2 6-4. 则+c-3.则A.D错误,B.C正确 [变式6-1] 6. 提示:设三门课程都选择的学生人数 c--1. 为工,则各部分的人数如图所示,有(1十x)十(5十x)十 [变式4-1] A 提示:集合CB-(2,5,8),则AO (2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+r=50,解得 (CB)-(2.5. --6,故三门课程都选择的学生人数为6. [变式4-2] ABD 提示:显然A正确;AO(CB)= (1 x<2或5<x6-[1,2)U[5.6).B正确; ($A)B-{xx1或3<x4或x6 xl2< (1+x) 5=(xl34),C错误:C(AUB)-(A)O(B) -1或3<4或x 6]xx<2或x5= (11-x (x x1或x>6-(-,1)U[6.+),D正确 (5x) (2+) [变式4-3]3,5,11,13);(7,11,13,19. 提示:U一 (2.3,5.7,11.13,17,19,如图所示. 【基础通关测评】 '.M-3,5.11,13),N-(7,11,13,19 1.C 提示:U中除A中元素外,余下的有1.3,6.7,故 A-(1,3,6.7. 2.C 提示:因为MUP有三个元素,且2子一2.a子 -2,所以-2a-a”或-2a-2.①当-2a-a^时,解得 [变式5-1] a1. 提示:因为AUB-R,画出数轴(图 a-0或a-一2,均符合题意;②当一2a-2时,解得 略)可知,表示实数a的点必须与表示1的点重合或在表 a--1,符合题意. 示1的点的左边,所以] 3.A. 提示:由题图知阴影部分表示的集合为AO(fB) [变式5-2]3或2;mlm-3或-2v②{n{2②. 4.C 提示:由题意知AUB一x|x0,AOB-x 提示:由已知得A-1,2),B-x(x-Dx-(a-1)]-0 13,所以A+B-xl0 r1或x >3. 由AUB-A得BCA,所以a-1-2或a-1-1. 5.(-o,0].提示:因为集合A-(xl-1<r3),B- 当a-1-2,即a-3时,A-B,满足AUB-A; xlm+1<2m+3),且(AUB)CA,所以BCA,当 当-1-1,即a -2时,B-(1 ,满足AUB-A B-时,2m+3 m+1,即m -2.符合题意;当 由AOC=C得CCA.所以C-A或C-或C二A (n十12m+3. 当C-A时,m-3: B时,m+1-1,解得-2<m<0.综上,n的 当C-时,由△-n-8<0得-2/②<m<2② 2n+3<3. 5 I 考点同步解读 高中数学 必修 第一册 BSD& 取值范围为(-oo,0] *M=yly0]-l0. 6.(6).提示;U-(1,2,3,4,5,6,7),AUB-1,2. 又.N-(xl-3<x3, .MON-rl0x3. 3.4.5.7...C(AUB)-(6) '.M-N-C(MON)=x|x3,N-M=C(NOM 【高考通关测评】 -r-3r<0]. 1.B 提示:,M-x-1r3,N--1,0,1,2,3. .MAN=(M-N)II(N-M. .M0N-(-1.0.1,2. .MN-(r-3<r<0或r3 2.C 提示:·B-Ez-1<5]-0.1.2.3,4. 8.481;19.提示:设/一xx是抽样调查的500位市 A-(1.3.4,5). 民,A-xlx是订阅日报的人),B-(x x是订阅晚 'AOB-1.3,4),故A0B的子集个数为2-8. 报的人),则card(AOB)-150,card(A)=334. 3.B 提示:根据题意a-4.则tnB-{c-4< card(B)-297. al.又A-xlx-3或x1),AO([B中恰好含 AB-rx是至少订一种报纸的人 有2个整数,所以AO(fB)-x -4x<-3或 则card(AB)-334+297-150-481. 1<a),所以3<a<4. C.(AUB)一(xx是不订报纸的人. 4.BCD 提示:当a=0时,B-{0),BCA,所以A与 则card(f(AUB))-500-481-19. B构成“全食”,选项B符合题意;当a去0时,B一 9.(1因为A-xl-3 r1,B-yly-1或y>3 (-1 a,若a--2,则-1-,B-{,-2. 所以A0B-(xl-3-11. 所以A与B既不构成“全食”,也不构成“偏食”,选项 (2)由题意得AB-xx1或x3. 因为(AUB)OC-C.所以C(AUB) 因为n-3,所以C学,所以n+1<1,解得n0. BCA,所以A与B构成“全食”,选项C符合题意; 所以实数n的取值范围是m|-3 n 0 若-2,则---,B-{-,2),AB= 10.选择条件①.CA-[xx1或x4). (一,所以A与B构成“偏食”,选项D符合题意. 由BC(.A)可知. 当B-②时,a+12a-1,解得a2; 5.AD 提示:A-xl[]--1-rl-1<0. 当B时。 1 l2-1<1 :0<[2x+2]<3→1<2x+2<3→- la十14. 解得二3. $$- 1。B--11. 综上,存在实数a.使得BC(.A),且a的取值范围 $A#nB-{g-<<o 为(-,2]U[3+). 选择条件②CA-(xlx1或x4. .-4<-v10-3,..[-v10]=-4. 由(CnA)UB-R得 2-14. 6.ACD 提示:因为AO(CB)=1.4. 该方程组无解. la1<1. 所以1:45A:目1:4B 所以不存在实数a.使得(fnA)UB-B 因为(fA)0B-(5.6.7. 选择条件③.由AOB-B可知BCA. 所以5.6.7B.且5.6.76A 当B-②时,a+12-1,解得a<2 又因为AUB-U,若26A.26B或2B,2A.则 a十1<2a-1. 2EAO(CB)或2E(CA)OB.不符合题意. 当B时,a+11. 解得2<< 所以2A目2CB 2a-1<4. 同理,36A且36B 综上,存在实数a.使得AOB一B,且a的取值范围为 综上,A-1.2.3,4).B-2.3.5,6.7 ,A B-2.3 (-. A(fB)-1.2.3.4. 7.(x-3<r<0或3. 【实验班选做题】 提示:.M-(yly-,rER. 1.BD 提示:8C,故A错误;128-3×42+2,即128 6 1参考答案与提示> $.$128-5$t25+3.即128 B.128-7t18+2.即 亮”的充要条件;选项C,“开关A闭合”是“灯泡B亮”的 128CC.故128EAOBOC.故B正确;37A.故C错 必要不充分条件;选项D,“开关A闭合”是“灯泡B亮” 误;23-3$7+2.即23 A,23-5$4+3.即23B$ 的既不充分也不必要条件 23-7×3+2.即23C,故D正确 [变式3-2] C 提示:因为ab+4-2a+2,所以ab- 2.(1)当a=1时,集合B-{1),此时集合A-[1.5,所 $a-2+4-0,即(a-2)(-2)-0,解得a=2或b-2.故 以CB-15. “ab十4=2a+2b”的充要条件是“a,b中至少有一个为2” (2)选择条件①.由A)(B)一R得BCA [变式4-1](1)充要条件.(2)必要不充分条件 当a-0时,集合B一②,符合题意; 提示:(1因为A-c-1=0]=-1,1,B-x l|l -1-0)--1,1),所以A=B,即“-1-0”是“ x$l 得a-1或a-) -1-0”的充要条件. (2)对于A-xlx5),B-xlx3},因为A二B,所以 所以集合C-{0.1.). “r<5”是“x<3”的必要不充分条件 [变式4-2] 充分. 选择条件②.由AOB-B得BCA [变式5-1] BC 提示:因为a子1,所以a士1,所以 当a-0时,集合B一,符合题意; a1a”≠1,而a子l→a1,所以“al”是“a1”的 必要不充分条件,故A错误 得a-1或a-. 当一元二次不等式ar十br十c0的解集是R时,有 所以集合C-(0.1,). a0且A一左一4ac 0,且上述过程是等价的,故B正确 易知“a十la>0”“a>0”,所以“a学o”是“a十lal0” 选择条件③.因为BO(fA)一,所以BCA 的必要不充分条件,故C正确. 当a一0时,集合B一,符合题意; 由la+b-lal+b|,可得la+b-(lal+bl),即ab 当a0时,集合B-(1》,所以1-1或1-5.解 -abl,则ab0,上述过程是等价的,所以la+b|-a 十b的充要条件是ab0,故D错误. 得a-1或a-1. [变式5-2] B 提示:若关于x的方程x十x+2m=0 所以集合C-{0.1,). 没有实数根,则A-1-8m<0.解得m,因为 s2 常用逻辑用语 n m 1=n1|>2nm 2.1 必要条件与充分条件 #1.| o){m}.|m<1)与 【变式训练】 [变式1-1]“A二C”是“A二B且BCC”的必要条件 {>无包含关系,所以“关于x的方程x”十x十 提示:因为对于A.B.C,如果ACB且BCC.则ACC为 真命题,所以“ACC”是“ACB且BCC”的必要条件. 2n-0没有实数根”的一个充分不必要条件可以是m>2 [变式2-1]“a>0,b0”是“ab0”的充分条件 [变式6-1] 若选择①,则A是B的真子集; 提示:因为“若a>0,b0,则ab>0”是真命题,所以“a 1-a0./1-a<0. 则 解得3. 0.0”是”ab>0”的充分条件. 1+a4-1+a>4. [变式2-2]①③. 提示:①正确,因为x一2→(x- 所以存在满足题意的实数a,且a的取值范围为[3,十). 2)(r-5)-0 若选择②,则B是A的真子集,又易知B为非空集合, ②错误,因为3:6. 11-a>0(1-a>0, 则 或 又a0,解得0a<1. ③正确,因为x1,2x十3 1+a<4 1+a4. [变式3-1] C 提示:选项A.“开关A闭合”是“灯泡B 所以存在满足题意的实数a,且a的取值范围为(0,1] 亮”的充分不必要条件;选项B,“开关A闭合”是“灯泡B 若选择③,则A-B,则1-a-0且1十a-4,无解,