1.2 集合的基本关系-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（北师大版2019）

考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD乡 1.2集合的基本关系 高考要求学业标准·考情分析 考点分布 学科素养· ·学法导引 L,能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的 概念，并掌握其记法和读法。 本节学习的重点是理解集合 2.理解两个集合相等的含义，会用子集的观点 之间的包含关系，会用集合相等 来解释两个集合相等。 数学抽象 的条件解决一些问题，同时会写 3.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是 数学运算 出给定集合的子集，特别要注意 第二章 任何集合的子集的规定 逻辑推理 空集在具体情境中对解题的影 4.初步认识Venn图并会用Venn图来表示两 响，并注重数形结合，分类讨论思 第三章 个集合的关系，能借助集合关系与其特征性质 想在研究集合关系时的应用， 之间的关系来研究有关集合的问题 第四章 考点分类考点透析·典例制析 第五章 考点1 子集 ·核心总结 奇难点突限” 第六章 1.子集的含义 对子集的概念的理解 (1)一般地，对于两个集合A与B,如果集合A中的任何 1.注意符号“二”与“∈” 一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B,那么称集合A是 第七章 的区别.“二”只能用于集合与 集合B的子集，记作ACB(或B一A),读作“A包含于B”(或 集合之间，如{0}二N,而不能 “B包含A”) (2)当集合A中存在不属于集合B的元素时，我们就说集 写成0二N;“∈”只能用于元 合A不是集合B的子集， 素与集合之间，如0∈N,而不 2.子集的表示 能写成{0)∈N. (1)为了直观地表示集合间的关系，常用平面上封闭曲线的 2.“A是B的子集”的含 内部表示集合，称为Ven图，这种表示集合的方法叫作图示法. 义：集合A中的任何一个元素 ①表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、 都是集合B中的元素，即由任 椭圆、矩形，也可以是其他封闭曲线： 意x∈A都能推出x∈B. ②用Venn图表示集合的优点是能直观地表示出集合间 3.当A不是B的子集时， 的关系 我们记作“A生B”(或“B卫 (2)A二B用Venn图表示，包括A至B和A=B两种情况 A”),读作“A不包含于B”(或 (如图). “B不包含A”),此时A中至 A(B) 少存在一个B中没有的元素 用图形语言表示，如图。 12 第-章)预备知识 (3)A二B的符号表示：对任意x∈A,都有x∈B. BB 3.子集的性质 (1)任何集合是它本身的子集，记作A二A 例如，集合A={a,b,c} 不是集合B={b,c,d,e:f八的 (2)空集是任何集合的子集，即对任意集合A,都有☑二A, 子集，因为集合A中的元素a (3)传递性：对于集合A,B,C,如果A二B且B二C,那么 不是集合B中的元素 A二C ⊙考题]下列说法中正确的是( ①任何集合必有子集；②集合A={a,b,c}是集合B={a,b, 奇难点突破 d,的子集：③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子 对空集的概念的理解 集，则集合A是集合C的子集：④若不属于集合A的元素也一定 空集是任何集合的子集， 不属于集合B,则B是A的子集 其中“任何集合”当然也包括 A.②③ B.①③④ C.①③ D.①②④ 必，故有0二0.此时按子集 来理解不能成立，原因是前面 解析任何集合都是其自身的子集，故①正确.因为集合A中 的空集中无元素，不符合定义 的元素C不是集合B中的元素，故②不正确.集合的子集具有传 第 四 递性，故③正确.由子集的定义可知④正确， 答系B d规律总结… ⊙变式对于集合A,B,“A二B不成立”的含义是( 1.用Venn图表示集合的 A.B是A的子集 优点是能够直观地表示集合间 B.A中的元素都不是B中的元素 的关系，缺点是集合元素的公共 C.A中至少有一个元素不属于B 特征不明显 第 D.B中至少有一个元素不属于A 2.包含关系{a}二A说明 ⊙考题2用Venn图表示下列集合之间的关系： {a}是A的一个子集，即集合 A={xx是平行四边形}，B={xx是矩形)，C={xx是正 A中必定含有元素山.属于关 系a∈A说明a是集合A中 方形. 的一个元素 解析根据几何图形的相关知识知B二A,C二B,故可用如图 3.对于简单的集合子集 所示的Venn图表示A,B,C之间的关系. 关系的判断问题，可根据集合 中元素的特征进行判断，如考 题2 考点2 集合相等 ·核心总结· 海难点突破” 1.集合相等的含义 对集合相等的概念的理解 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集，且集 1.若A二B,同时B二A, 则A=B. 合B也是集合A的子集，那么称集合A与集合B相等，记作 因为A二B,所以A中的 A=B. 元素都是B中的元素：又因为 13 考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD乡 2.集合相等与实数中相等关系的类比 B二A,所以B中的元素都是 A中的元素，这就是说，集合 “A=B”可类比实数中的结论“若a≤b,且b≤a,则a=b” A与集合B中的元素是完全 即“若A≤B,且B二A,则A=B” 相同的，因而A与B是相等 的集合. ⊙考题3下列各组中的两个集合相等的有(). 2.用图形语言Venn图 ①P={xx=2n,n∈Z},Q={xlx=2(n-1),n∈Z}: 表示，如图。 ②P={xx=2n-1,n∈N},Q={xx=2n+1n∈N}: A(B) 第 ③P=r2-x=0,Q-xx=1+(-D ®方法梳理… ,n∈Z. 1.判断两个集合是否相 章 A.①②③ B.①③ C.②③ D.①② 等的方法 (1)若两个集合A,B均为 解析①对于Q,因为n∈Z,所以n一1∈Z,Q表示偶数集，又 第二章 有限集，只要元素个数相等，且 因为P也表示偶数集，所以P=Q 元素相同，则两个集合相等. ②P是由1,3,5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3,5，… (2)若两个集合A,B均 第三章 为无限集，则看两个集合的代 所有大于1的正奇数组成的集合.因为1任Q,所以集合P与集合 表元素是否一致以及代表元 Q不相等 素所满足的条件是否一致.若 第四章 ③P=0.1小，当n为奇数时，x=1+()1)=0;当m为偶敦 均一致，则A=B. 2.用元素分析法证明两 个集合相等 第五章 时，x 1+(-1)=1.故Q={0,1,所以P=Q 2 根据集合相等的定义，要 证明X=Y,应分两步： 答案B 第一步，证明X二Y,转化为 第六章 ⊙变式21(2024，鄂南高中单元测试)（多选）下列选项中 证明对任意x∈X都有x∈Y, 满足P二Q,Q二P的是(). 第二步，证明Y二X,转化为 证明对任意x∈Y都有x∈X. 第 A.P={xx2-3x+2=0},Q={yy-3y+2=0 因此，集合与集合之间的 B.P={xx=2n-1,n∈N},Q={.x.x-2n+1,n∈N*} 包含关系转化为元素与集合 C.p-(l--x-0).Q-(lr-L+(-.ez 之间的从属关系，这就是元素 分析法 D.P={xy=x+1},Q={(x,y)y=x+1} 考点3真子集 ·核心总结· 奇难点突破： 1.真子集的含义 对真子集的概念的理解 对于两个集合A与B,如果A二B且A≠B,那么称集合 1.两个集合A,B之间的 A是集合B的真子集，记作A=B(或B军A),读作“A真包含 关系： 于B”(或“B真包含A”) A=B→ACB且B=A ACB 2.真子集的表示 A≠B→A至B (1)A=B用Venn图表示（如图）. ACB 2.元素与集合的关系是 B 属于与不属于的关系，分别用 符号“∈”“任”表示：集合与集 14 /第-章)预备知识 (2)A=B的符号表示：对任意x∈A,都有x∈B,但存在 合之间的关系是包含、不包 含、真包含、相等的关系，分别 元素x∈B,且x任A 用符号“二”“士”“”和“=” 3.真子集的性质 表示 (1)任何集合都不是它本身的真子集： 3.若集合A=(1,2},B (2)传递性：对于集合A,B,C,如果A=B,且BC,那么 (1,2,3,4},则A是B的子 AC. 集，也是真子集，用符号“A□ (3)空集是任何非空集合的真子集，即必A(A为非空 B”或“A军B”表示均可，但用 集合) “A军B”表示更准确些，所以解 题时要选择最优的表示方法】 ⊙考题4(2024，湖南师大附中单元测试)已知集合M={x x=1+a2,a∈N},P={rx=a-4a十5，a∈N'},那么M与P ⊙方法梳理， 的关系是 1,在判断集合A是不是 解析对于任意x∈M,有x=1十a2=(a+2)2一4(a+2)十5. 集合B的真子集时，先判断 a∈N°，∴a+2∈N..x∈P. A二B是否成立，再进一步判 由子集的定义知M二P.当a=2时，a2一4a十5=1∈P. 断AB是否成立，此时只需 四 1十a2=1在a∈N"时无解，∴.1任M. 在集合B中找出一个元素不属 综上所述，MP. 于A即可，如考题4但对于简 答案M:P, 单的有限集，则可利用列举法 ⊙变式31(2024，泰安二中月考)设A={x(x-16)(x 表示后直接判断，如变式3-1. +5.x+4)=0},写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真 2.对于有些实际问题中 子集 的真子集关系的判断，要注意 理解实际问题的准确含义，明 确给出集合的含义，再利用真 子集的概念加以判断 考点4 集合与集合之间关系的判断 核心总结 准点突破， 1.集合与集合之间的关系符号：二，，生，星，卫，2，= 元素与集合、集合与集合 2.符号“∈”“”与“二”“军“=”的区别：“∈”“任”表示元素 之间的关系的判断 与集合之间的关系，而“二”“”“一”表示集合与集合之间的关系 1,元素与集合之间的关 3.a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只 系是从属关系，这种关系可用 有一个元素的一个集合，因此有1∈{1,2,3)，0∈{0}，1}国 符号“”或“任”表示 {1,2,3}等，而不能写成0={0}，1}∈1,2,3}，1二{1,2,3}等. 2.集合与集合之间的关 系有包含关系、相等关系，其 ⊙考题5(2024，临川一中月考)设A={四边形)，B={梯 中包含关系有：包含于（二）、 形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E一{正方形}，则下列关系中 包含（口）、真包含于（军）、真 15 /考点同步解读)之高中数学必修第一册BSD乡 正确的是( 包含（子），使用这些符号时要 A.ECDCCCA B.DCECCCA 注意方向，如A二B与B口A C.DCBCA D.EED二CCBCA 是相同的，但A二B与B二A 是不同的 解标集合A,B,C,D,E之间的关系可 用Venn图表示（如图），结合图示可知选A. B 答案A 点评在研究集合间的关系时，Venn图形象，直观的特点体 第 现了数形结合的思想方法，因此熟练运用Venn图表示集合之间 的关系非常重要，通过变式4-1可进一步巩固. 令方法梳理… ⊙变式41(2024，东北三校联考)能正确表示集合M= 判断集合间关系的常用方法 {x∈R0x≤2}和集合N={x∈Rx2-x=0}之间关系的Venn 1.集合元素特征法：首先 图是( 确定集合的元素是什么，弄清 第 楚集合元素的特征，再利用集 合元素的特征判断关系，如考 第 题6中的方法一 2.一一列举观察：如考题6 中的方法二，此方法在选择题中 第五章 题国集合M=女=经+：k∈Z,N==年 更实用. 3.数形结合法：利用数轴 第 吾，k∈Z,则集合M与N的关系为( 或Venn图， A.M=N B.M星N 第 C.MSN D.M∩N=0 解析方法一 M={x-2+∈ZN=r 山规律总结 还+吾，∈乙，由于十1能取所有的整数，而2张只能取所 4 三个重要结论 1.一个整数被2整除，可 有的偶数，又偶数是整数，而整数不一定是偶数，所以M军N. 记为2k:被2徐余1，可记为 方法=M…歌…N=…受牙…， 2k+1或2k-1(k∈Z). 2.一个整数被3整除，可 分析集合中的元素知，∈M且∈N,故排除D:又π∈N,但 记为3k:被3徐余1，可记为 π任M,所以排除A,B 3k+1或3k一2：被3除余2，可 答案C 记为3-1或3k+2(k∈Z. 3.一个整数被4整除，可 ⊙变式4-2(2024，岳阳一中单元测试)若集合A= 记为4：被4徐余1，可记为 xx=号(2k+1),k∈Z,B=x=音k土日，k∈Z,则集合A,B 4k+1或4k-3:被4除余2，可 之间的关系为( ) 记为k十2或4伙一2：被4徐余 3,可记为4k十3或4k一1(k∈7D. A.ASB B.BSA C.A=B D.A∩B=0 16 第一章〉预备知识 考点5 有限集合子集或真子集个数的确定 ·核心总结· 办难点突破… 1.当一个集合的元素个数较少时，我们可以写出它的全部 1.对于有限集合子集的 子集，当然也就知道其子集个数了， 个数问题，求解关键有三点： 2.当一个集合的元素个数较多时，一一写出其子集不太现 (1)确定所求集合 实，对于其子集的个数，有如下结论： (2)合理分类，按照子集 (1)含有n个元素的集合有2：个子集。 所含元素的个数依次写出. (2)含有n个元素的集合有(2一1)个真子集. (3)注意两个特殊的集 (3)含有n个元素的集合有(2"一1)个非空子集， 合，即空集和集合本身. (4)含有n(n≥1)个元素的集合有(2一2)个非空真子集。 2.在写含有2个元素的 子集时，先从第1个元素开 (5)若集合A含有（⊙1）个元素，集合C含有m(m≥1)个 始，将第1个元素与其后的每 元素，且A二BC,则符合条件的集合B有2mW个 个元素搭配，然后不看第1个 ⊙考题7(2024，界首中学月考)已知集合A={0,1,2},B= 元素，再将第2个元素与其后 {xx=ab,a,b∈A},则集合B的子集的个数为( 的每个元素搭配…以保证 A.16 B.8 C.7 D.4 不重不漏。 解析由集合B的定义可知，当Q,b中有一个为0时，x=0. 当a=1,b=1时，x=1；当a=1,b=2时，x=2. 当a=2,b=1时，x=2;当a=2,b=2时，x=4. 所以B={0,1,2,4}, 所以集合B的子集的个数为2=16 答率A 第七章 ⊙变式51满足{x∈Rx2+1=0}王AC{x∈Rx2一1=0》 的集合A的个数是( A.1 B.2 C.3 D.4 考点6 集合关系中的参数取值问题 ·核心总结 由A三B,A二B确定集合中参数的取值范围是子集概念 难点突破… 的重要应用，常与方程（组）、不等式（组）综合考查.一般借助数 用Venn图和数轴表示 轴解决此类问题，要注意数形结合思想和分类讨论思想的 集合间的关系 应用 以形代数，形象而直观，因 此数形结合的思想在数学中应 ⊙考题8设集合A={x∈Rx2十4x=0},B={x∈Rx2+ 用广泛，用Venn图和数轴可 2(a+1)x十a一1=0，若B二A,则实数a的取值范围为 非常直观地表示出两个集合问 的关系，如下表所示 考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD乡 解析A={xx2十4x=0}={一4,0}， 概念 Venn图 数轴 因为B二A,所以分B=A和B军A两种情况讨论： AB ①当A=B时，B={一4,0}， BA 即一4,0是方程.2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根， ④B 于是得a=1. A(B) A(B) ②当BA时，若B=⑦， A(B) 则△=4(a十1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 第 AB 若B≠☑，则B={-4}或{0}， 真 AB 章 即△=4(a十1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1. 第 验证知B={0}满足条件. A(B) 综上可知，所求实数a的取值范围为a-1或a≤-l. A(B) 第三章 答案a=1或a≤一1. 集合相等 A(B) 点评对于“B二A”必须分两种情况：B=A和B军A.而当满 第四章 足“BA”时，则不必研究A=B. ⊙考题g若A={x|一3≤x≤4}，B={x|2m一1≤x≤ 第五章 m+1},则当B二A时，实数m的取值范围为 ②方法梳理， 解析当B=必时，2m-1>m+1,∴.m>2. 根据两个集合之间的关系 第六章 2m-1≥-3， 求参数的方法 当B≠☑时，如图，由题意得m十1≤4， 解得-1≤m≤2. 已知两个集合之间的关 第 2m-1≤m+1, 系求参数时，要明确集合中的 .m的取值范围是m≥一1 元素，并对子集是否为空集进 行分类讨论，做到不漏解 1.若集合元素是一一列 -32m-1m+14 举的，依据集合间的关系，可 答案m≥一1. 转化为解方程（组），此时应注 ⊙变式61已知集合A={x一2≤x≤5}，B={.xm十1≤ 意集合中元素的互异性， x≤2m-1}. 2.若集合是以方程解集的 (1)若B二A,求实数m的取值范围. 形式呈现，首先应把方程的解 求出，将问题转化为一一列举 (2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数， 的形态.此时要注意方程无解 (3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A和x∈B同时成立，求 的情况，即对应的集合为☑， 实数m的取值范围. 3.若集合表示的是不等 式的解集，常依据数轴转化为 不等式（组）求解，此时需注意 端点值能否取到 18 第一章〉预备知识儿 对标演练分城测评·限时特训 >基础通关测评 限时15分钟” 2.考点1.6已知集合A={xx<-1或x≥3}， 一、选择题 B={xa.x+1≤0).若B二A,则实数a的取 1.考点14以下六个说法中：0∈{0}：{0}已0： 值范围是( 0.3tQ:0∈N;{a,b}C{h,a}:{xx2-2=0, A[-3 x∈Z=心.正确的个数是( ) B.(-o∞，-1)U[0,+o∞) A.4 B.3 C.5 D.2 2.考点1.④已知集合A={x∈Z一2<x<1), c[- 则下列选项正确的是( ) A.-2∈A B.0二A D.[-0)U(0.1) C.1A D.(1}二A 3.考点23、43集合M={x|x=5k-2,k∈Z} 3.考点12.3④若集合M=xz=m十合m∈Z, P={xx=5n+3,n∈Z},S={xx=10十 3,m∈Z}之间的关系是( ) N=x=2+gneZ小，P={x=台 A.SPM B.S=PSM C.SSP=M D.P=M年S 合，p∈Z,则集合M.N,P的关系是( 4,考点14能正确表示集合M={x∈R0≤x≤ A.M=NP B.MSN=P 8}和集合N={x∈Rx2-5x=0}的关系的 C.M=N年P D.NPEM Venn图是( 4.考点35已知集合A{2,3,7},且A中至多 M 有一个奇数，则这样的集合A的个数为 ( . A.3 B.4 C.5 D.6 B 二、填空题 M 5.考点56若集合A={x|(k+2)x2+2kx+1 M =0}有且仅有2个子集，则满足条件的实数 D k的最小值是 5.考点1.6(2024.保定三中月考)（多选）已知集 6.考点司(2024，石家庄一中高一月考)若集合 合A={x|x2-2x-3=0},B={xa.x=1. A={xux2十ax十1=0，x∈R}不含有任何 若B二A,则实数a的可能取值为( 元素，则实数a的取值范围是 A.0 B.3 》高考通关测评限时20分钟… c D.-1 一、选择题 1.考点3若集合A={1,3,x,B={.x2,1},且 二、填空题 B军A,则满足条件的实数x的个数为(). 6.考点36已知集合A={x2.x≤3.x十1≤2x十 A.1 B.2 C.3 D.4 4},B={xm十1≤x一m≤2}.若BA,则 19 /考点同步解读〉高中数学必修第一册BSD乡 实数m的取值范围为 B.实数集是“紧密集合” 7.考点5(2024，北京四中月考)若规定E={a1, C.“紧密集合”可以是有限集 a2,…,ao》的子集{a,a…,a}为E的第 D.若集合A是“紧密集合”，且x,y∈A,则 k个子集，其中k=2%-十2十…十2，则： x-y∈A (1){a1,as}是E的第 个子集 2.已知非空集合A,A2是集合A的子集，若同 (2)E的第211个子集为 时满足下列两个条件： 》实验班选做题限时10分钟… ①若a∈A1,则a任A2; 第 1.(多选)若集合A具有以下性质：①集合中至 ②若a∈A,则aEA. 少有两个元素；②若{x,y}二A,则xy,x十y 则称(A:,A)是集合A的“互斥子集组”，并 第二章 ∈A,且当x≠0时，∈A,则称集合A是 规定(A,A2)与(A2,A)为不同的“互斥子集 “紧密集合”.下列说法正确的是( 组”.集合A={1,2,3,4}的不同“互斥子集 第三章 A.整数集是“紧密集合” 组”的个数是 第四章 第五意 第六章 第七章 20/儿参考答案与提示>7 当a≠0时4=(-3)-4a<0.即a>是. [变式+2]C提示：设任意∈A,则=寸(2十 所以实数a的所有可能取值组成的集合为 D,k∈Z.当k=2,n∈Z时，a=号(4n+1D=音n+ (alo). 号所以n∈B当=2a-1,nEZ时a=号(4m-D 【实验班选做题】 1BD提示：在集合A={一2，一1,0,1,21中，一2-2= 音m一日，所以∈我所以ACB又设任意∈B,则 一4不在集合A中，所以集合A不是封闭集，故A错误 集合A={nn=2k,k∈Z,设x,y∈A,则x=2ky= =音士号=号(4：士1，∈乙.因为他+1 2k2,k1,∈Z,所以x+y=2(k1十)∈A,x-y= 2×2k十1,4k2一1=2(2kz一1)十1，且2k:,2k2一1∈Z, 2(k1一k)∈A,xy=4kk:∈A,所以集合A={nn= 所以∈A,所以B二A.故A=B. 2k,k∈Z为封闭集，故B正确 [变式5-1]C提示：(r∈Rx2+1=0}=0,{x∈R 封闭集不一定是无限集，如{0为封闭集，故C错误 z2一1=0}={一1,1}，故集合A是集合{一1,1}的非空 若A为封闭集，则取x=y,得x一y=0∈A,故D正确. 子集，所以集合A的个数为2一1=3. 2.因为4∈A,2∈A,4+2=6EA, [变式61](1)当m+1>2m-1,即m2时，B=⑦， 所以A不是闭集合. 满足题意： 任取x,y∈B,设x=3m,y=3n,m,n∈Z, 当m+1≤2m一1，即m≥2时，要使B二A成立，则有 则x十y=3m十3n=3(m十n)且m十n∈Z, m+1≥-2且2m1≤5，可得一3≤m3,故2m3. 所以x十y∈B,同理，x一y∈B,故B为闭集合 综上，实数m的取值范围是m≤3. 1.2集合的基本关系 (2)当x∈Z时，A=(-2,-1,0,1,2,3,4,5},共8个元 【变式训练】 素，故A的非空真子集的个数为2-2=254. [变式1-1]C (3)由题意知A,B没有公共元素. [变式2-1]AC提示：若P二Q,Q二P,则P=Q. 当m十1>2m一1，即m<2时，B=,满足题意： 对于A,P和Q都只含有两个元素1,2，所以P=Q. 当m十1≤2m-1,即m>2时，要使A,B没有公共元素， 对于B,1∈P,但1母Q,所以P≠Q 则有 m≥2， n≥2， 或 解得m>4. 对于C,易得P=Q=0,1. m+1>52m-1<-2, 对于D,集合P是数集，集合Q是点集，所以P≠Q 综上，实数m的取值范围是m<2或m>4, [变式31]子集：0，{-4，{-1》，{4}，{-4，-1， 【基础通关测评】 (-4,4}.{-1,4.{-4.-1,4. 1.C提示：根据元素与集合间的关系可判定0∈(0， 其子集：0，（一4}.(-1}.(4，-4，-1，(-4,4} 0∈N正确.0,3在Q不正确.根据集合与集合之间的关 （-1,4. 系可判定{0}2必，{a,b}三{b,a,{xx2-2=0,x∈ 提示：由(.x2-16)(.x2+5.x+4)=0,得x=-4或x=-1 Z}=必正确。 或x=4,故集合A={一4，一1,4}. 2.C提示：由题意知集合A={x∈Z-2<x<1) {一1.0}，故一2任A,A错误：0∈A.B错误：1任A,C正 由0个元素构成的子集为：⑦： 确：1}丈A,D错误。 由1个元素构成的子集为：{一4}，{一1}，{4. 由2个元素构成的子集为：{一4，一1，{一4,4}.（一1,4. 3B提示：因为M={xx=6n,meZ小，N-{x 6 由3个元素构成的子集为：{一4，一1,4. 因此集合A的子集为：⑦，(-4}，（一1}，{4}，{一4，-1， =n.nez,P={=3,pcZ小，所以 6 （-4,4}.{-1.4}.{-4,-1,4}. MSN-P. 其子集为：0，(-4)，（一10，(4），一4.-1，{一4,4}， 4.D提示：满足要求的集合A=⑦或{2}或{3}或{7}或 -1,4}. {2,3}或{2.7}，共6个. [变式41]B提示：易知N={0,1},故N至M. 5.一2.提示：因为A只有2个子集，所以A中只有 /考点同步解读)高中数学必修第一期BSD色 1个元素，所以①当k=一2时，A-(仔}，满足条件： 2m+1>-1, 或 解得一1≤m≤1. m+2≤3， ②当k≠一2时，△=4一4(k+2)=0,解得k=一1或 综上，m的取值范围为[一1，+∞). k=2.综上，满足条件的实数k的最小值为一2 7.(1)5.(2){a1a红asar,as. 6.{al0≤u<4.提示：当a=0时，原方程可化为1=0， 提示：(1)由定义可知k=2-1+23-1=1十4=5，故 显然无解：当a≠0时，一元二次方程a.x2十ax+1=0 (a1,a}是E的第5个子集. 无解，则需△=a2-4a<0,即a(a一4)<0，解得0< (2)由于211是奇数，因此一定有21=1，即有元素 a<4. a1:由2=256,2=128知，没有元素a,有元素a: 综上，实数a的取值范围是{a0≤a<4. 211-1-128=82,2=64<82,故有元素a:82- 【高考通关测评】 64=18,2=1618.故有元素a2=2,故有元素. 1.C提示：因为B乒A,所以x2=3或2=x.当x=3 综上，211=2°+2十2+2+2，故E的第211个子 时，x=±5，此时A={1,3,3或A={1,3,一5}， 集为(a1,agai,a,am. B={3,1},符合题意：当x2=x时，x=0或x=1(舍 【实验班选做题】 去)，此时A={0,1,3},B={0,1},符合题意.故x=0 1.C提示：若x=2,y=1,而号任么，故整数集不是 或x=士√5. 2.A提示：①当B=⑦，即a=0时，满足题意 “紧密集合”，A错误：根据“紧密集合”的性质可知，实 数集是“紧密集合”，B正确：集合{0,1}是“紧密集合”， @当B≠②时，若a>0,则<-日，要使BCA.则需 故“紧密集合”可以是有限集，C正确：集合A=《0,1 -日<-1，解得0<a<1:若a<0,则>-日，要使 是“紧密集合”，当x=0,y=1时，一y=一1任A,D错误 2.50.提示：(1)当集合A中只有1个元素时，可为 BEA.则需-日3，解得-子<<0 (1},{2,{3,(4},共4种，集合A是由集合A中除 综上，实数a的取值范围是[一了l), 去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子 集，这样的“互斥子集组”共有4×(2一1)=28（个）. 3.C提示：，M={xx=5k-2,k∈Z,P={xx=5n+ (2)当集合A中有2个元素时.可为{1,2}，1,3} 3,n∈Z,S={xx=10m+3,m∈Z..M={… (1,4},2,3,(2,4},(3,4},共6种，A2共有22-1= -7,-2,3,8,13,18…）,P=…,-7,-2.3,8,13. 3(个)，故此时这样的“互斥子集组”有6×3=18（个）. 18.…,S=…,-7.3,13,23,…1,故SP=M. (3)当集合A中有3个元素时，可为{1,2,3}1,2 4B提示：N=(x∈Rx2-5.x=0}={0,5}M={x∈ 4},1,3,4},{2,3,4),共4种，A2只有1种情形，这样 R0≤r≤81. 的互斥子集组”共有4×1=4（个）. 5.ACD提示：因为集合A={一1,3}，B={xax=1}, 综上所述，这样的“互斥子集组”"共有28+18十4= B二A,当a=0时，B=必，满足题意：当a≠0时，B= 50(个). xar=1=(日}，要使B二A.则需要满足=-1 1.3集合的基本运算 【变式训练】 或。=3，解得a=-1或a=子所以a的值为0或 [变式1-1]B -1或字 [变式1-2](1)因为A∩B=(x3<x<5},所以a=3. (2)因为A∩B=A,所以A三B, 6.[一1，十o∞).提示：由题意得A={x一1≤x≤3}. u≤2， B={x2m十1≤x十2} 所以 解得于<a<2 4a≥5. ①当B=0,即m十2<2m十1，即m>1时，B年A,满 足题意： 所以实数a的取值范调是{a是<a≤2. 2m十1≥-1， (3)因为A∩B=②，所以可分两种情况讨论： ②当B≠0，即m≤1时，若B军A,则 m十2<3 当B=⑦时，a≥4a,解得a≤0：