精品解析： 2024—2025学年北师大版九年级上册数学期中模拟试卷

北师大版2024—2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中山市是中国5个不设市辖区的地级市之一，是国家历史文化名城，截止至2020年11月1日零时全市常住人口4418060人．数据4418060人用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知一元二次方程有一根为2，另一根为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，若AB＝4，BE＝，则AD长是（　　） A. 2 B. 3 C. D. 8. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或 13 D. 13 9. 如图，在中，点D、E、F分别是边上的点，，，且，那么（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，若，则m的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 使函数表达式有意义的自变量的取值范围是___． 12. 若，则的值为______. 13. 已知m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，则3m2+12m＝___． 14. 抛物线的顶点坐标是______． 15. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____． 16. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 18 先化简，再求值：，其中． 19. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=8，BD=6，求DE的长度． 20. 深圳全面推行学校课后延时服务，某校为了了解学生对此项服务的满意程度，在九年级中随机调查了名学生的满意程度，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类（必选且只选一类），得到下列不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1） ；扇形统计图中 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校九年级共有学生名，请你估计“满意”或“非常满意”的共有 人． （4）已知选择“不满意”的同学中有名男生和名女生，现从中任意抽取两名学生，用树状图或列表法求恰好是一男一女的概率． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结OA、OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当时，自变量x取值范围． 22. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元的情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”，其“青一点”为． （1）①判断：函数 　 　“青一函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的青一点是 　 　； （2）若抛物线上有两个“青一点”，求m的取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版2024—2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷 考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B、C、D都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A． 2. 中山市是中国5个不设市辖区的地级市之一，是国家历史文化名城，截止至2020年11月1日零时全市常住人口4418060人．数据4418060人用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：数据4418060人用科学记数法表示为， 故选：B． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 下列运用等式的性质，变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用等式的基本性质进而判断得出即可． 【详解】解：A、若，则，正确，不合题意； B、若，则，正确，不合题意； C、若，则，正确，不合题意； D、若，则，故此选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了等式的性质，解题的关键是熟练掌握等式的性质，注意等式的性质2中是除以同一个不为0的数或式子，等式不变．等式的性质：①等式两边加同一个数（或整式）结果仍得等式；②等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 4. 已知一元二次方程有一根为2，另一根为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得答案. 【详解】设另一个根为x1， ∵一元二次方程有一根为2， ∴2+x1=6， 解得：x1=4， 故选B. 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·x2=；熟练掌握韦达定理是解题关键. 5. 在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得出位似图形对应坐标与位似图形比的关系进而得出答案． 【详解】解：的一个顶点的坐标是，以原点为位似中心相似比为将缩小得到它的位似图形， 若与在原点同侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 若与在原点异侧，则将点的横纵坐标均乘以， 得到点的坐标是：，，即， 综上所述：点的对应点的坐标是或． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，根据如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或得出是解题关键． 6. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a≠0且△=22-4a＞0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得a≠0且△=22-4a＞0， 解得a＜1且a≠0． 故选：D． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根． 7. 如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，E、D分别是BC、AC上的点，且∠AED＝45°，若AB＝4，BE＝，则AD长是（　　） A 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出∠B=∠C，∠BAE=∠CED，求出BC，EC，推出△ABE∽△ECD，得到，求出CD，由AD=AC－CD代换即可得解． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC， ∴∠B=∠C=45°， ∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AED+∠CED，∠AED＝45°， ∴∠BAE=∠CED ∴△ABE∽△ECD ∴ 又∵AB＝4，BE＝， ∴，即 ∴， ∴ 故选D． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，利用相似三角形对应边成比例求出对应线段长度是解决本题的关键． 8. 三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长为（ ） A. 11 B. 12 C. 11或 13 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，求出方程的根，然后根据三角形的三边关系判断是否可以构成三角形，最后计算周长即可. 【详解】∵x2﹣6x+8=0，即（x﹣2）（x﹣4）=0， ∴x﹣2=0或x﹣4=0， 解得：x=2或x=4， 若x=2，则三角形的三边2+3＜6，构不成三角形，舍去； 当x=4时，这个三角形的周长为3+4+6=13， 故选D． 【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法以及三角形三边关系． 9. 如图，在中，点D、E、F分别是边上的点，，，且，那么（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质；由得，则可得；再由，得，由相似的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，，，反比例函数的图象经过点A，反比例函数的图象经过点B，若，则m的值是（　　） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N，首先证明，即得出．再根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理可得，然后设，则，，即表示出点B和点A的坐标，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征，进而求出m的值． 【详解】解：过A、B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足为M、N． ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 设，则，， ∴，． ∵点B在反比例函数的图象上，且， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质、相似三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识．正确的作出辅助线构建相似三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 使函数表达式有意义的自变量的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，根据二次根式有意义的条件列不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得． 故答案为：． 12. 若，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根，则3m2+12m＝___． 【答案】12 【解析】 【分析】根据方程的解得定义得m2+4m-4=0，即m2+4m=4，将其代入到原式=3（m2+4m）可得答案． 【详解】解：∵m是关于x的方程x2+4x﹣4＝0的一个根， ∴m2+4m﹣4＝0，即m2+4m＝4， ∴3m2+12m＝3（m2+4m）＝3×4＝12． 故答案为：12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 14. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数解析式中的顶点式，顶点坐标为，即可得出． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握顶点式的特征是解题关键． 15. 已知A(a，1)与B(5，b)关于原点对称，则a﹣b=_____． 【答案】﹣4 【解析】 【分析】根据两点关于原点对称，则两点横、纵坐标都是互为相反数，可得a、b的值，再根据有理数的减法法则可得答案． 【详解】∵A（a，1）与B（5，b）关于原点对称， ∴a=﹣5，b=﹣1， ∴a﹣b=﹣5﹣（﹣1）=﹣4 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的两点的横、纵坐标间的关系是解题的关键． 16. 如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，化简绝对值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行化简，再代值计算即可． 【详解】原式 ． 当时：原式=． 【点睛】本题考查分式的化简求值．熟练掌握分式的运算法则，正确的化简是解题的关键．注意在代值时，不能代入使分式的分母为零的值． 19. 四边形ABCD是平行四边形，对角线AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，DE⊥AB于E点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若AC=8，BD=6，求DE的长度． 【答案】(1)证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）由对角线AC平分∠DAB证明平行四边形ABCD的邻边AB=BC即可证明四边形ABCD是菱形； （2）根据菱形的性质求得AB的长，再根据菱形面积的两种表示方式即可求解. 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD//BC， ∴∠DAC=∠BCA， ∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠BAC， ∴∠BCA=∠BAC， ∴AB=BC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD为菱形； （2）在菱形ABCD中，AC=8，BD=6， ∴AO=4，BO=3，AC⊥BD， ∴AB=5， 2S△ABD=AB·DE=AC·BD， ∴5DE=×8×6， ∴DE=. 20. 深圳全面推行学校课后延时服务，某校为了了解学生对此项服务的满意程度，在九年级中随机调查了名学生的满意程度，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类（必选且只选一类），得到下列不完整的统计图．根据统计图中的信息解答下列问题： （1） ；扇形统计图中的 ； （2）请补全条形统计图； （3）该校九年级共有学生名，请你估计“满意”或“非常满意”的共有 人． （4）已知选择“不满意”的同学中有名男生和名女生，现从中任意抽取两名学生，用树状图或列表法求恰好是一男一女的概率． 【答案】（1）， （2）补全统计图见解析 （3）人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据频率等于频数除以数据总数，即可； （2）由（1）得，，根据满意人数等于，补全统计图，即可； （3）根据满意人数和非常满意人数占总体的百分比乘以，即可； （4）设男同学标记为，；女学生标记为1；根据列出任意抽取两名学生的所有情况，计算恰好是一男一女的概率，即可． 【小问1详解】 由图可知，非常满意的人数为：（人），占总数的， ∴总数为：（人）， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 如下图： 由（1）得，， ∴满意的人数为：（人）． 【小问3详解】 ∵“满意”或“非常满意”的总人数为：（人） ∴占比为： ∴当学校九年级共有学生名，估计“满意”或“非常满意”的人数为：（人） 【小问4详解】 设男同学标记为，；女学生标记为 ∴任意抽取两名学生的所有情况如下表： ∴共有种等可能的结果，恰好是一男一女的有种情况， ∴恰好是一男一女的概率为：． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图和概率的知识，解题的关键是掌握频率、频数和总数的关系，列表法和画树状图法． 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）连结OA、OB，求△AOB的面积； （3）直接写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】（1）， ；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式； （2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，，计算即可； （3）由图象直接可得自变量x的取值范围． 【详解】（1）∵A（﹣2，1）， ∴将A坐标代入反比例函数解析式中，得， ∴反比例函数解析式为， 将B坐标代入，得， ∴B坐标（1，﹣2），将A与B坐标代入一次函数解析式中，得：，解得， ∴一次函数解析式为； （2）设直线AB与y轴交于点C，令x=0，得y=﹣1， ∴点C坐标（0，﹣1）， ∵==； （3）由图象可得，当时，自变量x的取值范围． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 22. 2022年北京冬季奥运会于2月4日至2月20日在北京市和河北省张家口市联合举行，冬奥会吉祥物为“冰墩墩”． （1）据市场调研发现，某工厂今年二月份共生产500个“冰墩墩”，为增大生产量，该工厂平均每月生产量增长率相同，四月份该工厂生产了720个“冰墩墩”，求该工厂平均每月生产量增长率是多少？ （2）已知某商店“冰墩墩”平均每天可销售20个，每个盈利40元，在每个降价幅度不超过10元情况下，每下降2元，则每天可多售10件．如果每天要盈利1440元，则每个“冰墩墩”应降价多少元？ 【答案】（1）该工厂平均每月生产量的增长率为 （2）每个“冰墩墩”应降价4元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该工厂平均每月生产量增长率为x，利用该工厂四月份生产“冰墩墩”的数量＝该工厂二月份生产“冰墩墩”的数量（该工厂平均每月生产量的增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 设该工厂平均每月生产量的增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该工厂平均每月生产量的增长率为． 【小问2详解】 设每个“冰墩墩”降价y元，则每个盈利元，平均每天可售出个， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个“冰墩墩”应降价4元． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若方程两实数根分别为和，且满足，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）根据考查韦达定理，完全平方公式的变形求解即可． 【小问1详解】 解：∵有实数根， ∴， 即：， ∴． 【小问2详解】 解：，， 当，则， 即， ， 解得：，， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程的性质，一元二次方程的根的判别式，韦达定理，能够熟练运用根的判别式和韦达定理是解决本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴交于点M． （1）求此抛物线的解析式和对称轴； （2）在此抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）连接AC，在直线AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y= ，抛物线的对称轴是 x=3； （2）存在；P点坐标为（3，）． （3）在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．N（，-3） 【解析】 【详解】(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－5)． 把点A(0，4)代入上式，解得a＝． ∴y＝(x－1)(x－5)＝x2－x＋4＝(x－3)2－． ∴抛物线的对称轴是直线x＝3． (2)存在，P点的坐标是(3，)．如图1，连接AC交对称轴于点P，连接BP，AB． ∵点B与点C关于对称轴对称， ∴PB＝PC． ∴AB＋AP＋PB＝AB＋AP＋PC＝AB＋AC． ∴此时△PAB的周长最小． 设直线AC的解析式为y＝kx＋b．把A(0，4)，C(5，0)代入y＝kx＋b，得 解得 ∴y＝－x＋4． ∵点P的横坐标为3， ∴y＝－×3＋4＝． ∴P(3，)． (3)在直线AC下方的抛物线上存在点N，使△NAC的面积最大． 如图2，设N点的横坐标为tt，此时点N(t，t2－t＋4)(0＜t＜5)． 过点N作y轴的平行线，分别交x轴，AC于点F，G，过点A作AD⊥NG，垂足为D． 由(2)可知直线AC的解析式为y＝－x＋4． 把x＝t代入y＝－x＋4，得y＝－t＋4． ∴G(t，－t＋4)． ∴NG＝－t＋4－(t2－t＋4)＝－t2＋4t． ∵AD＋CF＝OC＝5， ∴S△NAC＝S△ANG＋S△CGN＝NG·AD＋NG·CF＝NG·OC ＝×(－t2＋4t)×5＝－2t2＋10t＝－2(t－)2＋． ∵当t＝时，△NAC面积的最大值为． 由t＝，得y＝×()2－×＋4＝－3． ∴N(，－3)． 25. 定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“青一函数”，该点称为“青一点”，例如：“青一函数”，其“青一点”为． （1）①判断：函数 　 　“青一函数”（填“是”或“不是”）； ②函数的图像上的青一点是 　 　； （2）若抛物线上有两个“青一点”，求m取值范围； （3）若函数的图像上存在唯一的一个“青一点”，且当时，n的最小值为k，求k的值． 【答案】（1）①不是，②或 （2）且 （3）或 【解析】 【分析】（1）①假设是青一函数，设出青一点坐标代入函数看是否有解，②设出青一点坐标代入函数解方程即可得解； （2）设出青一点坐标代入函数得到一元二次方程，令判别式即可求出的取值范围； （3）设青一点坐标为，代入函数得到一元二次方程，然后令，得到关于的二次函数关系，求出对称轴，根据图像对称轴的位置与的取值范围，分情况进行讨论，不同情况下与取得最小值构成关于未知数的方程，然后分别解方程即可． 【小问1详解】 解：①假设函数是青一函数，设青一点横坐标为，纵坐标为，代入，得 此方程无解，故函数不是青一函数， 故答案为：不是 ②设函数的图像上的青一点是，代入得 解方程得 故答案为：或 【小问2详解】 解：设抛物线（），青一点的坐标为， 则 整理得 ∵有两个青一点 ∴ 解不等式得： 即m的取值范围是且 【小问3详解】 解：设函数青一点的坐标为 则 整理得 ∵存在唯一的一个“青一点”， ∴ 整理得 则关于的二次函数关系，其图像对称轴为直线 当时，则时，值最小 整理得，解得（舍去）， 当时，则时，值最小为 整理得 当时，则时，值最小为 整理得，，方程无解 综上得k的值为或 【点睛】本题考查了函数解析式与函数图像上点的坐标关系、二次函数根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识并采用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$