山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年八年级上学期期中学情评估数学试题

山西省忻州市五台县第二中学校2024-2025学年八年级上学期期中学情评估数学试题 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得分 . . 一、选择题(共10题，共30.0分) 1．(3分)已知a≠0，下列运算中正确的是（　　） A. a+a2=a3 B. a3÷a2=a C. （a3）2=a5 D. a3•a2=a6 2．(3分)画△ABC中BC边上的高，下列画法中正确的是（　　） A. B. C. D. 3．(3分)要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线上取两点C、D，使BC=CD，再作出BF的垂线DE，使E与A、C在一条直线上（如图所示），可以测得DE的长就是AB的长（即测得河宽），可由△EDC≌△ABC得到，判定这两个三角形全等的理由是（　　） A. 边角边 B. 角边角 C. 边边边 D. 边边角 4．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=7，DE是AC的中垂线，则△ABD的周长为（　　） ​ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5．(3分)如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 6．(3分)一个三角形的两边长分别为3cm和7cm,则此三角形第三边长可能是（　　） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 10cm 7．(3分)如图所示，在△ABC中，∠A=30°，M为线段AB上一定点，P为线段AC上一动点．当点P在运动的过程中，满足PM+AP的值最小时，∠AMP 的大小等于（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 8．(3分)如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边AD和CD上，AF⊥BE，垂足为G，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 9．(3分)剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 10．(3分)如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，边BC上的高AD=3，则边AB上的高CE为（　　） A. B. C. D. 评卷人 得分 . . 二、填空题(共5题，共15.0分) 11．(3分)如图，有一圆经过△ABC的三个顶点，且弦BC的中垂线与相交于D点，若∠B=74°，∠C=46°，则的度数是_____． 12．(3分)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm,∠ABC的平分线BD交AC于D，DC=4cm,则△ABD的面积是_____． 13．(3分)如图所示，△ABC为等边三角形，D为BC边上的一点，△ABD经过旋转后，到达△ACP的位置，旋转中心是 _____，旋转角度是 _____，△ADP是 _____三角形． 14．(3分)如图，在△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和点Q；②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BE=5，则AE=_____． 15．(3分)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于E，∠CAE=15°，连接OE．下列结论： ①△ODC是等边三角形； ②CD=BE； ③BC=2AB； ④S△AOE=S△COE．其中正确的有 _____（填序号）． 评卷人 得分 . . 三、解答题(共8题，共75.0分) 16．(10分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点分别为A（-4，5），B（-3，2），C（-2，3）． （1）画出△ABC及关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点B1的坐标； （2）求出△ABC的面积． 17．(10分)已知22m=16，23n=27，2a=12（其中m,n,a为任意实数） （1）m=_____，2n=_____； （2）先化简再求值：x（x+a）-x（x+n），其中x=2； （3）若6b=12，请判断（a+b）4×（ab）4是否为同底数幂的乘法运算，试说明理由． 18．(10分)如图所示，△ABC在正方形网格中，若点A的坐标为（0，3），按要求回答下列问题：   （1）在图中建立正确的平面直角坐标系；   （2）作出△ABC关于x轴的对称图形△A'B'C'；（不用写作法）   （3）求△A'B'C'的面积．​ 19．(9分)在边长为9的等边三角形ABC中，点P是AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t秒． （1）如图1，若点Q是BC上一定点，BQ=6，PQ∥AC，求t的值； （2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？ 20．(9分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A（4，0），B（-1，4），C（-3，1）． （1）在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称； （2）写出点A'，B'，C'的坐标． 21．(9分)化简： （1）（a3）2▪a3； （2）（a+2b）（a－2b）－（2a+b）2； （3）（5x+y）（3x－y）； （4）（2xy2－8x2）÷（2x）； （5）a3▪a5+（﹣a2）4－3a8； （6）2y（x－2y）－2xy； 22．(9分)如图，在△ABC中，CA=CB，D是BC上的一点，AB=10，BD=6，AD=8．求△ABC的面积． 23．(9分)已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：∠1=∠2； （2）求证：△ADC≌△ECD； （3）当点D在什么位置时，四边形ADCE是矩形，请说明理由． 试卷答案 1．【答案】B 【解析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、幂的乘方运算依次计算判断即可． 解：A．a与a2不是同类项，不能进行合并，选项错误，不符合题意； B．a3÷a2=a,选项正确，符合题意； C．（a3）2=a6，选项错误，不符合题意； D．a3⋅a2=a5，选项错误，不符合题意； 故选：B． 2．【答案】D 【解析】根据三角形的高的定义：过三角形的顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高解答． 解：表示△ABC中BC边上的高的是D选项． 故选：D． 3．【答案】B 【解析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法． 解：因为证明在△EDC≌△ABC用到的条件是：CD=BC，∠ABC=∠EDC，∠ACB=∠ECD， 所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即角边角这一方法． 故选：B． 4．【答案】B 【解析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 解：∵DE是AC的中垂线， ∴DA=DC， ∴△ABD的周长=AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC， ∵AB=4，BC=7， ∴△ABD的周长=4+7=11， 故选：B． 5．【答案】D 【解析】作AF⊥BC，再根据勾股定理求出AF，然后根据阴影部分的面积=得出答案． 过点A作AF⊥BC，交BC于点F． ∵△ABC是等边三角形，BC=2， ∴CF=BF=1． 在Rt△ACF中，． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分的面积，涉及等边三角形的性质，勾股定理及扇形面积计算等知识，将阴影部分的面积转化为三角形的面积-扇形的面积是解题的关键． 6．【答案】C 【解析】首先设第三边长为x cm,根据三角形的三边关系可得7-3＜x＜7+3，再解不等式即可求解． 解：设第三边长为x cm,根据三角形的三边关系可得： 7-3＜x＜7+3， 解得：4＜x＜10． 只有5cm适合， 故选：C． 7．【答案】A 【解析】构造胡不归模型解题即可． 解：如图所示，构造胡不归模型： 过点A作∠CAN=30°，过点P作PN⊥AN，MN1⊥AN交于AC于点P1， ∵∠CAN=30°，PN⊥AN， ∴PN=PA， ∴PM+AP=PM+PN， 仅当点M，P，N三点共线，且MN⊥AN时，PM+PN的值最小，即为线段MN1， PM+AP的值最小时为线段MN1， 此时∠MAN=60°，∠AN1M=90°， ∴∠AMP1=30°． 故选：A． 8．【答案】C 【解析】设AB=m,由=2，得AE=DA=m,可证明△ABE≌△DAF，得DF=AE=m,则AF==m,再证明△GAE∽△DAF，得==，所以AG=AD=m,GF=AF-AG=m,即可求得=，于是得到问题的答案． 解：设AB=m, ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=DA=m,∠BAE=∠D=90°， ∵=2， ∴AE=DA=m, ∵AF⊥BE于点G， ∴∠AGE=90°， ∴∠ABE=∠DAF=90°-∠AEB， ∴△ABE≌△DAF（ASA）， ∴DF=AE=m, ∴AF===m, ∵∠AGE=∠D=90°，∠GAE=∠DAF， ∴△GAE∽△DAF， ∴===， ∴AG=AD=m, ∴GF=AF-AG=m-m=m, ∴==， 故选：C． 9．【答案】B 【解析】关于某条直线对称的图形是轴对称图形． 解：A、选项不是轴对称图形，不符合题意； B、选项关于某条直线对称，是轴对称图形，符合题意； C、选项不是轴对称图形，不符合题意； D、选项不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 10．【答案】B 【解析】此题考查了高的有关计算，利用三角形的面积计算方法即可求解． 解：∵AB=4，BC=5，边BC上的高AD=3，CE为△ABC的边AB上的高， ∴， ∴， 故选：B． 11．【答案】28° 【解析】首先连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E，由∠B=74°，∠C=46°，即可求得∠BAC的度数，又由△ABC的边BC的垂直平分线与△ABC的外接圆相交于点D，根据圆周角定理，即可求得∠AOB与∠BOE的度数，继而求得答案． 解：如图，连接OB，OC，AO，设DO交BC于点E， ∵OD是△ABC的边BC的垂直平分线， ∴∠BOE=∠BOC， ∵∠BAC=∠BOC， ∴∠BOE=∠BAC， ∵∠ABC=74°，∠ACB=46°， ∴∠BOE=∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=60°， ∴∠BOD=180°-∠BOE=180°-60°=120°， ∵∠AOB=2∠ACB=92°， ∴的度数为：92°， ∴的度数为：120°-92°=28°． 故答案为：28°． 12．【答案】20cm2 【解析】作出图形，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DC，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°， ∴DE=DC=4cm, ∴△ABD的面积=AB•DE=×10×4=20cm2． 故答案为：20cm2． 13．【答案】(1)A;(2)60°;(3)等边; 【解析】观察图形，找旋转中心，旋转方向，旋转角；由旋转角是60°，对应点到旋转中心的距离AD与AP相等，可证△ADP为等边三角形． 解：根据题意分析可得：图中旋转中心是点A； 旋转角度即∠DAP的大小，易得∠DAP=60°；故旋转角度60度． 根据旋转的性质；可得AD=AP，且∠DAP=60°；故△ADP为等边三角形． 故填：A，60°，等边． 14．【答案】5 【解析】由题意可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线，可得AE=BE，即可得到AE的长． 解：由题可知，直线PQ是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵BE=5， ∴AE=5， 故答案为：5． 15．【答案】①②④ 【解析】根据矩形的性质，可知∠BAD=∠ABE=90°，OA=OB=OC=OD，AB=CD，根据平分线的定义可得，继而得到∠BAO=60°，所以△OAB是等边三角形，可知∠COD=∠AOB=60°，可得△ODC是等边三角形，故①正确；证明△ABE是等腰直角三角形，可得BE=AB，所以CD=BE，故②正确；由△OAB是等边三角形得AB=OA，又因为OA=OC，所以AC=2AB，根据直角三角形中直角边小于斜边可知BC＜AC，可得BC＜2AB，故③错误；△AOE和△COE是等底等高的三角形，所以S△AOE=S△COE，故④正确，即可得出答案． 解：∵在矩形ABCD中，∠BAD=90°，AE平分∠BAD， ∴，OA=OB=OC=OD， ∵∠CAE=15°， ∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°， 又∵OA=OB， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠COD=∠AOB=60°， 又∵OC=OD， ∴△ODC是等边三角形，故①正确； ∵在矩形ABCD中，∠ABE=90°，AB=CD， 又∵∠BAE=45°， ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴BE=AB， ∴CD=BE，故②正确； ∵△OAB是等边三角形， ∴AB=OA， 又∵OA=OC， ∴AC=2AB， ∵BC＜AC， ∴BC＜2AB，故③错误； ∵△AOE和△COE的底边OA=OC，点E到AC的距离相等， ∴S△AOE=S△COE，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④， 故答案为：①②④． 16．【解析】（1）由点A，B，C的坐标描点连线即可得△ABC，再由根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）利用割补法求三角形的面积即可． 解：（1）如图，△ABC及△A1B1C1即为所求． 点B1的坐标为（3，2）． （2）△ABC的面积为=2． 17．【答案】(1)2;(2)3; 【解析】（1）根据幂的乘方法则计算； （2）根据同底数幂的除法法则得到a-n=2，根据整式的混合运算法则把原式化简，把已知数据代入计算即可； （3）根据幂的乘方法则得到（b-1）（a-1）=1，整理得到ab=a+b,根据同底数幂的乘法法则解答即可． 解：（1）∵24=16，22m=16， ∴2m=4， 解得，m=2， ∵33=27，23n=（2n）3=27， ∴2n=3， 故答案为：2；3； （2）∵2n=3，2a=12 ∴2a÷2n=4，即2a-n=22， ∴a-n=2， ∴x（x+a）-x（x+n）=x2+xa-x2-xn=xa-xn=x（a-n）， 当x=2时，原式=2×2=4； （3）（a+b）4×（ab）4是同底数幂的乘法运算， 理由如下：∵6b=12， ∴6b=6×2， ∴6b-1=2， ∵2a=12， ∴2a-1=6， ∴（6b-1）a-1=6， ∴（b-1）（a-1）=1， 整理得，ab=a+b, ∴（a+b）4×（ab）4是同底数幂的乘法运算． 18．【解析】（1）根据点A的坐标为（0，3），即可建立正确的平面直角坐标系； （2）分别作点A，B，C关于x轴的对称点A′，B′，C′，连接A′B′，B′C′，C′A′则△A′B′C′即为所求； （3）利用割补法求面积即可． 解：（1）所建立的平面直角坐标系如下所示； （2）所作△A'B'C'如图所示； （3）△A'B'C'的面积=4×4-×4×2-1×2-×3×4=5． 19．【解析】（1）由平行线的性质得∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可； （2 ）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC， ∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°， 又∠B=60°， ∴∠B=∠BQP=∠BPQ， ∴△BPQ是等边三角形， ∴BP=BQ， 由题意可知：AP=t,则BP=9-t, ∴9-t=6， 解得：t=3， ∴当t的值为3时，PQ∥AC； （2）如图2，①当点Q在边BC上时， 此时△APQ不可能为等边三角形； ②当点Q在边AC上时， 若△APQ为等边三角形，则AP=AQ， 由题意可知，AP=t,BC+CQ=2t, ∴AQ=BC+AC-（BC+CQ）=9+9-2t=18-2t, 即：18-2t=t,解得：t=6， ∴当t=6时，△APQ为等边三角形． 20．【解析】（1）根据轴对称的性质即可在图中作△A'B'C'，使△A'B'C'和△ABC关于x轴对称； （2）结合（1）即可写出点A'，B'，C'的坐标． 解：（1）如图，△A'B'C'即为所求； （2）A'（4，0），B'（-1，-4），C'（-3，-1）． 21．【答案】（1）a9 （2）﹣3a2－5b2－4ab （3）15x2－2xy－y2 （4）y2－4x （5）－a8 （6）－4y2 【解析】（1）先乘方，同底数幂相乘，底数不变，指数相加； （2）分别用平方差公式与完全平方公式化简，然后合并同类项即可； （3）多项式乘多项式，逐个相乘展开即可； （4）多项式除以多项式即可得到结果； （5）同底数幂相乘，幂的乘方，合并同类项即可得到结果； （6）先拆括号，再合并同类项即可． 【小问1详解】 解：原式= =； 【小问2详解】 解：原式= =； 【小问3详解】 解：原式= =； 【小问4详解】 解：原式= =； 【小问5详解】 解：原式= =； 【小问6详解】 解：原式= =． 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，完全平方式，平方差公式，多项式的乘除法，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则． 22．【解析】先根据勾股定理的逆定理确定△ABC是直角三角形且∠ADB=90°，再根据勾股定理解决此题． 解：∵BD2+AD2=62+82=100，AB2=102=100， ∴BD2+AD2=AB2． ∴△ABC是直角三角形且∠ADB=90°． 设CA=CB=x,则CD=x-6． 在Rt△ADC中，CD2+AD2=AC2． ∴（x-6）2+82=x2，解得：，即 ． ∴S△ABC=． 23．【解析】（1）利用等腰三角形的性质以及平行四边形的性质可以证得∠1=∠2； （2）根据平行四边形的性质与AB=AC证得AC=ED，根据全等三角形的判定定理即可证得结论； （3）根据平行四边形性质推出AE=BD=CD，AE∥CD，得出平行四边形，根据AC=DE推出即可． （1）证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠2， 又∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB∥DE， ∴∠B=∠1， ∴∠1=∠2； （2）证明：∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=ED， ∵AB=AC， ∴AC=ED， 在△ADC和△ECD中， ， ∴△ADC≌△ECD（SAS）； （3）解：点D在BC的中点上时，四边形ADCE是矩形，理由如下： ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴AE=BD，AE∥BC， ∵D为边长BC的中点， ∴BD=CD， ∴AE=CD，AE∥CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， ∵△ADC≌△ECD， ∴AC=DE， ∴四边形ADCE是矩形． 学科网（北京）股份有限公司 $$