第22章 二次函数章末复习课件2024-2025学年人教版数学九年级上册

第22章 二次函数总复习 一般地，形如 y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数。 1、二次函数的定义 ①③⑤ 2．若a，b，c分别是二次函数y＝－x2＋3的二次项系数、一次项系数、常数项，则（　　） A．a＝－1，b＝3，c＝0 B．a＝－1，b＝0，c＝3 C．a＝－1，b＝3，c＝3 D．a＝1，b＝0，c＝3 B 3．已知函数y＝（m－7）x2＋4x－3是二次函数，则m的取值范围为__________. m≠7 观察y = x2的图像，你有什么发现呢？ 1. y = x2是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点. 当x＞0时，y随x取值的增大而增大； 当x＜0时，y随x取值的增大而减小。 y随x的变化如何变化？ 复习要点 2、二次函数的图像和性质 向上 向下 (0 ,0) (0 ,0) y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 当x<0时， y随着x的增大而减小; 当x>0时， y随着x的增大而增大。 当x<0时, y随着x的增大而增大; 当x>0时， y随着x的增大而减小。 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 2. 抛物线 y= x2 和y= -3x2比较，谁的开口更大？ 返回 1．如果二次函数y＝（m－3）x2（m为常数）的图象开口向上，那么m的取值范围是__________. m＞3 二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到： 当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到. 上下平移规律： 平方项不变，常数项上加下减. 二次函数y=ax2与 y=ax2+k的图象的关系 一 二次函数y=ax2+k的图象和性质 一 a,k的符号 a>0,k>0 a>0,k<0 a<0,k>0 a<0,k<0 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴（直线x=0） y轴（直线x=0） 顶点坐标 （0,k） （0,k） 增减性 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 最值 x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 1．对于二次函数y＝－ x2＋3的图象，下列说法不正确的是（　　） A．开口向下 B．顶点坐标为（0，－3） C．当x＝0时，函数有最大值3 D．当x＞0时，y随x的增大而减小 B 2．已知（－2，y1），（1，y2），（3，y3）是抛物线y＝－x2＋a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2 D x y O －2 2 －2 －4 －6 4 －4 二次函数y=ax2 与y=a（x-h)2的关系 可以看作互相左右平移得到. 左右平移规律： 括号内左加右减；x在变. 1．抛物线y＝ （x－2）2的顶点坐标是（　　） A．（0，－2） B．（0，2） C．（－2，0） D．（2，0） D 2．若一条抛物线与抛物线y＝－3x2的形状、开口方向完全相同，且顶点坐标为（－1，0），则该抛物线的解析式为_________________. y＝－3（x＋1）2 y=a(x-h)2+k a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h ,k) 对称轴 直线 x=h 增 减 性 当x<h时,y随着x的增大而减小；当x>h时, y随着x的增大而增大. 当x<h时,y随着x的增大而增大；当x>h时， y随着x的增大而减小. 最值 x=h时, y最小=k x=h时, y最大=k 抛物线y=a(x-h)2+k可以看作是由抛物线y=ax2经过平移得到的. 顶点式 1．二次函数y＝－ （x＋1）2＋2的图象大致是（　　） B 2．关于二次函数y＝2（x－1）2＋3的最大值或最小值，下列说法正确的是（　　） A．有最大值1 B．有最小值1 C．有最大值3 D．有最小值3 D 3．将抛物线y＝－（x－3）2＋5先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，平移后的抛物线的解析式为（　　） A．y＝－（x－5）2－1 B．y＝－（x－1）2－1 C．y＝－（x－5）2＋11 D．y＝－（x－1）2＋11 A -5 3 4 我们如何用配方法将一般式 y=ax2+bx+c（a≠0)化成顶点式y=a(x-h)2+k ？ 1．若二次函数y＝x2＋bx＋5通过配方可化为y＝（x－3）2＋k，则 b＝__________，k＝__________. －6 －4 2．通过配方分别将下列二次函数化为顶点式，并写出其函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y＝1－6x－x2； 解：y＝1－6x－x2 ＝－x2－6x＋1 ＝－（x2＋6x＋9－9）＋1 ＝ －（x＋3）2＋10. ∵－1<0， ∴该抛物线开口向下， 对称轴为直线x＝－3， 顶点坐标为（－3，10）. 一般地，二次函数y=ax2+bx+c的可以通过配方化成y=a(x-h)2+k的形式，即 因此，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点坐标是： 对称轴是：直线 1．利用顶点坐标公式，写出抛物线y＝ x2－4x＋1的开口方向、对称轴和顶点坐标． 1．已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)上三个点的坐标分别为A(3，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y3＜y1＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y3＜y2 D．y1＜y2＜y3 B 2.若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是(　　) A．m＝1　　B．m＞1　C．m≥1　 D．m≤1 C 3．(2023东莞期中)如图3，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分与x轴的一个交点坐标为(1，0)，对称轴为x＝－1，结合图象给出下列结论： ①abc＞0；②b2＞4ac；③9a－3b＋c＞0； ④a－b≤m(am＋b)(m为任意实数)． 以上正确的结论有__________.(请把正确结论的序号填在横线上) ②④ 用待定系数法求二次函数解析式 复习目标： （1）掌握二次函数解析式的三种形式 （2）灵活应用这三种形式，依据条件设出二次函数解 析式的恰当形式，便于求出二次函数解析式。 一般式 顶点式 交点式 知识要点1： 一般式： 用待定系数法求二次函数解析式 已知图象上三点坐标，特别是已知函数图象与y轴的交点坐标(0,c)时，使用一般式很方便. 例1：已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）, 求该函数的解析式 抛物线过一般三点,通常设一般式将三点坐标代入求出a,b,c的值。 待定系数法 题型一：已知三点，求二次函数解析式 例1：已知二次函数图象经过三点（-1，-5）,（0,4）和（1,1）, 求该函数的解析式 解：设函数解析式为 函数解析式为： 用待定系数法求二次函数解析式 一设 二列 三解 四还原 由题意可得： 顶点式： 用待定系数法求二次函数解析式 已知抛物线对称轴x=h,最值是k.或者顶点坐标为(h,k)时，优先选择顶点式 知识要点2： 例2：已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且抛物线经过点（3,1）, 求抛物线的解析式 题型二：已知顶点，求二次函数解析式 例2：已知抛物线的顶点坐标为（2,3）,且抛物线经过点（3,1）, 求抛物线的解析式 解：设函数解析式为 抛物线经过点（3,1） 解得 抛物线解析式为 用待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式 交点式: 知识要点3： 知道抛物线与x轴的两个交点的坐标 ，或一个交点的坐标及对称轴 或者顶点的横坐标时选用交点式比较简便 例、抛物线与x轴交于(-5,0),(2,0) 则对称轴为 题型三：已知图象与x轴的两个交点，求二次函数解析式 例3：二次函数图象经过（-4,0）,（2,0）和（0,6）,求二次函数解析式 解：设函数解析式为 抛物线经过点（0,6） 解得 抛物线解析式为 即 注意：要化为一般式 用待定系数法求二次函数解析式 用待定系数法求二次函数解析式 小结： 用待定系数法求二次函数解析式 求二次函数解析式时： 图象过一般三点: 知顶点坐标: 知抛物线与X轴的两交点： 常设一般式 常设顶点式 常设交点式 4、二次函数与一元二次方程 二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是 当y＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。 ( x1 ,0) ( x2 ,0) 反之，若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2，则抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标分别是 x y o x1 x2 1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，则方程ax2＋ bx＋c＝0的解是（　　） A．x＝－1 B．x＝2 C．x1＝－1，x2＝2 D．x1＝1，x2＝－2 C 结论三： 对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，判别式又能给我们什么样的结论？ （3）b2－4ac＜0 函数与x轴没有交点 （2）b2－4ac＝0 函数与x轴有一个交点 （1）b2－4ac＞0 函数与x轴有两个交点 1．【易错点】若二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有一个交点，则k的值是____________. 变式1　若二次函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是____________. 变式2　若函数y＝kx2－6x＋3的图象与x轴有一个交点，则k的值是____________. 3 k≤3且k≠0 3或0 1.下表是一组二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解的范围可能是(　　) A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 C x 6.17 6.18 6.19 6.20 y －0.03 －0.01 0.02 0.04 估计一元二次方程的根 例 二次函数y＝x2－2x－3的图象如图2所示． (1)该二次函数图象的对称轴为__________； (2)当________________时，y>0； (3)当______________时，x2－2x－3<0. x＝1 x<－1或x>3 －1<x<3 二次函数与不等式 训练　如图，抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝kx＋m(k≠0)相交于点A(0，3)，B(4，1).　 (1)当x＝___________时，y1＝y2； (2)当_____________时，y1<y2； (3)当_____________时，ax2＋bx＋c≥kx＋m. 0或4 x<0或x>4 0≤x≤4 专题： 线段最值：将军饮马（和差最值） 面积最值 等腰三角形、直角三角形、平行四边形、等腰直角三角形、 角度相等、 1．下列函数：①y＝3x2－1；②y＝2x－1；③y＝2（x－3）（x＋2）；④y＝ eq \f(2,x) ；⑤y＝3（x－2）2－1.其中是二次函数的有__________.（填序号） eq \f(1,3) eq \f(1,2) 解：a＝ eq \f(5,2) ，b＝－4，c＝1. ∴－ eq \f(b,2a) ＝－ eq \f(－4,2×\f(5,2)) ＝ eq \f(4,5) ， eq \f(4ac－b2,4a) ＝ eq \f(4×\f(5,2)×1－（－4）2,4×\f(5,2)) ＝－ eq \f(3,5) . 又a＝ eq \f(5,2) >0， ∴抛物线开口向上，对称轴为x＝ eq \f(4,5) ，顶点坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) . $$