第二十五章 锐角的三角比 （第1课时）课件 2024--2025学年沪教版（上海）数学九年级第一学期

第二十五章 锐角的三角比 （第1课时） 30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表： 30° 45° 60° sina cosa tana 三角函数 锐角a 对于sinα与tanα，角度越大，函数值也越大； 对于cosα，角度越大，函数值越小. sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是(　 ) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D. 【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1. D 例1 定义中应该注意的几个问题: 1.sinA,cosA,tanA是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形). 2.sinA,cosA,tanA是一个完整的符号,分别表示∠A的正弦,余弦,正切 (习惯省去“∠”号). 3.sinA,cosA,tanA 是一个比值.注意比的顺序.且sinA,cosA,tanA均﹥0,无单位. 4.sinA,cosA,tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等. 小练一下 如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，求sin∠ECM. 解：设正方形ABCD的边长为4x， A M E D B C ∵M是AD的中点，BE=3AE， ∴AM＝DM＝2x,AE＝x,BE＝3x． ∴EM2=AM2+AE2=(2x)2+x2=5x2 ∴CM2=DM2+DC2=(2x)2+(4x)2=20x2 ∴EC2=BC2+BE2=(4x)2+(3x)2=25x2 ∴EC2=EM2+CM2 △EMC为直角三角形. 由勾股定理可知， ∴sin∠ECM= = = 由勾股定理逆定理可知， 求下列各式的值： cos260°表示(cos60°)2， 即(cos60°)×(cos60°). 1. cos260°+sin260°； 例2 解：cos260°+sin260°=（ ）2+（ ）2=1. 提示： 2. －tan45°. 解： －tan45°= ÷ －1=0. (1)cos260°＋cos245°＋ sin30°sin45°； 解：原式=（ ）2+（ ）2+ × × = + + = . (2) ＋ . 解：原式 + =　 = =﹣6. 　 练一练 1.如果∠α是等边三角形的一个内角，则cosα=____. 2.在△ABC中，∠C=90°，若∠B=2∠A,则tanA=____. 3.若tanA=1，则锐角∠A=_____. 4.在Rt△ABC中，sinB= ,则∠B=_____. 5.sinα﹤cosα，则锐角α取值范围（ ） A 30°﹤α ﹤ 45 ° B 0°﹤α ﹤ 45 ° C 45°﹤α ﹤ 60 ° D 0°﹤α ﹤ 90 ° 练一练 45 ° 60 ° B sinA= ∠A=30° sinA= ∠A=60° sinA= ∠A=45° cosA= ∠A=60° cosA= ∠A=45° cosA= ∠A=30° tanA= ∠A=30° tanA= ∠A=60° tanA= ∠A=45° 逆向思维:填一填 1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB= ,BC= ，求∠A的度数． 例2 解：在图中，AB= ,BC= ， ∴sinA= = = , ∴∠A=45°, A B C 练一练 解：在图中， ∴ α = 60°. A B O 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径，AO = OB，求 α 的度数. ∵tanA= = = , 正弦和余弦的关系 从上面的探究中我们不难发现： sin30°=cos60° sin60°=cos30° sin45°=cos45° 规律：这些角的正（余）弦的值，分别等于它们余角的余（正）弦值. 你还能从中发现什么规律呢？ 即sinA＝cosB＝cos(90°－∠A)， 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. A B C c a b 对边 斜边 邻边 ∴sinA＝cosB，cosA＝sinB. ∵∠A＋∠B＝90°， ∴∠B＝90°－∠A， cosA＝sinB＝sin(90°－∠A) ∵sinA＝ ，cosA＝ ，sinB＝ ，cosB＝ ， 任意一个锐角的正（余）弦值，等于它的余角的余（正）弦值. 例3 解析：利用互余两角的正弦和余弦之间的关系可快速帮助我们解决问题，但要注意的是该结果只对互余的两个角成立． 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝ ，求cosB的值 解 ∵∠A+∠B=90°， ∴cosB=cos(90°-∠A) =sinA = . 例4 A B C c a b 1：填空： (1)已知：sin67°18′＝0.9225，则cos22°42′＝______； (2)已知：cos4°24′＝0.9971，则sin85°36′＝______． 0.9225 0.9971 解：∵∠B＝90°－∠A，∴∠A＋∠B＝90°， ∴cosB＝cos(90°－∠A)＝sinA＝ . 练一练 2：已知sinA＝ ，且∠B＝90°－∠A，求cosB. 3.已知α、β为锐角，且sin(90°－α)＝ ，sinβ＝ ，求 的值． 解：∵sin(90°－α)＝cosα＝ ， cos(90°－β)＝sinβ＝ ， ∴ ＝ ＝ . 练一练 在直角三角形中,若一个锐角确定,那么这个角的对边和邻边之间的比值也随之确定. 结论：互余两个锐角的正切值互为倒数. A B C c a b 对边 斜边 邻边 ∵tanA＝ ，tanB＝ ， ∴tanA＝ ， 在△ABC中，∠A，∠B是锐角，tanA，tanB是方程 3x2－tx＋3＝0的两个根，则∠C＝________． ∴∠C＝180°－∠A－∠B＝90°. 90° 【方法总结】利用tanA·tan(90°－∠A)＝1，可得∠A与∠B之间的关系，从而求出∠C的大小． 解析：∵tanA，tanB为方程3x2－tx＋3＝0的两根， ∠A，∠B是锐角． ∴tanA·tanB＝1. ∴∠A＋∠B＝90°， 例5 练一练 1.在△ABC中，∠C=90°，tanA= ，sinA= ,求tanB，cosB. 解：∵在△ABC中，∠C=90°，tanA= ， ∴ tanB= . 又∵ sinA= ， ∴ cosB= sinA= . 2.计算：tan33°·tan34°·tan35°·tan55°·tan56°·tan57° =1 解：原式=(tan33°· tan57°)( tan34°· tan56°) (tan35°· tan55°) =1×1×1 练一练 特殊三角函数值的运用 一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为60°,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m). 例6 ∴最高位置与最低位置的高度差约为0.34m. 解:如图,根据题意可知, ∴AC=2.5-2.165≈0.34(m). ∠AOD= ×60°=30°，OD=2.5m, ∵cosA= , ∴OC=ODcos30°=2.5× =2.165, A C O B D 2.5m 30° 随堂练习 D D 2.在△ABC中，若 ，则∠C=（　　） A．30° B．60° C．90° D．120° | sinA－ | ＋ (cosB－ )2 ＝0 1. tan(α+20°)＝1，锐角α的度数应是（　　） A．40° B．30° C．20° D．10° 随堂练习 3.求下列各式的值： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° 解： （1）1－2 sin30°cos30° （2）3tan30°－tan45°+2sin60° =1－2× × =1－ =3× －1+2× = －1+ =2 －1 随堂练习 ∴ △ABC 是锐角三角形． 4. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足 (1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0，试判断 △ABC 的形状． 解：∵(1－tanA)2 ＋|sinB－ |＝0， ∴ tanA＝1，sinB＝ ∴ ∠A＝45°，∠B＝60°， ∠C＝180°－45°－60°＝75°， 解：过点C作CD⊥AB于点D， 随堂练习 5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB= ,AC=2 , 求AB. ∠A=30°，AC=2 . ∵sinA= = , ∴CD= ×2 = , ∵cosA= = , ∴AD= ×2 =3, ∵tanA= = , ∴BD= × =3, ∴AB=AD+BD=3+2=5 D A B C 2 ∴2sin2α+cos2α- 3tan（α+15°） 6.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x-3=0的一个根，求2sin2α＋cos2α－ tan（α+15°）的值． 解：解方程x2+2x-3=0，得x1=1，x2=-3， ∵tanα＞0，∴tanα=1，∴α=45°. =2sin245°+cos245°- 3tan60° =2×（ ）2+（ ）2－3× . = (1－ ) . 7.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为(　　) 30° A．(6＋ )米　　　　 B．12米　　　　 C．(4＋2)米　　　 D．10米 A 8.如图，某拦河坝截面的原设计方案为：AH∥BC，坡角∠ABC＝74°，坝顶到坝脚的距离AB＝6 m．为了提高拦河坝的安全性，现将坡角改为55°，由此，点A需向右平移至点D，请你计算AD的长(精确到0.1 m)． 55° A D B C H 6 m 74° 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E， 在Rt△ABE中，sin∠ABE=, ∴AE=ABsin∠ABE=6sin74°≈5.77. cos∠ABE=, ∴BE=ABcos∠ABE=6cos74°≈1.65. ∵AH∥BC，∴DF=AE≈5.77. 在Rt△BDF中，tan∠DBF=, ∴BF=≈≈4.04 ∴AD=EF=BF－BE 过点D作DF⊥BC于点F ≈4.04－1.65≈2.4(m). 55° A D B C H 6 m 74° E F 如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米 (结果精确到个位)． 例7 B E N D A 45° 61.4° 25.6° tan25.6°≈0.5 tan61.4°≈1.8 所以，塔高DE大约是81米． 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 解得x≈31. 故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． ∵tan25.6°＝ ≈0.5， 故tan61.4°＝ = ＝1.8， B E N D A 45° 61.4° 25.6° F 在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长. 解：∵cos∠B=，∴∠B=45°， 当△ABC为钝角三角形时，如图①， ∵AC=13， ∴BC=BD-CD=12-5=7； ∵AB=12 ∠B=45° ∴AD=BD=ABcosB=12 ∴由勾股定理得CD=5 D A C B ① 13 12 当三角形的形状不确定时，一定要注意分类讨论 例8 接上一题在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，求BC的长. ∴BC的长为7或17. 当△ABC为锐角三角形时，如图②， ∴BC=BD+CD=12+5=17. ∵AC=13， ∵AB=12 ∠B=45° ∴AD=BD=ABcosB=12 ∴由勾股定理得CD=5 解：∵cos∠B=，∴∠B=45°， C B A 12 13 ② D 30° 45° 60° 30°、45°、60°角的三角函数值 sin30°= cos30°= tan30°= sin45°= cos45°= tan45°= sin60°= cos60°= tan60°= $$