2024年1月内蒙古普通高中学业水平测试合格性考试真题数学-【学考一本通】2025年内蒙古自治区普通高中学业水平测试数学

2024年1月内蒙古普通高中学业水平测试合格性考试真题 数学 注意事项: 1.本试卷共4页,满分100分. 2.作答时,将答案写在答题卡上,写在试卷上无效. 3.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: ·锥体体积公式V锥体=13Sh ,其中S表示锥体的底面积,h表示锥体的高. ·球的表面积公式S球=4πR2,球的体积公式V球=43πR 3,其中R 表示球的半径. 一、选择题(共20小题,1~15题每小题2分,16~20题每小题3分,共45分.每小题给出的四个 选项中,只有一项符合题目要求) 1.已知集合A={1,3,5},B={1,2,3,4},则A∩B 等于 ( ) A.{1} B.{1,3} C.{1,2,3} D.{1,2,3,4,5} 2.已知i为虚数单位,则i(1+i)= ( ) A.1+i B.-1+i C.1-i D.-1-i 3.命题“∀x∈R,x2+x≥1”的否定是 ( ) A.∃x∈R,x2+x<1 B.∃x∈R,x2+x≤1 C.∀x∈R,x2+x<1 D.∀x∈R,x2+x≤1 4.已知幂函数f(x)=xα 的图象经过点(3,9),则α= ( ) A.-2 B.0 C.1 D.2 5.已知作用在坐标原点的两个力分别为F1=(1,2),F2=(2,-3),则作用在原点的合力F1+F2 = ( ) A.(3,5) B.(3,1) C.(3,-1) D.(3,-5) 6.已知sinα=3cosα,则tanα的值为 ( ) A.3 B.3 C.13 D. 3 3 7.近年来,我国居民体重“超标”成规模增长趋势,其对人群的心血管安全构成威胁.国际上常用 身体质量指数BMI= 体重(kg) 身高2(m2) 衡量人体胖瘦程度是否健康.中国成人的BMI数值标准是: BMI<18.5为偏瘦;18.5≤BMI<23.9为正常;24≤BMI<27.9为偏胖;BMI≥28为肥胖.现 测得某人身高为1.7m,体重为75kg,则可以判断此人为 ( ) A.偏瘦 B.正常 C.偏胖 D.肥胖 8.函数y=log2(2x-3)的定义域为 ( ) A.-∞,32 B.-∞,23 C.23,+∞ D.32,+∞ 9.甲、乙、丙三个班的人数分别为40,40,50,现采用分层抽样的方法从中抽取13人,则从丙班中 抽取人数为 ( ) A.5 B.3 C.4 D.6 —35— 10.如图,在▱ABCD 中,AB→=a,AD→=b,则BD→ 可以表示为 ( ) A.a+b B.12 (a+b) C.b-a D.12 (b-a) 11.若实数a,b,c满足a>b,c<0,则 ( ) A.ac>bc B.ac<bc C.a+c<b+c D.a-c<b-c 12.已知向量a=(m,-2),b=(4,-1),且a⊥b,则m= ( ) A.-12 B. 1 2 C.-2 D.2 13.已知正实数x,y满足xy=4,则x+y的最小值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 14.下列函数为增函数的是 ( ) A.y=2x+1 B.y=x2+1 C.y= 12 x D.y=-log2x 15.函数f(x)=sinx+ 3cosx的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.1+ 3 D.2 3 16.函数y=2|x|的图象大致是 ( ) A B C D 17.为了得到函数y=sinx+13 ,x∈R的图象,只需把函数y=sinx的图象上所有的点 ( ) A.向左平行移动π3 个单位长度 B.向左平行移动13 个单位长度 C.向右平行移动π3 个单位长度 D.向右平行移动13 个单位长度 18.把一个表面积为216cm2 的钢制实心正方体熔化,然后铸成一个实心钢球(不计损耗),则该 钢球的体积为 ( ) A.36cm3 B.81 3cm3 C.216cm3 D.162 6cm3 19.人们通常以分贝(符号是dB)为单位来表示声音强度的等级,其中0dB是人类能听到的等级 最低的声音.一般地,如果强度为x的声音对应的等级为f(x)dB,则f(x)=10lg x1×10-12 . 当声音等级为0dB时,声音的强度为 ( ) A.1×10-11 B.1 C.1×1011 D.1×10-12 20.已知函数f(x)= |lnx|,x>0, -x2+1,x≤0. 若关于x的方程f(x)=a有三个实数根,则实数a的取值 范围为 ( ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,0) —45— 二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分) 21.已知函数y=f(x)用列表法表示如下表,则f(2)= . x 0 1 2 f(x) 2 4 6 22.已知|a|=2,|b|=3,且向量a与b的夹角为60°,则a·b= . 23.已知圆锥的底面半径是1,高是2,则这个圆锥的体积为 . 24.一只虫子在如右图所示的树枝上寻觅食物,假定虫子在每个枝杈口都 会随机的选择一条路径(选择每条路径的可能性相同),则它能获得食 物的概率为 . 25.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E、F分别为AA1、AB 的中点,则异面 直线EF与BC1 所成的角等于 . 三、解答题(共4小题,共40分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 26.(本小题满分8分) 已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2 3,b=c,A=120°. (1)求b的值; (2)求△ABC的面积. 27.(本小题满分10分) 《九章算术》是我国古代数学专著,书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于 底面的四棱锥称为“阳马”.如图,在阳马P-ABCD 中,底面ABCD 是正方 形,PD⊥平面ABCD,M,N 分别是BC,PC的中点. (1)求证:MN∥平面PDB; (2)求证:AC⊥平面PDB. —55— 28.(本小题满分10分) 为形成节能减排的社会共识,某市计划实行阶梯电价.调查发现确定阶梯电价的临界点是市 民关注的热点问题.现从关注问题的市民中随机选出200人按年龄分组,并将数据分成5组: [15,25),[25,35),…,[55,65),作出了如下频率分布直方图. (1)求图中a的值; (2)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,请估计全市关注此问题的市民年龄 的平均数. 29.(本小题满分12分) 学校为美化校园,计划建如图所示的扇形环面花圃,该扇形环面由扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的.已知OA=4米,OB=x米(0<x<4),线段BA、线段CD 与弧BC⌒、弧AD⌒ 的长度之 和为12米,圆心角为θ弧度. (1)当圆心角θ=π3 时,求弧AD⌒ 的长度; (2)求θ关于x 的函数解析式θ=f(x); (3)记花圃的面积为y,试问x取何值时,y的值最大? 并求出最大值. —65— 依题意得 P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6,且 Ai,Bi 相 互 独立. (1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件A1A2A3,且这 三次试跳相互独立. ∴P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=0.3×0.3×0.7 =0.063. (2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为 事件C. P(C)=1-P(A1)P(B1)=1-0.3×0.4=0.88. 28.证明:(1)由题意知,O 为AC 的中点, 因为 M 为BC 的中点,所以OM∥AB. 又OM⊄平面ABD,AB⊂平面ABD. 所以OM∥平面ABD. (2)由题意知,OM=OD=3,DM=3 2, 所以OM2+OD2=DM2, 所以∠DOM=90°,即OD⊥OM. 因为四边形ABCD 是菱形,所以OD⊥AC. 又OM∩AC=O,OM,AC⊂平面ABC, 所以OD⊥平面ABC. 因为OD⊂平面 MDO, 所以平面ABC⊥平面 MDO. 29.解:(1)根据题意,某校高一年级1班、2班、3班分别有 36人,48人,60人,故共有36+48+60=144人,现从这 3个班用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取24人, 所以1班应抽取36144×24=6 人,2班应抽取48144×24=8 人,3班应抽取60144×24=10 人; (2)根据题意,由(1)的结论,1班应抽取6人,其中有2 名女生,设2名女生为A,B,4男生为a、b、c、d,从中选出 2名同学作为组长,有AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、 Bd、ab、ac、ad、bc、bd、cd,共15种取法,至少有1名女生 作为组长的有AB、Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd 共9 种取法,故 至 少 有1名 女 生 作 为 组 长 的 概 率 P= 915 =35 ; (3)甲同学回答5道题的得分分别为69,71,72,73,75, 其平均数x1= 1 5 (69+71+72+73+75)=72,其方差 s21= 1 5 [(69-72)2+(71-72)2+(72-72)2+(73- 72)2+(75-72)2]=4;乙同学回答5道题的得分分别为 70,71,71,73,75,其平均数x2= 1 5 (70+71+71+73+ 75)=72,其方差s22= 1 5 [(70-72)2+(71-72)2+(71- 72)2+(73-72)2+(75-72)2]=165 ,由于4>165 ,所以 乙的成绩更稳定. 2024年1月内蒙古普通高中学业水平 测试合格性考试真题 1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A 7.C 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A 13.D 14.A 15.B 16.D 17.B 18.C 19.D 20.A 21.6 22.3 23.2π3 24. 1 2 25. π 3 26.解:(1)在△ABC 中,A=120°,由余弦定理得cosA= b2+c2-a2 2bc =- 1 2 ,又b=c,解得b=c=2. (2)由(1)得,在△ABC中,sinA= 32 ,b=c=2,S△ABC= 1 2bcsinA= 1 2bcsinA= 1 2×2×2× 3 2= 3. 27.解:(1)在△PCB 中,M、N 分别是BC、PC的中点 ∴MN∥PB ∵PB⊂平面PDB,MN⊄平面PDB ∴MN∥平面PDB (2)∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD ∴PD⊥AC ∵底面ABCD 是正方形,AC、BD 是对角线 ∴BD⊥AC ∵BD,PD⊂平面PDB,且BD∩PD=D ∴AC⊥平面PDB. 28.解:(1)由题意及图得,组距=10, 10×(0.010+0.015+a+0.030+0.010)=1, 解得a=0.035; (2)由(1)及图得,组距=10,a=0.035 平均数位:10×(20×0.010+30×0.015+40×0.035+ 50×0.030+60×0.010)=41.5, ∴全市关注此问题的市民年龄的平均数为41.5岁. 29.解:(1)π3×4= 4π 3 ; (2)由题得,弧AD 的长为4θ米,弧BC的长为xθ米, ∴4θ+2(4-x)+xθ=12 ∴θ=4+2x4+x (0<x<4); (3)由题得,y=S扇形OAD-S扇形OBC= 1 2θ×4 2-12θx 2 ∴y=12θ (16-x2)=12× 4+2x 4+x (16-x2)=-x2+2x +8=-(x-1)2+9 ∴当x=1时,y的值最大,最大为9. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —48—