椭圆中的向量问题练习题-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆中的向量问题练习题 一、单选题 1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 2．若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 3．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 6．已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 7．直线经过椭圆长轴的左端点，交椭圆于另外一点，交轴于点，若，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（    ） A． B． C．0 D．2 10．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．直线的斜率为 C．椭圆C上存在点K，使得 D．点Q到直线的距离为 三、填空题 12．已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线．切点分别为，则的最小值为 ． 13．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    14．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，为坐标原点，，若椭圆的离心率等于，则直线的方程是________________________________ 四、解答题 15．如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若，求点的坐标； 16．椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 17．已知椭圆：的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点． (1)若过的直线与椭圆交于、两点，且，求的值； 18．设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 椭圆中的向量问题练习题 一、单选题 1．经过椭圆的右焦点作倾斜角为的直线l，交椭圆于M，N两点，设O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【详解】已知椭圆的右焦点，则直线l的方程为代入椭圆方程可得， 所以，由上方程，不妨令，则，， 所以． 故选：C 2．若点O和点F分别是椭圆的中心和左焦点，点P为该椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．2 【详解】设，， 则， 则， 因为点为椭圆上，所以有：，即， 所以， 又因为， 所以当时，的最大值为6. 故选：A. 3．已知椭圆的焦点为，，点在上，点在轴上，，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【详解】因为椭圆的焦点为，， 所以设椭圆的方程为：, 设，，， 则，因为， 所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以， 所以，所以或， 因为在上，所以，即， 解得：或，因为椭圆的焦点在轴上， 所以.故的方程为. 故选：D.    4．椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上第一象限内的一点，且与轴相交于点，离心率，若，则（    ） A． B． C． D． 【详解】，，则，所以，， 椭圆方程化为， ，因此在圆上， 由，解得，在第一象限，则， ，则， 故选：D． 5．已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两个动点，且，面积的最大值为，过O作直线MN的垂线，垂足为H，则（   ） A． B． C．1 D． 【详解】依题意当在椭圆短轴的顶点时面积取得最大值，又， 所以，解得，所以，则椭圆方程为， 当直线的斜率存在时，设其方程为，，， 由，消去整理得， 在的条件下，可知，， 又，所以，即， 即，即， 所以， 所以，所以， 当直线的斜率不存在时，则为与轴的交点， 又，根据对称性可知， 设，则（或）， 所以，则，所以， 又，，所以，， 所以. 故选：D 6．已知椭圆C：的右焦点为F，过F的直线与C交于A、B两点，其中点A在x轴上方且，则B点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意可知：，可知， 设，，则， 因为，可得，整理得， 将代入方程可得，解得， 可知B点的横坐标为. 故选：D． 7．直线经过椭圆长轴的左端点，交椭圆于另外一点，交轴于点，若，则该椭圆的焦距为（    ） A． B． C． D． 【详解】 在直线方程中，令，则，令，则， 则，点的坐标为，点的坐标为，又因为， 设，因为，即， 则，解得，所以， 代入椭圆的方程得，所以， 所以椭圆的焦距为． 故选：C. 8．已知椭圆的上、下顶点为，过点的直线与椭圆相交于两个不同的点（在线段之间），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为，，， 此时； 当直线斜率存在时，设斜率为，设, 则直线方程为， 联立，得， ，得． ， ． ． ，，， 则， 综上，的取值范围是． 故选：D． 二、多选题 9．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆：的面积为，点在椭圆上，且点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为，则的值不可能为（    ） A． B． C．0 D．2 【详解】设，，则①， 由题意知，，， 因为点与椭圆左、右顶点，连线的斜率之积为， 所以，即②， 由①②可得，， 所以， 由椭圆的面积为，知，即， 所以，， 因为点在椭圆上，且，， 所以,,，即,， 所以,,,， 对比选项可知，的值不可能为0和2． 故选：CD． 10．已知离心率为的椭圆的左，右焦点分别为，，过点且斜率为的直线l交椭圆于A，B两点，A在x轴上方，M为线段上一点，且满足，则（    ） A． B．直线l的斜率为 C．，，成等差数列 D．的内切圆半径 【详解】    如图1：因为， 设，则， 所以，所以，故，故A正确. 设，，， 由椭圆离心率为可得：，，故椭圆方程可化为：， 联立直线l方程整理得：. 设，，则有：，， 又，所以，， 所以 ，解得：，故，故B错误. 如图2：设椭圆上顶点为，则， 因为所以， 所以与重合，所以为上顶点， 故，，， 易知满足，故C正确 对于D：由知：是以A为直角的直角三角形， 故内切圆半径，故D错误. 故选：AC. 11．已知椭圆的左､右焦点分别为，上顶点为B，且，点P在C上，线段与交于Q，，则（    ） A．椭圆C的离心率为 B．直线的斜率为 C．椭圆C上存在点K，使得 D．点Q到直线的距离为 【详解】    对于A，由已知得，，， 由，得，， 所以，故A正确； 对于B，因为， 所以 ，即， 所以的斜率为，故B正确； 对于C，因为， 所以是锐角，知当K位于点B时最大， 故不可能存在点K，使得，故C错误； 对于D，设点到直线的距离为h，点Q到直线的距离为， 由题意得，又，则， 又因为， 所以， 所以点Q到直线的距离为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．已知椭圆，其长轴长为4且离心率为，在椭圆上任取一点，过点作圆的两条切线．切点分别为，则的最小值为 ． 【详解】依题意，，解得，所以椭圆方程为. 设点，则，可得，点， ， ，则 不妨设， 则 ， 令，， 则， 由对勾函数的性质可知，在递增， 故，此时， 故的最小值为. 故答案为： 13．如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，点P是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为 .    【详解】连接，，由点在以为直径的圆上，故.    又，在椭圆上，故有，. 设，则，，，. 在中，由勾股定理得， 解得，于是，，故. 故答案为： 14．已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上位于第一象限内的一点，为坐标原点，，若椭圆的离心率等于，则直线的方程是_________________________ 【详解】试题分析：设（c，0），令x=c，代入椭圆方程可得， 由，即为，则， 即有，可得A（c，），又，可得， 则直线OA的方程为，即为 四、解答题 15．如图，椭圆：的左右焦点分别为、，设是第一象限内椭圆上的一点，、的延长线分别交椭圆于点， (1)若，求点的坐标； 【详解】 （1）设点的坐标为（），则直线的方程为， 将其代入椭圆方程中可得， 整理得， 所以，得， 所以， 因为，所以，可得， 化简得， 解得，代入得，则， 所以点的坐标为. 16．椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点（），与椭圆交于相异两点、，且． (1)求椭圆方程； (2)求的取值范围． 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题，解得，， 因此椭圆的方程为即． （2）由题意可知向量起点相同，终点共线， 又由得， 故，即，即， 显然直线斜率存在且不为，设其方程为， 联立方程，消去，得，所以， 设，，则，， 又由得，即， 因此，从而，， 所以， 整理得，显然， 所以， 解得或．经检验，此时， 因此的取值范围是. 17．已知椭圆：的左右焦点为、，左右顶点分别为、，是椭圆上异于、的点． (1)若过的直线与椭圆交于、两点，且，求的值； 【详解】 （1）设，由可得， 联立有， 则，，. 又，可得，， 即，解得.    18．设点， 分别是椭圆:的左、右焦点，且椭圆C上的点到点的距离的最小值为 点M，N是椭圆C上位于x轴上方的两点，且向量 与向量 平行. (1)求椭圆C的方程; (2)当 时，求点N的坐标； (3)当 时，求直线的方程. 【详解】（1）点、分别是椭圆的左、右焦点，，， 椭圆上的点到点的距离的最小值为，， 解得，椭圆的方程为； （2）由（1）可得，， 由点是椭圆上位于轴上方的点，可设，， ，， ，，即， 解得，，； （3）向量与向量平行，，由题意， 又，，即， 设，，，，， ，， ， ，，， ， ，，， 解得，或（舍去）， ， ，， ，直线的方程为， 即为. 学科网（北京）股份有限公司 $$