4.2.3 一元一次方程及其解法-解含绝对值的一元一次方程（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（苏科版2024）

4.2.3 一元一次方程及其解法 ——解含绝对值的一元一次方程 题型一 |ax+b|=c 1．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是　　 A． B． C． D． 【详解】解：关于的方程有两个解，； 只有一个解，； 无解，； 则、、的关系是． 故本题选：． 2．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，∴； 当时，则有，∴； 综上，方程的解为或． （1）解方程：； （2）已知，求的值． 【详解】解：（1）解方程：， ∴或， 解得：或； ∴方程的解为或； （2）已知， ∴或， 解得：或， ∴或20． 3．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得：； 当时，原方程可化为：，解得：； 综上，原方程的解是或． （1）解方程：； （2）解关于的方程：． 【详解】解：（1）①当时，原方程可化为：，解得：； ②当时，原方程可化为：，解得：； 综上，原方程的解是或； （2）①当时，原方程无解； ②当时， 原方程可化为：，解得：； ③当时， 当时，原方程可化为：，解得：， 当时，原方程可化为：，解得：． 题型二 |ax+b|=|cx+d| 1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程，我们知道，由，可得或． 例解方程：． 我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： （1）解方程：； （2）拓展延伸：解方程． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或． 解得：或； （2）由绝对值的意义可得：或． 解得：或． 2．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： （1）； （2）． 【详解】解：（1）根据绝对值的意义可得：或， 解得：或； （2）根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 题型三 |ax+b|=cx+d 1．关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是　　． 【详解】解：①当，即，则， ， 此时，则； ②当，即，则， ， 此时，则； 综上，． 故本题答案为：． 2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，方程可化为：，解得：，符合题意； ∴原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 【详解】解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，方程可化为：，解：得，符合题意； ∴原方程的解为：或． 3．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得：，符合题意． ∴原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： （1）若，则的取值范围是　　； （2）解方程：． 【详解】解：（1）由题意可得：， ， 故本题答案为：； （2）， ①当时，即，得，解得：； ②当时，即，，解得：； ∴原方程的解为或． 题型四 |ax+b|±|cx+d|=ex+f 1．解绝对值方程：． 【详解】解：当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； 当时，原方程化为，解得：（舍去）； ∴原方程无解． 2．解关于的方程：． 【详解】解：①当时，，解得：； ②当时，，此时； ③当时，，解得：； 综上，当时，方程有无数解；当时，方程无解；当时，或． 3．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解， 移项得：，，，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得：，符合； ②当时，原方程可化为，解得：，符合； 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 【详解】解：（1）移项得：， 合并得：， 两边同时除以得：， ∴， ∴或； （2）当时，原方程可化为，解得：，符合； 当时，原方程可化为，解得：，符合； 当时，原方程可化为，解得：，不符合； ∴原方程的解为或． 4．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， ①当时，原方程可化为，解得：，检验符合； ②当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； ③当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 【详解】解：分别令，，解得：，， 用1、将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， ①当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； ②当时，可化为，解得：，符合题意； ③当时，可化为，解得：， 经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； 综上，原方程的解为． 题型五 绝对值嵌套问题 1．绝对值方程的不同实数解个数为　　 A．2 B．4 C．1 D．0 【详解】解：由题意可知： （1）， ①当，，即时， ，解得：，不合题意，舍去； ②当，，即时， ，即，显然不成立； ③当，，即时， ，解得：； （2）， ④当，，即时， ，解得：，不合题意，舍去； ⑤当，，即时， ，即，显然不成立； ⑥当，，即时， ，解得：； 综上，原方程的解是：，3.5，共有2个． 故本题选：． 2．绝对值方程有　　个实数解，该方程的所有解的和是　 　． 【详解】解：， ， 即或1， 或， 或0.5或3.5或1.5， 或或或， 解得：或或4或3或7或0或5或2，共8个解，和为28． 故本题答案为：8，28． 3．解方程：． 【详解】解：原方程式化为或， （1）当时，即， 由得：，（不合题意）， 由得：，（符合题意）； （2）当时，即， 由得：，（不合题意）， 由得：，（符合题意）； 综上，原方程的解是或． 1．已知方程有一个负根而没有正根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 【详解】解：方程有一个负根而没有正根， ，原方程可化为：，，， ， ， 若，原方程可化为：，， ， ， 没有正根， 不成立， ． 故本题选：． 2．方程的有理数解的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．多于3个 【详解】解：①当时，原方程化为：， 解得：； ②当时，原方程化为：， 整理得：， 它在范围内均成立； ③当时，原方程化为：； 解得：； ④当时，原方程化为：， 解得：（舍去）， 此时，方程无解； 综上，此方程有无数个解． 故本题选：． 3．已知关于的绝对值方程有三个解，则　　． 【详解】解：， ， ， ， ， 或或或， 方程有三个解， 或， 或4， ， ． 故本题答案为：4． 4．若关于的方程有解，则的取值范围是　　． 【详解】解：方程有解， 方程，即， （1）当时，即或， ①时，方程有一个解， ②，此时方程无解， 当时，方程只有一个解； （2）当时，即，， ①时，方程有两个不相等解， ②时，方程无解， 当时，方程有两个不相等解； （3）当时，即或， ①时，方程有一个解， ②，此时方程有两个不相等解， 当时，方程有三个解； （4）当时，即， ①时，方程有两个不相等解， ②时，方程有两个不相等解， 当时，方程有四个不相等解． 故本题答案为：． 5．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． （1）已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？　　．（填“是”或“不是” ） （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值． （3）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 【详解】解：（1）的解是， 方程的解是或， 当时，，故是“小美方程”， 故本题答案为：是； （2）方程的解是， 一元一次方程的解是， ， 解得：； （3）解方程得：， ， ， ， ， 整理得：， 分母不能为0， ，即， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.2.3 一元一次方程及其解法 ——解含绝对值的一元一次方程 题型一 |ax+b|=c 1．若关于的方程有两个解，只有一个解，无解，则、、的关系是　　 A． B． C． D． 2．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：． 解：方程可化为：或， 当时，则有，∴； 当时，则有，∴； 综上，方程的解为或． （1）解方程：； （2）已知，求的值． 3．先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题． 解方程：． 解：当时，原方程可化为：，解得：； 当时，原方程可化为：，解得：； 综上，原方程的解是或． （1）解方程：； （2）解关于的方程：． 题型二 |ax+b|=|cx+d| 1．阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”． 如：，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程，我们知道，由，可得或． 例解方程：． 我们只要把看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题． 解：根据绝对值的意义，得或． 解这两个一元一次方程，得或． 根据以上材料解决下列问题： （1）解方程：； （2）拓展延伸：解方程． 2．阅读下列材料： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫作含有绝对值的方程．如：，，都是含有绝对值的方程． 怎样才能求出含有绝对值的方程的解？ 以方程和为例来探求解法． 探究思路： 根据绝对值的意义，把绝对值的符号去掉，含有绝对值的方程转化为一元一次方程进行求解． 探究结论： 1．解方程． 解：根据绝对值的意义可得：或． 2．解方程． 分析：把看作一个整体． 解：根据绝对值的意义可得：或， 解得：或． 应用材料中的方法解下列方程： （1）； （2）． 题型三 |ax+b|=cx+d 1．关于的方程为常数）有两个不同的实根，则的取值范围是　　． 2．有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值，转化成一元一次方程求解． 例如：解方程， 解：当时，方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，方程可化为：，解得：，符合题意； ∴原方程的解为或． 请根据上述解法，完成以下问题： 解方程：； 3．阅读与探究：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，，都是含有绝对值的方程，怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，原方程可化为：，解得：，符合题意； 当时，原方程可化为：，解得：，符合题意． ∴原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： （1）若，则的取值范围是　　； （2）解方程：． 题型四 |ax+b|±|cx+d|=ex+f 1．解绝对值方程：． 2．解关于的方程：． 3．阅读理解：在解形如这类含有绝对值的方程时， 解法一：我们可以运用整体思想来解， 移项得：，，，，或． 解法二：运用分类讨论的思想，根据绝对值的意义分和两种情况讨论： ①当时，原方程可化为，解得：，符合； ②当时，原方程可化为，解得：，符合； 原方程的解为或． 解题回顾：本解法中2为的零点，它把数轴上的点所对应的数分成了和两部分，所以分和两种情况讨论． 问题：结合上面阅读材料，解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 4．先阅读下面的材料，再解答问题：解含有绝对值符号的方程时，关键是去掉绝对值符号，下面采用“找零点”的方法来求解这类方程． 例：解绝对值方程：． 解：分别令，，解得：，， 用2，将数轴分成三个区域，然后在每个区域内去掉绝对值求解， ①当时，原方程可化为，解得：，检验符合； ②当时，原方程可化为，解得：，经检验，它不在范围内，故不是原方程的解； ③当时，原方程可化为，解得：，检验符合； 综上，原方程的解为或． 阅读完上述材料，试解下面含绝对值的方程： ． 题型五 绝对值嵌套问题 1．绝对值方程的不同实数解个数为　　 A．2 B．4 C．1 D．0 2．绝对值方程有　　个实数解，该方程的所有解的和是　 　． 3．解方程：． 1．已知方程有一个负根而没有正根，则的取值范围是　　 A． B． C． D．且 2．方程的有理数解的个数为　　 A．1 B．2 C．3 D．多于3个 3．已知关于的绝对值方程有三个解，则　　． 4．若关于的方程有解，则的取值范围是　　． 5．小美喜欢研究数学问题，在学习一元一次方程后，她给出一个定义：若是关于的一元一次方程的解，是关于的方程的所有解的其中一个解，且，满足，则称关于的方程为关于的一元一次方程的“小美方程”．例如：一元一次方程的解是，方程的所有解是或，当，，所以为一元一次方程的“小美方程”． （1）已知关于的方程：是一元一次方程的“小美方程”吗？　　．（填“是”或“不是” ） （2）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，请求出的值． （3）若关于的方程是关于的一元一次方程的“小美方程”，求出的值． 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