第二十七章 相似（单元重点综合测试卷，人教版）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（山东专用）

第二十七章：相似 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．如图，直线，直线分别与相交于点A、B、C，直线分别与相交于点D、E、F，已知，，则的长为（　　） A．10 B．7.5 C．7 D．12 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 4．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 8．如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 12．如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 13．如图，是的直径，是的切线，内接于，连接，若，则的度数为 ． 14已知：、、均不为零，则______ . 15．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． 若，，则的长为 ． 16．如图，在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边的中点B，连接，过点C作双曲线．若，A的坐标为，则 ． 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 18．（10分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 19．（12分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 20．（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 21．（10分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 22．（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    23．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章：相似 （试卷满分120分，考试用时120分钟） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．如图，直线，直线分别与相交于点A、B、C，直线分别与相交于点D、E、F，已知，，则的长为（　　） A．10 B．7.5 C．7 D．12 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例． 【详解】解：直线， ， ∵, ， ∴． 故选：A． 2．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，成比例，符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 故选：C． 3．如图，四边形四边形，，，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和定理的应用，解题的关键是了解相似多边形的对应角相等，难度不大．根据相似多边形的对应角相等求解，进一步可得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，， ∴， ∵，， ∴， 故选：D 4．已知，则下列等式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键；设，，再根据比例的性质求解即可． 【详解】解：， 设，， ． 由比例的性质得到，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项不符合题意； ．，故本选项符合题意； 故选：． 5．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，先求出两三角形的一对相等的角是确定其他条件的关键，注意掌握相似三角形的几种判定方法． 【详解】解：， ， A．添加，可用两角法判定，故本选项错误； B．添加，可用两角法判定，故本选项错误； C．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项错误； D．添加，不能判定，故本选项正确； 故选：D． 6．如图，在三角形外取一点O，连接并取它们的中点分别为D，E，F，得三角形，则下列说法正确的个数是（    ） ①与位似； ②与周长比为；③与面积比为；④与是相似图形． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、相似三角形的性质，根据中点定义得到，进而证明与位似，，可判断①④正确；根据相似三角形的性质可判断②③，进而可得答案． 【详解】解：∵D，E，F是、、的中点， ∴，又、、相交于O， ∴与位似，故①正确； ∴，故④正确， ∴与的相似比为， ∴与周长比为，与面积比为， 故②正确，③错误； 综上，说法正确的有3个， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算． 【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时， ∵，相似比为2， ∴； 当位似图形与在y轴两侧时， ∵，相似比为2， ∴； 故选：D． 8．如图，点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点，已知的面积是1，有以下结论：①；②；③；④其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据点分别是的中点，判断出两个三角形相似，再利用三角形的相似比可依次判断各个结论的正误． 【详解】解：∵点O是内一点，连接，点D，E，F分别是的中点， ∴，且，，且，，且， ∴，故①正确； ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，且， ∴，故④正确； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的判定与性质、三角形的中位线性质以及相似三角形的性质． 9．如图，在正方形中，是等边三角形，连接与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（     ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】①根据正方形和等边三角形的性质可得，然后根据三角形内角和求得即可判断；②证明是等边三角形，得出，在中，根据含直角三角形的性质即可求解；③根据，即可求解；④根据两角相等两个三角形相似即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴，故①正确； ∵是等边三角形， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， 在中，， ， ∴，故②正确； ， ， ， ， ， ∴，故④正确； 在中，， ∴， ∴，故③错误； 综上分析可知，正确的结论有3个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形相似的判定，勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 10．如图，为等边的边上的高，，，为上一动点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质；先找到点关于的对称点，与的交点即为点的位置，此时最小即可求解． 【详解】解：如图，为点关于的对称点，连接，过点作于点， 与关于对称， ， ， ， 的最小值为， 为等边三角形，为上的高，，， ，平分，点为中点，，， ，， ， ， ， ﹣﹣ ， ， 的最小值为， 故选：C． 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分 11．如果点是线段的黄金分割点，且，则下列说法正确的是 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 根据黄金分割点的定义得，，，即可得出结论． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ，，， 故答案为：①③④． 12．如图，为等腰三角形，，于点D，于点E，与交于点F，连接并延长交于点G．若，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】首先根据三角形的高的性质得到，然后根据等腰三角形的三线合一性质，得出，接着根据勾股定理求出，再根据面积法求出，进一步得出，最后根据相似三角形的判定与性质，即可求出答案． 【详解】，， 点F是两边上的高的交点， ， ， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的高的性质，等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． 13．如图，是的直径，是的切线，内接于，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题考查了切线的性质、圆内接四边形性质及相似三角形的性质及判定，解决本题的关键是熟练掌握了切线的性质、圆内接四边形性质及相似三角形的性质及判定，先由圆内接四边形的性质可得，再由是的切线，得出．再证明，最后由相似三角形的性质可得答案． 【详解】如答图，连接， ∵四边形是圆内接四边形，． ∴， ∵是的直径， ∴， ∵是的切线， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 14已知：、、均不为零，则______ . 【答案】; 【解析】解：设，，，    故答案为：  根据比例的性质可设，，，将其代入分式即可．  此题主要考查了比例的性质，解此类题可根据分式的基本性质先用未知数表示出，，，再代入计算． 15．如图，正方形中，为上一点，是的中点，，垂足为，交的延长线于点，交于点． 若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵四边形是正方形，，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系下如图放置，斜边AC交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边的中点B，连接，过点C作双曲线．若，A的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】过作，交于，设与轴交于点．根据直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出，为的中点，．利用平行线分线段成比例定理得出 求出，，．由过点，的双曲线也经过点，得出，，那么，再求出，根据待定系数法求出的值． 【详解】解：如图，过作，交于，设与轴交于点． 斜边的中点， ，为的中点，． ，的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ． 点纵坐标与点纵坐标相同为，过点的双曲线也经过点， ，点横坐标为， ， ， ， ， ． 双曲线过点， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出点坐标是解题的关键． 三．解答题：本小题共7小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（8分）如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 18．（10分）如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 19．（12分）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（不与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为8． (2)若两点同时分别从A、B出发，经过多长时间与相似？ 【答案】(1)2秒或4秒 (2)3秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）由题意知，，，再代入三角形面积公式，解方程即可； （2）分两种情形：当或时，分别根据对应边成比例解决问题． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒时，由题意知，，， ∴， 解得或4， ∴当移动2秒或4秒时，的面积为8， 答：当移动2秒或4秒时，的面积为8； （2）解：分两种情况： ①当时，则， 即， 解得：， ②当时， 则， 即， 解得：， 综上，当移动3秒或秒时，与相似． 20．（8分）如图，已知为的直径，是弦，且于点．连接、、． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)的直径为． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，再根据三角形内角和定理证明即可； （2）根据垂径定理得到的长，根据勾股定理计算，证明，即有，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即：的直径为． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键熟练掌握相关图形的性质． 21．（10分）8月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） (1)嘉嘉发现当米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔的高度． (2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】(1)飞虹塔的高度是42米 (2)飞虹塔的大致高度为 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，然后可根据相似三角形的性质进行求解； （2）设，则有，，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 答：飞虹塔的高度是42米； （2）解：设，则有，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，即， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴； 答：飞虹塔的大致高度为． 22．（12分）某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究． 【问题发现】 （1）如图①，在等边中，点是边上一点，且，连接，以为边作等边，连接．则的长为______； 【问题提出】 （2）如图②，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．试说明与相等； 【问题解决】 （3）如图（3），在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，点是正方形的对称中心，连接．若正方形的边长为12，，求正方形的边长．    【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）证明，则，由得到，则，即可证明结论； （3）连接，证明，得到，求出，设，则，在中，，则，求出，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：． （2）在等腰中，， ． 在等腰中，， ． ， ． ． ． ， ． ． ． （3）如图③，连接， 四边形是正方形， ． 点是正方形的对称中心， ． ． ． ， ． ． ， ． 设，则， 在中，，即， 解得． ， ． 正方形的边长为． 此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 23．（12分）已知，如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标是，连接． (1)求的面积； (2)如果动点在直线上，使得，求点的坐标； (3)如果动点在直线上，且与相似，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数的性质得出，进而可以求出的面积； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，，分两种情况：①点在轴上方，②点在轴下方，分别求解即可； （3）过点作轴于点，根据在直线上，设，可得，所以，分两种情况讨论：①当时，②当时，分别列式计算求出的值，即可求点的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 令，则， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∴的面积； （2）解：设直线的解析式为， ∵，点的坐标是， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ，分两种情况： ①当点在轴上方时，如图，设与轴交于点，由题意得， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， 联立和得 ， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴下方时，如图，设与轴交于点′， 同理得，，直线的解析式为， 联立和得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或； （3）解：在中， ∵， ∴ 同理可得 如图，过点作轴于点， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在直线上，设， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，待定系数法求一次函数，两直线的交点，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$