第3章 函数的概念与性质单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 单元知识整合 一、微专题妙总结 内酒阐释知识融汇·方法总结 第 微专题1 几种常见函数及其应用 ∴f25)=/0.5)=名0.5-2)× 1.分段函数 对分段函数要注意把握以下问题的处理 0.5= 3 4k 方法： (2)对任意实数x,f(x)=kf(x十2) 第三童 (1)分段函数的画图、求分段函数的单调 ∴fx-2)=kfx,∴f)=6fx-2). 区间、求分段函数的值域或最值、求分段函数 第 的解析式等，这些问题的解法均可用四个字概 当-2≤x<0时，0≤x+2<2,f(x)= 括 分段处理 kf(x+2)=k.x(x+2): (2)分段函数的求值，分段函数的奇偶性 当-3≤x<-2时，-1≤x十2<0,1≤ 第五金 判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定 x+4<2,f(x)=kf(x+2)=k2f(x+4)= 义来处理 k2(x+2)(x+4): (3)涉及分段函数的综合问题要灵活把 当2<时，0-21f)=2/-2) 握，注意与相关知识的结合。 (4)含绝对值的函数，实质上是“压缩”后 =x-20x-40. 的分段函数，解决含绝对值的函数问题的基本 k(x+2)(x+4),-3<-2, 方法是将其“解压”成分段函数来处理。 kx(x十2)，-2≤x0. ⊙例题1(2024，江西临川一中单元测 综上，f(x)= x(r-2),0≤2， 试)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)= kf(x十2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间 2a-2c-0.2< [0,2]上有表达式f(x)=x(x-2). 由k<0可作出f(x)的大致图象，如图所 (1)求f(-1),f(2.5)的值， 示，观察图象知f(x)在[一3，一1]和[1,3]上单 (2)写出f(x)在[一3,3]上的表达式，并讨 调递增，在[一1,1门上单调递减。 论函数f(x)在[一3,3]上的单调性。 (3)求出f(x)在[一3,3]上的最小值与最 大值，并求出相应的自变量的取值 解析(1)，'f(1)=1×(1一2)=-1， ∴.f(-1)=kf(1)=-k. f(0.5)=kf(2.5), 1166 第三章之函：的概念与性质/ (3)由函数f(x)在[一3,3]上的单调性可 ⊙例题2(2024，湖北洪山高中期未测 知，f(x)在x=一3或x=1处取得最小值，易 试)函数y=f(x)的图象关于原点中心对称的 得f(-3)=-2,f(1)=一1，在x=一1或 充要条件是函数y一f(x)为奇函数，有同学发 x=3处取得最大值，易得f(一1)=一k,f(3) 现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于 1 点P(m,n)中心对称的充要条件是函数y= f(x十m)一n为奇函数.若函数f(x)的图象关 当k<一1时，f(x)在x=一3处取得最小 于点(1,1)中心对称，且当x∈[0,1]时，f(x) 值f(一3)=一，在x=一1处取得最大值 =x2-2a.x+2a. f(-1)=-k: (1)求f(0)+f(2)的值 当k=一1时，f(x)在x=一3与x=1处 取得最小值f(-3)=f(1)=一1，在x=一1 (2)设函数8x)=2 第 与x=3处取得最大值f(-1)=f(3)=1: ①证明函数g(x)的图象关于点(2，一1)中 当一1<k<0时，f(x)在x=1处取得最 心对称： 小值f(1)=一1，在x=3处取得最大值f(3) ②若对任意的x1∈(0,2)，总存在x2∈(0， 1 2),使得f(.x1)=g(x2)成立，求实数a的取值 范围。 方法总结(1)由f(-1)=kf(1),f(0.5) 解析(1)由题意知，y=f(.x十1)一1为奇 kf(2.5)可得f(-1),f(2.5)的值；(2)利用 函数， f(x)=kf(x十2)将自变量x的取值由[一3,3] 所以f(x+1)-1=-f(-x十1)+1， 上转化到[0,2]上求解表达式，进而讨论单调 得f(x+1)十f1-x)=2, 性：(3)结合单调性求最值，注意对负数k的 令x=1,得f(0)+f(2)=2 讨论 x十2 2.“双曲”函数 (2)0今y=gx+2)+1=2-千2)+1 形如y=士(c≠0，a≠0)的函数通过 2 cx+d 分离常数可转化成y=m十【(1≠0)的形 因为y=一2为奇函数，即y=g(x十2)十 x十n 1为奇函数，所以函数g(x)的图象关于点(2， 式，故它的图象可由反比例函数y=I(1≠0) 一1)中心对称. 的图象通过平移得到，其形状与反比例函数y一 2 ②因为gx)=2二x1在(0,2)上单调递 二（≠0)的图象的形状一样，都是双曲线.故常 增，所以g(x)在(0,2)上的值域为(0，十∞). 称其为“双曲”函数.其对称中心是（一，m),定 记f(x)在(0,2)上的值城为B, 义域为{xx≠一n,值域为{yy≠m. 由对H1∈(0,2)，32∈(0,2)，使得 当t>0时，函数在（一∞，一n)和（一1， f(x)=g(x2)成立，知B二(0，十o∞). 十∞)上单调递减： 当a≤0时，f(x)在(0,1)上单调递增，由 当t<0时，函数在（一∞，一n)和（一， f(1)=1及f(x)的图象关于点(1,1)对称知， 十∞)上单调递增. f(x)在(0,2)上单调递增， 167 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 所以B=(f(0),f(2)). 我们可以解决一些函数的单调性、最值与值域 只需f(0)=2a≥0即可，得a≥0. 等问题 又因为a≤0，所以a=0满足题意. ⊙例题了(2024，广东深圳中学期末测 当0<a<1时，f(x)在(0，a)上单调递减， 试)已知y=f(x)是定义在D上的函数，对于 在(a,1)上单调递增，由对称性知，f(x)在(0， D上任意给定的两个自变量的值x1,,当 a),(2-a,2)上单调递减，在(a,2-a)上单调 ≠x2时，如果总有f(1)≠f(x2),就称函数 递增， y=f(x)为“可逆函数” 所以B=[f(a),f(2-a)]或B=(f(2), 豆 f(0). （1)判断函数(x)=x+上是香为“可逆 此时f(a)=-a2+2a>0,f(2)=2- 函数”，并说明理由。 第 f(0)=2-2a>0, (2)已知函数y=f:(x)在区间(0，十∞)上 满足B二(0，+∞)， 第三意 单调递增，证明：F(x)=2(x)一1. 所以0<a<1满足题意. x∈(0， 当a≥1时，f(x)在(0,1)上单调递减，由 十∞)是“可逆函数” 第 对称性知，f(x)在(0,2)上单调递减， 3)证明：函数f(x)=乙。十(a∈R) 所以B=(f(2),f(0). 是“可逆函数”的充要条件为“a=0” 第五金 只需f(2)=2-2a≥0即可，得a≤1， 又a≥1，所以a=1满足题意。 丽团1)周为()=x十在(0,1)上单 综上所述，实数a的取值范围为[0,1]. 调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以f(x)m= 3.“对勾”函数 f6(1)=2, 我们常见到形如f(x)=ax十b(a>0,b>0) 则f(x)与y=a(a>2)的图象恒有两个 的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶性 不同的交点，记为，2， 及图象的形状， 则x1≠x2,f()=f(x2)=a,不符合 (1)不难看出它的奇偶性，因为函数的定 “可逆函数”的定义， 义域为(-∞，0)U(0,十∞)，且有f(-x)= 所以f(x)=x+是不是“可递画数” -a.x+ -.所以f代)为奇函数 (2)任取x2>x1>0,则F(x2)一F()= 2函数fx)在(-√臣，0)和(0)上 f()-1-fm)+1=fx)-f()+ 单调递减：在-©，-√)和（√及，+∞）上 2一1 xIT? 单调递增 因为f2(x)在区间(0，十∞)上单调递增， (3)图象如图所示. 所以f(x2)一f(x)>0, 这个函数的图象形如两 又x2-1>0,12>0,所以F(x2)- 个对勾，因此，我们称它为 F(x1)>0, “对勾”函数，利用这个函数 所以F(x)在区间(0，十oo)上单调递增， 168 /第三章)函袋的椴念与性质/ 则当≠x2时，F(x1)≠F(2)恒成立， ⊙例题4(2024，九省联考)（多选）已知 所以Fx=f()-子zE0.+o)是 函数f代x)的定义域为R,且f)0,若fx十) “可逆函数” 十f(x)f(y)=4xy,则( (3)先证明充分性：当a=0时，f3(x)= A-)=0 1+,则后(x)的定义城为(-，0)U(0, Bf2)=-2 十c∞). 任取1x2∈（一∞，0）U(0,十0∞)且0≠， C函数fx一2)是偶函数 第 则f(x)-f(x)=1+1-1-1 T D.函数fx十)是减函数 一型≠0， T1.T2 ǖ令x2y-0,由十)+)f代) 即f(x)≠fa(x2）, =4xy可知f(2)+f(2)f(0)=0,因为 所以f(x)为“可逆函数”，充分性成立； 再证明必受性：假设当f万)=一。十 f2)≠0，所以f0)=-1. 是“可逆函数”时，a≠0， 对于A,令x=y=一号，则有f(0)十 构造关于x的方程工十1=2，化简可 位)-)=4x×(),化简得位)： 得x2-(2a十1)x十a=0, 显然x=0与x=a均不是方程的根，又 f-2）=0,因为f2)0,所以f-2)=0,故 △=(2a+1)2-4a=4a2+1>0. A正确： 解方程可得=2a十1-4a2+亘 对于C,令y=-2则有f(-)十 2 2a+1+4a百，且≠ )f(-)=4r·(-),化简得fe-》 2 则”十1=9十1=2即6(m)= 2x,故f(一)是奇函数，故C错误： '一a2一ag f(x2)=2,与f3(x)是“可逆函数”矛盾， 对于B.由f(x-号)=-2，可得f() 所以假设不成立，即a=0,必要性成立. -2(x+2)=-2x-1,所以f2） =-2,故B 综上，函数6(x)=工+1(a∈R)是 x-a 正确： “可逆函数”的充要条件为“a=0”, 对于D,因为f(x)=一2x一1，所以 4.抽象函数 fe+号）=-2(e+2)-1=-2x-2.所以 抽象函数是一种特殊的形态，求解其有关 问题时常常需要根据条件采用赋值法、配凑构 fx+2)是减函数，故D正确. 建法等结合处理。 答案ABD 169 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 微专题2函数性质的综合应用 一f(x),且在区间[0,2]上单调递增，则 ( 函数单调性、奇偶性与周期性常常构建 A.f(-25)<f(11)<f(80) 类数的大小比较问题，求解时常利用奇偶性、 B.f(80)<f(11)<f(-25) 周期性将数转化到同一单调区间，进而利用单 C.f(11)<f(80)<f(-25) 调性来处理 D.f(-25)<f(80)<f(11) 1.函数的单调性、奇偶性的综合应用 解桥，'f(x)满足f(x一4)=一f(x), 有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主 第 .f(x-8)=f(x),,.函数f(x)是以8 要有比较大小、解不等式等，关键是利用奇、偶 为周期的周期函数，则f(一25)=f(一1)， 函数的对称性，将不在同一单调区间上的两个 第 f(80)=f(0),f(11)=f(3). 自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函 章 又f(x)是定义在R上的奇函数，且满足 数的单调性来处理，从而使问题得以解决， f(.x-4)=-f(x), 第三 ⊙例题5(2024，湖北新洲一中期末测 .f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1) 试)函数y一f(x)(x≠0)是奇函数，且当x∈ :f(x)在区间[0,2]上单调递增，f(x)在 四 (0,十∞)时，函数y=f(x)单调递增，若f1)=0, R上是奇函数， 则不等式红)<0的解集为 .f(x)在区间[一2,2]上单调递增， 第五章 .f(-1)<f(0)<f(1). 解析因为f(x)是奇函数，且f(1)=0, 即f(-25)<f(80)<f(11). f(.x)在(0，十o∞)上单调递增，所以f(一1)= 答系D 一f(1)=0,且f(x)在（一∞，0）上单调递增 2.函数的单调性或奇偶性与周期性的综 所以不等式f(红一2)<0可化为 合应用 -2>0. 近几年，将函数的单调性或奇偶性与周期 性综合在一起考查逐渐成为高考的一个热点， -)f)(-)f-1. 我们在此展现常见的考查类型，旨在让同学们 了解高考的一个趋势。 即0<x-<1x--1, 函数周期性的概念：对于函数f(x),如果 解得<r<号我r<- 存在非零常数T,使得当x取定义域内的每一 个值时，x士T都有定义，并且f(x士T)= 所以原不等式的解集是红<一专或 f(x),则称函数f(x)为周期函数，T称为这个 函数的一个周期，T的最小正数取值称为函数 的最小正周期. ⊙例题7(2024，上海浦东新区南汇中学 期末测试)设f(x),g(x),h(x)是定义域为R ⊙例题6(2024，江西南昌一模)已知定 的三个函数，有下面两个说法：①f(x)十g(x), 义在R上的奇函数f(.x)满足∫(x一4)= f(x)十h(x),g(x)十h(x)均是增函数，则 170 /第三章)函：的概念与性质 f(x),g(x),h(x)中至少有一个增函数： 理可得f(x)=f(x十T),因此②正确. ②若f(.x)+g(x),f(x)+h(x),g(x)十h(x) 答案D 均是以T为周期的函数，则f(x),g(x),h(x) ⊙例题8(2021，全国新高考Ⅱ卷)设函 均是以T为周期的函数.下列判断正确的是 数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数， (). f(2x十1)为奇函数，则( ). A.①和②均正确 Af-)=0 B.f(-1)=0 B.①和②均不正确 C.①正确，②不正确 C.f(2)=0 D.f(4)=0 解桥因为函数f(x十2)是偶函数，所以 第 D.①不正确，②正确 解桐①不正确.可举反例：f(x)= f(x十2)=f(一x十2)，则函数f(x)的图象关 于直线x=2对称.因为函数f(2x十1)是奇函 2x+3,x0, 2x,≤1， g(x)= 数，所以f(-2x十1)=一f(2x+1),则f1)= -x+3,0<x<1, -x+3,x>1, 0,且函数f(x)的图象关于点(1,0)对称.f(x) 2x,x≥1， =f(4-x)=-f[2-(4-x)]=-f(x-2), -x,x0, h(x)= 满足f(x)十g(x),f(x)十 f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)= 2.xx>0. -(-f(x)=f(x),所以f(1)=f(1+4)= h(x),g(x)十h(x)均为增函数，但f(x), f(5)=0,又函数f(x)的图象关于直线x=2 g(x),h(x)都不是增函数，故①不正确. 对称，所以f(5)=f(4-5)=f(-1)=0. ②正确.f(x)十g(x)=f(x十T)十g(x十 答案B T),f(x)+h(x)=f(x+T)+h(x+T),g(x)+ 方法总结若f(.x)十f(2a-x)=2b,则 h(x)=g(x十T)十h(x十T),前两式作差可得 f(x)的图象关于点(a,b)对称；若f(x十a) g(x)一h(x)=g(x十T)一h(x十T),结合第三 式可得g(x)=g(x+T),h(x)=h(x十T),同 6一，则)的图象关于直线生对称 二、高频考点整合 高频考点真题制析·能力提开 高频考点 求函数的定义域和值域问题 ⊙真题1 (2022,上海卷)下列幂函数 中，定义域为R的是( . 学科素养研析 A.y=r-1 B.y=.x 知识要点 函效的定义域、值城 C.y=x D.y=x 核心素养 数学运算、逻辑推理 解桥标选项A中函数的定义域为（一∞，0）U (0,十∞)，选项B中函数的定义域为(0， 考查暴函数的定义城，分式、根式函数的 命题意图 定义城 十∞)，选项C中函数的定义域为R,选项D中 函数的定义域为[0，十∞). 考查级别 水平一、水平一 答系C 171 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 ⊙真题2(2022，北京卷)函数f(x)=1+ ⊙真题4(2021，浙江卷)已知a∈R,函 x2-4,x>2, √1一x的定义域是 数f(x) 若f(f(6)= |x-3|十a,x≤2. 解因为f(x)=1十1-，所以x≠0， 3,则a 1-x≥0，解得x∈(-oo,0)U(0,1] 解折因为、√6>2，所以f(√6)=6一4=2， 答案(-∞，0)U(0,1]. 所以f(f(w6)=f(2)=1十a=3,解得a=2. 解题策略求函数的定义域和值域是考查 答案2. 第 的重点，常与集合综合命题，其所给的函数解 解题策骗函数的表示法中，解析法和图象 析式多为根式或分式，解决方法是利用函数有 法是重点，特别是有关函数图象的考查更是重 意义的条件列不等式（组），然后求解. 点；分段函数常考查求值及求参数问题，常与后 高频考点2 函数的表示法问题 面要学到的指数函数、对数函数等综合命题， 第三 学科素养研析 函数的奇偶性和单调性的判 知识要点 分段函数、函数值 高频考点 3 第 定问题 核心素养 数学运算，逻辑推理 命题意图 考查分段函数函数值的求法 学科素养研析 第五金 考查级别 水平一，水平 知识要点 函数的奇偶性、函数的单调性 ⊙真题3(2022，浙江卷)已知函数f(x) 核心素养 逻辑推理，数学运算 一x2+2,x≤1 命题意图 考查函数单调性、奇偶性的判定 x+1-1,x>1 则f((2) 考查级别 水平一、水平一 ⊙真题5(2020，全国Ⅱ卷)设函数f(x) 若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，则b-a的最大 值是 ,则fx)( 解析由题意可以知 4 A.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递增 道(》)=-（侵）广+2 B.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递减 C.是偶函数，且在(0，十∞)上单调递增 子则)=) D.是偶函数，且在(0，十∞)上单调递减 子+日-1=子+号1=器作出函载f)的 解析标函数f(x)的定义域为（一∞，0）U 0,+o),周为f-x)=(-xP- 图象，如图所示，结合图象，令一x2十2=1，解 得x=士1；令x十1-1=3，解得x=2士3，又 -+是=-（-是）=-f(x,所以函数 f(x)为奇函数，排除C,D.因为函数y=x, x>1,所以x=2十√3.所以(b-a)mx=2十 w3-(-1)=3+3. y=- 在(0，十∞)上单调递增，所以f)= 283+3 T- 是在(0，十©)上单调递增，排除B,故 172 第三章之函：的概念与性质/ 选A 解题萧路判断一个函数的奇偶性，通常分 答案A 为两步：先判断函数的定义城是否关于原点对 ⊙真题6(2021，全国乙卷)设函数f(x) 称，再判断f(x)与f(一x)之间的关系。 千则下列函数中为奇函数的是( 函数的单调性与奇偶性的综 高频考点 4 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 合问题 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 学科素养研析 知识要点 解析方法一 因为)卡 函数单调性、奇偶性、不等式的解 第 核心素养 数学运算，逻辑推理 所以一D-B-2,+D 命题意图 考查函敏单调性、奇偶性的综合应用 第 考查级别 水平一、水平一 =1-(x十1)=-x 1+(x+1)x+21 ⊙真题7(2020，全国新高考I卷)若定 对于A,F(x)=f(x-1)-1=2-工-1= 义在R的奇函数f(x)在（一∞，0）上单调递 减，且f(2)=0,则满足xf(x一1)≥0的x的 2一2工，定义域关于原点对称，但不满足F() 取值范围是( 一F(一x),故f(x一1)一1不是奇函数： A.[-1,1]U[3,+o) 对于B,G(.x)=fx-1)+1=2二I+1=2 B.[-3,-1]U[0,1] C.[-1,0]U[1,+oo) 定义战关于原点对称，且满足G(x)=一G(一x), D.[-1,0U[1,3] 故f(x一1)十1是奇函数： 解析方法一由题意知∫(x)在（一∞， 对于Cf+1)-1= -1= 2.x+2 x+2 0),(0,十∞)上单调递减，且f(一2)=f(2)= 定义域不关于原点对称，故f(x十1)一1不是 f(0)=0.当x>0时，令f(x一1)≥0，得0 奇函数： x-1≤2，∴.1≤x≤3：当x<0时，令f(x 对于D++1=+1=异2定 1)≤0，得-2x一1≤0，.一1≤x≤1，又 x<0,.一1≤x<0:当x=0时，显然符合题 义域不关于原点对称，故f(x十1)十1不是奇 意.综上，原不等式的解集为[一1,0]U[1,3], 函数 故选D 方法二fx)=2 、 方法二当x=3时，f(3一1)=0，符合题 1十x 意，排除B:当x=4时，f(4一1)=f(3)<0,此 。1，为保证函数变换之后为奇画数，需将 2 时不符合题意，排除A,C.故选D. 函数y=f(x)的图象向右平移一个单位长度， 答案D 再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的 解题策略利用函数奇偶性的对称特点调 函数为y=f(x一1)+1. 节转化到同一单调区间，进而利用函数的单调 答案B 性建立关系式求解 173 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 函数的奇偶性、周期性及对 f0)+f(3)=6.则f()=( )为 高频考点 5 称性的综合问题 A.-9 R-多 C. 学科素养研析 解析由于f(x十1)为奇函数，所以函数 知识要点 函数的奇偶性、函数的周期性 f(.x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)十 核心素养 数学运算、逻辑推理 f(2-x)=0,所以f1)+f(2-1)=0,得f(1)= 命题意图 考查函数奇偶性、周期性的踪合应用 考查级别 水平二、水平二 0,即a十b=0.①由于f(x十2)为偶函数， 豆 所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，即 ⊙真题8(2022，全国新高考Ⅱ卷)已知 有f(.x)-f(4-x)=0,所以f(0)十f(3)= 第 函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x一y) 章 -f(2)+f1)=-4a-b+a+b=-3a=6.② f(x)fy),f(1)=1,则∑fk)=( 根据①②可得a=一2，b=2,所以当x∈ 第三章 A.-3 B.-2 C.0 D.1 [1,2]时，f(x)=-2.x2+2. 解析因为f(1)=1,所以在f(x十y)十 根据函数f(x)的图象关于直线x=2对 第四重 f(x-y)=f(x)f(y)中，令y=1,得f(x+1)+ 称，且关于，点(1,0)对称，可得函数f(x)的周期 f(x-1)=f(.x)f(1),所以f(x+1)+f(x 第五章 为4，所以)=)=-()=2×（受）- 1)=fx),①所以f(x+2)+f(x)=f(x+ 1).②①②相加，得fx十2)+f(x-1)=0, 2-5 故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3) -f(x),所以f(x十6)=-f(x十3)=f(x), 答案D 所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x十y)十 高频考点6 函数的最值问题 f(x-y)=f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得 学科素养研析 f(1)+f(1)=f1)f(0),所以f(0)=2.令x 知识要点 分段函数、函数的最值 1,y=1,得f(2)+f(0)=f(1)f(1),所以 核心素养 数学运算、逻辑推理 f(2)=-1.由f(x十3)=-f(x),得f(3) 命题意图 考查分段函数最值的逆向求参问题 -f(0)=-2,f(4)=-f(1)=-1,f(5)= 考查级别 水平二、水平二 -f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+ ⊙真题10(2022，北京卷)设函数f(x) f(2)++f(6)=1-1-2-1+1十2=0，根 ar+1,x<a, 据函数的周期性知，】 fW)=f+2+ 若f(x)存在最小值，则a 1(x-2)2,x>4. f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3. 的一个取值为 :a的最大值为 答案A ⊙真题9(2021，全国甲卷)设函数f(x) 1,0, 解析当a=0时，f(x)= 存 的定义域为R,f(x十1)为奇函数，f(x+2)为 (-2)2,.x≥0， 偶函数，当x∈[1,2]时，f(x)=a.x2十b.若 在最小值0，所以a的一个取值可以为0.当 74 /第三章)函：的概念与性质 a<0时，若r<a,则f(x)=一a.x十1，此时函数 一ax十1，此时f(x)∈(-a2+1,十o∞)，若x≥a, f(x)不可能存在最小值：当0<a≤2时，若 则f(x)=(x-2)2∈[(a一2)2，+o∞)，若函数 x<a,则f(x)=-a.x十1，此时f(.x)∈（一a2 f(x)存在最小值，则一a+1≥(a一2)2，此时 +1,十∞)，若x≥a,则f(x)=(x-2)2∈[0 不等式无解.综上，0≤a≤1，所以a的最大值 十∞)，若函数f(x)存在最小值，则一a2十1>≥0， 为1. 得0<a≤1；当a>2时，若x<a,则f(x) 答率0（答案不唯一）：1， 三、易错考点归纳 第 纠错笔记答卷统计·送区诊斯 利用换元法求值域时忽视变量 易错点 -1<2+10.得-1≤-号因光2z+1 的取值范围 的定义城为[-1，-] ⊙典例☐(2024，湖北宜昌一中单元测 错因分析混淆“已知f(x)的定义域，求 试)（失分率：40%）已知f(Wx一1)=x十2W元， f(g(.x)的定义域”与“已知f(g(x)的定义 则函数f(x)的解析式为 域，求f(x)的定义域”两种类型的题目。 错解令V丘-1=1，则x=(1十1)2，代入原 式有f(t)=(t+1)2+2(t+1)=t+4+3,所 温1，名] 以f(x)=x2+4x+3. 解析由于f(x十2)的定义域为[1,2]. 错因分析因为√x一1≥一1，所以在对应 即1≤x≤2， 所以3≤x十2≤4，即f(x)的定义域为[3,4]. 关系f作用下函数的定义域是[一1，十∞)，所 以1∈[一1，十∞).错解中用1代换V:一1后， 所以3<2x+1<4,解得1<r≤ 忽略了对t的范围的限制，造成定义域范围的 周比2x+1D的定义线为1，号引 扩大 正解f(x)=x2十4.x十3(x≥-1). 易错点3 求单调区间时忽略定义域 解析令1=√x-1,则t≥-1，且√元=1十 ⊙典例3 (2024,江西临川一中单元测 1,所以f(t)=(t+1)2+2(t+1)=2+41+3. 试)（失分率：45%）函数f(x)=√x十x一6的 故所求的函数f(.x)=x2+4x+3(x≥一1). 单调递增区间是 单调递减区间是 求函数f(g(x)的定义域时混淆 易错点 2 x和g(x)的取值范围 置设u=+x-6=(+}厂-华” ⊙典例2(2024，浙江镇海中学期未测 是关于x的二次函数，其图象为开口向上的抛 试)（失分率35%）已知f(x十2)的定义域为 物线，且对称轴为直线2=一2 .当x∈ [1,2],则f(2x+1)的定义域为 错解由1≤x十2≤2，得一1≤x≤0，则 (,-)时，f()是减画数：当E∈ 175