3.3 幂函数-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

/第三章〉函的概念与性质 3.3 幂函数 高考要求】学业标准·考情分析 一考点分布· 学科素养· 一学法导引· 1.掌握五种常见幂函数的图象特 幂函数的图象特征及性质与参数α密切 征及性质，并能利用其简单性质 直观想象、数学运算 相关，其定义域、值域可能会因为《取值的不 进行实数大小的比较.（★★★） 同而不同：幂函数在第一象限内总有图象，而 2.能解决与幂函数相关的复合函 在第四象限内永远不会有图象，这是因为幂的 数学运算、逻辑推理 数问题.（★★） 运算性质：正数的任何次幂均为正数 考点分类考点透析·典例剑祈 考点1 幂函数的概念 ·核心总结， 盈方法梳理… L.幂函数的概念 1.判断一个函数是否为 把形如y=的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是 暴函数的依据是该函数是否 常数 为y=x(a为常数)的形式： 2.对幂函数的概念的正确理解 反之，若一个函数为幂函数， (1)形如y=2的函数叫作幂函数，这里需满足条件：①系 则该函数应为y=r(a为常 数为1：②指数为常数：③后面不加任何项.例如y=3x,y 数)这一形式，这是我们解决 x,y=x2十1均不是幂函数. 某些问题的隐含条件 (2)形如y=(2x),y=2x,y=x十2（其中x是自变量， 2.已知暴函数y=x(a α是常数)的数都不是幂函数： 为常数)的图象过某点，只需 将此，点的坐标代入，求出a即 (3)y=x中a∈R. 可求出该暴函数的解析式， (4)确定一个幂函数，只需确定α即可. 3.求暴函数解析式的依 (5)课本中重点涉及的五个常见的幂函数有：y=x,y= 据和常用方法 x,y=x,y=x,y=x1,除此之外，还有必须熟悉的另外五 1)依据：若一个函数为 个幂函数，它们是：y=x°，y=x2,y=x,y=x,y=x. 幂函数，则该函数应具备幂函 ⊙考题司(2024，广东东莞实验中学单元测试)现有下列函 数解析式所具备的特征，这是 解决与暴西致有关问题的隐 数：①y=x:②y=(号)广：③y=42;④y=x+1:⑤y=(x-1)； 含条件. ⑥y=x:⑦y=a(a>1).其中幂函数的个数为( (2)常用方法：设幂函数 ). 的解析式为f(x)=,依据 A.1 B.2 C.3 D.4 条件求出a. 解析幂函数满足y=2形式，故y=x,y=x满足条件，共2个. 145 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 答案B ⊙变式11(2024，江西九江一中月考)在函数y=,x‘,y 3.x2,y=x2+2x,y=1中，幂函数的个数为( A.0 B.1 C.2 D.3 ⊙考题2(2024，西北工大附中月考)已知函数f(x) (a2-a一1)x为幂函数，则实数a的值为( A.-1或2 B.-2或1C.-1 D.1 第 豆 解标因为f(x)=(a2一a一1)x户为暴函数，所以a2一a 1=1,即a=2或一1.又因为a一2≠0，所以a=一1. 第 章 答案C ⊙变武12(2024，湖北华中科大附中月考)若f(.x)是幂函 第三 数，且满足得-4，则f)=( f(2) 第 A.-4 B.4 C.-2 D. 第五金 考点2 幂函数的图象 ·核心总结 海难点突限， 我们令。=1,23,7，-1，一2，并通过描点法在同一坐标 幂函数y=x的图象在 第一象限内的特征 系中作出幂函数y=x,y=x2,y=x,y=x,y=x1,y=x2 1.a>1,图象过点(0,0)， 的图象如图所示. (1,1),下凸递增，如y=x. 2.0<a<1,图象过点(0， 0),(1,1),上凸递增，如y=x. 3.a<0,图象过点(1,1)， 以两坐标轴为渐近线，如y= x,y=x等 [拓展]幂函数在第一象 限内指数的变化规律：在第一 -m3-2 4 象限内直线x=1的右侧，图 象从上到下相应的指数由大 变小：在直线x=1的左侧，图 象从上到下相应的指数由小 变大 [注意]当a=0时，y=x”=1(x≠0)是一条不包含点 规律总结， (0,1)的直线， 1.暴函数的图象问题大 多数是根据幂函数的图象在 ⊙考题3(2024，四川成都七中月考)图中曲线是幂函数 第一象限内的特征来解决 146 /第三章)函：的彬念与性质/ y=2在第一象限内的图象，已知。取士2，士四个值，则相应曲 2.具体而言，抓住幂函数 y=r的特征：若a>0,图象 线C1,C2,C,C的α值依次为( 过原点：若图象关于y轴对 A-2222 1 称，则可利用偶函数的性质解 22 题，其中对a为负数的情况进 C--2.2 D22-2.- 行分美讨论也很关键. 01 C 3.已知暴函数的图象特 解析由于幂函数y=x的图象在第一象限内位于直线x=1 征或性质求解析式时，常用待 定系数法 的右侧部分，从上到下相应的指数α由大变小，故曲线C对应的 4.对于暴函数y=的 第 a的值为2，曲线C对应的a的值为)，曲线C对应的a的值为 图象，在直线x=1的右侧，若 图象越高，则α的值就越大 第 ,曲线C对应的α的值为-2. 1 ®记忆海门… 最函数的图象可类比具 答案B 体暴函数的图象来帮助记忆： 点评熟记常见幂函数的图象，并分析图象在第一象限中位 1.当a<0时，函数的图 于直线x=1右侧的变化特征进而求解. 象与坐标轴没有交点，美似于 y=x的图象 ⊙变式2(2024，湖北襄阳五中单元测试)下列说法正确 2.当0<a<1时，函数的 的是( ). 图象向x轴弯曲，类似于y= A.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 x的图象. B.若两个幂函数的图象有三个公共点，则这两个函数一定 3.当a>1时，函数的图 象向y轴弯曲，类似于y=x 相同 的图象 C,幂函数的图象不可能出现在第四象限 再结合函数的奇偶性就 D.当幂函数y=x的图象是一条直线时，=0或1 容易知道它们的图象 ⊙考题4(2024，山东烟台一中月考)如果幂函数y=(m 章知识归的： 3m十3)x”的图象不过原点，则m的取值范围为(). 函数y= 定义域值城 图象 A.-1≤m≤2 B.m=一1或m=2 49 [0. C.m=1 D.m=1或m=2 R 解析由幂函数的形式为y=x”知m2一3m十3=1. 0> ,其图象不过原点，.指数m2一m一2≤0. y=r -3十3=1，.(m-1)(m-2)=0,.m=1或m=2, 由 得 t-m-2≤0 (m+1)(m-2)≤0， -1≤m2. 故m=1或m=2. y=ri R 答案D 0< a<l ⊙变式22(2024，湖北宜昌一中月考)已知函数y=a(x [0. [0 v=r co) 1 4)十2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,且P在幂函数f(x)的 147 考点同步解读〉高中敦学必修第一册RA色 图象上，则f(x)= 续表 函数y= 定义城值域 图象 ⊙考题5(2024，辽宁盘锦一中月考)已知幂函数y= 43y xm-2-3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， y ≠01 y≠0 则m=( A.1 B.0,2 C.-1,1,3 D.0,1,2 解祝因为暴函数y=x-m3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没 (0, (0, 十) +oc) 有交点，且关于y轴对称，所以m2一2m一3≤0，且m2一2m一3 第 豆 (m∈Z)为偶数.由m2-2m一3≤0，解得-1≤m≤3.又因为m∈ x (0 Z,所以m=-1,0,1,2,3.当m=-1,1,3时，m2-2m-3为偶 y=t 第 x≠0 +oo) 章 数，符合题意，故m=一1,1,3. 答案C 暴函数的图象大致分为 第三童 ⊙变式23(2024，广州高中毕业年级质 y= 上表中的几类，你能从中归纳 出其一般性的规律吗？ 量测评)若四个不同的幂函数在同一平面直角 第 坐标系中的图象如图所示，则a,b,c,d满足的 关系是( ). 0 第五金 A.d>e>0>b>a B.a>b0>c>d C.c>d-0-a>b D.d>b>0>d>c 考点3 幂函数的性质 核心总结 办难点突破… 1.常见幂函数的特征 在幂函数的定义中没有 y=x y=r y=x y=rt y=rI y=t2 规定定义城，但这并不意味着 不用研究定义城。事实上，幂 (-0∞，0)U -6∞，0)U 定义域 R R R 0,十oa) 函数y=中，a的取值不一 (0,十0) (0,+o∞) 样，幂函数的定义城也不一 值域 个 o∞，0)U [0,十o) R [0,十∞) (0,十⊙) 样.当a是一个正分数时，设 (0,+oo) 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 偶 y=x"(p,g∈N,q>1且p, q互质)，其定义域是使xF有 [0,+o∞) (0,十60) (0.十00) 意义的实数x的集合：当a是 上增， 上诚， 上减， 单调性 增 增 增 一个负整数或负分数时，设 (一0∞，0 (0,0) (-o0,0) y=xP,p是正整数或y 上减 上减 上增 x(p,9∈N,9>1且p,4 (0,0) (0.0), (0,0) (0.0), 过定点 (1,1) (1,1) 互质)，则函致的定义域是使 (1,1) (1.1) (1,1) (1,1) 2.由以上特征可以得到上述幂函数的性质 吉点方有意义的宾数的 (1)在区间(0，十©)上都有定义，并且图象都通过点(1,1). 集合 148 /第三章〉函：的概念与性质/ (2)若a>0,则幂函数的图象经过原点，并且在区间 [0,+∞)上是增函数 (3)若α<0，则幂函数在区间(0，十∞)上是减函数，在第 象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方且无限地 逼近y轴；当x趋于十o时，图象在x轴上方且无限地逼近x轴 ⊙考题6(2024，山西运城稷山中学月考)设函数f(x)= 是则f 山规律总结 1.利用单调性比较大小， A.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递增 若指数相同，底致不同，则考 B.是奇函数，且在(0，十∞)上单调递减 虑构造幕西数 第 若指数与底数都不同，则 C.是偶函数，且在(0，十∞)上单调递增 需引入中间数，这个中间数的 D.是偶函数，且在(0，十∞)上单调递减 底数与所比较数的一个底数相 析函数的定义城为{xx≠0，f(一x)=一x+】 同，指数与另一个数的指数相 同，那么这个数就介于所比较 -(x-)=-fx),则fx是奇函数. 的两个数之间，进而比较大小 2.利用暴函数的增减性 当x>0时y=r和y=一是是增函数，则(x)在(0，十o∞) 来比较大小，其关键是依题意 上单调递增 构造出造当的幂函数 答案A ©变式3T(2024,江西临川一中月考)（多选）已知幂函数 ②方法梳理州 f(x)=x的图象过点(4,2)，则( 比较幂值大小的三种基本方法 Aa=号 当暴指数相网 时，可直接利用 B.函数f(x)的定义域为(0，十o) 展函致的单调性 来比校 C.函数f(x)为偶函数 当篆指数不问 D.若x>1,则f(x)>1 转 时，以先转化 ⊙考题7(2024，湖北宜昌一中单元测试)比较下列各组数 为相阿的篆指 数，荐运用单调 的大小： 性比校大小 (1)1.5,1,1.7 (2)(-0.75)-2,0.762. 当底数不同且幂 3保》() 指数也不同时， 不能运用单调性 中 比较大小，可选 解析(1)1=1，暴函数y=x在(0，十o∞)上是增函数， 取适当的中间数 故1<1.5t<1.7】 与两数分别比 校，从而达到比 (2)(-0.75)-=0.75-2,幂函数y=x2在(0，十∞)上是减 较大小的目的 函数，故（一0.75）2=0.752>0.762. 149 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ (3:函数为=（停）为减画数，且>号 误区防错… 对于幂函数f(x)=, (得)>( 若a=卫（其中p,q互质，p∈ 又“函数为=x在(0，十∞)上是增函数，且>名 Z,q∈N”),则当q为偶数时， 43 函数f(x)的图象只在第一象 ()>).()>) 限，此时求解相关问题要特别 注意函数的定义域是(0， ©变式32(2024，湖南岳阳一中单元测试)比较下列各题 十∞)还是[0，十o∞). 中两个幂的值的大小： 豆 (1)2.3,2.4. (2)(2)-号，(3). 第 (3)(-0.31),0.35 第三 第四重 考点4 幂函数的图象与性质的综合问题 第五金 。核心总结 ◆规律总结… 对幂函数性质的综合考查，主要体现为对单调性、奇偶性 1.暴函数的单调性 的考查，处理时要以常见的具体幂函数的图象和性质为基础. 在区间(0.十∞)上，当 ⊙考题8(2024，河北衡水中学单元测试)已知幂函数y a>0时，y=x是增函数；当 xm-2m3(m∈N)的图象关于y轴对称，且在(0，十o∞)上是减函 <0时，y=x是减函数. 数，求满足(a十1)号<(3一2a)的a的取值范围. 2.暴函数的奇偶性 解新，'函数在(0，十∞)上单调递减， 令a=号（其中p:g互质， .m2-2m-3<0,解得-1<m3. p,g∈N,p>1). ,m∈N*,.m=1,2. (1)若p为奇数，则y= ,函数的图象关于y轴对称，，.m2一2m一3是偶数. x的奇偶性取决于q是奇数 .2-2×2-3=-3为奇数，12-2×1-3=-4为偶数， 还是偶数.当q是奇效时，y .m=1. x是奇函数：当9是偶数时， 又y=x寸在（一∞，0），(0，十∞)上均为减函数， y=x是偶函数 由(a十1)号<(3-2a)号得a+1>3-2a>0或3-2a<a+ (2)若p为偶数，则g必 1<0或a+1<0<3-2a 是奇数，此时y=x既不是奇 解得u<-1或号a<号 3 函数也不是偶函数 3.幂函数的图象 即a的取值范国是(-©，-1DU(号，》】 当指数a=1时，y=x的 1150 第三章之函：的概念与性质/ @变式4①(2024，湖南长沙一中单元测试)已知函数f(x)= 图象是直线：当a=0时，y m2-2x+m-1(m∈R),试比较f5)与f(-)的大小， x=,x=1的图象是直线（不 x2-2.x+1 包括点(0,1)).除上述特例 外，暴函数的图象都是曲线， 如表所示： a<0 0<a<1 >1 p.q 都是 奇 ⊙考题9(2024，湖北八校联考)已知幂函数f(x)= P是 奇 xP+p+(pEN)在(O,十o∞)上是增函数，且在定义域上是偶函数. 八 ?是 偶数 (1)求p的值，并写出相应的函数f(x)的解析式， P是 (2)对于(1)中求得的函数f(x),设函数g(.x)=一qf(f(x))+十 偶数 (2g一1)f(x)十1，问：是否存在实数q(q<0),使得g(x)在区间 9是 (一©©，一4]上是减函数，且在区间（一4,0）上是增函数？若存在， 四 (1)当a>0时，函效在第 请求出q的值：若不存在，请说明理由， 一象限内的图象： 解祈(1)，·f(x)在(0，十c∞)上是增函数， ①过点(0,0)和(1,1)： 由暴函数的图象和性质知一书十p计>0，解得-1<<3. ②当a>1时，曲线是下凸的： 当0<a<1时，曲线是上凸的. p∈N,∴.p=2,1,0. (2)当a<0时，函数在第 当p=0或2时，f(x)=x,不是偶函数； 一象限内的图象： 当p=1时，f(x)=x2,是偶函数. ①过点(1,1)：②图象是 故p=1,f(x)的解析式为f(x)=x2. 下凸的. (2)g(x)=-g.x4+(2q-1)x2+1, 而暴函数在其他象限内的 令t=x2,则h(t)=-gr+(2q-1)1+1(t≥0). 图象可由函数的奇偶性推得， 1=x2在（一0∞，0）上是减函数， [注意]暴函数的图象 定会出现在第一象限内，一定 .当x∈(-oo,-4]时，t∈[16，十o∞)：当x∈(-4,0)时，t∈ 不会出现在第四象限内，至于 (0,16). 是否出现在第二、三象限内， 当h(t)在[16，十o∞)上是增函数，在(0,16)上是减函数时， 要看西数的奇偶性；幕函致的 g(x)在（一©∞，一4]上是减函数，在（一4,0）上是增函数，此时二次 图象最多只能同时出现在两 函数h(t)的图象的对称轴是t=16, 个象限内：如果暴函数的图象 即1=2是2》-1动16，g动 与坐标轴相交，则交点一定是 2(-q) 原点 故存在实数9=一0：使得g)在区间（一0，一4幻上是减函 数，在区间（一4,0）上是增函数 151 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ ©变式42(2024，陕西榆林中学单元测试)已知函数f(x) 5g(x)=+x 5 (1)证明f(x)是奇函数，并求函数f(x)的单调区间. (2)分别计算f(4)一5f(2)×g(2)和f(9)一5f(3)×g(3)的 值，由此概括出f(x)和g(x)对所有不等于0的实数x都成立的 一个等式，并加以证明. 第 第 章 第三章 对标演练分级测评·限时符训】 》基础过关练 限时25分钟 A.√3 第 c n号 1点国幂函数f(x)的图象经过点(4，号)，则 5.考点3(2024，陕西西安一中单元测试)幂函 数f(.x)=x3m-3(m∈N)在(0，十o∞)上是减 第五金 )的值为( 函数，且f(一x)=f(x),则m= A.1 B.2 C.3 D.4 6.考点3(2024，上海中学单元测试)已知函数 2.考点3下列函数中既是偶函数，又在（一∞， f(.x)=x2+m+3(m∈Z)为偶函数，且f(3)< 0)上是增函数的是( ) f(5),则m ,f(x)= A.y=xt B.y=x >高考提能练 限时50分钟+ C.y=x-2 D.y=x 1.考点34(2024，西南大学附中单元测试)已知 3.考点2(2024，湖北黄冈中学月考)下面给出 x2-4x+a.x≤1， 函数f(x)= 在定义域上 4个幂函数的图象，则图象与函数的对应可 -ia-6,.r>1 能是( 是单调函数，则实数α的取值范围是( A.[-1,6] B.(-1,6) C.[4,6] D.[4,6) 2 2.考点2(2024，湖北荆州中学单元测试)在同 A.①y=.x2,②y=x,③y=x,④y=x 一直角坐标系中，二次函数y=a.x2十bx与 B.①y=x3,②y=x,③y=x,④y=x1 幂函数y=x(x>0)的图象可能为( C.①y=x2,②y=x,③y=x,④y=x D.①y=x,②y=x,③y=x2,④y=x 4.考点1已知幂函数y=f(x)的图象过点(9， 3),则f3)=(). 152 /第三章)函：的概念与性质 7.考点3④(2024，湖南长沙二模)已知幂函数 fx）)=(2m-21-3)x. (1)若f(x)的定义域为R,求f(x)的解 析式。 (2)若f(x)为奇函数，3x∈[1,2]，使f(x)> 3.x十k一1成立，求实数k的取值范围 3.考点3(2024，东北师大附中单元测试)已知 函数f(.x)=3.x5十x3十5.x十2，若f(a)+ f(2a-1)>4,则实数a的取值范围是 (). A(合+ B(-，3》 C.(-0∞，3) D.(3,十o∞) 4.考点13(2024，重庆一中期未测试)（多选） 下列函数既是幂函数，又在（一○，0）上单调 递减的是( A.y=-x B.y=r-2 C.y=z-I D.y=22 第五章 5.考点34(2024，浙江镇海中学期末测试)（多 选)已知函数f(x)=(m一m-1)x+m-8是 幂函数，对任意，2∈(0，十∞)，且x1≠ ,满足f)二f>0.若a,b∈R,且 f(a)十f(b)的值为负值，则下列结论可能成 立的有(). A.ab0,ab<0 B.a+b<0,ab0 C.a十b<0,ab<0 D.以上都可能 6.烤点3(2024，湖南师大附中单元测试)有四 个幂函数：①f(x)=x:②f(x)=x: 的>实验班选做题限时15分钟 ③f(x)=x:④f(x)=x.某同学研究了其 1.(2024,湖北武汉二中单元测试)给出下列四 中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： 个条件：①f(m+n)=f(m)+f(n): (1)是偶函数： ②f(m十n)=f()·f(n)；③f(mn) (2)值域是{yly∈R,且y≠0； f(m)·f(n):④f(mm)=f(m)+f(n).如果 (3)在（一∞，0）上单调递增。 m,n是幂函数y=f(x)定义域内的任意两个 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错 值，那么幂函数y=f(x)一定满足的条件的 误，则他研究的函数是 (填序号) 序号为 153考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 所以kr<1-2x在xe[号，3]上恒成立， (2)=(2)= 所以<(）-2()在x∈[33]上恒成立. [变式2-1]C 选项正误 原因 令1=}则3≤≤2，(）-2(2)=-2 幂函数的图象都经过点(1,1)，当a≤0 又y=-2在[片2]上的最小值为-1， 时，不过点(0,0) y=x与y=x的图象有三个公共点，但 所以k<一1. B 这两个函数不相同 方案二选② 幂函数的图象不可能出现在第四象限 因为f(x)是奇函数，且f(kx2)十f(2x一1)<0在x∈ 当=0时，y=的图象为除去点(0,1) [合3]上有解。 的直线 所以kr)<1-2)在x∈[合3]上有解 [变式2-2]√元，[由一次函数的性质知函数y=a(x 因为函数f(.x)是定义在R上的单调函数，且f(O)= 4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2).设幂函数 0<f1)=2, 为f(x)=x,由点P在幂函数f(x)的图象上，可得4= 所以f(x)在R上是增函数， 2,解得。=，所以f)=x=五] 所以kr<1-2x在x∈[是3]上有解， [变式2-3]B[观察四个图象，可知a>0,b>0,c<0. d<0.又当x>1时，y=x的图象在y=的图象的上 所以k<()》-2()在x∈[是3]上有解， 方，y=x的图象在y=x的图象的上方，故a>b且c> 令=}则好≤≤2.()）-2()）=-2 d.综上可知a>b>0>c>d.] 又y=f-2:在[号，2]上的最大值为0， [变式3AD[由题意得=2，则a=合，故A正 确.f(x)=x,则函数f(x)的定义域为[0，+oo).且 所以k<0. f(x)为非奇非偶函数，故B.C错误.当x>1时，f(x)> 【实验班选做题】 f1)=1,故D正确.] 1.一3.[，fx)是R上的奇函数，∴.f-1)=一f1)= [变式-2](1)y=x在[0，十∞)上是增函数， -2,-2)=-f(2)=-3,故f(f(-1)=f-2) 且2.3<2.4，∴2.3<2.4 -3.] (2):y=xt在(0，+∞)上是减函数，且2<√3， 2.0.[令x=-2,则/2)=f(-2)+2f2),又f(-2)= f(2),所以f(2)=0,于是f(x十4)=f八x),所以f(.x) (w2)>(/3)t. 的周期T=4.f(2022)=f(2)=0.] (3):y=x为R上的偶函数，∴(-0.31)于=0.31 :函数y=x在[0，+∞)上是增函数，且0.31<0.35， 3.3幂函数 ∴0.31±<0.35，即(-0.31)<0.35 【变式训练】 [变式1-1]B[函数y=x为幂函数： [变式+]f)=m二2十-1-m-1)2- x2-2.x+1 (x-1) 函数y=3x2中2的系数不是1，所以它不是幂函数； =m 1 (x-1)=m-(x-1) 函数y=x+2x不是y=(a是常数)的形式，所以它 不是幂函数： f(x)的图象可以看作由幂函数y=x之的图象先关于 x轴对称，然后将所得的图象向右平移1个单位长度，最 函数y=1与y=x”=1(x≠0)不相等，所以y=1不是幂 后再向下或向上平移m个单位长度得到的.由于函数 函数.] [变式1-2]D[设f(x)=,则f(4)=4"=22,f(2) y=x为偶函数，那么f(x)的图象关于直线x=1对称， 2.2 则f八x)在区间(1，十o)上单调递增，而f(一π)=f2十x), 2②-岁=2=4=2，∴a=2.÷fx)=2, 2+x>5,故f(5)<f(2+x),即f(5)<f(-x). 32 参考答案与提示) [变式+2](1)因为函数f(x)的定义域是（一∞，0）U 所以一2m十m十3应为偶数. (0,十∞)，所以定义域关于原点对称 又因为f(3)<f(5),即3++1<52m+w+8, 又闲为f(-)=-)-(-)主=一-x生 所以-2m+m+3>0. 5 5 一f(x),所以函数f(x)是奇函数. 即2m2-m-3<0.即-1<m<受 在(0，十oo)上任取，2，且<2， 又因为m∈Z.所以m=0或1， 则(x)<(n)十，(x)十<(x)十，从而 当m=0时，一2m十m十3=3为奇数（舍去）： 当m=1时，一2m+m+3=2为偶数 f)-f)=)-)过--) 5 故m的值为1，f(x)=x产2.] 【高考提能练】 [()t-()]+号)-（)+]<0. l.D[令h(x)=x-4x十a(x≤1)，g(x)=xw(r≥ 所以代=主士在0，十o)上是增函数. 1).由于f(x)为单调函数，所以(x),g(x)为单调函 5 数，易知h(x)在（一o∞，1]上单调递减，则g(x)= 又因为f(x)是奇函数， 所以f(x)在（一o,0)上也是增函数. z2-w-(x≥1)也单调递减，所以 w-5a-60, 则 h(1)≥g(1), 故函数f(.x)的单调递增区间为（一∞，0），(0，十∞. 1一1<a6, (2)f(4)-5f(2)×g(2) 所以4≤a<6.] 1-4+a≥1， =-4过-5×2-2主×2过+2过 =0. 5 5 5 2.A[对于A,二次函数y=a.x2+bx的图象开口向上， f(9)-5f(3)×g(3) 则a>0,一品>0.则合<0，即幂函数y=(x>0) -9时-gt-5x3t-3±×3+3士=0. 5 5 5 为减函数，符合题意：对于B,二次函数y=ax+c的 由此可推测出一个等式f(x)一5f(x)g(x)=0(x≠0). 图象开口向下，则a<0,一品>0，则合<0.即帮函数 证明如下： y=x(x>0)为减函数，不符合题意：对于C,二次函 f(x)-5f(x)g(x) =(r)-(r) 数y=ar+c的图象开口向上.则a>0,一名=-1， 5 5 5 --x子x-x 则名-2，即幂函数)==(>0)为增函数，且其 =0, 5 5 增加得越来越快，不符合题意：对于D,二次函数y= 故fx)-5f(.x)g(x)=0成立 a+hc的图象开日向下，则a<0,一会>-合则 【基础过关练】 1.B2.C3.B 0<么<1，即幂函数y=看(x>0)为增函数，且其增 4D[设fx)=,则9=3a=合，即f)=. 加得越来越慢，不符合题意.] 3.A[设g(x)=f(x)-2,则g(-x)=3(-x)5+(-x)3+ 传)=（传）广-] 5(-x)=-(3x3+x2+5.x)=-g(x),即g(x)为奇函 5.L.[,幂函数f(x)=xw5(m∈N)在(0，十o)上是 数.原不等式可化为f(a)-2>-[f(2a-1)-2],即 g(a)>-g(2a-1)=g(1-2a).易知g(x)在R上递 减函数，3m-5<0,即m<号 5 增，所以>1-24，即a>分门 ,m∈N,m=0,1 4.CD[幂函数的解析式为y=r,排除A:又y=x :f(一x)=f(x),∴函数f(x)是偶函数。 :当m=0时，f(.x)=x是奇函数，当n=1时，f(x) ,在（一∞，0）上单调递增：排除B:而y一x,y= =x”是偶函数，∴m=1.] 都是幂函数，且在（一，0）上单调递减，故选C,D.] 6.1:.x2.[因为f(x)是偶函数， 5.BC[由于函数f(x)为幂函数，故m一m一1=1，即 33 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 m-m一2=0，解得m=一1或m=2.当m=一1时， 动自行车(4000-x)辆次， )=子当m=2时，)=.由对任意∈ 收人为y=0.2x+(4000-x)×0.3, 即y=-0.1r+1200(0≤x≤4000且x∈N°)，.] (0,十6o),且≠，满足)二>0知，函数 [变式1-2](1)由题图可设”=1x+29,=kx,把 f(.x)在(0，十o)上为增函数，故/八x)=x.易知f(一x)= 点B(30,35),C(30,15)分别代入·，得 一f(.x),故函数f(x)=x是奇函数.由f(a)十 == f(b)<0,即f(a)<-f(b)=f(一b),得a<一b,所以 a十b<0,此时，当a=0时，0，故ab=0:当a>0时， ∴y=3+29(>0)%=r(>0 0<a<-b.故b<0,则ab<0:当a<0时，由a<-b (2)冷n=,即日计29=克则x=96号 得，<-a,故<0或b=0或>0，则ab>0或ab=0 或ab0.综上可知，a十b<0,且ab>0或ab=0或 当=96号时=为，两种卡收费一致： al0.故选BC.] 当<96号时>即便民卡更便宜： 6.②.[对于函数①，f(x)=x是一个奇函数，值域是 {yly∈R,且y≠0}，在（一oo,0)上单调递减，所以三 当>96号时<火，即如意卡更便宜 个性质中有两个不正确：对于函数②，(x)=x是一 [变式2-1]设优惠活动(1)和(2)对应的付款分别为 个偶函数，其值域是{yy∈R,且y>0,在(-∞，0) 元为元。 上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件； 由优惠活动(1)得函数关系式为 同理可判断函数③④不符合条件.] y=20×4+5(z-4) 7.:f(x)=(2m2一2m-3)"是幂函数， =5.x+60(x≥4，xEN4). ∴.22-2m-3=1,即m2-m-2=0,解得m=2或 由优惠活动(2)得函数关系式为 m=一1. 为=(20×4+5.x)×92% (1)f(x)的定义域为R,.m=2,故f(x)=x. =4.6.x+73.6(x≥4，xEN+). (2)”f)为奇函数，∴fx)=x1= r 当该顾客购买茶杯40只时，采用优惠活动(1)应付款 :3x∈[1,2]，使f(x)>3r+k-1成立，即3x∈[1， =5×40+60=260(元)：采用优惠活动(2)应付款= 4.6×40+73.6=257.6(元). 2],使-3>6-1成立， 由于为<竹，故应选择优惠活动(2). 当r12时.(-3）>-1 [变式2-2](1)x的取值范围为{x10≤x90 又y=士-3江在1,2]上单调递减，1-3>k-1 (2y-0.25××20+0.25×100-xr×10-22 500.x+25000(10≤x90) 即k<-1. 故实数k的取值范围为（一0∞，一1）. （0y-2r-0r+250-2(-19)+00, 3 【实验班选做题】 当x=1G时y取得最小值=000.故发电站建 3 3 1.③.[设f(x)=x,则f(m十n)=(m十n,f(m)十 /(n)=+r,f(m)·∫(n)=·r=(mn), 在距A城km处，能使供电总费用y最少 f(m)=(mm,所以f(mm)=f(m)·f(n)一定成 [变式31]设饼干的质量为x克，则其售价y(单位：元) 立，其他三个不一定成立，故填③.] 与x之间的函数关系式为y=(m十n√x)(1十0.2) 3.4函数的应用（一）】 由题意得1.6=(100m十√100n)(1+0.2), 【变式训练】 [变式1-1]-0.1x+1200(0≤x≤4000且x∈N). 即号-0m+5m, ① [当天共存放4000辆次，其中普通自行车x辆次，则电 4.8=(400mm+√400m)(1+0.2). 34