3.2.2 奇偶性-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读〉高中敦学必修第一册RJA@ 3.2.2奇偶性 高考要求学业标准·考情分析 一考点分布 一学科素养· 学法导引 1.结合具体函数了解函数奇偶性的含义.（★★）》 数学舳象、逻辑推理 函数的奇偶性是函数的重要 2.学会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶 第 性质，应重点理解函数奇偶性的 豆 性，掌握偶函数的图象关于y轴对称、奇函 直观想象、逻辑推理 概念，掌握判断函数奇偶性的方 数的图象关于原点对称的特征，并学会运用 法，理解并学会运用奇（偶）函数 第二章 奇偶性研究函数的相关性质.（★★★） 图象的对称性研究函数的性质。 3.了解函数具有奇偶性时其定义域的特点.（★★） 直观想象，数学运算 第三童 考点分类考点透析·典例刮衍 第四重 考点1 函数奇偶性的判断 ·核心总结 布难点突碗 第五金 1.函数奇偶性的定义 1.奇偶性定义中的“任 偶函数 奇函数 意”两字可以省略吗？ 设函数f(x)的定义域为【，如设函数f(x)的定义域为I, 不能省略.如函数y 果Vx∈1，都有一x∈1，且 如果x∈1，都有一x∈I,且 x,x∈[-2,3]，有f(-2)= 定义 f(一x)=f(x),那么函数f(x) f(一x)=一f(x),那么函数 4=f(2),f(-1)=1=f(1), 就叫作偶函数 f(x)就叫作奇函数 但不能因此就说函数y=x, 定义域 关于原点对称 关于原点对称 x∈[一2,3]是偶函数，图为 2.判断函数奇偶性的常用方法 「（一3）是没有定义的.从这个 (1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的，则立即 意义上来说，“任意”两字实则 可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数：若函数的定义域是 强调的是函数的定义域一定 关于原点对称的，再判断f(一x)=士f(x)之一是否成立， 要关于原点对称，这个条件是 必不可少的.因此在讨论一个 (2)验证法：在判断f(一x)与f(x)的关系时，只需验证 函数的奇偶性之前，要先探讨 f(一x)士f(x)=0是否成立即可. 函数的定义城 (3)图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点(y轴) 2.函数按照奇偶性可以 对称 分为几类？ (4)性质法：利用性质来判断，即利用奇、偶函数的和、差、 函数按照奇偶性可以分 积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性来判断，即： 为四类：奇函数，偶函数，既是 ①在公共定义域内，偶函数的和、差，积，商（分母不为0） 奇西数又是偶函数，既不是奇 仍为偶函数：奇函数的和、差仍为奇函数：奇（偶）数个奇函数的 函数也不是偶函数 132 /第三章〉函的概念与性质 积、商（分母不为0）为奇（偶）函数：一个奇函数与一个偶函数 ●规律总结… 的积、商（分母不为0）为奇函数： 用定义判断函数奇偶性的步骤 ②对于复合函数F(x)=f(g(x):若g(x)为偶函数，则 域是否 否就不是布西 F(x)为偶函数：若g(x)为奇函数，f(x)为奇函数，则F(x)为 关子原 也不是偶 点对称 乐数 奇函数；若g(x)为奇函数，f(x)为偶函数，则F(x)为偶函数 判断f(-x是否 ⊙考题司(2024，福建龙岩一中月考)下列说法正确的是 等于士f(x或判 龄证 断f(-x士f(x》 是否等于0 A.偶函数的图象一定与y轴相交 结论 判断「（是否有 B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义，则f(0)=0 奇偶性 C.奇函数y=f(x)的图象一定过原点 D.图象过原点的奇函数必是单调函数 解祈A项，若定义城不包含0，则图象与y轴不相交；C项， 若定义域不包含0，则图象不过原点：D项，奇函数不一定是单调 误区防错… 函数.故选B. 1.易错点 答案B (1)判断函数奇偶性时忽 略了定义域 ⊙变式1(2024，山东临沂一中月考)若函数f(x)(f(x)≠ (2)忽略了解析式的隐含 0)为奇函数，则必有( ) 条件。 A.f(x)f(-x)>0 B.f(x)f(-x)<0 (3)定义域计算错误。如 C.f(x)<f(-x) D.f(x)>f(-x) 对解析式先进行了化简，导政 ⊙考题2(2024，湖南长那中学月考)判断下列函数的奇偶性： 扩大了函数的定义城， 1)fx)=x3-x 2.防错良方 x-1 判断函数的奇偶性，首先 (2)f(x)=x-2-x+21. 看函数的定义域是否关于原 (3)f(x)=x2+a(x≠0，a∈R). 点对称：在定义域关于原点对 称的条件下，再根据f(一x) (4)f(x)= 1+x+x-1 与f(.x)的关系作出判断. √1十x+x+1 器围I:函数f)=二千的定义城为xx∈R且x≠ 1},定义城不关于原点对称，，该函数既不是奇函数也不是偶 函数 (2)方法一（定义法）函数f(x)=|x一2|一x十2|的定义 域为R,关于原点对称 f-x)=|-x-2-|-x十2|=x+2-x-21=-(x 2-x+21)=-f(x), 函数f(x)=|x一2一|x十2是奇函数. 133 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJA 方法二（根据图象进行判断） 山规律总结… -4,x≥2. 1.分段函数奇偶性的判 f(x)=|.x-2|-x+2= 2x,-2<x<2, 断方法 4,x≤-2， (1)分段函数奇偶性的判 画出图象如图所示，图象关于原点对 断要点 称，因此函数f(x)是奇函数 ①分段函数的定义战是 (3)当a=0时，f(x)=x2为偶函数. 各段自变量范围的并集， -20 ②根据奇偶性的定义，要 第 当a≠0时，f(x)=2+4(x≠0)，取x= 判断f(-x)与f(x)的关系， 豆 ±1，得f(-1)+f(1)=2≠0，f(-1)-f(1)=-2a≠0， 需求出f(一x). 第 即f(-1)≠-f1),f(-1)≠f(1), ③.x>0时，f(一x)要用第 二个（一x<0)解析式，但 ,函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数 f(x)是第一个(x>0)解析式 第三童 综上所述，当a∈R且a≠0时，函数f(x)既不是奇函数也不 ①奇（偶）函数的定义要 是偶函数：当a=0时，函数f(x)为偶函数 求是对定义城内任意x都有 第四重 (4)f(x)的定义域为R,关于原点对称. f(-x)=-f(x)(f(-x) 方法一f(-x)十f(x) f(x),此处对x分x>0与 第五金 =1+x-x-1+1+x+x-」 x<0两种情况进行讨论 √1+x2-x+1√1+x2+x+1 (2)对于分段函数奇偶性 =[(1+x2)-(x+1)2]+[(1+x2)-(x-1)2] 的判断，需特别注意x与一x (1+x2-x+1)(1+x2+x+1) 所满足的对应关系。 -2x+2.x (3)分较函数的奇偶性可 (1+x2-x+1)(1+x2+x+1) 通过函数图象的对称性加以 =0, 判断。 .f(-x)=一f(x),.f(x)为奇函数。 2.含参函数奇偶性的判 方法二 当x≠0时，∫(x)≠0，此时f一2 断方法 f(x) 对含参函数的奇偶性进 (W1+x2-x-1)(1+x2+x+1)=(1+x2)-(x+1)2 -2.x 行判断时，要分类讨论，讨论 (√1+x-x+1)(1+2+.x-1D1+x2)-(x-1)= 2x 时要合理取值 =-1,即f(-x)=-f(x). 3.判断或证明抽象函数 当x=0时，f(0)=0,.f(x)为奇函数. 的奇偶性，需利用奇、偶西数 ⊙变式1-2(2024，湖北黄冈中学单元测试)判断下列函数 的定义，找准方向，巧妙赋值 的奇偶性： (常用的有1，一1,0)，合理、灵 活地变形配凑，找出(x)与 1-x2 1)fx)=x+2-2 (2)fx)=x(2与1+)月 f(一x)的关系. 1134 第三章之函：的概念与性质/ ⊙考题3(2024，西南师大附中单元测试)判断下列函数的 女视野拓展… 奇偶性： L,任意一个函数（可以既 x(1一x),x<0, 不是奇函数也不是偶函数)总 (1)f(x) x(1+x),x>0. 能表示成奇函数与偶函数之和 x2-2x+3,x>0, 的形式.因为对任意的f(x), (2)f(x)= 0,x=0, 2)+-门总是锅画 -x2-2.x-3,x<0. 数，f)-f(-)】总是 解折(1)函数f(.x)的定义域为（一○，0）U(0,十○)，关于原 第 点对称 奇通数，所以)=x)十 当x>0时，一x<0, -x]+2x)-f- 第 ∴.f(x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1十x)=-f(x): (但要注意函数∫(x)的定义 当x<0时，一x>0, 域应关于原点对称) ∴.f(-x)=-x(1-x)=-f(x). 2.奇（偶）函数的性质 故函数f(x)为奇函数 (1)fx)为奇函数，定义域 (2)f(x)的定义域为R,关于原点对称. 为D,若0∈D,则必有f(0)=0. (2)在同一个关于原点对 ①当x=0时，x=0, 称的定义域上： f(x)=f(0)=0,f(-x)=f(0)=0, 第 奇函数十奇函数一奇函数： 五童 .f(-x)=-f(x) 偶函数十偶函数=偶函数： ②当x>0时，一x<0, 奇函数×奇函数=偶函数： .f-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x). 偶函数X偶函数=偶函数： ③当x<0时，-x>0, 奇函数X偶函数=奇函数， ∴.f-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f.x). 综上可知，对Hx∈R时，都有f(一x)=一f(x), 令技巧归纳， 故f(x)为奇函数 1,判断函数奇偶性可用 的变形形式 ⊙变式13(2024，江苏南京一中月考)判断下列函数的奇 若f(一x)+f(.x)=0且 偶性： f(x)的定义域关于原点对称， x3-3.x2+1,x>0, 则f(x)为奇函数： (1)f(.x) x3+3.x2-1,x<0. 若f(-x)-f(x)-0且 2r+1>0. f(x)的定义域关于原点对称， 则f(x)为偶函数 (2)f(x) 2.奇、偶函数代数特征的 灵活变形 由f(-x)=一f(x),可 得f(-x)十f(x)=0或 f-2=-1(f(x)≠0)：由 f(x) f(一x)=f(x),可得f（一x) 135 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ ⊙考题4(2024，清华附中单元测试)判断f(x)=|x十a fx)=0或君=1 f() x一a(a∈R)的奇偶性. (f(x)≠0).在判断西数的奇 解析因为x∈R,所以定义域关于原点对称。 偶性方面，有时利用变形后的 当a=0时，则f(x)=|x一|x=0, 等式更为方便 所以(x)既是奇函数也是偶函数； 3.若一个函数是由几个 当a≠0时，因为f(一x)=|一x十a一|-x-a=x一a一 奇、偶函数通过运算构成的， x+al=-(x+al-x-al)=-f(x), 我们可以利用奇、偶函数的运 第 所以f(x)是奇函数. 算性质判断其奇偶性，注意此 综上所述，当a=0时，函数f(x)既是奇函数也是偶函数； 方法及复合函数奇偶性的判 第 当a≠0时，函数f(x)是奇函数， 断方法仅适用于选择题和填 ⊙变式14(2024，河北衡水中学月考)判断函数f(x)= 空题 x2一x十a(a∈R)的奇偶性. 第三意 第四重 ⊙考题5(2024，北京四十四中月考)如果f(x)是定义在R 上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(). 第五金 A.y=x+f(x) B.y=xf(x) C.y=x2+f(x) D.y=x2f(x) 解方法一，f(x)是奇函数，∴.f(一x)=一f(x).令 y=g(r). 对于A,g(一x)=-x十f(一x)=一x-f(x)=一g(x), ∴y=x十f(x)是奇函数 对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x) ∴·y=xf(x)是偶函数， 对于C,g(-x)=(一x)2+f(-x)=x2-f(x), 由于g(一x)≠g(x),g(一x)≠一g(x), .y=x2十f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=一g(x), ∴.y=xf(x)是奇函数. 方法二根据奇、偶函数的运算性质可得A和D是奇函数， B是偶函数，利用定义可判断出C既不是奇函数也不是偶函数. 答案B ⊙变式15(2024，安徽合肥二中单元测试)求解下列问题： (1)已知函数fx),x∈R,若Ha,b∈R,都有f(a十b)=f(a)+ f(b),求证：f(x)为奇函数 136 /第三章〉函级的概念与性质/ (2)设函数f(x)定义在（一l,l)上，证明：f(x)十f(一x)是偶 函数，f(x)一f(一x)是奇函数 (3)已知f(x)是定义在R上的函数，设g(x)= f)+f-卫，h=f)二，f二D,试判断g(r)与h(x)的奇 2 偶性；根据g(x),h(x)与f(x)的关系，你能猜想出什么样的结论？ 考点2 奇函数和偶函数的图象特征及其应用 ·核心总结· 章难点突破 1.奇函数的图象特征 研究函数奇偶性的意义 如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对 研究函数的奇偶性对于 称中心的中心对称图形：反之，如果一个函数的图象是以原点 了解函数的性质非常重要.对 为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数。 于一个奇函数或偶函数，根据 2.偶函数的图象特征 它的图象关于原点对称或关 如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为 于y轴对称的特性，只要把这 对称轴的轴对称图形：反之，如果一个函数的图象关于y轴对 个函数的定义域分成关于原 称，则这个函数是偶函数 点对称的两部分，由函数在其 3.求解奇偶性与图象对应关系问题的方法 中一部分上的图象和性质，即 可推断出它在整个定义城内 观察图象的对称性特征，若关于原点对称，则为奇函数；若 的图象和性质。 关于y轴对称，则为偶函数 4,巧用奇偶性作函数图象的步骤 (1)确定函数的奇偶性， 章视野拓展： (2)作出函数在[0，十)（或（一∞，0]）上对应的图象. 1.函数图象的对称性 (3)根据奇（偶）函数关于原点(y轴)对称得出在（一∞，0] 奇、偶函数图象的对称性 (或[0，十©)上对应的函数图象， 可作如下推广（其中a,b,c为 5.奇、偶函数图象的应用类型及处理策略 常数)： (1)类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小 3y=/xr)的因 八x)在定义城 及解不等式等问题， 象的对称轴 内量满足 《中) (2)策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图 fa+x)-f(ax） 克线r一& 象直接观察 f(r)-f(a-x) 直线x一受 137 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 ⊙考题6(2024，河南安阳一中高一期末测试)下列图象对 续表 y=f(x)的国 应的函数中具有奇偶性的是( ). f(x)在定义拔 象的对称种 内恒满是 (中心) f（d+r)=fb-r) 直线x=十6 2 f(a+r)+fa-x)=0 点(a,0) fa+)+fb-x)=0 点() B f(a+x)+f(b-)=c 解选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选 (学) 项C,D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇 2.既是奇函数又是偶函 数的函数 偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其对应的函数是偶 设∫(x)既是奇函数又是 第 函数 章 偶函数，则f(一x)=一f(.x), 答案B 且f(-x)=fx),故-fx) 第三章 ⊙变武2(2024，北京东城区期末测试)函数f(x)=x3十 f(x),所以f(x)=0,且定义 x的图象关于( 域需关于原点对称，故既是奇 第 函数又是偶函数的函数有无 A.x轴对称 B.y轴对称 数多个，它们为f(x)=0且其 C.原点对称 D.直线y=x对称 定义域是关于原，点对称的非 第五金 ⊙考题7(2024，浙江杭州外国语学校月考)设奇函数的定 空数集， 义域为[一6,6]，若当x∈[0,6]时，f(x)的图象如图1所示，则不 等式f(x)<0的解集是 y -6-30 0有 图1 图2 解新利用奇函数的图象关于原点对称，补全函数的草图（如 图2所示)，观察图象即可求得不等式的解集为（一3,0）U(3,6). 案(-3,0)U(3,6). 沁名师支招… ⊙变式22(2024，江面南昌二模)已知y=f(x)是偶函数， 变式2-2中，y=f(x)与 y=g(x)是奇函数，它们的定义域都是[一3,3]，且它们在x∈[0,3]上 y一g(x)两个函数的定义域都 的图象如图所示.则不等式八工<0的解集为 是[一3,3]，且关于原点对称， g(.x) 已知x∈[0,3]上的图象，利 用函数的奇偶性可画出x [一3,0]上的图象，再结合图 y=g(r) 象可东出铝0的解头 -f(r) 1138 /第三章〉函的念与性质 考点3 函数奇偶性的简单应用 ·核心总结。 布难点突限… 函数奇偶性的简单应用一般体现在以下两个方面： 1.奇函数y=f(x)的函 1.利用函数奇偶性可由函数的部分解析式求整体解析式。 数值f(0)怎样确定？ 2.由函数奇偶性的特征求字母系数的值或求函数值 如果一个奇函数f(x)在 原点处有定义，即f(0)有意 ⊙考题8(2024，山西太原调考)已知f(x)=x5十a.x3十bu 义，那么一定有∫(0)= -8,且f(-2)=10.则f(2)等于(). 一f(一0)，即f(0)=0,有时 第 可以用这个结论来判定一个 A.-26 B.-18 C.-10 D.10 函数是否为奇函数 解折方法一令g(x)=x十a.x十bx,易知g(x)是R上的 2.常见蓝数（一次函数、 第 奇函数，从而g(-2)=一g(2),又f(x)=g(x)一8， 反比例函数、二次函敛)的奇 ∴.f(-2)=g(-2)-8=10,.g(-2)=18, 偶性如何？ g(2)=-g(-2)=-18. 函数 奇偶性 一次函数 b=0时是奇西数：b .f(2)=g(2)-8=-18-8=-26. y=kx十0 0时既不是奇函数也 方法二由已知条件得 (k右0) 不是锅函教 四 反比例函载 (f(-2)=(-2)5+a·(-2)3+b·(-2)-8. ① 奇品数 f(2)=25+a·23+b·2-8. ② 二次西致 b=0时是偶函数：h≠ 由①十②得f(2)+f(-2)=-16. ya.2十r0时既不是奇头数也 又f(-2)=10,∴.f(2)=-26. +c(a≠0) 不是偶函数 答案A ®方法梳理 1.利用函数的奇偶性求 ⊙变式31(2024，安徽蚌埠质检)已知定义域为R的偶函 函数值的方法 数f代)满足1+)=f1-),若2）=1，则-）=( 解决此类问题应注意运 用f(一x)与「(x)的关系转 A. B.-1 C.1 换，同时要充分关注整体代换 的技巧 ⊙考题9(2024，辽宁抚顺一中月考)已知函数f(x)为R上 2.由函数的奇偶性求解 析式的方法 的偶函数，且当x<0时，f(x)=x(.x-1),则当x>0时，f(x) 利用函数的奇偶性求函 数解析式的问题，即已知某函 解析当x>0时，一x<0, 数在某区间上的解析式，求其 对称区间上的函数解析式，求 则f(-x)=-x(-x-1)=x(x十1)， 解时应按以下步骤进行： 因为函数f(x)为R上的偶函数， (1)设所求区间上任意x 所以f(x)=f(-x)=x(x+1): (2)把所求区间内的变量 答素x(x十1). 转化到已知区间内. (3)利用函数奇偶性的定 ⊙变武32(2024，安徽合肥-中单元测试)f(x)为R上的 义f(x)=-f(-x)或f(x) 奇函数，当x>0时，f(x)=一2.x2+3x+1,则f(x)= f(一x)求所求区间的函数解 139 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ ⊙考题10(2024，江西九江高三模拟)若函数∫(x)= 析式 3.利用函数的奇偶性求 (2x十1)(x-a)为奇函数，则a=( 参数的值或取值范国的方法 A号 B号 c (1)当定义域中含有参数 D.1 时，由奇、偶函数的定义城关 解园，f(x)是奇函数，∴.f(一x)=一f(x), 于原点对称，可直接求出参数 (2)当解析式中含有参数 ∴(-2x+1)(-x-a） (2.x+1)(.x-a)' 时，根据函数奇偶性的定义列 第 .a= 出等式f(-x)=一f(x)(或 .(2a-1)x=0, 2 f(一x)=f(x)),由等式求出 答案A 参数的值或取值范围，有时也 第 ⊙变式33(2024，山东青岛调研)若函数f(x)=(x十1)(.x 可由特殊值或由函数的性质 a)为偶函数，则a等于(). 直接分析求解 第三童 A.-2 B.-1 C.1 D.2 考点4 奇偶性与单调性的综合应用 第 核心总结。 ②方法梳理： 1.将函数的奇偶性与单调性相结合，可知： 1.利用奇偶性判断对称 第五金 (1)奇函数在（一b,一a)和(a,b)上有相同的单调性， 区间上函数的单调性的方法 (2)偶函数在（一b,一a)和(a,b)上有相反的单调性. (I)奇函数在y轴两侧的 这里，区间（一b,一a)和(a,b)都在函数定义域内. 单调性相同，偶函数在y轴两 因此，若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图象等 侧的单调性相反 问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称 (2)奇函数或偶函效的单 性可得 调性的对称规律在不同区间 2.研究函数的单调性、奇偶性必须在定义域上进行，如果 内的自变量对应的函数值的 没有给出定义域，则需先求出其定义域 大小比较中起到的作用很大， 对于偶函数，如果两个自变量 ⊙考题口(2024，江西临川一中单元测试)已知偶函数 的取值在关于原点对称的两 f(x)的定义域为R,当x∈[0，十o)时，f(x)单调递增，则f(一2)， 个不同的单调区间上，即正负 f(π)，f(一3)的大小关系是(). 不统一，应利用图象的对称性 A.f(π)>f(-2)>f(-3)B.f(x)>f(-3)>f(-2) 将两个值化归到同一个单调区 C.f(π)<f(-2)<f(-3)D.f(x)<f(-3)f(-2) 间上，然后再根据单调性判断 解析因为f(x)为偶函数，所以f(一2)=f(2),f(一3)= 2.利用单调性、奇偶性求 f(3).又当x∈[0，十o∞)时，f(x)单调递增，且π>3>2.所以 参数（或解不等式）的方法 f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2). (1)解决有关函数的奇偶 答系B 性，单调性以及求参数取值范 ⊙变式4①(2024，华南师大附中单元测试)已知函数y= 围的综合问题时，一般先利用 f(x)在(0,2)上是增函数，函数y=f(x十2)是偶函数，则下列结 奇偶性得出区间上的单调性， 140 第三章之函：的概念与性质/ 论正确的是( 再利用单调性脱去西数的符 A.f)<f()<f2) Bf()<f)<f(2 号“”，转化为解不等式（组》 的问题.需要注意的是：在转 cf()f()f) D.)f1)<f(2 化时，自变量的取值必须在同 一单调区间上：当不等式一边 ⊙考题12(2024，陕西西安长安一中月考)奇函数f(x)的 没有符号“”时，需转化为含 定义域为[-2,2]，若f(x)在[0,2]上单调递减，且f(1+m)十 符号“”的形式，如(2)=0， f(m)<0,则实数m的取值范围是 f(x-1)<0,则f(x-1) 解析因为奇函数f(x)的定义域为[一2,2]，f(x)在[0,2]上 f(2). 第 单调递减，所以f(x)在定义域上单调递减。 (2)函数单调性的实质是 由题意得f(1十m)<f(一m), 自变量的变化与函敏值的变 第 1 1十m>-m, m>- 2 化的内在统一性 所以一2≤-m≤2，即 -2≤m≤2 所以 2<m≤1. 3.利用函数的奇偶性和 2≤1十m≤2， 单调性比较大小的方法 一3≤m≤1， 利用函数的奇偶性把自 (-2,小 变量转化到同一个单调区间 @变式42(2024，天津和平区期末测试)定义在[一2,2]上 上，再比较大小 4.利用奇偶性、单调性求 的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(1一m)<f(m),则 解恒成立问题的方法 实数m的取值范围为( ）. 对于恒成立问题通常先 A(, (侵+ 由单调性求最值，然后利用大 于最大值、小于最小值的思想 c[-1) D(22] 方法求解 ⊙考题13(2024，江苏南京师大附中月考)设f(x)是定义 5.抽象函数单调性、奇偶 在R上的奇函数，且y=f()的图象关于直线x=对称，则 性的判断方法 (1)抽象函数是指没有给 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5) 出具体的函数解析式，只是给 解园f(,x)是R上的奇函数，则f(0)=0. 出函数所满足的一些条件或 因为)的图象关于直线x=号对称，所以f代x)=f1一， 性质的一类函数.与抽象函数 有关的问题一般是根据所给 所以f(1)=f(0)=0,f(2)=f(-1)=-f(1)=0,f(3) 的条件或性质，讨论函数的其 f(-2)=-f(2)=0,f(4)=f(-3)=-f(3)=0,f(5)=f(-4)= 他性质，如单调性、奇偶性，或 -f(4)=0,从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0. 是求函数值、解析式等。 答率0. (2)对于抽象函数奇偶性、 ⊙变式43(2024，安微部分示范高中期中测试)（多选）对 单调性的判断，定义法是一种 于定义在R上的函数f(x),下列结论正确的是(). 常用手段，具体的解题策略是： A.若f(x)是奇函数，则f(.x一1)的图象关于点A(1,0)对称 首先通过赋值得到∫(1)， B.若f(x十1)=f(x一1)，则f(x)的图象关于直线x=1对称 f(0),f(一1)之类的特殊自变 141考点同步解读)高中数学必修第一甜RJA色 2 有解.因为3r+6+4>1,所以33r十6+≤a≤ 由/)<生得(2a-1Dr+(a+20r+4h-4长0 308十6十0有解.所以a≤[38r+D]=分， 4 4 若2a-1=0,则必有4a十2h=0,此时与(2a+-2)≤8ab 矛盾， 所以a的最大值为号] 所以2a-1<0且(4a十2b)2≤4(2a-1)(46-4), 8.(1)令n=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1),故 整理后为4a+b≤4ab-8a-4b+4, f(1)=0. 与4a2+≤4ah+8a+4h-4相加即得42+≤4ah, (2)fm)=f(·n)=f(g)+f, 即(2a-b)2≤0，所以2a=h.所以f(x)=(.x+2)(ax+ 2a)=a(.x+2)2. 即f(）=fm)-f. 又由于在原不等式中令x=2,可得4≤f(2)≤4， (3)任取a∈(0，十∞)，且n<,则号>1. 所以2)=4，由此解得a=子 由2得)-fn)-f(票)）>0，即)> 所以)=十+2，所以f10)=36.] 故f(x)是增函数. 2.[4,8.[设函数6(x)=r+15+1(x≥2)（当2≤ (4)由于f(2)=1,∴.2=f(2)+f(2)=f(4), x≤a时，f(.x)=f(x)). 由f(x+2)-f2x)>2,可知f(x+2)>f(2x)+f4), 由于f%(x)在[2.门上单调递减，在[4，十o)上单调递 .f(x+2)>f(8x). 增，且注意到f6(2)=11,f6(4)=9,f(8)=11,故所 x+2>8r, 求a的取值范围是[4,8].] 又，f(x)在(0，十∞)上单调递增，.x+2>0, 3.2.2奇偶性 8.r>0, 【变式训练】 解得0<号。 [变式1-1]B[:fx)为奇函数，∴f-x)=一fx. 故不等式+2)-2>2的解集为：0<x<号}。 又，f(x)≠0，.fx)f(-x)=-[f(.x)]F<0.] [变式1-2](1)：f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1门，关 5由题意知m士型-号m. 于原点对称。 2 ("Ψ)[("安)+("] 又fx)= -正=王 1x+2-2 2(mg)), f-x)==-正-王 =-fx), 且("空）-mm=("2）≥0. ∴f(x)是奇函数。 (2),函数f(x)的定义域为{xx≠0，x∈R},关于原点 “("空）≥m当且仅当m=n时取等号). 对称， “x)是增函数，∴f(m）)≥mm 又：-0=(-(2与十2) ∴(0生)≥m生m 2 =(2光一） 【实验班选做题】 =1+马)】 1.36.[由f(-2)=0,可设f(x)=(.x+2)(ax+b)= a.x2+(2a十b)x十2b(a≠0)，则由f(x)≥2x得a.x2+ =(2+号）= (2a+b-2)x+2b≥0， f(x)为偶函数， 所以a>0,且(2a+b-2)'≤8ab,整理后即为4a+ [变式13](1)函数f(x)的定义域是(-，0)U(0, ≤4ah+8a+4h-4, 十∞)，关于原点对称. 28 参考答案与提示) 当x>0时，-x<0,则f(-x)=(-x)3+3(-x)2 ·g(x)是偶函数，h(x)是奇函数. 1=-x2+3.x2-1=-(x2-3.x2+1)=-f(x):当x<0 gx)+hx)=)+-D+)-,/-卫=fx. 时，一x>0,则f(-x)=(-x)3-3(一x)”+1=-x2- 2 3x2+1=-(.x2+3.2-1)=-fx). 由此可得一般结论：如果一个函数的定义域关于原点对 综上，对任意x∈（一0,0）U(0,+∞)，都有f(一x) 称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个 一f(.x),所以f(x)为奇函数. 偶函数的和。 (2)函数f(x)的定义域为(-©，0)U(0,十∞)，关于原 [变式2-1]C[函数f(x)=x十x的定义域为R, 点对称 f(-x)=(-x+(一x)=一(x2+x),所以有f-x)= 当>0时，-x<0,则f(-)=-(-)-1= 一(x),所以(x)为奇函数，图象关于原点对称.门 [变式2-2]{x-2<r<-1或0<1或2<x<3}. -(22+1）=-fx: [根据函数图象的对称性画出y=f(x),y=g(x)在x∈ 当x<0时，->0.则-0=(-)+1=2+ [一3,0]上的图象（如图所示） 1=-（-2-1)=-fx 综上，对x∈（一o,0)U(0,十∞），都有f(一x)= 一f(x),所以f(x)为奇函数. [变式1]：x∈R,定义域关于原点对称 =fa) 若a=0,则f(x)=x2-|xl,此时f(-x)=(-x) 由图可知： 1(-x)=2-x=f(.x),∴f(x)为偶函数 当-2<x<0或0<x<2时，f(x)>0: 若a≠0，f(-x)=x2-a-x,此时f(-x)≠士f(x), 当-3≤x<-2或2<x≤3时，f(x)<0: ,.f(x)为非奇非偶函数. 当-1<x<0或1<x<3时，g(x)>0: 综上，当a=0时，f（x)为偶函数：当a≠0时，f(x)为非 当-3<x<-1或0<x<1时，g(x)<0. 奇非偶函数 由<0可得 x)>0,fx)<0. [变式1-5](1)令a=0,则f(b)=f(0)+fb), B(x) 或 g(x)<0 g(x)>0. .f0)=0. 解得-2<x<-1或0<r<1或2<x<3. 令a=一x,b=x,则f(0)=f(一x)十f(x) .f(-x)=一f(x),f(.x)是奇函数. 故巴<0的解集为{x-2<r<-1或0<r<1或 g(x) (2)x∈(-l,l0,.-x∈(-1，l0. 2<x3.] 可见，f(一x)的定义域也是（一l,). [变式31]C[:f(x)是R上的偶函数，f(1+x)= F(r)=f(r)+f(-x).G(x)=f(r)-f(-r), f1-x),∴.f(x+2)=f(-x)=f(x). 则F(x)与G(x)的定义域也是（一1，），显然是关于原点 所以(-)=(2-是)=2)=1.] 对称的。 ,F(-x)=f-x)+f-(-x)=f-x)+fx)=F(x. 2x2+3x+1.x>0, G-x)=f(-x)-f(-(-x)=f(-x)-f(x) [变式32] 0,x=0, [当x<0时， -[fx)-f(-x)]=-G(x), 2x+3x-1.x<0. ∴.F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)+f(一x)是 -x>0,则f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-22 偶函数，f(x)一f(一x)是奇函数. 3x+1. (3g(-x=-,@=g. 由于f(x)是R上的奇函数，故f(x)=一f（一x), 2 所以当x<0时，f(x)=2x2十3x一1. h-x)=-)@=-h, 2 因为f(x)为R上的奇函数，故f(0)=0. 29 考点同步解读〉高中数学必修第一册RJA色 2x2+3x+1,x>0. 令y=1,则fx)=fx)+f1),.f1)=0. 综上，f(x)= 0,x=0, 令x=y=-1.则f1)=(-1)十f(一1)，得f(-1)=0. 2x2+3x-1,xr<0. 令y=-1.则f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x). [变式3-3]Cf(x)是偶函数，且f(x)=z2十(1 函数f(x)为偶函数. a)x-a,∴.f-x)=(-x)2+(1-a)(-x)-a=fx), (2)任取∈(0，十∞).且<，则有尝>1 .1-a=0,即a=L.] [变式+1]D[因为函数y=f(x+2)是偶函数，所以 :当x>1时，f(x)>0, ·(）>0, 函数y=f(x+2)的图象关于直线x=0对称，根据图象 平移的知识可知，函数y=f(x)的图象关于直线x=2 面)=f(a·共)=f+(倍)>f .函数f(x)在(0，十∞)上单调递增. 对称，所以f(号)=f(号)，()=f(号）.又函数 (3):f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),且f2)=1, y=fx)在(0.2)上是增函数，所在f(号)<f10< .f4)=2. 又，由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4们上单调 ()] 递增， [变式+2]C[,函数f(x)是偶函数， .函数f(x)在区间[一4,0)U(0,4们上的最大值为f(4)= :.f()=f(). f(-4)=2. .f(1-m)=f(|1一m),f(m)=f(m). (4),f3r一2)+f(x)=f几x(3x-2)],4=2+2=f(4)+ 2≤1一m≤2， f(4)=f(16), .原不等式等价于 2≤m≤2， ∴.原不等式等价于fx(3x一2)]≥f16). 1->m, 又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，十o)上单 调递增。 解得一1≤m<之 x(3r-2)≠0， .原不等式又等价于 故实数m的取值范围是[-1，号)] 1x(3x-2)1≥16. [变式43]AC[:f(x)为奇函数..f(x)的图象 即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16， 8 关于原点对称，而f(x一1)的图象是将f(x)的图象向右 解得≤-2或x≥号，不等式f(3x-2)+f()≥ 平移1个单位长度得到的，f(x一1)的图象关于点 A(1,0)对称，故A正确. 4的解集为x<-2或≥受} 令=x-1,则由f(x+1)=f(x-1)可知，f(1)=f(t+ 【基础过关练】 2),即f(x)=f(x十2)，其图象不一定关于直线x=1对 1D[对于Af-)=(-)+马=-(+}) 称.如图所示，函数图象不关于直线x=1对称，故B不 正确. 一x:对于Bf(-x)=2≠-：对于C f(-x)=√+1=f(x):对于D,f(-x)=(-x) =一x=一(x),故A,D都是奇函数.用定义法可求 得x)=x+上在(0,1)上为减函数，f(x)=2在 (0,1)上是增函数.] 若g(x)=f(x一1)的图象关于直线x=1对称，则有g(2十 2.C[由题意知，对任意x∈(0，十o∞)，fx)=ag(x+bg(x) 1)=g(一x+1),即f(x)=f(一x),故C正确。 +25.任取x∈(-oo,0),则-x∈(0，+o∞)，且g(x) 易知函数y=f(x+1)的图象与函数y=f(1一x)的图象 g(x)都是奇函数，有f（-x)=a一x)+g(一x)+2≤5， 关于y轴对称，故D不正确.] 即-ag(x)-bg(x)+2≤5，所以ag(x)+g(r)≥ [变式44](1)函数(x)的定义域关于原点对称. -3.所以f(x)=ag(.x)+bg(x)+22>-3+2=-1.] 30 儿参考答案与提示)7 3.D[当x<0时，-x>0,所以f(-x)=x2+2x.又因 3g(-x)=[-f.x)-3g(x)=[f.x)F-3g(x)=Fx), 为f(x)是奇函数，所以f(x)=一f(一x)=一x 所以F(x)=[f(x)下-3g(x)是偶函数，故A正确：因为 x2-2x,x≥0， 2fx)+3g(x)=6r2-2x+3,①所以2f(-x)+ 2x,所以f(x)= 所以f(x)在R上 -x-2xx<0, 3g(-x)=-2f.x)+3g(x)=6x2+2x+3,②由①② 的解析式为f(x)=x(x一2).] 得fx)=一x,g(x)=2x2+1,故B.C正确：易得g(2)= 4.0.[f(-0)=-f(0),∴.f0)=0.] 8+1=9,故D错误.] 5.增.[偶函数在对称区间上的单调性相反.门 6.BD[:g(x)=f(x十2)+1为奇函数，.g(-x)十 【高考提能练】 g(x)=f-x+2)+1+f(x+2)+1=0,即f(2+x)+ L.C[由题意知，g(x)是定义在R上的奇函数，f（x)= f(2-x)=-2,令x=1,得f(3)十f(1)=-2,故C借 g(x)+x,则fx)十f（一x)=g(x)十x2+g(一x)+ 误：令x=2,得4)十0)=-2，：0)=0，∴.f4)= x2=2x,若f(a)=2,f(-a)=2a+2.则有f(a)+ 一2，故A错误.y=(x+4)为偶函数，f(x十4) f(-a)=4十2a=2a2,解得a=2或-1.] =f4-x),令x=4,得f(4+4)=f(0)=0,即f(8) 2.D[由=1，得f-x)=-1 =0,故B正确：令x=3,得f(7)=f1),故D正确.] -ld-山=一f(x),所以函数f(x)为奇函数，故 7.)-(答案不唯一以[由题知准奇函数” A错误：又当⊙>0时，)=亡1>0，故C错误： f(x)的图象关于点(a,b)对称.若a=2,b=2,则f(x） 的图象关于点(2,2)对称.由于奇函数的图象关于原 当>1时，x)==一子，函数单调递增，且 点对称，所以可先找一个奇函数，如y=,将其图象 x→十时，f(x)→十oo,故B错误，D正确.] 先向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度， 3.D[因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0.又 f(x)满足(x-4)=一f(x),则f(4)=一f(0)=0. 得到)=2+之。的图象，此时的图 又f(.x)=-f(-x)且f(x-4)=-f(x),所以f(3) 象就关于点(2,2)对称.] =-f(-3)=-f1-4)=f1).又(x)在区间[0. 8.(1)取x=0,得f(0+y)=f(0)+f(y),即f(y) 2]上单调递增，所以f(1)>f(0),即f(1)>0,所以 f(0)十f(y),所以f(0)=0. f(-1)=-f1)<0,f3)=f1)>0,所以f(-1)< 因为f(3)=f1+2)=f(1)十f(2)=f(1)+f(1)+ f4)<f3).] f(1)=3f1)=6,所以f(1)=2. 4.A[由定义在R上的奇函数f(x)在（一o,0)上单调 (2)因为函数f(x)是定义在R上的函数，所以定义域 递减，得f(x)在(0，十o)上单调递诚，且f(一2) 关于原点对称。 一f(2)=0,f(0)=0,则当x<一2或0<x<2时， 取y=-x,得f0)=fx+(-x)=f(x)+f(-x)=0, f(x)>0:当-2<x<0或x>2时，f(x)<0.由定义 即f(-x)=一f(x), 在R上的偶函数(x)在（一o∞，0上单调减增，且g(2) 所以函数f(x)是奇函数， 0,可得g(x)在[0，十∞)上单周递减，g(一2)=g(2)=0, (3)方案一选①. 则当-2<x2时g(x)0:当x一2或x>2时g(x)< 因为f(x)是奇函数，且f(k.x)+f(2x一1)<0在x∈ f()>0, f(x)<0, 0.f(x)g(x)<0等价为 或 即 g(x)<0 g(x)>0, [23]上恒成立。 x<-2或0<x<2, -2<x<0或x>2, 或 x<-2或x>2 -2<x<2, 所以r)<1-2在x∈[23]上恒成立. 可得x<-2或-2<x<0.] 因为函数f(.x)是定义在R上的单调函数，且f(0) 5.ABC[令F(.x)=[f(x)]-3g(x).因为f(x)是奇 0<f1)=2. 函数，g(x)是偶函数，所以F(一x)=[∫（一x)了一 所以(x)在R上是增函数， 31 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 所以kr<1-2x在xe[号，3]上恒成立， (2)=(2)= 所以<(）-2()在x∈[33]上恒成立. [变式2-1]C 选项正误 原因 令1=}则3≤≤2，(）-2(2)=-2 幂函数的图象都经过点(1,1)，当a≤0 又y=-2在[片2]上的最小值为-1， 时，不过点(0,0) y=x与y=x的图象有三个公共点，但 所以k<一1. B 这两个函数不相同 方案二选② 幂函数的图象不可能出现在第四象限 因为f(x)是奇函数，且f(kx2)十f(2x一1)<0在x∈ 当=0时，y=的图象为除去点(0,1) [合3]上有解。 的直线 所以kr)<1-2)在x∈[合3]上有解 [变式2-2]√元，[由一次函数的性质知函数y=a(x 因为函数f(.x)是定义在R上的单调函数，且f(O)= 4)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点P(4,2).设幂函数 0<f1)=2, 为f(x)=x,由点P在幂函数f(x)的图象上，可得4= 所以f(x)在R上是增函数， 2,解得。=，所以f)=x=五] 所以kr<1-2x在x∈[是3]上有解， [变式2-3]B[观察四个图象，可知a>0,b>0,c<0. d<0.又当x>1时，y=x的图象在y=的图象的上 所以k<()》-2()在x∈[是3]上有解， 方，y=x的图象在y=x的图象的上方，故a>b且c> 令=}则好≤≤2.()）-2()）=-2 d.综上可知a>b>0>c>d.] 又y=f-2:在[号，2]上的最大值为0， [变式3AD[由题意得=2，则a=合，故A正 确.f(x)=x,则函数f(x)的定义域为[0，+oo).且 所以k<0. f(x)为非奇非偶函数，故B.C错误.当x>1时，f(x)> 【实验班选做题】 f1)=1,故D正确.] 1.一3.[，fx)是R上的奇函数，∴.f-1)=一f1)= [变式-2](1)y=x在[0，十∞)上是增函数， -2,-2)=-f(2)=-3,故f(f(-1)=f-2) 且2.3<2.4，∴2.3<2.4 -3.] (2):y=xt在(0，+∞)上是减函数，且2<√3， 2.0.[令x=-2,则/2)=f(-2)+2f2),又f(-2)= f(2),所以f(2)=0,于是f(x十4)=f八x),所以f(.x) (w2)>(/3)t. 的周期T=4.f(2022)=f(2)=0.] (3):y=x为R上的偶函数，∴(-0.31)于=0.31 :函数y=x在[0，+∞)上是增函数，且0.31<0.35， 3.3幂函数 ∴0.31±<0.35，即(-0.31)<0.35 【变式训练】 [变式1-1]B[函数y=x为幂函数： [变式+]f)=m二2十-1-m-1)2- x2-2.x+1 (x-1) 函数y=3x2中2的系数不是1，所以它不是幂函数； =m 1 (x-1)=m-(x-1) 函数y=x+2x不是y=(a是常数)的形式，所以它 不是幂函数： f(x)的图象可以看作由幂函数y=x之的图象先关于 x轴对称，然后将所得的图象向右平移1个单位长度，最 函数y=1与y=x”=1(x≠0)不相等，所以y=1不是幂 后再向下或向上平移m个单位长度得到的.由于函数 函数.] [变式1-2]D[设f(x)=,则f(4)=4"=22,f(2) y=x为偶函数，那么f(x)的图象关于直线x=1对称， 2.2 则f八x)在区间(1，十o)上单调递增，而f(一π)=f2十x), 2②-岁=2=4=2，∴a=2.÷fx)=2, 2+x>5,故f(5)<f(2+x),即f(5)<f(-x). 32