3.2.1 单调性与最大(小)值-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 3.2 函数的基本性质 3.2.1 单调性与最大（小）值 高考器求学业标准·考情分祈 ·考点分布 ·学科素养 ·学法导引 1.理解函数的单调性及其 逻辑推理、直观想象 1.函数的单调性是函数的一个重要性质 几何意义.（★★） 2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合 2.理解最大（小）值及其几 函数的图象进行判断，对于一般函数需用增诚性定 第 数学运算、直观想象 何意义.（★★） 义加以证明. 3.会借助函数的图象来理 3.单调性的应用表现在两个方面：①根据自变 第三童 解和研究函数的单调性 数学运算、直观想象 量的大小关系得到函数值的大小关系：②根据函数 和最值.（★★★） 值的大小关系得到自变量的大小关系 第 考点分类考点透析·典例制材 考点1 函数单调性的判断与证明 第五金 ·核心总结 奇难点突破… 1.函数增减性的定义 1所有的函数都具有单 增函数 减函数 调性吗？ 并非所有的函数都部具有 区间D二定义域I, 区间D=定义域1， 单调性.例如函数∫(x)= x,∈D, Hx1,x∈D, 1,x为有理数， 当x2时，都有f(x)<f), 当x1<x时，都有f(x1)>f(x), 它的定义域为 0,x为无理数， 则称f(x)在区间D上单调递增. 则称f(x)在区间D上单调递减 R,但不具有单调性 特别地，当函数f(.x)在它的定义 特别地，当函数f(x)在它的定义域 2.函数单调性的定义中 域上单调递增时，就称它是增函数 上单调递减时，就称它是减函数 有三个核心，例如在增函数定 2.函数单调性的几何意义 义中： ①<2：②f)<f): 在单调区间上，增函数的图象从左到右是上升的，减函数 ③函数f(x)为增函数. 的图象从左到右是下降的 那么以①②③中任意两个 反之，对于给定区间上的函数「(x),若它的图象从左到右 作为条件，能不能推出第三个？ 连续上升（下降），则函数f(x)在该区间上是单调递增（减）的. 这是可以的，所以有下面 三个结论成立： ⊙考题1(2024，江苏启东中学单元测试)（多选）下列命题 x<xg, 中为真命题的是( <f)f(x) 是增函数： A.定义在(a,b)上的函数f(x),如果有无穷多个，2∈(a: x<g b),当<时，有f()<f(2),那么f(x)在(a,b)上单调递增 f(x)为增函数 B.如果函数f(x)在区间I上单调递减，在区间2上也单调 →f（x)<f(): 16 /第三章〉函：的概念与性质小 递减，那么f(x)在区间IU12上就一定单调递减 f(m1)<f), C,∈(a,b),且≠，当)二f)<0时， f(x)为增函数 x1一xy →x1<x2. f(.x)在(a,b)上单调递减 对于减函数也有类似的 结论，显然x1,2也要满足任 D.H,∈(a,b),且≠，当(xn一)[f(n)一f()]>0 意性。 时，f(x)在(a,b)上单调递增 ☆解凝释惑， 解A是假命题，“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；以 函数的单调性是函数 f代x)=士为例，知B是假命题：：f）二f)<0(n≠)等价 在某个区间上的性质 1一 1.这个区间可以是整个 第 于[f()一f()门·（一x)<0,而此式又等价于 定义域 f)-f)>0,fa)-f)<0·即fx)>f或 例如，y=x在整个定义 第 或 即 域（一∞，十⊙∞）上是增函数， 一x2<0 x1-x2>0, x1<xg y=一x在整个定义域(-o∞， f(1)<f（x2), 十)上是减函数. ∴.f(x)在(a,b)上是减函数，C是真命题，同 1>xg, 2.这个区间也可以是定 理可得D也是真命题， 义城的真子集 例如，y=x2在定义城 答CD (一∞，十©o)上不具有单调 ⊙变式1(2024，山西忻州一中月考)（多选）如果函数 性，但在（一∞，0]上是减函 f(x)在[a,b们上单调递增，对于任意的x1,x2∈[a,b门(x1≠x2),下 数，在[0，十∞)上是增函数. 列结论中正确的是( 3.有的函数不具有单调性 例如，y=x十1，x∈Z,它 A.f）=fK)0 的定义域不是区间，因此不能 x1一T2 说它在定义域上具有单调性 B.(x1-x2)[f(x)-f(x2)]>0 误区防错 C.f(a)≤f(x1)f(x2)≤f(b) 1.易错点 D.f）-f）<0 考题2在本质上就是证 明y=x3在R上是增函数，若 ⊙考题2(2024，江西南昌一中单元测试)求证：函数f(.x)= 由x<2直接推出x<, x3十x在R上是增函数. 这是以y=x是增函数为依 据，犯了循环论证的错误，即 证明Hx1,x2∈R,且<2，则x2一x1>0, 把要证明的结论当成了条件 f(x2)-f(x1)=(x+x2)-(x+x1) 2.防错良方 =(xg-01)(x十x2x1十x)+(x2-x1) 作差后进行因式分解，直 =(x2一1)(x2十x2x1十x+1) 到在实数范固内不能分解为止 空方法梳理， =(-x[(+}++1 L,函数单调性的证明方法 利用定义证明函数f(x) “(+2)+星+1>0,3->0， 在给定的区间D上的单调性 的一般步骤 ∴.f(x2)-f(x)>0,即f(x2)>f(x1). (1)取值：任取x1,x∈ .f(x)=x3十x在R上是增函数 D,且t<x2… 117 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 ©变式12(2024，湖北武钢三中单元测试)利用函数单调 (2)作差：f()-f(x). 性的定义，证明函数f(x)=√x在区间[0，十∞)上是增函数 (3)变形：通过因式分解、 配方、通分，有理化等方法，向 有利于判断差值的符号的方 向变形 (4)定号：判断f(x) f(x2)的正负. (5)下结论：指出函数 f(x)在给定的区间D上的单 调性 豆 2.含参数的函数的性质 的研究，往往雪要对参致进行 分类讨论，判断含参数的函数 的单调性时，利用定义边证明 第三童 边讨论，从而确定单调性 第四重 ◆规律总结… 1.证明函数单调性时的 注意，点 第五金 @变式13(2024，江西临川一中单元测试)讨论函数f(x)= (1)“任意取，x”中的 ≠)在（一2，十o上的单调住 “任意”二字一定不能丢掉，更 不可随意用两个特殊值替换 (2)x1x有大小之分，通 常规定x1<x2: (3)1,x2属于同一个单 调区间. 2.西数单调性判断的等 价变形 (1)f(x)是增函数一对任 意x1<x2,都有f(x1)< fx),成）=f>0. 工1xg 成[f(x)-f(x2)]·( x3)>0. (2)f(x)是减函数一对任意 <,都有f(0)>f(),或 fx)-f)<0,或[f(x) tI-: -f(x)]·(-x2)<0. 118 /第三章〉函的概念与性质 考点2 函数的单调区间 ·核心总结 ②方法梳理+ 1.如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减， 求函数的单调区间的 那么就说函数y=(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区 常用方法 间D叫作y=f(x)的单调区间. 1.定义法 [特别提示]函数的单调性是函数的局部性质，体现在函数 定义法求函数的单调区 的定义域或其子区间上，所以函数的单调区间是其定义域的 间，步骤是先取值，作差、变 子集 形，然后分析差式的符号何时 2.确定函数的单调区间 为正，何时为负。 (1)区间端点的确认 2.图象法 第 函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的，讨论函数 (1)函数解析式中含有绝 在某点处的单调性没有意义.因此，书写函数的单调区间时，若 对值时，可以采用分界点讨论 去绝对值的方法，将函数转化 函数在区间端点处有意义，既可写成闭区间，也可写成开区间： 为分段函数，再画出函数的图 若函数在区间端点处无意义，则必须写成开区间 象，通过函数的图象观察函数 (2)多个单调区间的写法 的单调性 当增（减）单调区间有多个时，区间之间一定不能写成并集. (2)应用数形结合的思想， ⊙考题3(2024，深圳中学单元测试)求下列函数的单调 先画出函数的图象，再通过观 区间 察图象，由图象的上升或下降 趋势确定函数的单调区间. (1)f(x)=x十1十x-2.(2)f(x)=-x2十2x+3. 3.复合函数法 2x+1,x≤-1， 利用常见函数的单调性 解析(1)因为f(x)=x十1十x一21= 3,-1<x≤2， 进行分析 2x-1.x>2, 奇视野拓展” 作出函数图象，如图1所示. 复合函数y=f(g(x)的 由图象可知，函数的单调递减区间是（一○，一1]，单调递增 单调性：若u=g(x)在区间 区间是(2，十∞)，在区间（一1,2]上是常函数。 [a,b们上的单调性与y=f(w) 在[g(a),g(b)](或[g(b), g(a)门)上的单调性相同，则复 合函数y=f(g(x)在[a,b] 上单调递增，否则单调递诚， -11O12 32123元 可简记为“同增异减”，见下表： 图1 图2 n=gry=f八) y=f(g(r)) (2)f(x)=-x2+2x+3 奥 乡 增 -x2+2x+3=-(x-1)2+4,x≥0， 增 减 减 -x2-2x+3=-(x+1)2+4,x<0, 减 增 减 函数图象如图2所示. 增 119 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ 由图可知，故函数f(x)=一x2十2x十3的单调递增区间是 误区防错… (-o,-1门，[0,1]，单调递减区间是[一1,0]，[1，+0∞). 1.易错点 点评熟记常见函数的图象，进而由图象直接得出单调区间. (1)求单调区间时忽略了 自变量的取值范围， ⊙变式2](2024，陕西咸阳高新一中期中测试)函数 (2)求单调区间时将区间 f(x)=(x一4)·x的单调递增区间为( 用“U”连接 A.(-o0,2) B.(-oo,0)U(2,+o∞) 2.防错良方 C.(-o∞，0)和(2，十0∞) D.(0,十∞) 明确函数的单调区间是 定义城的子区间，养成研究函 1一工的 o考题☒(2024，陕西西安二中月考)求函数f(x)=1十 数单调区间时首先研究其定 义城的习惯，而单调性是与单 单调递减区间， 调区间相对应的， 第 解析f(x)的定义战为（一o∞，一1）U(一1，十o), 山规律总结， V1,x2∈(-1，+o∞)，且x1<x2, 用定义法求单调区间时 第三 2(x2-x1) 应注意的问题 则f)-f代)=a千十)≥0，即f)>f 有些函效，如果不能通过 故f(x)在（一1，十∞）上为单调递减函数， 作出图象的方法来观察出单 第四重 同理可证得f(x)在（一○，一1）上也为单调递减函数 调区间，则可以用定义法来求 其单调区间.例如，求函数y= 第五金 综上，)的单调递减区间为(-e0,一1》.（一1，+o x十1(x>0)的单调区间.任 7 点评求解函数的单调区间，首先求定义域，再依据给定函数 取x1,x2∈(0，十)，且x1< 的特征选择适当的方法求解. ,则f(x)一f(x)=(x2 ⊙变式22(2024，河北鹿泉一中月考)已知函数f(x)= -)这里关统此关 千>0)，则)的单调递增区间为 ,单调递减区 要喷定-)的特号，我 间为 们可以看出，当x都大于 ⊙考题5(2024，浙江余姚中学期中测试)函数y 1时，1-1>0：当1x都 4+3x一云的单调递增区间为( 1 大于0且小于1时，1-1< TiT: 0.从而可知(0,1)为减区间， A[3+ B(1别 (1,十∞)为增区间，但有些函 数不能直接观察出增减区间 c[昌和4，+ D(-,-1DU(-1,] 的分界点，该怎么办呢？我们 解析由4十3.x一x2≠0，得x≠一1且x≠4，所以函数y 可以令=x=xo,根据 f(x1)-f(x)=0来找到分 4+3r-元的定义城为x≠-1且x≠4. 1 界点.例如，此题就可以令 设1=一x2+3.x十4，由二次函数的性质可知，l=一x2十3.x十 =后=：对由1一名=0 4的单洞递增区间为(-©，-1).（一1，】，单调递减区间为 得x0=士1.但x>0.所以舍 去x=一1.故x=1就是分 [44,+o∞). 界点，我们把这种方法称为 “相等分界法” 120 第三章〉函数的概念与性质儿 又因为y=在1∈（一6∞，0），(0，十∞)上单调递减，所以由 1 复合函数的单调性可知函教y一十3江-产的单调递增区间为 [是4)和(4，+o. 答案C @变式23(2024，福建师大附中期中测试)已知函数f(x) 在定义域[0，十o∞)上单调递减，则「(1一x)的定义域是 ,单调递减区间是 考点3 函数的最值 第 ·核心总结· 海难点突破 1.函数最值的定义 1.西数的最值与值域之 最大值 最小值 间有什么关系？ 对一个函数来说，其值域 设函数y=f(x)的定义域为I,如果 设函数y=f(x)的定义域为I, 是确定的，但它不一定有最 存在实数M满足： 如果存在实数V满足： (1)Hr∈I.都有f(x)M: (1)Hx∈I,都有f(x)≥N: 值：如西数)一子如果有最 (2)3x∈1，使得f(xo)=M,则称(2)3x∈1，使得f(x)=N,则 值，则最值一定是值域中的一 M是函数f(x)的最大值 称V是函数f(x)的最小值 个元素. [注意](1)定义中M首先是一个函数值，它是值域中的一 2.利用函数的单调性就 可以求出最值吗？ 个元素，如函数f(x)=一x(x∈R)的最大值为0，有f(0)=0, 一般情况下，利用函数的 注意对“存在”的理解， 单调性就可以求出函数的最 (2)对于定义域内任意元素，都有f(x)≤M或f(x)≥N 值，但是对于定义域为闭区间 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式。 的函数，还霄要确定函数在端 (3)对于函数y=f(x)的最值，可简记如下： 点处的函数值的大小，与前面 求得的最值进行比较，值最大 最大值：ymx或f(x)nx: (小)者即为函数的最大（小）值 最小值：ymin或f(x)n 已方法梳理： 2.函数的最值与函数的连续性相关 1.应用函数的单调性，可 若f(.x)为闭区间[a,b)上的连续（关于“连续”这里暂理解 以求函数的值城，解决与值城 为不断开)函数，则f(x)在[a,b们上必能取得最大值和最小值： 有关的问题，求函数的最大值 或最小值 若f)在[a,b]上不连续，则不然，如y=在x∈[-1,1]上 (1)运用西效的单调性求 最值是求函数最值的重要方法， 既无最大值，也无最小值，因为y=在x=0处无意义，函数的 特别是当函数的图象不易作出 图象是断开的 时，单调性几乎成为首选方法 (2)函数的最值与单调性 ⊙考题6(2024，江苏金陵中学单元测试)函数∫(x)= 的关系： 121 考点同步解读〉高中数学必修第一册A色 3 2x°在区间[1,5]上的最大值为 ,最小值为 若函数在闭区间[a,b们上是 减函数，则f八x)在[a,b门上的最 3 大值为f(a),最小值为f(b): 函数f(x)=2z一在区间[1,5]上单调递减，函数 若函数在闭区间[a,b上是 )=2在区间[1,5]的两个瑞点处分别取得最大值与最小 增函数，则f(x)在[a,b门上的最 大值为f(b),最小值为f(a. 值，最大值为f1)=3,最小值为f5)= 2.利用函数的图象求最 3 值是求函数最值的常用方法， 国3 需注意最值必须在函数值城 内，即图象的最高（低），点为实 ⊙变式3(2024，广西玉林十一中月考)已知函数f(x)= 心点.这种方法以函数最值的 第 几何意义为依据，对较为简单 章 ,x2 -x,0≤x≤2， 且图象易作出的函数求最值 2 则函数f(x)的最大值为 ,最小值为 较常用，图象法求最值的一般 第三童 x-1>2, 步骤是： 作出西数图象 第 ⊙考题7(2024，浙江慈溪中学单元测试)（多选）已知函数 在图象上找到品 x2-4x十a,x≤1， 数的单胡区间 第五金 f(x) x4 若f(x)的最小值为f(1),则实数a的 确定函货的爱大 ,x>1, (小值 值可以是( 3.求分段函数的最值时， 需要注意的是分段函数的最 A.-1 B.0 C.1 D.2 大（小）值是各段函数的最大 解析当x≤1时，f(x)=x2一4.x十a=(x一2)2十a一4， (小)值中的最大（小）者， 则f(x)在（一o○，1门上单调递减，所以f(x)m=f1)=a一3， 当>1时，)=气4=1-则fx)在1，十o∞)上单洞 递增，所以当x>1时，f(x)>-3,所以a-3≤-3，得a≤0. 答案AB ⊙变式32(2024，浙江杭州二中期末测试)已知函数f(x) ②教材深挖， 对勾函数的单调性 一在[0,1门上的最大值为3，则实数m的值为 教材第79页【例3】证明 ⊙考题8(2024，重庆巴蜀中学期末测试)已知函数f(x)= 了高数)x+在区间1， 十6©)上的单调性，我们称形 x一8，g(x)=3x一x,x∈R,用m(x)表示f(x),g(x)中的较小者，记 为m(x)=min{f(x),g(x)},则函数m(x)的最大值为 如fx)=ar+2a>0.b> 0)的函数为对勾函数 解析令x一8=3x一x2,解得x=一2或x=4,即函数f(.x) (1)西数f(x)的定义域 x一8与g(x)=3.x一x2图象的交点坐标为(4，一4)，（一2，一10）， 为(-o0,0)U(0,十∞). 122 /第三章〉函的概念与性质 3x-x,x≤-2或x≥4， 所以m(x)=min{f(x),g(x)} x-8.-2<x<4. 2)通数在（√臣 画出f(x),g(x)两函数的图象，如图所示 0)和0√臣）上单调通减：在 年y y-f(r) (-,√)利（吾，+） 上单调递增。 (3)函数f(x)的图象如 图所示。 10 由图可知，m(x)x=m(4)=一4. 答案一4， ©变式33(2024，山东烟台一中期未测试)已知max{a,b, c}表示a,b,c中的最大值，例如max{1,2,3}=3,若函数f(x)= max{一x2十4，一x+2,x+3},则f(x)的最小值为( A.2.5 B.3 C.4 D.5 考点4 函数单调性的应用 ·核心总结， 动难点突破 应用函数的单调性应把屋以下三点： 准确理解增函数、 1.坚持“定义域优先”的原则：在研究函数性质时，要优先 减函数的意义 考虑函数的定义域 增函数、减函数的定义中 2.“局部”性：函数的单调性是函数在某个区间上的性质， 兹含了在定义区间内自变量 它研究的是函数的局部性质 的不等关系与相应函数值不 3.“任意”性：单调性中的x1,x2必须是在这一局部（区间） 等关系的相互转化，这一点要 紧紧依赖函数的单调性。 内任取的两个值。 ⊙考题9(2024，江苏南通四校期未联考)若函数∫(x)= ⊙方法梳理， x2,x>1, 1.利用单调性比较大小 (4-)-1,≤1 在R上是增函数，则实数a的取值范围是 (1)利用单调性可以比较 函数值的大小，即增函数中自 ). 变量大的函数值也大，减函数 A.(1,+∞) B.[4,8)C.[1,4) D.[2,8) 中自变量小的函数值反而大 (2)利用单调性比较西数 解因为函数f(x)在R上是增函数，所以f(x)在（一∞，1] 值大小时应注意将自变量放 上单调递增，故4号>0，即a<8.当x>1时，f()=x单调递 在同一单调区间内 2.利用单调性解不等式 增，所以f(x)>1;当≤1时，fx)=(4-)-1单调递增，所 (1)利用单调性解不等式 就是利用西数在某个区间内 以f)≤3-受 的单调性，推出两个变量的大 123 考点同步解读〉高中就学必修第一册A☑ 又函数f)在R上是增函数，所以3-号<1，解得a>4.又 小关系，然后去解不等式 (2)利用单调性解不等式 4<8,所以4≤a8. 时应注意函数的定义域，即首 故实数a的取值范围是[4,8). 先考虑使给出的解析式有意 答案B 义的自变量的取值范国， (3)利用单调性解不等式 ⊙变式4(2024，湖北武汉部分学校期中测试)（多选）若 时，一定要注意变量的限制条 (2b-1)x十b-1,x>0, 函数f(x)= 在R上为增函数，则实数b 件，以防出错。 -x2+(2-b)x,x≤0 第 3.根据函数的单调性求 的取值可以为( 参数的取值范围的方法 A.-1 B.1 C.2 D.4 (1)单调性的定义法.设 第 ⊙考题10(2024，东北三校高一联考)已知函数f(x)=x 单调区间内x1<z,由f(工) -f(x)<0[或f(x1) +号在1，十©)上是增函数，求实数a的取值范围。 f(x)>0们]恒成立，求参数的 第三章 取值范围 解析设1<x1<x2,.x1x2>1. (2)利用具体函数本身所 第 ,函数f(x)在(1，十∞)上是增函数， 具有的特征，例如，二次函数 )-f)=-4+号-(4+号 单调区间被对称轴一分为二， 第五金 根据对称轴相对于所给单调区 =m-1+）0, 间的位置求参数的取值范固. x1一2<0,1十a>0,即a>-2恒成立. 山规律总结… ,1<x1<x2,x1x>1, 1,利用函数的单调性可 以比较函数值或自变量的大 ∴.-x1x2<-1,a≥-1. 小，在解决比较函数值的大小 .a的取值范围是[一1，十©o) 问题时，要注意将对应的自变 ⊙变式42(2024，湖北武汉一中单元测试)已知f(x)= 量转化到同一个单调区间上 一x3十a.x在(0,1)上是增函数，则实数a的取值范围是 2.相关结论 ⊙考题1而(2024，江西南昌二模)（多选）已知f(x)为区间 (1)正向结论：若y= f(x)在给定区间上是增函数， (一o∞，十∞)上的减函数，且a∈(0，十o∞)，则(). 则当<时，∫(x)< A.f(a)>f(2a) B.f(a2)<f(a) f（x2):当>x2时，f(x1)> C.f(a2+1)<f(a) D.f(a2+a)<f(a) f(xz). 解析因为a∈(0，十o),所以a<2a,又f(x)为区间（一∞， (2)逆向结论：若y 十o∞)上的减函数，所以f(a)>f(2a),故A正确；因为a一a= f(x)在给定区间上是增函数， a(a一1)与0的大小关系不定，所以无法比较f(a)与f(a)的大 则当f()<f(x)时，<c 当f()>fx)时，d>. 小，故B错误：周为a2+1-a=(a》+是>0，所以d+1>a, 当y=∫(x)在给定区间 又f(x)为区间（一o∞，十o∞）上的减函数，所以f(a十1)<f(a) 上是减函数时，也有相应的 结论 故C正确；因为a2十a一a=a>0,所以a2十a>a,又f(x)为区间 124 /第三章〉函数的概念与性质小 (一o∞，十∞)上的减函数，所以f(a2十a)<f(a),故D正确. 答案ACD ⊙变式43(2024，江西抚州一中单元测试)已知函数f(x) 的图象关于直线x=1对称，且在(1，十∞)上单调递增.设a= f(-2）b=f2),c=f3),则( A.c<<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<<c ⊙变式44(2024，北京八中月考)已知函数f(x)= 第 x+1,x∈[0，+o∞)， 则关于实数m的不等式f(2m)>f(m)的 x十1，x∈(-∞，0)， 解集为 第 考点5 二次函数的单调性与最值 N ·核心总结· 海难点突破 a>0 a<0 二次函数最值的常见类型 求二次函数的最值有两 函数y= 种类型：一是函数定义城为实 ax+br+ 数集R,这时只要根据抛物线 c(a≠0) 的图象 的开口方向，应用配方法即可 2a 求出最值：二是函数定义域为 开口方向 向上 向下 某一区间，这时二次函数的最 对称轴 b 6 值由它的单调性确定，而它的 2a x=- 2a 单调性又由抛物线的开口方 顶点坐标 向和对称轴的位置（是在区间 上，还是在区间的左侧，还是 在区间（，一]上单调在区间（，一]上单调 在区间的右侧)来决定，当开 单调性 递减，在区间[一名+）上 递增，在区间[一名+ 口方向或对称轴位置不确定 时，需要进行分类讨论 单调递增 上单调递减 当x=一 时，函数取得最小 2a 当x=一 时，函数取得最 2a 最值 值lac一 Au 大值lac一 ⊙考题2(2024，山东济宁梁山一中月考)若函数f(x)= 山规律总结” x2+2(a一1)x十2在区间（一∞，4]上单调递减，则实数a的取值 1.单调区间是一个整体 概念，比如说函数的单调递减 范围是 :若函数f(x)=x2+2(a一1)x十2的单调递减区 区间是I,指的是函数递减的 间是（一∞，4]，则实数a的取值范围是 最大范围为区间【.而函数在 125/考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 7.(1)如图，延长EF交AB于点G 2.3-1.[令x=1,2,分别得f1)=f(1)+f(2)-1, 2)=21+受-1.解得/2=1,0)=是. 从而对0，有)=是+士-1. 易知FG=2. 当xe0,+∞)时≥2年x…-1=月-1. 当0<x≤1时.S(x)=x: 当1<≤2时，S(.x)=1: 当且仅当2时等号成立 当2<r≤3时，5m=1-号（-2)= gr+ 所以f(x)在(0，+∞)上的最小值为3-1.] 2x-1. 3.2函数的基本性质 fx,0r≤1， 3.2.1单调性与最大（小）值 综上，S(x)= 1.1<x2, 【变式训练】 7x+21.2<x≤3 [变式1-1]AB[由函数单调性的定义可知，若函数 f(x)在给定的区间上单调递增，则n一与f()一 (2)作出S(x)的图象，如图所示. 来Sx f(x)同号，由此可知，选项A,B正确，D错误：对于选项 C,因为，的大小关系无法判断，所以∫()，f() 的大小关系也无法判断，故C错误.故选AB.] [变式1-2]Hx42∈[0，十oo),且x<x, 则f(x)-f()=√- 由图象可知此函数的值城为(0,1门. =-)(①+玉 (3)由(1)知，在(0.1]上，S(a)=a= 7 8 Vx1+√ 在2.3上.su)=-号+2a-1= 8,整理得4a =一 √五+ 3 16a十15=(2a-3)(2a-5)=0,解得a=2(舍去)或 0≤<x,x-x2<0,√+√>0， 5 .f(x1)-f(x)<0,即fx)f(2). a=2 ∴.f(x)=云在区间[0，十o∞)上是增函数. 综上a=名或a=号， 5 [变式1-3]x2∈(-2，十©)， 【实验班选做题】 且<2，则一>0， 1.ABC[令x=y=0,可得f(0)=2f(0)f(a),因为 :jr)=ax+2a+-24-=a+1- 0)=号，所以u)=号A正确， x+2 x+2 令y=0,可得f(x)=f(x)f(a)十f(0)f(a-x),代入 ))=(u+2》)-(u+) c1十2 fa)=受，可得fa-x)=fx),同理，fa-)= =0-2a(中2+》 f八y),即原等式变形为fx+y)=2f八x)f(y,C正确. 令y=x,可得f(2x)=2Lf(x)]下，即函数取值非负. =1-2a)·+2)(a+2 令y=a-x,可得fa=2fx)P,即[fP=}, 又，-2<x<, ∴(+2+2<0. 解得f)=之，只有1个，故B正确，D错误.] 六当1-24>0，即a<时)-fx)<0. 24 参考答案与提示)7 即f(x)<f(x): x)取得最小值-子.故f(x)的最大值为2，最小值为 当1-2a<0,即a>2时，a)-fn)>0, 即fx)>f(). 当a<号时)-(a≠号)在(-2，十∞)上 为减函数：当u>时，f)=(a≠号)在(-2， 十∞)上为增函数. [变式2-1]C[f(.x)=(x f(x) [变式3-2]3.[/(x)=2+m-2=2+m-2, x-4x,x≥0， x+1 r+1 4)·x|= -x2+4.x,x<0, 显然1≠2. 数图象如图所示，由图可知函数 当m>2时，函数f(x)在[0,1上单调递减.则f(.x)s= 的单调递增区间为（一∞，0）和 0)-2+8 =3,解得m=3: (2,十∞).] 当m<2时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，则f(.x)x= [变式2-2](0,1)：[1，+o∞). [利用作差比较法判断f(x)一f()的符号. )=2+子-3，解得m=4(含去。 任取x,0∈(0，+∞)，且<， 综上，m=3.] [变式33]B[在同一平面直角坐标系中作出函数 则fa)-fx)干十节 y=-x+4,y=-x+2,y=x+3的图象，因为f（x)= =(5+1)-x(+1) max{一x2十4，一x十2，.x十3}，所以f(x)的图象如图中 (xi+1)(x5十1) 实线所示， =-)(x-1) (z+1)(x+1) ,x十1>0，x十1>0，-x>0, .当r∈(0,1)时，x1x-1<0,f(x)-f(x)<0, 即f(x1)<f(x),函数y=f(x)是增函数：当，∈ [1,+oo)时，0-1>0，f()-f(n)>0,即f()> 6-5-492-10 f(2),函数y=f(x)是减函数.综上所述，f(x)的单调 递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1，十∞).] y=-2+4, 由 0,可得A(一1,3)， [变式2-3][-1,1]：[-1,0].[：f(x)的定义域为 y=一x十2. [0,十∞)，.1-x2≥0，即x2≤1，解得-1≤x≤1. y=一z2十4. >0.可得(5,5)， 故函数f(1一x2)的定义域为[-1,1门. y=x+3, 令=1一x(w0),则f(1-x)=f(w). 由图知f(x)的最小值为3.] 当x∈[0,1时，u=1一22单调递减，则f1一x)单调递增： [变式+1]BC[要使此分段函数为R上的增函数，必 当x∈[一1,0们时，u=1一x2单调递增，则f(1一x2)单调 须使函数(x)=(2b-1)x十b一1在(0，十∞)上单调递 增，函数h(x)=一x2十(2一b)x在（一o©，0]上单调递 递减. 增，且满足h(0)≤g(0),根据一次函数和二次函数的单 故f1一x2)的单调递减区间为[一1,0].] 2b-1>0. [变式31门2，- ,作出f(x)的图象如图所示.由 调性可得 2×(-≥0，解得1≤<2，即实数b的取 2-b 图象可知，当=2时x)取得最大值2：当x=合时， 0≤b-1, 25 /考点同步解读)高中数学必修第一册RIA色 值范围是[1,2].] aj+28-a)+2re[o.2]>0 [变式+2][3，十∞).[设0<<<1.则m 将区间看作是不动的，对称轴变化，进行如下讨论 x<0,f()-fx)=(-x十a)-(-x+a.m）= ①当0<3-a<2(a>0.即 0a3 (x-x)+a(x:-x)=(x-x:)(ri+rx:+ri-a). 时， a a2-3a+2>0 因为f(x)在(0,1)上是增函数，所以f()一f(x)>0. 解得0a<1或2<a<3. 又因为x一x<0,所以x十移十后一a<0恒成立， 即a>x十x1十x恒成立. 此时Ma)=f3-a)=(3-a+2 又因为0<x<x<1,所以x+1x十<3. ②当3-a2≥2(a>0,即 a>0 时， 所以a≥3，即实数a的取值范围为[3，十o∞).] a2-3a+2≤0 [变式4-3]B[因为函数f(x)的图象关于直线x=1 解得1≤a2 对称，所以a=f(-号)=f(号）.又fx)在1，+∞) 此时Ma)=(2)=2-a×是+3x名-（侣）= 上单调递增，所以f(2)<(号)<3)，即a<] 2+ a [变式+4)(0,2).[当x≥0时，y=x十1单调递增， ③当3一a≤0，即a≥3时，M(a)=f(0)=2. 当x<0时，y=x+1单调递增，且函数f(x)在x=0处 综上所述， 连续，故函数f(x)在R上单调递增.由f(2m)>f(m) 2(3-a)+2,0<a<1或2<a<3 得2m>m,解得0<m<2.] M(a)= [变式51]A[根据题意可知，函数f(.x)=x2一kx 是+6,1≤a≤2， a24 8为二次函数：其图象开口向上，对称辅方程为上=合， 2,a≥3. [变式6-1](1)令a=b=0,则[f0)=f0),又f0)≠0， 若函数f八x)=x-kx一8在区间[5,20]上具有单周性，则 所以f(0)=1. 会5或号>20，解得10或≥40，所以实数长的取 当x>0时，一x<0,所以f(一x)>1, 值范围是(-∞，10]U[40,十∞).] 又f(xf(-x)=f(x-x)=f(0)=1, [变式5-2]f(x)=3.x2-12x十5=3(x-2)°-7. 1 所以=-即0x)1 (1)当x∈R时，f(x)=3(x-2)一 (2)f(x)在R上单调递减. 7≥一7恒成立.故函数(x)的最小值 证明如下：任取n∈R,且<，则f(知)一f()= 为一7，无最大值 39 f-+）-f()=f(n-)f(2)-f(n)= (2)函数f(x)=3(x一2)一7的图象 f2)汇fm-x)-1]. 如图所示.由图可知，函数f(x)在[0， 又x1<x,所以x一x<0,所以f(x一x)>1, 2]上单调递减，在[2,3]上单调递增， 又当x0时，fx>1,当>0时.0fx)1,/0)=1, 所以f(x)在x=2处取得最小值，最小值为f(2)=一7. 所以f(.x1)一f(.x2)>0,即f(x1)>f(x2), 又f0)=5,f3)=-4,所以函数f(x)在x=0处取得 所以f(.x)在R上单调递减. 最大值，最大值为5. (3)由图可知，函数f(x)在[一1,1]上单调递减，在x= 3)咽为2)=， 一1处取得最大值.最大值为（一1）=20：在x=1处取 所以f8)=f2)f6)=f2)f2)f4)=[f2)]=: 得最小值，最小值为(1)=一4. 所以f5-6)>6,即f5f-6)>f(8). [变式53fx)=2-ar+3-2=-[x-(3 又f(x)在R上单调递减， 26 参考答案与提示) 所以50-61<8，解得-青<<2， (+是)》-号≥-具，则函数可转化为ga)= 所以不等式f50-60)>的解集为(-青2)： d+2a=a+1yr-1,a>-号， .当a=-1 [变式6-2】[号，+∞）.[若存在xE[1,+∞，使不 时，g(a)有最小值，为一1，故f(x)的最小值为一1.] 4.B[因为定义在R上的函数fz)满足fx)=3f代x)+ 等式学≥十2成立，则a≥(2+2)e[1, x2-2x,所以f(x1)=3f(|x)+|x-2x|,所以 +.又221-+ 冷)=是-+1. 1)=-+xx)=3(-2r+）+ 1 r+31x1-2 2 x2十x,r≥0 xe1.+o).则f)=2(}-)广+名re1.+eo》 x2-2.x= zx2-5,r<0. 的最大值是2故(+放>] 当x≥0时，f(x)的单调递增区间为[0,1]，当x<0 【基础过关练】 时，f(x)的单调递增区间为（一∞，一5]，故f(x)的单 1.C2.B 调递增区间为（一∞，一5]和[0,1门.] 3.A[对任意AR∈Rn≠)，有）二@<0，则 5.AB以[由已知得f(n)-fn)>>0(> TL? >0),故函数fx)在(0，十∞)上单调递减，故A正 一与f(x)-/()异号，则f(x)在R上是减函 数.又3>2>1，则f(3)<f(2)<f1).] 确：令gx)=f代x)-云·则g)-x)=f八) 4.5.[当x<1时，函数y=x+3单调递增，且有y<4, f)-一4>凸-9二-号>0，所以 无最大值：当x≥1时，函数y=一x十6单调递减，则 2x4 2.x1x2.x1x g(x)在(0，十∞)上单调递诚，故B正确：结合选项A 在x=1处取得最大值，最大值为5.所以，函数在整个 定义域内的最大值为5.] 的分析可知，2)-3>号发是君>0，故C正确， 5.(-0,-)月 [由函数f(x)=(2k十1).x十b在 D错误.] 6.AD[F(.x)的图象如图中实线所示 (一9，十∞)上是减函数，可知2k十1<0，解得k< -2J 【高考提能练】 1.C[,函数f代x)=a.x十1在R上单调递减。a<0, ∴g(x)=a(x2一4.x+3)的图象开口向下，且对称轴方 程为x=2,∴g(x)在（一o,2)上单湖递增，即函数 g(x)=a(x2-4x+3)的单调递增区间为（一oe,2).] 2.B[因为f(x)对任意的n,∈（一∞，十∞），且 ≠，都有)二Lx>0,所以函数fx)在R 由图象可得F(x)有最大值，无最小值， 当x<0时，由x2-2x=3+2.x,解得x=2+√7（舍去） a≥l, 上单调递增，所以2a一1>0， 解 或x=2-√7，此时F(x)的最大值为7一2V7.] (2a-1)×1-3a+6≥-1+2a 7.素[/+2)-f0)=a+2)-a+2)-(ar- 得1≤a≤2，故a∈[1,2].] 1)=2a(3十61十4)一2.因为存在t∈R,使得|f(1+ 3.A[fx)=x(x+1)(x+2)(x+3)=[x(x+3)[(x+1)· (.x+2)]=(.x2+3.x)[(x2+3x)+2],令a=x2+3r= 2)-f01<号，所以-号≤2a(3r+6+40-2≤号 27 考点同步解读)高中数学必修第一甜RJA色 2 有解.因为3r+6+4>1,所以33r十6+≤a≤ 由/)<生得(2a-1Dr+(a+20r+4h-4长0 308十6十0有解.所以a≤[38r+D]=分， 4 4 若2a-1=0,则必有4a十2h=0,此时与(2a+-2)≤8ab 矛盾， 所以a的最大值为号] 所以2a-1<0且(4a十2b)2≤4(2a-1)(46-4), 8.(1)令n=n=1,由条件得f(1)=f(1)+f(1),故 整理后为4a+b≤4ab-8a-4b+4, f(1)=0. 与4a2+≤4ah+8a+4h-4相加即得42+≤4ah, (2)fm)=f(·n)=f(g)+f, 即(2a-b)2≤0，所以2a=h.所以f(x)=(.x+2)(ax+ 2a)=a(.x+2)2. 即f(）=fm)-f. 又由于在原不等式中令x=2,可得4≤f(2)≤4， (3)任取a∈(0，十∞)，且n<,则号>1. 所以2)=4，由此解得a=子 由2得)-fn)-f(票)）>0，即)> 所以)=十+2，所以f10)=36.] 故f(x)是增函数. 2.[4,8.[设函数6(x)=r+15+1(x≥2)（当2≤ (4)由于f(2)=1,∴.2=f(2)+f(2)=f(4), x≤a时，f(.x)=f(x)). 由f(x+2)-f2x)>2,可知f(x+2)>f(2x)+f4), 由于f%(x)在[2.门上单调递减，在[4，十o)上单调递 .f(x+2)>f(8x). 增，且注意到f6(2)=11,f6(4)=9,f(8)=11,故所 x+2>8r, 求a的取值范围是[4,8].] 又，f(x)在(0，十∞)上单调递增，.x+2>0, 3.2.2奇偶性 8.r>0, 【变式训练】 解得0<号。 [变式1-1]B[:fx)为奇函数，∴f-x)=一fx. 故不等式+2)-2>2的解集为：0<x<号}。 又，f(x)≠0，.fx)f(-x)=-[f(.x)]F<0.] [变式1-2](1)：f(x)的定义域为[-1,0)U(0,1门，关 5由题意知m士型-号m. 于原点对称。 2 ("Ψ)[("安)+("] 又fx)= -正=王 1x+2-2 2(mg)), f-x)==-正-王 =-fx), 且("空）-mm=("2）≥0. ∴f(x)是奇函数。 (2),函数f(x)的定义域为{xx≠0，x∈R},关于原点 “("空）≥m当且仅当m=n时取等号). 对称， “x)是增函数，∴f(m）)≥mm 又：-0=(-(2与十2) ∴(0生)≥m生m 2 =(2光一） 【实验班选做题】 =1+马)】 1.36.[由f(-2)=0,可设f(x)=(.x+2)(ax+b)= a.x2+(2a十b)x十2b(a≠0)，则由f(x)≥2x得a.x2+ =(2+号）= (2a+b-2)x+2b≥0， f(x)为偶函数， 所以a>0,且(2a+b-2)'≤8ab,整理后即为4a+ [变式13](1)函数f(x)的定义域是(-，0)U(0, ≤4ah+8a+4h-4, 十∞)，关于原点对称. 28