3.1.2 函数的表示法-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第三章> 品数的概念与性质/ 3.1.2 函数的表示法 高考要求 学业标准·考情分析 -_考点分布 学科素养- 一学法导引 1.在实际情境中,会根据不同的需要选 画函数的图象一般采用列表、描 择恰当的方法(如图象法、列表法、解 数学建模、直观想象 析法)来表示函数.() 点、连线的方法,主要解决两个问题:位 2.了解简单的分段函数,并能简单应用. 置和形状,函数图象位置的确定以它的 数学抽象、数学运算 (★★) 定义域为主要依据;函数图象形状的刻 画是依据对应关系而定,要注意分段函 3.学会描绘分段函数的大致图象,并能正 数图象的画法;同时,函数的图象也可 确地求出分段函数在某点的函数值 直观想象、数学运算 以是一些点、一些线段或一段曲线等。 (★★★) 考点分类 考点透析·典例剖析 回 考点 函数的表示法 ·核心总结· 容难点突破.. 1.解析法 1.所有的函数都能用解 含义 示例 定义域 值域 析法表示吗? 用数学表达式表 使解析式有意 y-c的定义域是 不能,解析法是利用代数 因变量y的 示两个变量之间 义的自变量1 xlx>0),值域是 方程一((x)(xA)来表示 取值范围 的对应关系 的取值范围 y0 函数的方法,通常f(x)是一 2.列表法 个含有自变量的表达式,当无 法用表达式表示y与x之间 含义 定义域 值域 示例 61 的关系时,函数不能用解析法 表示。 列出表格来表 表格中相 表格中自变量 示两个变量之 应y的取 2.列表法的优缺点是什么? c的取值集合 无须计算 值集合 定义域是(1,2,3,值 间的对应关系 仅能表示 就可以直 域是(0,-1,1) 自变量取 3.图象法 自变量对 限值时的 应的函数值 对应关系 含义 值域 定义域 示例 借助表格的直观性,可以 比较明确地刻画出自变量与 图 用图象表示两个变图象在x轴图象在y轴 函数值的对应关系,考题]中 上的投影 量之间的对应关系 上的投影 定义域是[1,2. 函数是以表格形式给出的,因 值域是[0.6.2.8 此我们可依表求出所给工对 应的函数值 103 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA& D考题1 (2024,山东省实验中学单元测试)已知函数f(x). 3. 图象法的优缺点是什么? g(x)分别由下表给出; 能形象 只能近似表 直观地 示出自变量 优 表示画 的值所对应 /(x) 数的变 的函数值, 化情况 而且有时误 则f(g(1))的值为,满足f(g(x))>g(f(x))的x 差较大 的值是 解析:g(1)-3. 方法梳理 f(g(r)) g(f(x)) 昂 ..f(g(1))-f(3)-1. 3 1 1.判断给定的表格是否 1 同理,依上表得/(g(x)). 】 为函数关系的方法 2 根据函数的定义,一看是 g(f(x))的各值如右表,故满足 3 否为非空数集,二看“任意性” f(g(x))>g(f(x))的x的值为2 与“唯一性”。 答案1;2. 2.由给定表格表示的函 。 变式1-11 (2024,湖南长沙高一调研)果蔬批发市场批发 数求函数值的方法可根据给 某种水果,不少于100千克时,批发价为每千克2.5元,小王携带 定的对应关系反复选代即可. 现金3000元到市场采购这种水果,并以此批发价买进,如果购买 3.用列表法表示函数关 的水果为x千克,小王付款后剩余现金为y元,则x与y之间的 系的方法 函数关系为( ). (1)根据题设确定自变量 A.-3000-100x(100 x1200) x的值. B.-3000-100x(1001200) (2)根据题设确定对应的 C.y-3000-2.5x(100x1200) 函数值. (3)根据自变量与函数值 D.-3000-2.5x(100x1200) 。考题2 之间的对应关系列表表示 (2024,江西上饶一中月考)已知完成某项任务的 4.实际问题中在由给定 关系求解析式时,常用待定系 数法。 x-2时,7-100;当x-14时,7一28,且参与此项任务的人数不能 超过20人. 规律总结 (1)写出函数t的解析式 用三种方法表示函数时的 (2)用列表法表示此函数 注意事项 (3)画出函数/的图象 1.解析法必须注明函数 (1)由题设条件可知,当x-2时,/-100;当x-14时; 的定义域. 2.列表法必须罗列出所 a-1, 解得 所以t-196 (-28,得方程组 有的自变量与函数值的对应 16-196. ): 关系. 3.图象法必须清楚函数 又因为x20,:为正整数, 图象是“点”还是“线” 所以函数的定义域是x0 x20,xCN. 104 第三章> 品数的概念与性质/ (2)列表如下: 视野拓展.. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 函数图象的定义及其理解 197 53 35 32.530.829.6 1.将自变量的一个值x。作 100 68.3 44.238.7 18 19 为横坐标,相应的函数值f(x) 11 12 13 142 15 r 16 17 20 作为纵坐标,就得到坐标平面 28.828.328.1 28 28.128.328.528.929.329.8 上的一个点(xπ·f(x。)).当自 注:表中的部分数据是近似值. 变量取遍函数定义域A中的 (3)如图,函数t的图象是由20个点组成的一个点列 每个值时,就得到一系列这样 的点,所有这些点组成的图形 就是函数y一f(x)的图象,函 数y一f(x)的图象在工轴上 的射影构成的集合对应函数 的定义域,在v轴上的射影构 102030七 成的集合对应函数的值域。 0 2.函数图象的形状不一定 变式1-2 (2024,北京西城区一模)某商场新进了10台彩 是一条或几条无限长的平滑曲 电,每台售价3000元,试求售出台数x(单位;台,2为正整数)与 线,也可能是一些点、一些线 销售额v(单位:元)之间的函数关系,分别用列表法、图象法、解析法 段、一段曲线等,但不是任何一 表示出来. 个图形都是函数的图象. 考点2 分段函数 ·核心总结· ☆难点突础 1.分段函数的概念 1.分段函数的定义域部 在函数定义域内,对于自变量;的不同取值区间,有着不 分可以相交吗? 同的对应关系,这样的函数称为分段函数 分段函数的定义域部分 2.分段顾数的图象 是不可以相交的,这是由函数 分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成,作图的关 定义中的唯一性决定的 键是根据每段的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图 2.分段函数各段上的对 象,作图时要注意每段曲线端点的虚实,横坐标相同的地方不 应关系不同,那么分段函数是 能有两个或两个以上的点 由几个函数构成的吗? 3.分段函数常见的三种问题的求法 (1)分段函数是一个函 数,切不可把它看成是几个函 [/i(x),xI. 设分段函数f(c)一 数,它只不过是在定义域的不 lf(x).xEI. 同子集内解析式不一样而已 (1)已知x求f(x): (2)分段函数在书写时用 ①判断x。的范围,即看x。EL,还是x。EL。; 大括号把各函数合并写成一 105 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RA& ②代入相应的解析式求解。 个函数的形式,并且必须指明 (2)已知/(x)一a,求xo; 各段函数自变量的取值范围。 3.分段函数分几段,其图 ①当xoEI时,由fi(x)一a,求x; 象就有相应的几个吗? ②验证t是否属于I,若是则留下,反之则舍去 分段函数是一个函数,只 ③当xEl时,由f(x)一a,求x,并判断此时x。是否 有一个图象,作图时只能将各 属于I,方法同上 段函数图象画在同一坐标系 ④写出结论 中,而不能将它们分别画在不 昂 (3)解不等式f(x)>a: 同的坐标系中. [xI. 1 ] [xI. f(.x)>→ 或 f(x)>a” /(x)>a. 考题3 (2024,广东阳江一中单元测试)函数f(x)一 喜视野拓展 2r2,0<x<1. 1.分段函数的定义域 ). 的值域是( 2.1r2. 一个函数只有一个定义 回 料 3,x2 域,分段函数的定义域是所有 C.[0.3] A.R B.[0.十) 自变量取值区间的并集,分段 D.[0.2](3 函数的定义域只能写成一个 解析当x[0,1]时,f(x)=2x*}[0,2],所以函数f(x)的 集合的形式,不能分开写成几 值域为0,2U(2,3-[0.2]U3 个集合的形式. 答案 D 2.分段函数的值域 变式2-1 (2024,江西临川一中月考)已知函数f(x) 求分段函数的值域,应先 x-2,x2, 求出各段函数在对应自变量 则f(f(3)-( ). 的取值范围内的函数值的集 合,再求出它们的并集. A.1 B.3 C.-1 D.-3 3.常见的几种分段函数 考题4 (2024,江西南昌二模)已知实数a去0,函数f(x) (1)取整函数 2x十a,x1. f(x)一[]([]表示不 若f(1一a)-f(1十a),则a的值为 大于工的最大整数),如图1. -x-2a,r1. (2)符号函数 解析 当a0时,1-a>1,1+a1 (x)-(-1 所以f(1-a)--(1-a)-2a=-1-a,f(1+a)-2(1+ [一1:为奇数, a)+a-3a+2. (N). 1,为偶数 因为/(1一a)-f(1十a). 2 所以-1-a-3a+2,所以a=- 2 =1-3-2-1123 当a>0时,1-a1,1+a>1. 所以f(1-a)-2(1-a)+a-2-a,f(1+a)--(1+a)- 二3 2a--3a-1. 图1 106 第三章> 品数的概念与性质/ 因为f(1-a)=f(1+a). (3)含绝对值符号的函数 fx)=x+2 所以2-a=-3a-1,所以a-- [x十21-2 1--2r<-2. 4 如图2. 答案 点解方程/(1-a)-f(1十a),可通过讨论1-a,1+a与 1的大小关系,利用所给分段函数的解析式将“f”脱掉,然后转化 -3-2-10121 为关于a的方程。 D 变式2-2 (2024,北京西城区一模)已知函数f(x) 图2 1] 1,x0. (4)自定义函数 则不等式(x十1)/(x)>2的解集是 [-1,x0. -1-1.1-1. 考题5 f()=--2-1<<2 (2024,安微合肥一模)如图所示,已知底角为45* r-2x2. 的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为2/2,当一条垂直于 如图3. 回 底边BC(垂足为点F,F不与点B,C重合)的直线/从左至右移 ) 动(与梯形ABCD有公共点)时,直线/把梯形分成两部分,令 BF一x,试写出直线/左边部分图形的面积y关于x的函数 -3-2+101/23x 图3 C 分别过点A.D作AG BC,DH BC,垂足分别为点 G.H(图略). 规律总.. 因为四边形ABCD是等腰梯形,底角为45*},AB一2/②,所以 1.求分段函数的函数值 BG-AG-DH-HC-2. 的关键是“分段归类”,即自变 量的取值属于哪一段,就代入 又因为BC-7,所以AD-GH-3. 哪一段的解析式, 2.作分段画数的图象时. ②当点F在GH上,即2<5时,-2+2(x-2)-2x-2; 分别分段作出其图象,在作每 ③当点F在HC上,即5 x7时,y-SAaFE=SsAc 一段图象时,先不管定义域的 限制,作出其图象,再保留定 义域内的一段图象即可. 3.分段函数的每一段都有 各自的定义域,故分段函数的 故函数的解析式为y-{2x-2,2<x5. 定义域是各段定义域的并集。 107 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RA& 。 变式2-3 (2024,湖北荆州中学单元测试)已知函数f(x) -2十”。 (1)去掉绝对值,写出f(x)的分段解析式 (2)画出f()的图象,并写出值域 ] 考点3 求函数的解析式 1 ·核心总结· ☆难点突破) 求函数的解析式的常用方法如下: 二次函数解析式的三种形式 1.拼凑法:已知f(g(x))的解析式,要求f(x),可从f(g(x)) 1.一般式:/(x)一ar+ 的解析式中拼凑出“g(x)”.即用g(x)来表示f(g(x)),再将 bx十c(a字0). 解析式两边的g(x)用x代替即可. 2.项点式:f(x)一a(x一 2.换元法;已知f(g(x))的解析式,要求f(x).可以把 树 n)?十n(a去0). g(x)看作一个整体t,进行换元,从而求出f(x). 3.双根式:f(x)一a(x一 3.方程组法(又称消元法):已知f(x)与f(e(x))满足的 x)(x-x)(a0). 关系式,要求/(x)时,可用(x)代替两边所有的x,得到关于 f(x)及f((x))的方程组,解之即可求出f(x). 4.待定系数法:若已知函数类型,可用待定系数法求解,若 规律总结 f(x)是一次函数,可设f(x)一x十b(去0);若f(x)是二次函 待定系数法适用于特征已 数,可设/(x)一ax}十bx十c(a:0),然后利用题目中的已知条 明确的函数,其一般步骤如下: 件,列出待定系数满足的方程组,进而求出待定的系数. 由画数的特征,设出式子 5.特殊值法:在某些求函数解析式的问题中,通过把自变 量赋予特殊值,可以展现出函数的内在联系或减少变量个数, 由已知条件,求出待定系数 从而解决问题. 写出式子 。考题6 (2024,湖北黄冈中学单元测试)由给定条件求下 [注意]设辅助函数时,要 列解析式: 注意相应的条件限制,防止出 (1)已知f(x)一r,求f(2x十1) 现“增”解。 (2)已知f(x-1)=x十2i,求f(x) (3)如果函数f(x)满足方程af(x)十/()=ax,xER且 ,误区防错) 1.易错点 x去0,a为常数,且a关士1,求f(x). (1)求函数解析式或用图 (4)已知f(x)是一次函数,且/(f(x))一4x-1,求f(x). 象法表示函数时,往往容易忽 解析 (1)f(2x+1)-(2x+1)?-4r*+4+1. 视对定义域的考查,从而导致 (2)方法-(拼凑法)f(x-1)=(-1)}+4(yx-1)+3. 错误,函数式化简后,应注意 108 第三章> 数的概念与性质/ 而-1>-1,故所求的函数f(x)=x②}+4x+3(x-1). 是否改变了原函数的定义域, 方法二(换元法)令/-v-1,则 -1,且-+1, 如果改变了原函数的定义域, 则应在化简后所得的函数式 '.f)-(t+1)*+2(t+1)=r*+4+3. 的后面注明函数的定义域 故所求的函数f(x)一r^十4x+3(x二-1). (2)对于复合函数表达式 (3) :af(x)十/()-ax, ① f(g(x)),如果不能正确理解 将&换成 ,则变成x,得a#(1)(x)-一. f(x),g(x).f(g(x))三者之 ② 间的关系,易导致解题出错。 2.防错良方 ①xa-②,得(a}-1)/(x)-a^{x- 换元法求解析式时,要充 分关注等价性,养成等价转换 a2x-a 共1 “a士1,..f(x)=- 2-1 的良好习惯,遇到,v工等式 子,应知道其非负的特征,例 (^{-1)x 如,在变式3-1(3)中,因为 x (4)设f(x)-ax十b(a关0). 十11,所以用1替代vx十1 '.f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b-ax+ab+b 后,1的取值范围是1,十o), ·f(f(x))-4x-1,所以a^{x+ab+b-4x-1. 即/(x)中工的取值范围是 a-2. a--2, [1.十). {^{4 解得 lab+b--1, -一 1或/ *6-1. ·./(c)-2x- 。变式3-1 (2024,河北石家庄二中单元测试)由给定条件 规律总结 求下列解析式: 已知图象求函数解析式的 (1)已知一次函数((x)满足f(f(x))一4x士6,求((x)的解 解题思路 析式. 已知函数的图象求解析 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)=1,f(1)=2,f(2)-5,求 式y一f(r),如果自变量x在 f(x)的解析式. 不同的区间上变化时,数 (3)已知f(&十1)一x十2,求f(x)的解析式 /(x)的解析式不同,应分段求 (4)已知f(x十1)一x-2x,求f(x)的解析式 解,此时根据图象,结合已学 过的基本函数图象,选择相应 的解析式,用待定系数法求 解,如果函数解析式为分段函 数,要注意解析式各区间端点 的值,做到不重不漏 109 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RA& 考题7 (2024,江西南昌调考)设f(x)是R上的函数,且 爹名师支招. 满足f(0)=1,并且对任意实数x,y有f(x一y)=f(x)一(2x 对于考题7:当所给函数 y+1),则/(x)的解析式为f(x)一 方程含有两个变量时,可对这 解析方法一 已知/(x-y)-f(x)-y(2x-y十1),令x=y. 两个变量交替用特殊值代入. 或使这两个变量相等代入,再 得f(0)-/(x)-x(2x-x十1). 用己知条件,可求出未知的函 .f(0)=1,.f(x)-x(2x-x+1)-1. 数,至于取什么特殊值,根据 即f(x)-r2十x十1. 题目特征而定,通过将某些特 方法二 令x=0,得f(0-y)-f(0)一y(-y+1). 珠值代入题设中的等式,可使 即f(-y)-1-y(-y+1). 问题具体化、简单化,从而顺 ] 又令-y=x,代入得(x)=1-(-x)(x十1)-1+x(x+1). 利地找出规律,求出函数的解 ..f(x)-十x十1. 析式。 答案 2十x+1. 点求解此类问题的关键是根据条件将一个变量取特殊值 代入,从而探索出相应的解析式. 。变式3-2(2024,河北保定高一调考)已知定义在R上的 函数f(x)满足 f(x十v)一f(a)十f(y)十xy十1.若f(-2) 一2,则方程f(x)一x的整数解的个数为 考题8(2024,湖北襄阳五中月考)我国是水资源比较贫 乏的国家之一,各地均采用了价格调控等手段来达到节约用水的 目的,某市用水收费的标准是:水费一基本费十超额费十定额损 耗费,若每月用水量不超过最低限量am},则只付基本费8元和 每月的定额损耗费c元;若用水量超过《m},则除了付同上的基 本费和定额损耗费外,超过部分每1m{}付元的超额费,已知每 户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用 水量和支付费用见下表,设月用水量为xm3},当月支付费用为 y元时,求y关于x的函数 月份 用水量/m{ 水费/元 ) D 2 15 1 22 3 33 解析 已知月用水量为xm},当月支付费用为y元时, (8十c(0ra). ① 8+(x-a)十c(x>a). ② 由题意知0<c<5. .8十c13. 从表中知,2月份、3月份的费用均大于13元,故用水量15m^*} 110 第三章> 品数的概念与性质/ =15,t=22. 方法梳理.. 22m{}均大于最低限量am,将 分别代入②式中. -19,y-33 由图象求函数的解析式, 19=8+b(15-a)+c. 需充分挖掘图象中提供的点 得 解得b-2,.2a-c+19. ③ 33-8+b(22-a)+c. 的坐标,合理利用待定系数法 若1月份用水量9m^{}超过最低限量am{},即a 9,将 求解,对于分段函数,需观察 各段图象的端点是空心点还是 -9. 代入②式中得9-8+2(9-a)+c,即2a-c+17,这与 1-9 实心点,正确写出各段解析式 对应的自变量的取值范围 ③式相矛盾,.a二9. 1 '.1月份的支付费用应为8十c-9,即c-1. 故a-10,b-2,c-1. [9.0<x<10. 由此可知所求函数为y一 2x-11,x>10. 名师支招.. 相 。 变式3-3 (2024,北京东城区高一联考)根据如图所示的 函数图象,可求出该函数的解析式f(x)= 对于变式3-3,图中给出 的图象其实是一个分段函数的 图象,对各段对应的函数解析式 应分别求解. -2 考点4 函数图象的相关问题 ·核心总结: ☆难点突 1.函数图象的特征:既可以是连续的曲线,也可以是直线、 函数图象的常见变换方式 折线或离散的点. (1)平移变换 2.描点法作函数图象的三个步骤 y=/(2)向右平移 (1)列表:先找出一些有代表性的自变量x的值,再计算 “个单位”)三 出与这些自变量x相对应的函数值/(x),并用表格的形式表 f(x-a); 向上平移 示出来. y=f(x)- 个单位”)一 (2)描点:把第(1)步表格中的点(x:/(x))在平面直角坐 f(x)十6. 标系中描出来 (2)对称变挽 (3)连线;用光滑的曲线把这些点按自变量由从小到大的 y=/()关于:辐对称 顺序连接起来 y=一f(x); 考题9 (2024,江西临川一中周练)作出下列函数的图象: 关于y轴对称 y三f(x) (1)2x-+1 (2)y-|:2-2xl+1. y=f(-x); -1 关于原点对称 (1):2+1-2+3 y一f(x)- -1 -1 y=一f(一a). 1 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RA& 的图象,再把它 (3)其他变换 y=./(r) 2x+1 向上平移2个单位长度便得到函数y- 的图象,如图1所示 保留x轴上方的图象,再把工轴 -1 下方的图象对称到x轴上方 一般来 y=lf(x): y-f(x) 保留y轴右边的图象,再把y轴 右边的围象对称到y轴左边 y-/(xl). ] 0123 图1 图2 (2)先作v一x^②}一2x的图象,保留x轴上方的图象,再把x轴 下方的图象对称到x轴上方,最后把它向上平移1个单位长度, 即得到y-x-2x|十1的图象,如图2所示. 。变式4-1 (2024,江苏南京一中单元测试)作出下列函数的 图象: (1)y-xl. 方法梳理 (2)-2x-1,x-0,1.2,3. (3)1 1.作函数图象时,可利用 基本函数图象作出所求品数 的图象,已学过的基本函数图 象有,①常数涵数的图象,如 f(r)一1的图象是一条平行 。考题10 于x轴的直线,②一次函数的 图象,如f(x)一一3x十1的 的大致图象是( 。 ##### 图象是经过第一、二、四象限 的直线,③二次函数的图象, 如f(x)一2一x十1的图象 是一条抛物线,④反比例函数 B C D f(x)-(x子0.且为常 解析方法一 1 2 数)的图象,当k0时,其图 排除A,B;当x=-1时,y=-2,选项D中的图象不符合,排除 象在第一、三象限内,以坐标 D.故选C. 原点为对称中心;当k0时. 方法二 其图象在第二、四象限内,以 坐标原点为对称中心. (r十1.x>0. 的概念可得y一 易知选项C对应的图象正确 2.对于含绝对值的函数。 -1,r<0. 以零点划分区间进行分类讨论 答案 C 是解决此类问题的常用方法. 12参考答案与提示) 由题意得，关于x的不等式4x十3>0的解集为 卡元 30000 (-,-2) k<0. k0, 所以 即 3 3 无解，与假设矛盾. -2. k= 3000· 8 01 10z台 故不存在实数k,使得函数fx)的定义域为（一∞.一2）. (3)解析法：y=3000xx∈1,2,3，，101. 【实验班选做题】 [变式2D[因为3=-号=-1，所以3) 。[在x)+0-x)=1中令x=号得/（号） f(-1)=-1-2=-3.] [变式2-2]{xx>1或x<-3.[因为(x+1)f(x)= x十1，x2≥0， 在f(x)=2f(号)中令x=0,得f0)=0,则f(1)=1 所以(x+1)f(x)>2可转化为 -x-1,x<0, -f0)=1.进-步有f(日)=2f1)=号 x≥0， 0. 解得x>1或x<一3，所以不 x+1>2-x-1>2, 这样我们得到（传）=（号）=号，又因为对0≤ 等式的解集为{xx>1或x<-31.] <≤1，恒有)<).所以当号<≤号 [变式2-3](1)当x≥2时，f(x)=2+x-2, 当x<2时，f(x)=x2-x+2, 时，恒有f)= +x-2,x≥2. 所以f(.x)= x2-x+2,x2. 又由/(22)=令f(202)=十（总2） (②)当≥2时.)的图象为以直线x=一号为对称 日f(2源)-f(2隐)且2∈[片]，即 轴，开口向上的抛物线， 得f(2022)=0] 当<2时，)的图象为以直线x=之为对称轴，开口 3.12函数的表示法 向上的抛物线， 【变式训练】 所以(x)的图象如图所示. [变式1-1]C[由题意可得，x与y之间的函数关系 所以函数)的值线为[子，十一)。 为y=3000一2.5r,由题意可知，最少买100千克，最多 买曾=120千克，所以：的取值范倒为[10， 1200],故y=3000-2.5.x(100≤x≤1200).] [变式1-2](1)列表法： x/台 9 3 2 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 [变式31](1)设f八x)=a.r十b(a≠0)，则f(f(x)= x/台 6 7 8 9 10 f(a.x十b)=a(a.x十b)+b=a2x十ab+b=4x+6, y/元 18000 210002400027000 30000 1a2=4, a=2, a=-2, 于是有 解得或 (2)图象法（如图所示）： ab+b=6, 1b=2b=-6」 21 /∥考点同步解读)高中数学必修第一甜RIA色 所以f(x)=2.x十2或f(x)=-2x-6. 当-1≤x<1时，同理，可设f(x)=cx+d(≠0)，将点 (2)设fr)=ax2+br十c(a≠0)， （-1,-2.(1.1D代人，可得)=号x-7: c=1, a=1, 当1≤x<2时，f(x)=1. 由题意得a十b十c=2,解得b=0, c=1, 4a+2b+c=5, 22,-3≤<-1， 故f（x)=x2+1. 综上所述，f(x)= 3 (3)方法一（换元法）令E+1=t,>1,则x=(1-1)2, rz-1≤r<1, 所以f)=(1-1)+2(1-1)=-1(t≥1)， 1,1≤x<2. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2一1(x≥1). x,x≥0， [变式+1](1)y=x 图象如图1所示. 方法二（配凑法）f(元十1)=x+2G=x十2G+1 r,.0. 1=(W+1)-1. 因为x+1>1, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=x2一1(.x≥1). (4)方法一（换元法）令x十1=t,则x=1一1,1∈R.所 以f八)=(-1)-2(t-1)=2-4t+3,即f(x)=x2- -5 4x+3. 方法二（配凑法）因为x2一2x=(x2+2x+1)一(4x+ 图1 图2 4)+3=(x十1)2-4(.x十1)+3，所以f(x+1)=(.x+1) (2)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y= -4(x+1)+3,即fx)=x2-4x+3. 2x-1上 [变式32]2.[令x=y=0,得f(0)=-1:令x=y x∈{0,1,2,3，y∈(-1,1,3,5. =-1.得f(一2)=2f(-1)十2=-2，故f(-1)=-2: 这些点称为整数点，如图2所示 令x=1,y=一1，得f(0)=f(1)+f(一1)，故f(1)=1. (3)把定义城（一co,十∞）划分为(-∞，-1)，[-1,0)， 下面说明：方程f(x)=x的整数解只有一2和1.令x=1. [0.1),[1,十∞)四部分分别进行化简. y=k(k∈Z),得fk十1)=f(k)十k+2(k∈Z)(*). 1-x22-1 =-x-1 一方面，当k∈N时，由1)=1可知fk)>0(k∈N),则 当xe(-∞，-1)时y=1+ fk+1)=f(k)+k+2>k+2(k∈N),即对一切大于1 当x[-1.0)时y=1云 1 =x+1y 的正整数k,恒有(k)>k:另一方面，易求得f(一3)= 1-x 一1，f(一4)=1，当整数k≤一5时，由(*)式得f(k) 当r[0,1时= =-x十1： f(k十1)=-(k+2)>0,则f(-5)-f(-4)>0, 当，+o时y-一l f(-6)-f(-5)>0,…,fk)-f(k+1)>0,将各不等 -x-1,x∈(-o,-1), 式相加，得f(k)>f(一4)=1>k.综上可知，方程f(x) x+1.x∈[-1,0). =x的整数解只有2个：一2和1.] 即y x+1,x∈[0.1)， 号是-3<-1 7 x-1,xe[1,+∞. [变式33] 3 2x2,-1≤x1, [当-3≤ 可画出此函数的图象，如图3所示。 iy 1,1≤r2. (0,10 x<一1时，函数f(x)的图象是一条线段（右端点除外）， 设f(x)=a.x十b(a≠0)，将点（一3,1），(-1，-2)代入 (-1,0】 可得f)=一一： 图3 22 参考答案与提示)7 [变式42]A[依题意，设当1=12时，C(t)=10,排 -2x,-1≤x≤0， 4.ACD[因为f(x)= 的图象如选项 除D:由年平均气温为10℃，知C(t)不会都在10以下， V,0<x≤1 排除B:依题图知在1∈[0,6]内，Q()的图象关于(3,0) D中图象所示，所以D符合题意：因为y=f(x一1)的图 中心对称，因此C(6)=0,排除C故选A.] 象可由f(x)的图象向右平移1个单位长度得到，所以 [变式+3](-1,3).[画出函数y=x2-4x十3的 fx),0x≤1. A符合题意：因为y=f(x)= 图象（如图所示），由图象即可得出一1<m<3.] f-x),-1≤x≤0. 所以B不符合题意：因为y=f代一x)的图象与y= f(x)的图象关于y轴对称，所以C符合题意.] 5.ABD 4-32245 选项正误 原因 【基础过关练】 K(z)- )号 LC[显然当≥1时，)=是-1长0，排除A.D,当x =-3时，f(x)=(-3+1)=4>1,排除B.故选C本 题也可用f(a)>1进行反解求a的取值范围.] f(x)= 活，则了() 2.C[设=，则x= 1+x 异≠-1.所以0 B 1-() 2-1 4 1+() x十 =-fx) 1+(号) -1).] f(x)= 生出，则() 3.A4.B5.2. C (2)+1 /3x+2,x<1. 2+1=fx) 6.2.[f(x)= .f(0)=2. 2+a.xx>1, x .∴.f(f(0))=f(2)=4+2a..4+2a=4a, a=2.] 当0<<1时，fx)=,>1,故 【高考提能练】 f()=一x=-fx:当x=1时， 1.D[选项D中，2f(x)=2x-2≠2x-1=f(2x),选项 D A.B.C中的函数均满足2f(.x)=f(2x),故选D.] )=0,f()=0,满足f() 2.C[方法一由f(x)的图象可知f(2)=0,f(0)=4, -fx:当x>1时，fx)=- 0 f4)=2,所以f(f(f(2))=ff(0)=f(4)=2. 方法二因为A.B.C的坐标分别为(0.4)，(2,0)，(6,4). 1<1()==- -2x十4,0≤≤2. 所以fx)= 则f(2)=0,f(f(2)= x-2,2<x≤6. 6.2或-1或-2.[由f(-4)=f(0),f(-2)=-2,可 f(0)=4,f(f(2))=/(4)=2.] 得16-4b十c=c,4一2h十c=一2.解得b=4.c=2.故 x,0, x+4x十2,0， 3C[由a@b的定义可知f(x)= 因为 f(r)= 若x≤0，则x2+4x十2 x-1,x0. 2,x>0. f(0)=0一1=一1，所以函数图象过点(0，一1)，排除A, x,解得x=-1或x=一2，满足≤0：若x>0,则x= B:当x<0时，f(x)=x>0,排除D,只有C符合.] 2,满足x>0.] 23 /考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 7.(1)如图，延长EF交AB于点G 2.3-1.[令x=1,2,分别得f1)=f(1)+f(2)-1, 2)=21+受-1.解得/2=1,0)=是. 从而对0，有)=是+士-1. 易知FG=2. 当xe0,+∞)时≥2年x…-1=月-1. 当0<x≤1时.S(x)=x: 当1<≤2时，S(.x)=1: 当且仅当2时等号成立 当2<r≤3时，5m=1-号（-2)= gr+ 所以f(x)在(0，+∞)上的最小值为3-1.] 2x-1. 3.2函数的基本性质 fx,0r≤1， 3.2.1单调性与最大（小）值 综上，S(x)= 1.1<x2, 【变式训练】 7x+21.2<x≤3 [变式1-1]AB[由函数单调性的定义可知，若函数 f(x)在给定的区间上单调递增，则n一与f()一 (2)作出S(x)的图象，如图所示. 来Sx f(x)同号，由此可知，选项A,B正确，D错误：对于选项 C,因为，的大小关系无法判断，所以∫()，f() 的大小关系也无法判断，故C错误.故选AB.] [变式1-2]Hx42∈[0，十oo),且x<x, 则f(x)-f()=√- 由图象可知此函数的值城为(0,1门. =-)(①+玉 (3)由(1)知，在(0.1]上，S(a)=a= 7 8 Vx1+√ 在2.3上.su)=-号+2a-1= 8,整理得4a =一 √五+ 3 16a十15=(2a-3)(2a-5)=0,解得a=2(舍去)或 0≤<x,x-x2<0,√+√>0， 5 .f(x1)-f(x)<0,即fx)f(2). a=2 ∴.f(x)=云在区间[0，十o∞)上是增函数. 综上a=名或a=号， 5 [变式1-3]x2∈(-2，十©)， 【实验班选做题】 且<2，则一>0， 1.ABC[令x=y=0,可得f(0)=2f(0)f(a),因为 :jr)=ax+2a+-24-=a+1- 0)=号，所以u)=号A正确， x+2 x+2 令y=0,可得f(x)=f(x)f(a)十f(0)f(a-x),代入 ))=(u+2》)-(u+) c1十2 fa)=受，可得fa-x)=fx),同理，fa-)= =0-2a(中2+》 f八y),即原等式变形为fx+y)=2f八x)f(y,C正确. 令y=x,可得f(2x)=2Lf(x)]下，即函数取值非负. =1-2a)·+2)(a+2 令y=a-x,可得fa=2fx)P,即[fP=}, 又，-2<x<, ∴(+2+2<0. 解得f)=之，只有1个，故B正确，D错误.] 六当1-24>0，即a<时)-fx)<0. 24