3.1.1 函数的概念-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 高考要求学业标准·考情分祈 一考点分布 一学科素养· 学法亭引 1.理解函数的概念，明确函数的三个要素.（★★） 数学抽象，逻辑推理 函数的概念是在初中函数知 2.掌握区间的概念，会用区间表示函数的定义 识的基础上出现的全新的现代定 数学轴象，数学运算 域和值域.（★★★） 义方式，相对来说比较抽象，学习 时要注意对概念的理解、三要素的 3.掌握求函数定义域，值域的基本方法.（★★★） 数学运算、逻辑推理 把握，重点理解定义中的“任意性、 4.了解两个函数相等的意义，会判断给定的两 存在性，唯一性”，还要通过适量的 数学抽象、逻辑推理 个函数是不是同一个函数.（★★） 练习加以巩固，为后续的学习打牢 5.初步认识函数与人类日常生活的密切联系，可以 基础此部分题日多变而灵活，要 数学运算、数学建模 用函数描述现实世界中变量之间的关系.（★★） 学会举一反三，领悟核心要素。 考点分类考点透析·典例刺析 考点1 函数的概念 ·核心总结。 规律总结” 设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个 1.A,B都是非空数集，因 数x,按照某种确定的对应关系∫，在集合B中都有唯一确定 此定义城或值域为空集的西 的数y和它对应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合B的 数不存在，如y= 三就不 /1-x 一个函数，记作y=f(.x),x∈A. 是函数 其中，x叫作白变量，x的取值范围A叫作函数的定义域： 2.集合A就是定义域，因 与x的值相对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f(x)x∈ 为给定A中每一个x的值都 有唯一的y值与之对应. A}叫作函数的值域 3.集合B不一定是函数 的值域，即B中的元素可以没 ⊙考题面(2024广东湛江一中单元测试)（多选）下列对应 有与之对应者，若将函数的值 关系是集合A到集合B的函数的为(). 域记为C,容易得到C二B. A.A=R.B=yly>0),f:x-y=x 4符号y=f(x)表示“x 对应的函数值”，∫表示对应 B.A=Z,B=Z,f:xy=x2 关系 C.A={x-1≤z≤1}，B={0},f:x→y=0 5.“f(x)”是一个整体，不 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJA色 D.A={1,2,3},B={4,5,6》,对应关系如图所示 可分开，也不能理解成“f·” 6.f(a)(a∈A)与f(r) 的区别和联系：f(a)表示当 x=a时的函数值，是值战内 的一个数值，是常量：f(x)表 示自变量为x的函数，是变 量.例如，f(x)=2x表示函 解析A不是，集合A中的元素0在集合B中没有对应的元 数；当x=3时，f(3)=6,是一 个常量 素.B是，对于集合A中的任意一个整数x,按照对应关系f:x→ 。方法梳理… 第 y=x2,在集合B中都有唯一一个确定的整数x”与之对应.C是， 1.判断一个式子中y是 否为x的函数的方法：对于任 对于集合A中任意一个实数x,按照对应关系f:x·y=0,在集 意一个使式子有意义的x的 合B中都有唯一一个确定的数0与之对应.D不是，集合A中的 值，由式子是否可确定唯一的 元素3在集合B中没有对应的元素，且A中的元素2在集合B 一个y值与之对应.其实质就 是“取元的任意性，取值的唯 第三童 中有5和6两个元素与之对应. 一性”，即自变量在定义城内 答秦BC 取任意一个值，其函数值必须 第 对应唯一的值 ⊙变式T(2024,东北三校联考)下列从集合A到集合B 2.根据图象判斯对应关 的对应关系中，不能确定y是x的函数的是( 系是否为函数的方法： 第五金 (1)任取一条垂直于x轴 ①A=xxZ,B=yeZ,对应关系fy= 的直线， (2)在定义域内平行移动 ②A={xx>0,x∈R},B={yy∈R),对应关系f:x→y2=3x; 直线. ③A={.xx∈R},B={yy∈R},对应关系f:x→x十y2-25; (3)若1与图象有且只有 一个交点，则是函数：若有两 ④A=R,B=R,对应关系f:x→y=x: 个或两个以上交，点，则不是函 ⑤A={(x,y)x∈R,y∈R},B=R,对应关系f:(x,y)→s= 数（如图所示）. x十y. A.①④⑤ B.②④⑤ C.②③④ D.①②③⑤ 是函故图象不是函效图象 考点2 函数的三要素与函数相等 P ·核心总结 海难点突破 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应 1.如何理解函数的三 关系、值域： 要素？ 1.定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的x (1)在函数的三要素中， 的取值范围。 定义战和对应关系确定后，值 2.对应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值 域就随之确定了， 域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系控制着值域的形 (2)定义城必须是非空的 态，f可以看作是对“x”施加的某种运算或法则.例如，f(x) 数集：考虑问题要全面，要找出 92 第三章之函：的概念与性质/ x,f就是对自变量x求平方 所有制约自变量取值的条件 一般如果没有给出定义域，那 3.值域：对应关系∫对自变量x在定义域内取值时相应 么通常认为定义域为R 的函数值的集合，其中，y=f(x)表示“y是x的函数”，指的是 2.如何理解对应关系中 y为x在对应关系f下的对应值 “「”的含义？ 4.定义域和对应关系是确定一个函数的两个基本条件，如 对应关系「是函数的本 果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，就称这两 质特征，好比是计算机中的某 个函数是同一个函数 个“程序”，当f()的括号内 输入一个值时，在此“程序”作 第 ⊙考题2(2024，山东淄博十一中月考)（多选）下列函数中， 定义域和值域都是R的是(). 用下便可输出某个数据，即函 数值.如f(x)=3x+5:f表 A.y=x+1 B.y=x2+2.x-3 第 示“自变量的3倍加上5”.需要 C.y=-1 D.y=2.r 注意的是：这里的“x”既可以是 解析y=x十1与y=2x都为一次函数，它们的定义域和值 一个数，也可以是一个代数式， 域都为R:B中为二次函数，定义城为R,且y=x2十2x一3=(x十 还可以是某个函数符号，如 1)2一4，所以其值域为{yy≥一4}：C中为反比例函数，定义域为 fx)=3x+5,f(2x-1)= (xx≠0}，值域为{yy≠0}，都不是R 3(2x-1)+5,f(g(x)= 3(x)+5等. 答案AD 3.判断两个函数是相等 ⊙考题3(2024，湖南师大附中期中测试)下列各组函数中， 关系的关键是什么？ 表示同一个函数的是( ). 函数值域是由函数的定 A.fx)=(x≠0)，gx)=1(≠0) 义城和对应关系决定的，因此 判断两个函数是否相等，关键 B.f(x)=2x+1(x∈Z),g(x)=2x-1(x∈Z) 看定义域和对应关系 C.f(x)=√x2-4,g(x)=√x十2·x-2 4.两个函数相等与表示 D.f(x)=x2-2x-1,g(t)=t-21-1 自变量的字母有关吗？ 解析 选项正误 原因 因为函数是两个数集之 K- 1,x>0, 间的对应关系，所以用什么字 与g(x)的对应关 -1,x<0, 母表示自变量、因变量和对应 系不相同 关系是无关紧要的，如f(x) × 两个函数的对应关系不相同 3x+5与f(1)=31+5是同一 函数 f(x)=√一4的定义域为{x|x≤-2或 r≥2}，g(x)=√x+2·V√x-2的定义城为 {xx≥2，所以两个函数的定义减不同 深概念排析… 当一个函数的对应关系 f(x)=x2-2x-1,g(1)=2-2-1的定义 D 和定义域确定后，其值域随之 域均为R,对应关系也相同 确定，所以两个函数当且仅当 答案 D 定义城和对应关系相同时，才 93 考点同步解读〉高中就学必修第一符RA色 ⊙变式2①(2024，河北唐山一中单元测试)下表表示y是 为同一西数.换言之，①定义 域不同，两个函数不同：②对 x的函数，则函数的值域是( . 应关系不同，两个函数不同： I<2 2≤x≤3 x>3 ③即使定义域和值城都相同 -1 0 的两个函数，它们也不一定是 同一函数，例如，函数y= A.{yl-1≤y≤1} B.R 1x与y=2的定义城与值城 都相同，但它们不是同一函数 C.{y2≤y≤3 D.{-1,0,1 ⊙变式22(2024，陕西榆林中学单元测试)下列函数中，与 第 方法梳理… 豆 函数y=x十2是同一个函数的是( 1,已知函数解析式求函 数值，分别将自变量的值代入 第 A.y=(x+2)2 B.y=+2 解析式即可.当自变量的值为 章 Cy=+2 包含字母的代数式时，将代数 D.y=√x+2 式作为一个整体代入求解。 第三 ⊙考题4(2024，山东省实验中学月考)已知函数f(x)= 2.已知函数解析式求对 应函数值的自变量的值（或解 析式中的参数值)，只需将函 第 1+x2 数值代入解析式，建立关于自 )求f2)+2)3)+f号)的值， 变量（或参数）的方程即可，注 第五金 意函数定义域对自变量取值 的限制 (2)求证：f()+f)是定值 3.抽象西数的求值，往往 通过赋值法解决，赋值法就是 3)求2f)+f2)+f2)+f3)+f(3)++f2023)+ 把满足条件的特殊值赋给函 数中的某个变量.它是解决抽 f223)+f2020+/(202)的值 象函数问题的常用策略 4.对应关系相同、定义城 x(》 mae+器+】 不同的函数是两个不同的函 +(1. 数，如y=x(x∈R)与y= (x∈R且x>0),它们的图象 分别为图1、图2，显然为两个 不同的函数 =1 1+(传 _x2+1 1+( x2+1x2+1 图1 y=xc∈R /且e>0) =1,是定值. (3)由(2)知fx)+f}）=1 图2 国为f)+f)=1,f2)+f(2)-1,f3)+f3)=1, 5.定义城相同、值城不同 的两个函数也是不同的函数， 94 第三章之函：的概念与性质/ f4+f()=1,,f2023)+f(202)=1,f(202)+ 如y=x(x∈R)与y=√ (x∈R),它们的图象分别为 f202)=1,所以2f)+2)+f2)+f3)+f信)+…+ 图3、图4，显然是两个不同的 函数 f2023)+/(22)+f202)+fl202)=2024. D因(2024，深圳中学单元调武)已知f)=卡 图3 (x∈R且x≠-1)，g(.x)=x2一1(x∈R). y 第 (1)求f(2),g(3)的值 O1方 (2)求f(g(3)的值及f(g(x). 图4 第 6.定义域和值城都分别 相同，而对应关系不同的西数 是两个不同的函数，如y x+3与y=3x- 之，虽然它们 的定义城和值城都是R,但是 它们的图象是两条不同的直 线，因此为两个不同的函数 ⊙考题5(2024，陕西咸阳调考)定义在R上的函数f(x)满 足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3) 等于(. A.2 B.3 C.6 D.9 解析，'f(1)=f(1+0)=f(1)+f(0)+2×1×0=f(1)+ f(0),∴.f(0)=0. 又.f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f1)+2×(-1)×1=f(-1)》 +2-2=f(-1),.f-1)=0. .f(-2)=f(-1-1)=2f(-1)+2×(-1)=2×0+2=2. .f(-3)=f(-2-1)=f(-2)+f(-1)+2×(-2)×(-1) =2+0+4=6. 答案C @变式24(2024，湖南长沙一模)函数f(x)的定义域为 {xx>0},且对定义域内的任意x,y,都有f(xy)=f(x)+ f(y),若f(2)=1,则f(W2)的值为() A.-2 B-2 C.z D.2 95 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJA色 考点3 区间的概念及应用 ·核心总结 布难点突限… 区间的表示方式见下表： L.区间之间可以像集合 集合表示 区间表示 数轴表示 之间那样进行“交、并，补”运 算吗？ {xa≤x≤b x∈[a,b们 b 区间是集合的一种表示 {ra≤x<b x∈[a,b a 16 形式，因此集合的“交、并、补” 第 运算仍然成立。 rla<x<b x∈(a,b月 4 2.不同情况下集合应用 r a<I<6 x∈(a,b) 40 16 什么样的表示形式？ 第 (1)对于一个数的集合， 章 {xx≥a x∈[a,+o∞) a 仍然用集合来表示，如{a},在 xr>a) a 数轴上用一个实心点表示， 第三 x∈(a,+o∞) (2)对于一个不等式的解 {xr≤a xr∈(-o,a] 集，我们既可以用集合形式表 第四重 rlr<a) x∈(-o@,a) 示，也可以用区间形式表示。 (3)对于取值范国，既可 第五金 ⊙考题6(2024，西北大学附中周练)将下列集合用区间表 以用区问形式表示，也可以用 示出来： 集合形式表示，还可以直接用 (1){xx≥1}. 不等式表示 3.“o∞”是一个数吗？ 2=子0 “四”读作无穷大，是一个 (3){xx=1或2≤x≤8}。 符号，不是数，以“一0∞”和 “十∞”为区间的一端时，这一 (4){xx<-4或-1<x≤2}. 瑞点必须用小括号 解(1){xx≥1}=[1，十∞). 2)=子≥0=xx≥2成x<-1=(-∞，-1DU 山规律总结… [2,十o∞). 1.利用区间表示集合时 (3){xx=1或2≤x≤8}=1}U[2,8]. 应注意以下几点： (4){xx<-4或-1<x≤2}=(-∞，-4)U(-1,2]. (1)注意区间的开和闭， 能取端点值时为闭（效轴上表 D团2024，南光武汉二中单元测孩使有 示为实心点)，不能取端点值时 为开（数轴上表示为空心点） 意义的所有实数组成的集合用区间表示正确的是(). (2)区间端点的顺序与它 A.[3,+∞) B.[3,4)U(4,+c∞) 在数轴上所表示的敏的对应 C.(3,十∞) D.[3,4) 点顺序相同，即“左小右大” ⊙考题7(2024，河南郑州一中周练)求解下列问题： 特别地，不要将无穷区间写成 (1)区间[a一1，a]关于原点对称，求a及此区间. (-1,-6∞)，(+6∞，100]等. 196 /第三章)函：的彬念与性质 (2)区间[a,2a一1]的右端点为3，求a及此区间. 2.区间实质上是数轴上 (3)设(1)中区间表示的集合为A,(2)中区间表示的集合为 某一线段或射线上的所有点 B,全集U=(-oo,十c∞)，求(CA)∩B 所对应的实数的取值集合，即 用端点所对应的数、“十∞” 团)由已知得a-1=一a,故a=2 (正无穷大)、“一∞”（负无穷 光区间为[一日，引 大)、方括号（包含端点）、小圆 括号（不包含端点）等符号来 (2)由已知得2a一1=3，故a=2.此区间为[2,3]. 表示的部分实数组成的集合， 3r&A=(-©，-2U(分，+， 如{xa<r≤b}=(a,b],{x xb}=(一0∞，b们是效集描述 ∴.(CA)∩B=[2,3],如图所示 法的变式形式 ⊙变式32(2024，江西南昌一中月考)若区间的左右端点 分别为2a一1，a,则a的取值范围是 ,若区间[b一2， b]关于原点对称，则b= 考点4 函数的定义域问题 ·核心总结 女难点突破… 函数的定义域是自变量x的取值范围，它是构成函数的 求函数定义域的一般原则 重要组成部分，如果没有标明定义域，那么定义域就是使函数 1.若f(x)为整式，则其 解析式有意义或使实际问题有意义的x的取值范围.列不等 定义域为实数集R 式（组）求函数的定义域时，考虑问题要全面，要找出所有制约 2.若f(x)为分式，则其 自变量取值的条件. 定义域是使分母不等于0的 实数的集合。 ⊙考题8(2024，湖南雅礼中学月考)函数f(x)=x一十 3.若f(x)为偶次根式， 则其定义域是使根号内的式子 Vx+2 的定义域为( 大于或等于0的实数的集合， A.(1,+∞) B.(-2,+∞) 4.若f(x)是由几部分数 学式子构成的，则函数的定义 C.(-2,1)U(1,+o∞) D.R 域是使各部分数学式子都有 x-1≠0， 意义的实数的集合，即使各部 解析易知 z+2≠0·解得x>-2且x≠1，所以函数f(x)的 分数学式子有意义的集合的 x+2≥0， 交集 定义域为(-2,1)U(1,十∞). 答潔C 97 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ 点评求给出解析式的函数的定义域，关键是找出使函数式 ⊙方法梳理… 有意义的条件 1.由解析式求定义城的 ©变式4团(2024，陕西宝鸡中学期中测试)一段长为a的 方法 铁丝折成矩形，该矩形的面积S是其一边长x的函数，则这个函 (1)求函数的定义域往往 雪要将问题转化成解不等式 数的定义域为( 或不等式组的问题，并将结果 A.(a,+o∞) B(受，+∞ 正确合并，定义域的表达形式 可以是集合形式，能用区间表 第 c(受a D.(o,) 示时也可以用区间表示，同时， 豆 ⊙考题9(2024，江苏南通如桌中学质检)已知函数f(x) 求定义域的基本原则是不化 第 √一x2+2x+3,则函数f(3x一2)的定义域为( 简解析式，例如，求函数y 章 工的定义城时，不能将其化简 第三 A[哈割 B[-1,别 成y=x之后再求解，否则所 C.[-3,1] [哈] 求的定义域的范围将扩大 第四重 (2)函数的定义域要用集 解折由-x2+2.x+3≥0，解得-1≤x≤3，即函数f(x)的定 合或区间形式表示，若用区间 义城为[-1,3. 第五金 表示数集，不能用“或”连接， 由-1<3-2<3，解得<≤号 而应被用并集符号“U”连接， 这一点初学者易忽视 则画数3一2》的定义城为[3，号引 2.求复合函数定义域的 答案A 方法 ⊙变式42(2024，江西余江一中期未测试)已知函数f(x)= (1)已知f(x)的定义域， 求f((x)的定义域，其实质 11 ,则函数y=f(x)一f(13一x)的定义域为(). Vr-2 是由(x)的取值范国求出x A.(2,11) B.(2,13) C.(2,15) D.(4,11) 的取值范围。 (2)已知f((x)的定义 ⊙考题10(2024，安徽安庆新安中学期未测试)已知函数 域，求f(x)的定义域，其实质 f(2x十1)的定义域为（一1,0），则函数f(x)的定义域为( 是由x的取值范国求出g(x) A.(-1,1) B(-1,-) 的取值范围， (3)已知f(p(x)的定义 C.(-1,0) D(合) 城，求f(h(x)的定义城，先 解，函数f(2.x+1)的定义域为（一1,0）， 由x的取值范围求出p(x)的 取值范围，即f(x)中x的取 .-1<x<0,可得-1<2.x十1<1， 值范国，再根据h(x)的取值 .函数f(x)的定义域为（一1,1）. 范国求出x的取值范国。 答案A (4)若f(x)的定义域为 ⊙变式43(2024，四川广安二中月考)已知f(x2一1)的定 D,则f(g(x))的定义城是使 98 第三章之函：的概念与性质/ 义域为[0,3]，则f(2x一1)的定义域是(). g(x)∈D有意义的x的集 A(0,》 a[o,] 合.若f(g(x))的定义战为 D,则g(x)在D上的取值集 c[1.]u[-2o D(-o,》 合即为f(x)的定义城 ⊙考题用(2024，江西南昌一中月考)已知函数f(x)的定 义域为0,1，求g(r)=fx十m)+fx一m)(0<m<2)的定义域 解析由f(x)的定义域为[0,1]可知对应关系f作用的范圈 误区防错 第 为[0,1]，而f(x十m)十f(x一m)的定义域是指当x在什么范围 L.易错点 内取值时，才能使x十m,x一m都在[0,1]这个区间内，从而使 (1)对概念理解模糊，不 第 f(x十m)十f(x一m)有意义. 能深刻理解函数的概念，造成 解题失误 由题意得 0Sr+m≤1.：厂m≤1-m 0≤x-m≤1， m≤xr≤1十m. (2)对函数定义域、值城的 本质理解不清，特别是对 1 0<m<2,心-m<m<1-m<1+m, f(g(x)型复合函数的定义域 '.n≤x≤1-m 求法思路不清 .函数g(x)的定义域为[，1一m]. (3)最后求出的定义域一 ⊙变式44(2024，湖北武汉二中单元测试)已知函数f(x) 定要用集合或区间的形式表 示出来，“定义拔是x≠一1” 的定义域为[，引，求F)=a+}ka>0的定义线 是错误的书写形式。 (4)求函数的定义域时， 不能对解析式进行不等价变 形.比如容易出现这样的错 ⊙考题12若函数y= 的定义域为R,则实数 √a.x2-a.x+1 误：y=X十1 -1白故使通 a的取值范围为 数式有意义的x应满足x 解祈，函数y= 的定义域为R, 1≠0，即x≠1，故函效的定义 Vax2-ax+1 城为(xx≠1. .a.x2-a.x十1>0恒成立 2.防错良方 当a=0时，1>0恒成立，满足题意： 无论∫是作用于x还是 d>0, 当a≠0时， 解得a∈(0,4). g(x),定义战都是指x的取值 △=a2-4a<0, 范国。 综上，实数a的取值范围是[0,4). 警率[0,4). ⊙变式45(2024，河南南阳六校联考)若函数∫(x) m一工的定义域为(-o∞，m],则实数m的取值范围是( A.(-oo,0)B.(-∞，0]C.(0,+o∞)D.[0,+o∞) 99 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 考点5 函数的值域问题 ·核心总结 布难点突限… 1.在函数y=f(x)中，与x的值对应的y值叫作函数值， 在求值域时要遵循定义 函数值的集合叫作函数的值域， 域优先的原则，即求值域时耍 2.函数的值域可以用集合表示也可以用区间表示 先考虑函数的定义域，在定义 3.求函数值域的常见方法：配方法、换元法、判别式法、观 城的前提条件下求值城。 察法、裂项法、图象法，随着进一步的学习，还会有更多的方法， 方法梳理： ⊙考题13(2024，东北有才中学单元测试)求下列函数的值域： 1.求函数值域的几种常 (1)y=2Vx+3. 用方法 第 (1)配方法：当所给西数是 (2)y=x2-2x+3,x∈{-2，-1,0,1,2,3. 二次函数或可化为二次函数处 第三意 (3)y=2+1 理的函数时，可利用配方法求 x-3 其值战。此时要注意自变量的 (4)y=√/x-1-x(x≥2). 取值范围，如变式5-1(2). 第四重 解析(1)，√x≥0，∴.2√元+3≥3. (2)换元法：如变式51(4) 应用换元法求值域时，应注意 故y=2√x十3的值域为[3，十∞). 第五金 新自变量的取值范围国： (2)当x=-2,-1,0,1,2,3时，y=11,6,3,2,3,6. (3)判别式法：若所给西 故函数的值域为{2,3,6,11} 数是可化为关于某变量的二 (3y=2红-6+7=2+ 次方程的分式函数，可用判别 x-3 x-3 式法求函数的值域.应用判别 “30。y≠2故画数的值线为≠2。 式法求分式函数的值城时，应 注意二次项系数为零的情况 (4)令√x-1=t,则x=+1,由x≥2和t0知1≥1， (4)观察法：对于一些比 较简单的函数，其值域可通过 =-+-1=-(-2-≥1. 观察得到 当≥1时y=-(-2)-≤-1-2)-=-1 (5)裂项法：若一个分式函 数可化为几个函数式相加减的 故函数的值域为（一∞，一1]. 形式，则可用裂项法求其值城， ⊙变式5(2024，河南郑州一中单元测试)求下列函数的 光方法对=碧(：头 值域： )型画数非含有效，如考 (1)y=x+1,x∈{1,2,3,4,5}. 题13(3). (2)y=x2-2.x+3,x∈[0,3). (6)图象法：结合具体的 (3)y=x-√1-2.x. 函数图象求值战 (4)y=2x-Vx-1. 2.求函数值域的逆向问 题，主要是利用已知函数的值 域，求出满足条件的参数的值 1100考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 >3:当-号<m<0时，原不等式的解集为3< 【实验班选做题】 L(x|x<一11或9<x<11.[移项通分可得 <-品}：当m=一号时，原不等式的解集为②：当 20(-D二22592>0，整理得一-D< x十11 (x-9)(x-11) m心一号时，原不等式的解集为一品<<3 0,则解集为{xx<-11或9<x<11}.] (2)当m<0时，若存在x>1,使得m.x2+(1一3m)x 第三章函数的概念与性质 4>0,则当x>1时，只需[m.x2+(1一3m)x-4]m*>0. 3.1函数的概念及其表示 因为y=mz2十(1一3m)x一4的图象开口向下，对称 3.11函数的概念 轴为直线=2=+>1 【变式训练】 2m [变式1-1门D[①在对应关系f下，A中不能被3整 所以当x=130时，m2+(1-3m)r-4取得最 2m 除的数在B中没有对应的值，所以不能确定y是x的函 大值。 数.②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之 [r2+0-3mx-41.=m.1-3m+1-3m). 对应，所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下， A中的数（除去5与一5外）在B中有两个数或没有数与 (2）-4-4 之对应，所以不能确定y是x的函数.④显然满足函数 Am 所以-1-3m)-4>0,即(1-3m)2+16m>0. 的特征，故能确定y是x的函数.⑤A不是数集，所以不 4m 能确定y是，x的函数.门 即9m+10m十1>0，解得m<-1或m>-, [变式2-1]D[函数值只有一1,0,1三个数值，故值 域为{-1,0,1.] 又m<0.所以m的取值范围为mm<一1或-号 [变式2-2]B[由题意知y=x十2的定义域为R m<0 选项正误 原因 y=(√x+2)2的定义域为{xx≥-2， 6.(1)由题意可知y=100m-(47+20m)-144=-4m+ A 80m-144(n∈N). 与y=x+2的定义域不同 令y>0,得-4+80n-144>0, y=T+2=x+2与y=x+2的定义域 B 解得2<<18， 相同，解析式也相同 所以从第3年起开始盈利。 y= 士+2的定义城为xx≠0，与y (2)若选择方案①，设年平均利润为万元， x十2的定义域不同 则=片=80-4(+9)<80-4×2V…西 y=√2+2=x+2与y=x十2的解析 D 32,当且仅当m6,即1=6时等号成立，所以当1 式不同 6时，”取得最大值32，此时该项目共获利32×6+ [变式23】“x)= 72=264(万元). 若选择方案②，纯利润y=一4m+80m一144=一4(n 又g(x)=x2-1,∴g(3)=3-1=8. 10)2+256. 所以当n=10时，纯利润取得最大值256，此时该项目 (2②g30=8)=8=- 共获利256+8=264（万元）. f（g(x))= 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年， 》学*o 而方案②需要10年，所以仅考虑该项目的获利情况 [变式2-4]C[根据题意，令x=y=√2， 的话，选样方案①更有利于该公司发展. 由f(xy)=f(x)十f(y),得f(w2×2)=f(W2)+ 18 参考答案与提示) f(2),即f(2)=2f(w2). 0.又fr)=m的定义域为(-∞，m],故m<0,否 x 因为2)=1，所以②)=之] 则m≥0，则0∈（一o∞，m],不符合题意.] [使武31)B[婴使幂有意义，只需 [变式5-1](1)因为x∈11,2,3,4,5)，分别代入求值， 可得函数的值城为{2,3,4,5,6. x-30, 解得≥3且x≠4，即x∈[3,40U(4,+∞).] (2)y=x-2.x+3=(x-1)+2,由x∈[0,3)，再结合函 x+1≠5 数的图象（如图1所示），可得函数的值域为[2,6). [变式3-2](-oo,1):l.[由区间的含义可知a>2a -1,∴.a<1.由已知得b-2=-b,∴.=1.] [变式+1]D[已知矩形一边长为x,则其邻边长为 1y■x2-2r+3 受一面积S=x(号一).根据边长的实际意义，得 (0名x<3) x>0. 号->0 解得0<<登] 123 图1 [变式+2]A[由题意可知，函数心=Ⅱ的定 -2 (3)设1=2z.则≥0，且x=-+2: 义城为(2，+c∞)，在函数y=f(x)一f(13一x)中， 代入原式得y=一-1+号=-号中1)+1. |x>2, 即2<x<11,故函数y=f(x)-f(13-x) 13-r>2, ≥0，“y≤2故函数的值域为(-，号] 的定义域为(2,11).] (4)设1=√x-I,则x=+1且≥0， [变式+3]B[,f(x一1)的定义域为[0,3]，即0≤ ≤3，.-1≤x2-1≤8. 代入原式得y=2(+1)-1=2(t-十)广+号由≥0， 则在f2.x-1)中，-1≤2x-1≤8， 再结合函数的图象（如图2所示），可得函数的值城为 解得0<≤号 [g+) 故函数2一1)的定义域为[0，号]] 3 /y=2t+10-t [变式+4]设山=ax,= 2 (t0) 则F)=m)+a.且∈[-，是]， 可12a47 3 图2 a>0, 1工3 [变式5-2]BC[函数y=2-4x一4的图象如图所 示.因为图数在[0，a)上的值域为[一8，一4]，结合图象 ①当≥1时，不等式组的解集为：一六<爱}： 可得2<a≤4，又因为a是正整数，所以BC正确.] ②当0<a<1时，不等式组的解集为一号<x<受}. 棕上所述当≥1时，的定文域为[-云·是]： 当0<a<1时，F)的定义域为[-号，受] [变式45]A[由f(x)=m可知r≤m且x≠ -19 /考点同步解读)高中数学必修第一册RIA色 【基础过关练】 5.BD 1.B[根据函数的极念即可判断.] 选项正误 原因 2.D[A中，f(x)=√(x+1)(x-1D的定义域为(x A 函数D(x)的值域为{0,1 x1或x≤-1}，g(x)=干T·√T-的定义城 若D(.xo)=1,则x∈Q.十1∈Q,则 B 为{xx≥1}，它们的定义域不同，不是相同函数：B D(+1)=1 D(2x)-D(π)=0-0=0，但2x-x 中，fx)=(v25)的定义城为{≥号} π旺Q g(x)=2x一5的定义域为R,定义域不同，不是相同函 当x=-2时，D(r十V2)=D(-√2+ 数：C中，)-异与)=牛告的对应关系不 D √②)=D0)=1,则3x∈R,D(x+√2) =1 同，不是相同函数：D中，(x)=⑦ =x(x>0)与 6.AC[因为f(x)的定义域为R,值域为[一2,2，所以 g)=(后)广-1>0)的定义城与对应关系都相同， f(2x-1)的值域为[-2,2]，则f(2x-1)+1的值域 因而它们是相同函数.] 为-1,3]，故A正确：因为y=产-1-占所 3.B[A中，定义域是{x-2≤x≤0}，不是M:C中，图 以y≠一1，即值域为(-0∞，一1)U(一1，十∞)，故 象不表示函数关系；D中，值域不是V={y0≤y≤2.] B不正确：令=√一云，则>0，x=1一，y=2(1 4.{一1,0,3.[分别将x=0,1,2,3代入函数表达式 r)+1=-2r++2=-2(-)广+是≥0.所以 得y=0,-1,0,3,从而值域为{-1,0,3).] 5.5.[f(a)=3a+1=16,a=5.] 函数y=2十一7的值城为(-，号]，故C正确， 【高考提能练】 因为f(x)=x2一2x十4=(x-1)+3,所以f(1)=3, f一2)=12，所以函数f(x)在[一2,2]上的值域为 1.D[因为f(w2)=2a-2,所以f(f(W2)=a(2a [3,12],故D不正确.] √2)2一2=-√2，所以a(2a一2)=0.又a>0,所以 7.2,x∈(-1.1)：2，x∈[0,1)（答案不唯一.[可取 2a-2=0,所以u=号.] f(x)=x2,x∈(-1.1)，g(x)=x2,x∈[0,1)，函数的 对应法则相同，值域都为[0,1)，但函数定义域不同， 2.D[对于函数f(x)=√一x+2x+3,需满足-x2+ 是不同的函数，故命题为假命题（注：其他符合题意的 2x十3≥0，即一1≤x≤3，即f(x)的定义域为[-1 答案均可).] 3],则对于f(2.x十1)有一1≤2x十1≤3，所以一1≤ 8.(1)由题意得，关于x的不等式4kx十3>0的解集为R. x≤1.即f(2x+1)的定义域为-1,1].] 当>0时，不等式4x+3>0的解集为{zx> 3A[当x∈[-，0)时，fx)=-1:当xe[0,1D 时，fx)=0:当x∈[1,2)时，f(x)=1:当x∈[2,3) 一是}不符合题意： 时，fx)=2:当xe[3,]时fx)=3,所以当x∈ 当k<0时，不等式4x十3>0的解集为{xx< [-号，]时)的值城为-1,01.2.31.] },不符合题意： 4.B[当x=0时，f(0)+2f(1)=1,①当x=1时， 当k=0时，3>0恒成立，符合题意. f(1)+2f(0)=2,②由②×2-①，得3f(0)=3, 综上，实数k的值是0 即f(0)=1.] (2)假设存在满足题意的实数k。 20 参考答案与提示) 由题意得，关于x的不等式4x十3>0的解集为 卡元 30000 (-,-2) k<0. k0, 所以 即 3 3 无解，与假设矛盾. -2. k= 3000· 8 01 10z台 故不存在实数k,使得函数fx)的定义域为（一∞.一2）. (3)解析法：y=3000xx∈1,2,3，，101. 【实验班选做题】 [变式2D[因为3=-号=-1，所以3) 。[在x)+0-x)=1中令x=号得/（号） f(-1)=-1-2=-3.] [变式2-2]{xx>1或x<-3.[因为(x+1)f(x)= x十1，x2≥0， 在f(x)=2f(号)中令x=0,得f0)=0,则f(1)=1 所以(x+1)f(x)>2可转化为 -x-1,x<0, -f0)=1.进-步有f(日)=2f1)=号 x≥0， 0. 解得x>1或x<一3，所以不 x+1>2-x-1>2, 这样我们得到（传）=（号）=号，又因为对0≤ 等式的解集为{xx>1或x<-31.] <≤1，恒有)<).所以当号<≤号 [变式2-3](1)当x≥2时，f(x)=2+x-2, 当x<2时，f(x)=x2-x+2, 时，恒有f)= +x-2,x≥2. 所以f(.x)= x2-x+2,x2. 又由/(22)=令f(202)=十（总2） (②)当≥2时.)的图象为以直线x=一号为对称 日f(2源)-f(2隐)且2∈[片]，即 轴，开口向上的抛物线， 得f(2022)=0] 当<2时，)的图象为以直线x=之为对称轴，开口 3.12函数的表示法 向上的抛物线， 【变式训练】 所以(x)的图象如图所示. [变式1-1]C[由题意可得，x与y之间的函数关系 所以函数)的值线为[子，十一)。 为y=3000一2.5r,由题意可知，最少买100千克，最多 买曾=120千克，所以：的取值范倒为[10， 1200],故y=3000-2.5.x(100≤x≤1200).] [变式1-2](1)列表法： x/台 9 3 2 y/元 3000 6000 9000 12000 15000 [变式31](1)设f八x)=a.r十b(a≠0)，则f(f(x)= x/台 6 7 8 9 10 f(a.x十b)=a(a.x十b)+b=a2x十ab+b=4x+6, y/元 18000 210002400027000 30000 1a2=4, a=2, a=-2, 于是有 解得或 (2)图象法（如图所示）： ab+b=6, 1b=2b=-6」 21