2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA& 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 高考要求 学业标准·考情分析 _.考点分布 ·学科素养一 一·学法导引_ 1.通过函数图象理解一元二次不等式与二 1.理解三个“二次”之间的关系是 次函数、一元二次方程之间的紧密联系 数学抽象、逻辑推理 导出一元二次不等式解集的依据,是本 昂副 理解一元二次不等式的几何意义.( 节的难点,应重点突破 2.解一元二次不等式的关键是熟练 2.掌握一元二次不等式的一般解法:能 掌握一元二次不等式解集的结构特征, 运用三个“二次”的关系解决相关的数 数学运算、逻辑推理 “对号入座”即可快速地写出其解集 学问题.(★★★★) 3.要抓住一元二次不等式解集的 3.能够从实际的生产生活中抽象出一元二 结构特征,通过分类讨论解决含有参数 数学运算、数学建模 次不等式模型,并加以解决.(★★) 的一元二次不等式问题 回 析 考点分类 考点透析·典例剖析 考点 一元二次不等式的概念 ·核心总结· ☆难点突破 1.一元二次不等式的定义 对一元二次不等式 一般地,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2 概念的理解 的不等式,称为一元二次不等式. 1.一元二次不等式概念 2.一元二次不等式的一般形式 中的关键词为:(1)一元,即只 一元二次不等式的一般形式是ar^{}十br十c>0(或ax^+ 包含一个未知数,其他元素均 bx+c<o或ar2十bx十c>o或ax”+bx十c<o),其中a,b.c 为常数.(2)二次,即未知数的 为常数,a0. 最高次数必须为2,且最高次 3.一元二次不等式的解与解集 项的系数不能为0. 2.一元二次不等式一定 使一元二次不等式成立的;的值叫作一元二次不等式的 为整式不等式,例如-2 解,所有的解组成的集合叫作一元二次不等式的解集 考题1(2024,深圳中学单元测试)下列不等式中是一元 1>0是分式不等式,而不是一 元二次不等式. 二次不等式(其中a,b,c,n为常数)的是_(填序号). 3.“只含有一个未知数”. ①0;②--<5;③ar”→2;④+5x-6>0;mr- 并不是说式子中不能含有其 5y0;ar*+bx+c>0 他字母表示的量,只要明确指 解析①②是,符合一元二次不等式的定义;③不是,因为当 出这些字母所代表的量哪一 a一0时,不符合一元二次不等式的定义;④不是,因为x的最高次 个是“未知数”、哪些是“变 174 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 数是3,不符合一元二次不等式的定义;不是,因为当n一0时, 量”、哪些是“参数”即可。 它为一元一次不等式,当m去0时,它含有两个未知数,不是一元 4.“最高次数是2”是对于 二次不等式;不是,因为当a一0时,不符合一元二次不等式的 “未知数”而言的,若还含有其 定义. 他参数,则其他参数的次数不 过①②. 受此条件限制。 答案 。变式1-1(2024,湖北麻城一中月考)下列关于x的不等 2方法梳理 式中,是一元二次不等式的为( 。 1.判断一个不等式是否 A.r+2r-3<0 B.ax2+3x+10(aER) 为一元二次不等式,必须紧扣 C.3x--2>0 D.a②x+2a-1>0(a-0) 它的概念,即: 立 考题2 (2024,陕西长安一中单元测试)一元二次不等式 (1)是否为ar十hr十0 ). -十2- (或二0或0或0)的形式。 D1 (2)二次项系数是否为零 A-1 B.1 (可能为零的便不是). (3)是否是一元不等式 分别将A,B.C,D中的数代入不等式验算,A中,-1- 回 (即未知数是否只有一个) 2.判断某元素是否在一 元二次不等式解集内的方法 是代入验算法-将各个数 签B 代入不等式,能使不等式成立 的就是,否则就不是. 。变式1-2 (2024,湖北武汉二中月考)一元二次不等式3r 十6<19x的解集中一定不含的元素是( ). A.0 B.1 C.2 D.3 考点2 一元二次不等式的解法 ·核心总结. 难点突破 1.二次函数的零点 1.理解三个“二次”的关 一般地,对于二次函数y一ax{}十bx十c(a去0),我们把使 键是抓住从特殊到一般的思 ar*十bx十c一0的实数x叫作二次函数的零点 想如: 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 =2-7- 推广到一般 判别式 40 △-0 △-b-4ac 4~0 (a-). 一元二次函数 2.联结三个“二次”的纽 y-ar十b十e 带是坐标思想,如:函数值y (0)的图象 是否大于零等价于点P(x,y) 是否在x轴的上方。 75 考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 续表 3.三个“二次”关系的实 质是数形结合思想,如:ar十 判别式 40 △<0 4-0 br+c=0的解-y=ar+$ △-b-4a r十c图象上的点(x,0)的横 有两个不相等的 坐标;ar+bx十c>o的解一 一元二次方程 实数根x&.x?= 有两个相等的实数 y-ar十bx十c图象上的点 ar+br+c-0 -b士-4ac 没有实数根 #2 根x三x:= 2n (a0)的根 (不.v)在工轴上方的工的取 (rr) 值范围. 1副 4.研究三个“二次”的作用 ar+bx (xl:或 +c>o(a 一元 B 二次 城1 0) r>x】 一二次方 元二次不等 5.一元二次不等式的解 解集+c<o(a 2 alx<r 2 的结构 0) 一元二次不等式经过变 3.解一元二次不等式的一般步骤 形,可以转化成以下两种标准 形式: (1)判号:检查二次项的系数是否为正值,若为负值,则利 (1)ar*+bx+0(a0). 用不等式的性质将二次项系数化为正值 (2)ar+hx+c0(a>0). (2)求根:计算判别式△,求出相应方程的实数根 通过方程ar*十hr十c-0 (3)标根:将所求得的实数根标在数轴上(注意两实数根的 求得两个根,】,若xx。 (此时A)0),则不等式())的 大小顺序,尤其是当实数根中含有字母时),并画出开口向上的 解在“两根之外”,即大于大 抛物线的示意图 根、小于小根,此时有工x (4)写解集:根据示意图以及一元二次不等式解集的几何 x或xr;不等式(2)的解 意义,写出解集 在“两根之间”,即小于大根。 大于小根,此时有x&r 。考题3 (2024,西北大学附中单元测试)二次函数y一 x.若x-x(此时△一0). r-1的零点为( ). 则不等式(1)的解集为(rx子 B.1.-1 A.(1,0),(-1,0) r.rR);不等式(2)的解集 C.1 D.-1 为空集,若△0,则不等式 (1)的解集为R;不等式(2)的 解析 令y-x-1-0,解得x-1,x--1,故函数y-x- 解集为空集。 1的零点为1,-1. 方法梳理 答B 二次函数零点的求法 (2024,江西师大附中月考)二次函数y一*一 o 变式2-1 1.代数法:对于二次函数 y-ax*十十c,求出方程 x-6的零点是 ar^十bx十c一0的实数根,即 。考题4不等式3x*+5x-20的解集为 为零点. 176 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 解析 方程3r^*}+5x-2-0的两个根是 -3}+5.c-2 2.图象法:作出一元二次 函数的图象并求出图象与x 轴的交点,交点的横坐标即为 象如图所示,它是开口向上的抛物线,与 零点。 轴有两个交点,交点坐标分别为(一2,0)和(,0).观察图象可得 &{<-2或x→.# 不等式的解集为 答案 瞄 o变式2-2 (2024,四川成都七中期中测试)不等式x(x一 2)<0成立的一个充分不必要条件是( ). A.xl0r2 B.x0 r2 规律总结.. C.(rl0x<1 D.xx<0{ 用 一元二次函数零点的 。考题5 (2024,衡水中学月考)不等式-2-^*十x+1<0的 求解步骤 解集为 (1)对于二次函数y一 解 △-90,故方程-2r^*}+x+1-0的两 ar^十hx十c,令y一0,可得到 个实数根为x-- 对应的一元二次方程ar*十 br十c=0. x十1的图象是开口向下的抛物线,与工轴交于点 (2)讨论一元二次方程的 (一.o)和(1,0)(如图所示).由图象得不等式的 根的情况. #解集为{#<-x1# (3)如果有解,求出一元 二次方程的根。 #器懿3{#<##>1# (4)确定零点. 变式2-3 (2024,西北工大附中期中测试)不等式-2xr2}+ x十3<0的解集是( ). B.{ 3 A.(x-1) C.{r-11<3# D.{ a<->3{}# 。考题6(2024,江西莲塘一中期末测试)设集合A一{x2- -12<0 ,B-- x+4-50 ,则AB=( ). A.x-3 x1 B.x-1 x3 C.(-2,-1,0) D.0.1,2) 解析A-{xx--12<0]-x-3<<4 , B- +4x-5<0 =-5<<1- -4 -3,-2,-1,0. 77 考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 则A0B--2,-1,0. C 。 变式2-4 (2024,安(合肥一中期末测试)已知集合A= x <9,B-x+x-20 ,则(CA)OB- ). A.x-3x-1或2<3 B x -3 -2或1<<3 C.(xx-3或x>3 D.xx-1或x3 考点3 一元二次不等式的综合问题 ·核心总结· 空难点突破... 1.已知一元二次不等式的解集,求有关参数的值或有关不 一元二次不等式的 等式的解集,只需逆用一元二次不等式的解法即可: 综合问题的求解 2.解含参数的一元二次不等式时,可根据一元二次不等式 1.利用图象的直观性可 解的结构确定其相应的分类标准,进行分类讨论并求解不 以准确把提三个“二次”之间 等式. 的关系,有助于记忆相关结 。考题7 论,同时,在分析、解决具体问 (2024,四川成都七中期末测试)若不等式ax*}十 题时,利用二次函数的图象可 bx+c>0的解集为{xl-3<x<4》,则不等式br*+2ax-c- 以帮助我们迅速找到解题的 30的解集为 切入点和有效的解题途径 解析:ax}+bx十c>0的解集为xl-3<x<4. 2.变更主元法就是根据 'a 0且-3和4是方程ar*十bx十c-0的两个根. 实际情况的需要确定合适的 主元,以突出其主要矛盾,使 [一-, 7 由韦达定理得 问题顺利地得到解决。 lc--12a. {-3X4-f 3.对于解决某些含参不 等式恒成立的问题,可以转化 '.将b,c代入不等式br②}+2ax-c-3b0,得-ar^*}+2ax+ 为求函数的最值问题 $5 0,即-2x-15 0,解得-3 x5 故所求不等式的解集为x-3 r5 答案(|-3x5. 变式3-1 (2024,广东广州真光中学月考)若不等式ar*}十 br+c>0的解集为x -3<x<2),则不等式ar+(a+b)x+c -2a>0的解集为( ). A.{x|-4<x2 B.xr-4或x>2 C.(x|-2x<4) D.xx<-2或x>4 D考题8 (2024:湖南雅礼中学期中测试)求解下列关于 名师支招. 的不等式: 考题8中,(1)不等式对 178 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 (1)r?-(a+a”)r+a>0(aER) 应的一元二次方程可以因式 (2)ar-2x+a<o(a-R). 分解,由此得出一元二次方程 解析 (1)将不等式x-(a十a{})x十a→0变形为(x-a)( 的根,然后分类讨论根的大小 -)0. (2)先对不等式中二次项 当a<a{},即a→l或a 0时,不等式的解集为xlx a或 的系数进行讨论,再按照不等 x>a); 式的求解方法进行求解 当a-a{},即a-0或a-l时,不等式的解集为{xxa; 当a>^{},即0<a<l时,不等式的解集为{xxa^{}或x>a}. (2)若a-0,则原不等式为-2x0,故解集为xlx0. 若a-0,A-4-4a. 方法梳理. ①若a>0. 1.若已知一元二次不等 当A0,即0 a 1时,方程ar^-2x+a-0的两根为x 式的解,则由一元二次不等式 11-1-{ 1+1- 解的结构可逆向推出它的系 一,一 数所满足的条件(即相应的一 原不等式的解集为{1-11+1-^{}# 元二次方程的两个根及二次 回 项系数的正负性),再利用韦 当△一0,即a-1时,原不等式的解集为; 达定理即可解决问题. 当△0,即a>1时,原不等式的解集为 2.含参数的一元二次不 ②若a0. 等式的求解策略 {< (1)熟练掌握一元二次不 当△0,即-1 a 0时,原不等式的解集为 等式的解法是解决含参数的 #$+#1-#}1、1-#{}# 不等式问题的基础,所以应当 . 熟练记住形如ar十bx十c>0 当△-0,即a=-1时,原不等式可化为(x十1)0. (或<0)(a0)的不等式在各 '原不等式的解集为xx子一1; 种情况下解集的形式 当△~0,即a<一1时,原不等式的解集为R (2)含参数的不等式的解 综上所述,当a二1时,原不等式的解集为 题步骤:①将二次项系数转化 为正数,②判断相应方程是否 有根(如果可以直接分解因 式,可省去此步),③根据根的 情况写出相应的解集,若方程 当a一0时,原不等式的解集为xx0; 有两个不相等的实数根,为了 写出解集还要分析两个根的 当一1<a 0时,原不等式的解集为 大小. (3)根据上面的步骤可能 产生的讨论形式:①二次项系 当a一-1时,原不等式的解集为xx子-1; 数若含有参数,应讨论参数是 当a一1时,原不等式的解集为R 等于0、小于0还是大于0,然 79 考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 变式3-2 (2024,湖南长沙一中期中测试)解下列关于x 后将不等式转化为二次项系 的不等式 数为正的不等式,②判断方程 (1)(a+1)x-(2a+3)x+2 0 根的个数,③确定无根时可直 (2)ar-(a+1)x+10. 接写出解集,确定方程有两个 根时,要讨论两个根的大小关 系,从而确定解集的形式。 昂副 。考题9 (2024,上海长宁区期末测试)若关于x的不等式 2一x十m<0的解集是,则实数n的取值范围是 解析因为关于x的不等式-2一x十m~0的解集是,则关 于x的不等式x-x十n0的解集为R 料 #11).# 答案 {71.# 。 变式3-3 (2024:安徽界首中学月考)若对任意实数x:关 于x的不等式(a②-1)x*-(a-1)x-1<0恒成立,则实数a的取 值范围为 考题10(2024,东北师大附中期中测试)当x1时,不等 式r^{}十ax十9>0恒成立,则实数a的取值范围为 解析方法一.当x>1时,不等式x*十ax十9>0恒成立, .只需求出函数y-x②十ax十9(x>1)的最小值,令最小值 大于0即可. 则a+100,a-10,..a-2. (-##一-一 综上,实数a的取值范围为ala-6. 180 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 方法二(分离参数法).x>1; '由r^{}+ax十9>0得 #-(). 2 成立, ()的最大值为一6, .-6. 故a的取值范围为aa-6 答案ala-6. 一11 。 变式3-4 (2024,福建师大附中期中测试)若对于任意的 1<x<3,mr^{}-mx十m<5恒成立,则实数m的取值范围是 回 ( B. { 0}# A.{mn<0 C.{m<(#<}# D. { |{# 考点4 一元二次不等式的实际应用问题 D·核心总结· 难点突破1. 解一元二次不等式应用题的关键是设未知数,根据题目中 1.解应用题时,首先要理 的不等关系构造一元二次不等式,解不等式即可. 解题意,然后理顺数量之间的 。考题11(2024,湖南师大附中单元测试)汽车在行驶中, 关系,集中条件,建立目标函 由于惯性的作用,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 数,以方程或不等式为工具求 出数学问题的解,再转化为实 我们称这段距离为“刹车距离”,刹车距离是分析事故的一个重要 际问题的解. 因素,在一个限速40km/h的弯道上,甲、乙两辆车相向而行,发 2.解一元二次不等式应 现情况不对后,两辆车同时刹车,但还是相碰了.事后现场勘查测 用题的关键在于构造一元二 得甲车的刹车距离略超过12m,乙车的刹车距离略超过10m.已 次不等式模型,即分析题目中 知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h) 有哪些未知量,然后选择其中 之间分别有如下关系;s=0.1x+0.01x,sz=0.05x+0.005^}. 起关键作用的未知量,将其设 问:甲、乙两车有无超速现象? 为x,用文来表示其他未知 解析由题意知,对于甲车,有0.1x十0.01x*12,即r*十 量,再根据题目中的不等关系 列不等式. 10x-1200>0,解得x30或x-40(不符合实际意义,舍去). 这表明甲车的车速超过30km/h 但根据题意知,甲车的刹车距离略超过12m,由此估计甲车 的车速不会超过限速40km/h 8 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RA乡 对于乙车,有0.05x+0.00510,即+10x-20000. 规律总结... 解得x40或x<一50(不符合实际意义,舍去),这表明乙车的 解一元二次不等式 车速超过40km/h,即超过规定限速. 应用题的步骤 综上所述,甲车没有超速,乙车超速了. (1)阅读理解,认真审题, (2024,西北工大附中单元测试)一个车辆制造 D变式4-1 把握问题中的关键量,找准不 等关系. 广引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车 数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下关系:y (2)使用数学符号,用不 等式表示不等关系. 一2-*十220x.若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创 (③)解不等式 收6000元以上,那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩 (4)回归实际问题. 托车? 料 对标演练 分缀测评·限时特训 基础过关练限时2分钟.... 6. 考点2二次函数y-ax*十bx十c(xR)的部 1.考点2若25-<0,则( ). 分对应值如下表; A.0r<5 -3一43。 B-5:0 C.-5<<5 D.x5或:-5 2.考点2不等式(c十2)(3一x)<0的解集是 则一元二次不等式ar十bx十c0的解集是 A.x-2<r3 高考提能练 限时50分钟.... B.1x-3r2 1.考点3(2024,江西临川一中期中测试)不等 C.xx-2或x3 式ax---c>0的解集为xl-2<1),则 D.xx-3或x→2 函数y-ax?十x-c的图象为( ) 3.考点3已知不等式ax*十bx十c<0(a子0)的 解集是乙,则( ). A.0.△0 B.n0.A0 -2-0 C.a>0,△0 D.a>0,△>0 4.考点2不等式2-x-x2一0的解集是( ). 2 _ A.xlx-1或x>1 Bxx-1或x2 #7#7#7# C.(x-1r2 D.x|-21) 5. 考点2不等式x-2x+30的解集是 1 182 第二章> 一元二次函数、方程和不等式 2.考点3(多选)已知关于x的不等式ax{}+bx 6.考点4(2024,湖北襄阳五中单元测试)某光 +c0的解集为x x一3或x4,则下 伏企业投资144万元用于太阳能发电项目; 列说法正确的是( ). n(nCN)年内的总维修保养费用为(4^{}士 A.a0 20)万元,该项目每年可给公司带来100万 B.不等式bx十c>0的解集为xx<-4 元的收人,假设到第,年年底,该项目的纯利 C. 不等式cx②}-bx十a<0的解集为 润(纯利润一累计收人一总维修保养费用一 #{x<->#1} 投资成本)为y万元 (1)写出纯利润v的表达式,并求该项目从 D.a十b十c>0 3.考点3(2024,重庆巴蜀中学月考)设关于x 第几年起开始盈利 (2)若干年后,该公司为了投资新项目,决定 的不等式ax^{②}-2x十a<0的解集为$ 转让该项目,现有以下两种处理方案 (1)若S中有且只有一个元素,则实数a的 ①年平均利润最大时,以72万元转让该 值为 项目. (2)若0ES且-1S,则实数a的取值范围 ②纯利润最大时,以8万元转让该项目 是 你认为以上哪种方案最有利于该公司的 4.考点4已知a>b,关于x的不等式ar^{②}+2x 发展?并说明理由. 士60对于一切实数x恒成立,又存在实数 xo,使得a.x+2x。+b=0成立,则{}+ -的 a-b 最小值为 5. 考点2、3求解下列问题 (1)解关于x的不等式mx{}十(1一3m)x 3>0. (2)当m<0时,若存在x>1,使得nxr} (1-3m)x-4>0,求实数m的取值范围 实验班选选做题限时..5....... 1.(2022,全国高中数学联赛一试B卷)不等式 2022 --2的解集为 83参考答案与提示) 4a=2ab,所以(a+1)(b+4)=4a+b+ab+4=3ab+ 2.10r+10y+ 4≥12+4=16.] xy+y+xx 6是.[因为2g+)≥a2+6+2ab=(a+b,所以 (2x+2y)+(8r+2:)+(8y+7) ry十yz十xz a2+≥a》,当且仅当4=b时等号成立.因为正 2 ≥4虹y+4x+4 xy十xx+yx 实数m,n满足√m+2十√分=3，所以m十n= =4, （m+2r+w-2>m要+-2=号 当且仅当x=y=产时等号成立. 2=多，当且仅当m+2=一瓜，即m=号m=是时等 故02士10Y+兰的最小值为4. y十yg十2 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 号成立，则㎡十的最小值是号.] 【变式训练】 7.1婴证分+安+≥0， [变式1-1]C[A中x的最高次数为3：B中a不能为 0:D中x的最高次数为1.] 即证x2-xy+y一十x2-xz0, [变式12]A[将A,B,C,D中的数代入不等式验算， 即证x2+y+2≥xy十y十x 知A中的0代入3×02+6≤19×0不成立，其余1,2,3 因为xy,都是正数， 代入均成立.] 所以x2+y≥2xy,y+e2≥2y,x2+z≥2 [变式2-1]一2,3[方法-令y=0,即x-x-6=0 当且仅当x=y=x时，以上三式等号均成立， 因为△=（一1）2-4×1×(-6)=25>0，所以方程x2一 所以x2+y2+y+2+x2十x2≥2xy+2y+2x, x一6=0有两个不相等的实数根x1=一2，=3， 整理得x2十y十≥xy十y十x,当且仅当x=y=: 所以函数y=x2一x一6的零点是x=一2，=3. 时等号成立 方法二由2-x-6=(.x-3)(x十2)=0， 所以原不等式得证 得=-2.=3. (2)因为号+≥（㎡-2m一2(+号）恒成立， 所以函数y=x2一x一6的零点是x=-2,x=3. 所以m2-2-2十y. 红·兴=二士义恒成立 方法三作出函数y=x2一x一6的图象（如图.因为函 x十y 数的图象是一条开口向上的抛物线，且当x=0时，y= 又=+￥-12√·-1=1.当 一6<0，所以函数y=一x一6的图象与x轴有两个交 y 点A(-2,0),B(3,0),故y=x2-x一6的零点是 且仅当x=y时等号成立， -2.x=3.] 所以2一2m一2≤1，即2一2m一3≤0， 解得一1≤≤3，故实数m的取值范围为一1≤m3. 【实验班选做题】 (-2,01 1(30) 1.D[由r十≤2c+0).得≥告安-，又≥2 (0,-6 2y [变式2-2]C[由x(x-2)<0,解得0<x<2,即不等 式x(x一2)<0的解集为{：x0<x<2.由题意可得不等 2·云-度-当且仅当位-劳用 式x(x一2)<0成立的一个充分不必要条件应为x|0< x<2的真子集，故选C.] x=√2y=√2时取等号，故选D.] [变式2-3]D[-2x2+x+3<0,即22-x-3>0 15 /考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 即(2r-3)+10>0,所以x>2或<-1.门 ①当a=0时，其解集为{xx>1}: [变式2-4]C[A={xx≤9}={x|-3≤x≤3}，则 ②当0<a<1时，其解集为1<<日}： CRA={xx<-3或x>3}, ③当>1时，其解集为日<<： B={xlx2+x-2>0}={xlx<-2或x>1}, 则(CmA)∩B={xx<-3或x>3.] ④当a=1时，其解集为☑： [变式31]A[因为不等式ax+hr+c>0的解集为 ⑤当a<0时，不等式可化为(x-)x-1)>0,其解 (x-3<x<2}, 所以a<0且一3和2是方程a.x+br+c=0的解. 集为zx<或x>1. -3+2=-6 综上所述，当a<0时，原不等式的解集为zx<或 由根与系数的关系，知 -3×2=C x>1:当a=0时，原不等式的解集为{xx>1}:当0< b-a+ 解得 a<1时，原不等式的解集为{1<<}：当a=1时， c=-6a. 所以不等式ax2+(a+b)x十c-2a>0可化为a.x2+2a.x 原不等式的解集为：当>1时，原不等式的解集为 -8a>0,即2+2x-8<0,即(x+4)(x-2)<0,解得 -4<x<2,所以不等式a.x+(a+b).x+c-2a>0的解 [(1)若a2-1=0,则 集为{x一4<x<2.] [变式3】{a-是<a≤1小. [变式32](1)①当a+1=0,即a=-1时，原不等式 a=±1. 变为-x十2<0，即x>2. 当u=1时，原不等式为一1<0，解集为R,满足题意：当 ②当a十1>0，即a>一1时，原不等式可化为(x一2)· a=-1时，原不等式为2x-1<0.解集为{x<号} (h)<0, 与题意不符. 若-1<a<-号则>2，解得2<<： (2)若a2一1≠0，即a≠士1， 1a2-1<0, 若a=一合则=2，无解： 则当 时，不等式的解集为 4=(a-1)2+4(a2-1)<0 若a>-立则十<2，解得十<r<2. R,解得-子<a<1, ③当a+1<0,即a<一1时，原不等式可化为(.x一2)· 综上，实数a的取值范围是{a一号<a<,门 (e-)>0 [变式34]D[本题即可转化为m.x-mx十m一5<0 因为a<-1,所以，<2，解得x<a或>2 对于任意的1≤x3恒成立： 令y=m.x2-m十m-5,1≤≤3， 综上可知，当a>一 时，原不等式的解集为一 若m=0,y=-5<0恒成立： 若m<0,当x=1时，y最大，且y=m-5<0,解得 x<2:当a=一号时，原不等式的解集为：当-1< m<5,∴m0: a<-专时，原不等式的解集为{2<<十：当 若m>0,当x=3时，y最大，且y=7m-5<0,解得 5 5 a=一1时，原不等式的解集为{xx>2:当a<一1时， m<号，0< 原不等式的解集为女r<a十或>2。 综上所述，实数m的取值范围为mm<号门 (2)原不等式可化为(ax-1)(.x-1)<0. [变式+]设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车， 16 参考答案与提示) 根据题意得一2.x十220x>6000.移项整理得x-110r十 为xx<一12，选项B错误： 3000<0,即(x-50)(x-60)<0.方程x2-110r十3000= 不等式cx2-br+a<0等价于-12ar2+a.x+a<0, 0有两个实数根x=50,2=60,由二次函数y=x一 即12r-x一1>0，解得K子或>号 110x十3000的图象（图略），得不等式的解集为{x50< z<601.因为x只能取整数值，所以当这条摩托车整车装 “不等式c-b加+a<0的解集为xr<-十或 配流水线在一周内生产的摩托车数量在51一9辆之间且 为整数时，这家工厂能够获得6000元以上的收益. >},“选项C正确： 【基础过关练】 ,a十b+c=a-a-12a=-12a<0,∴.选项D错误.] 1.D2.C3.C 3.(1)1.(2){a-1<a≤0.[(1)由题意知a>0,且 +D[不等式2-x一x>0可化为x+x-2<0,因式 △=(-2)2-4a2=0,解得a=1. 分解可得(x一1)(x十2)<0，对应方程的解为x=1或 (2)由0∈S且-1ES,得a≤0且a×(-1)”-2× x=一2，则不等式2-x一x>0的解集是{x一2< (-1)+a>0,解得-1<a≤0.] x<1.] 4.2√2.[因为a.r2+2x十b≥0对于一切实数x恒成 5.0.[△=4-4×3<0且a=1>0,.解集为0.] 立，所以a>0,且△=4一4ab≤0，所以ab≥1：再由 6.(xx<一2或x>3.[由题表可知，函数的图象开 3xo∈R,使a.x十2.xn+b=0成立，可得△=4一4ab≥ 口向上，且零点为x=一2，x=3,从而一元二次不等式 0,所以ab≤1，所以ah=1.因为a>b,即a一b>0,所 a.x+hx十c>0的解集为{xx<-2或x>3》.] 以4+=a=》+2地=(a-b0十 a-b a-b a-6≥2v2,当 【高考提能练】 1.C[由题意知，不等式ax8一一>0的解集为{x1一2< 且仅当a一b=。2即a-b=厄时等号成立，所以 <1},故对应的二次函数y=ax2一x一c的图象开口 a'tl a-6的最小值为2区.] 向下，对应的一元二次方程a.x一x一c=0的两个根 5.(1)m.x2+(1-3m).x-3>0,即(m.x+1)(x-3)>0. 0, -2+1= ①当m>0时，不等式可化为(x+)x一3)>0， 为=一2，=1，所以 a 解得 -2×1=-C 解得一六或3 ②当=0时，不等式可化为x一3>0，解得x>3. 1a=-1, 则函数y=a.x2+x一c=一x2+x十2= c=-2. ⑧当m<0时，不等式可化为(x+元)x-3)<0. 一(x一2)(x十1)，其图象开口向下，且与x轴的交点 当-品<3，即m<-号时由(+品)x-3)<0, 为(-1,0)，(2,0).] 2.AC[,关于x的不等式a.x2十hr十c≥0的解集为 解得-<x<3: {xx≤-3或x≥4}， 二次函数y=a.x2十r十c的图象开口向上，即a> 当品-=3即m=-时，不等式(+品)一3<0 0,选项A正确： 无解： 由题意可知方程ax2十h十c=0的两个实数根为一3,4， 当->3，即-号<m<0时.由(+品)x-3)< -3+4=- 1b=a, 解得 0.解科3<-品 -3X4=C c=-12a, 综上所述，当n>0时，原不等式的解集为xx< 则bx+c>0等价于-u.x-12a>0, 又a>0,∴.x<-12,∴.不等式bx十c>0的解集 六或x>3:当m=0时，原不等式的解集为z 17 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 >3:当-号<m<0时，原不等式的解集为3< 【实验班选做题】 L(x|x<一11或9<x<11.[移项通分可得 <-品}：当m=一号时，原不等式的解集为②：当 20(-D二22592>0，整理得一-D< x十11 (x-9)(x-11) m心一号时，原不等式的解集为一品<<3 0,则解集为{xx<-11或9<x<11}.] (2)当m<0时，若存在x>1,使得m.x2+(1一3m)x 第三章函数的概念与性质 4>0,则当x>1时，只需[m.x2+(1一3m)x-4]m*>0. 3.1函数的概念及其表示 因为y=mz2十(1一3m)x一4的图象开口向下，对称 3.11函数的概念 轴为直线=2=+>1 【变式训练】 2m [变式1-1门D[①在对应关系f下，A中不能被3整 所以当x=130时，m2+(1-3m)r-4取得最 2m 除的数在B中没有对应的值，所以不能确定y是x的函 大值。 数.②在对应关系f下，A中的数在B中有两个数与之 [r2+0-3mx-41.=m.1-3m+1-3m). 对应，所以不能确定y是x的函数.③在对应关系f下， A中的数（除去5与一5外）在B中有两个数或没有数与 (2）-4-4 之对应，所以不能确定y是x的函数.④显然满足函数 Am 所以-1-3m)-4>0,即(1-3m)2+16m>0. 的特征，故能确定y是x的函数.⑤A不是数集，所以不 4m 能确定y是，x的函数.门 即9m+10m十1>0，解得m<-1或m>-, [变式2-1]D[函数值只有一1,0,1三个数值，故值 域为{-1,0,1.] 又m<0.所以m的取值范围为mm<一1或-号 [变式2-2]B[由题意知y=x十2的定义域为R m<0 选项正误 原因 y=(√x+2)2的定义域为{xx≥-2， 6.(1)由题意可知y=100m-(47+20m)-144=-4m+ A 80m-144(n∈N). 与y=x+2的定义域不同 令y>0,得-4+80n-144>0, y=T+2=x+2与y=x+2的定义域 B 解得2<<18， 相同，解析式也相同 所以从第3年起开始盈利。 y= 士+2的定义城为xx≠0，与y (2)若选择方案①，设年平均利润为万元， x十2的定义域不同 则=片=80-4(+9)<80-4×2V…西 y=√2+2=x+2与y=x十2的解析 D 32,当且仅当m6,即1=6时等号成立，所以当1 式不同 6时，”取得最大值32，此时该项目共获利32×6+ [变式23】“x)= 72=264(万元). 若选择方案②，纯利润y=一4m+80m一144=一4(n 又g(x)=x2-1,∴g(3)=3-1=8. 10)2+256. 所以当n=10时，纯利润取得最大值256，此时该项目 (2②g30=8)=8=- 共获利256+8=264（万元）. f（g(x))= 以上两种方案获利均为264万元，但方案①只需6年， 》学*o 而方案②需要10年，所以仅考虑该项目的获利情况 [变式2-4]C[根据题意，令x=y=√2， 的话，选样方案①更有利于该公司发展. 由f(xy)=f(x)十f(y),得f(w2×2)=f(W2)+ 18