2.2 基本不等式-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读〉高中就学必修第一册JA色 2.2 基本不等式 高考要求】学业标准·梦情分析 一考点分布 一学科素养 一学法导引 L,了解算术平均数、几何平均数的概念， 理解基本不等式的代数证法和几何 数学抽象，逻辑推理 1.应用基本不等式解决有关问题 第 证法.（★★） 时，必须紧扣它的适用条件，否则就会 豆 得出错误的结论 2.熟练地掌握基本不等式及其变形形 2.要善于活用基本不等式，也就是 式，并能熟练地运用基本不等式来比较 数学运算、逻辑推理 不仅要善于“正用”“逆用”，还要善于 两个实数的大小，求某些函数的最大 “变形用” (小)值，证明简单的不等式.（★★★★） 第三章 3.要善于应用基本不等式解决比较 3.通过应用基本不等式解决有关实际问 大小，求最值，证明不等式等问题，提炼、 第 题，进一步提高运用数学知识分析和 数学运算、数学建模 归纳，总结解题规律和方法，并熟练掌握。 解决问题的能力.（★★★） 第五金 考点分类考点透析·典例创祈 考点1 基本不等式 一核心总结 有难点突破… 1.重要不等式：如果a,b∈R,那么公 基本不等式的证明 a2十6≥2ab(当且仅当a=b时，等号成立). 1.代数法 2.对重要不等式a2+≥2ab(a,b∈R)的理解 方法一 当a>0,b>0 (1)不等式中的a,b既可以是某个具体的实数，也可以是 时，中-v画=a+ 2 一个代数式 (2)“当且仅当”的含义：①当a=b时取等号，即a=b→ D-2a6]=w6 a2+?=2ab:②仅当a=b时取等号，即a2+6=2ab→a=b. b)≥≥0，当且仅当ā=√石，即 (3)等号能取到的条件是a=b,如果a,b不相等，那么a a=b时，等号成主， 方法二当a>0,b>0 +b≥2ab中的等号不成立. 3.基本不等式：如果a>0,b>0,那么 时，要证>函，只需证 a+b≥2√ab,只需证a+b 当且仅当a=b时，等号成立) 2√ad0,只常证(ab)≥0. ⊙考题1(2024，山东省实验中学期中测试)（多选）下列推 显然，最后一个不等式成 导过程正确的是( ). 立，所以生>瓜底主，当 A因为a6为正实数：所以哈+8≥22·号=2 且仅当√a一b,即a=b时，等 号成立. 62 /第二章》一元二次函数、方程和不等式 B因为a>3所以4+a≥2A·a=4 2.几何法 如图所示，AB是圆的直 C因为a<0,所以+a≥2·a=4 径，点C是AB上一点，AC= a,BC=b,过，点C作垂直于 D因为xyeR,xy<0.所以号+￥=-[（）十（仁】 AB的弦DE,连接AD,BD. 利用这个图形可以得出基本不 <-2√(-)·（一）=-2，当组仅当x=-y时，等号成立 等式v学的儿何解释 O 解祈 第 选项正误 原因 B 因为4，b为正实数，所以么，4均大于零，所以白 a'b b E A 么·g=2,当且仅当a=b时，等号成立 易证R△ACDR△DCB. 那么CD=CA·CB,即CD 4 ·a=4,当且仅当a=2时，等号成立，不 =Vab. B 符合4>3 这个圆的丰径为“艺里 第 因为a<0,所以4十a<0(当a为正数时，才能使用基本 然，它大于或等于CD,即 C d 2 第 不等式) √ab,当且仅当，点C与圆心重 D 由基本不等式的推导过程知该选项正确 合，即当4=b时，等号成立. 因此，基本不等式√ab≤ 答案AD ⊙变式11(2024.江西南昌二中期中测 十也的几何意义是“半径不小 2 试)如图所示是在北京召开的第24届国际数学 于半孩” 家大会的会标，它是根据中国古代数学家赵爽的 公名师支招+ 不等式a2+b≥2ab 弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风 车，代表中国人民热情好客.该图可作为某个数学结论的几何解 和“士>，画的比较 释，这个数学结论可能是( 1.不等式a+≥2ab和 A.如果a>b>0,那么√a>√石 中≥a品成立的条件是不 2 B.如果a>b>0,那么a>b 同的，前者要求a,b都是实数， C.对任意正实数a和b,有a2+b≥2ab,当且仅当a=b时， 而后者要求4，b都是正数. 等号成立 2.两个不等式都是带有 等号的不等式，“当且仅当a= D.对任意正实数a和b,有a十b≥2vab,当且仅当a=b时， b时取等号”的含义是：若a= 等号成立 b.则等号成立：若等号成立， ⊙考题2(2024，安微安庆一中月考)若a>0,b>0,则A= 则a=h. 严.B=生C=西，D-子的大小顺序为 3.两个不等式都具有放缩 2 功能，如果有多处用到，应注意 每处取等号的条件是否一致 63 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ a>0,>0,空（当且仅当a=b时取等号 ●规律总结… 1.若问题中一端为“和 又 a'+6atb_/a'+8 /(a+b)2 式”，而另一端为“积式”，这便 2V2 是应用基本不等式求解的“题 2a2+26_ a2+b+2ab =N4 眼”，不妨试试运用基本不等 4 式，看能否解决问题 而a2+b}≥2ab>0,.2a2+2b≥a2+b+2ab>0, 2.在应用基本不等式解 ∴.2a2+2W≥√a2+b+2ab. 题时，还应注意不等式性质的 第 、≥“（当且仅当4=b时取等号 运用，如考题2中便运用了性 2 2 2ab 质若a≥>0则分 第 atb 且a>0,b>0,a十b≥2ab(当且仅当a= 3.应用基本不等式比较 大小，关键在于构建两个效的 b时取等号)， 第三章 “和”与“积”，再利用基本不等 .0< 1 a+b2√ab 2<2a地=a. ‘a+b2v√ab 式得到它们之间的大小关系 四 即Vab≥2ab 。十（当且仅当a=b时取等号），. 第五金 2 1 @正（当且仅当a=b时取等号），. 。视野拓展 2 均值不等式链的证明 .A>B>C≥D. (1)由a,b∈R,得 答案A>B>C>D. ab a'b vah I.I- ⊙变式12(2024，北京海淀区高三一模)设0<u<b,则下 列不等式中正确的是( ). ≤√ab,当且仅当a=b A.a<b</ab<atb 2 Ba</ab<ajb-h + 时，等号成立 C.a</ab<生 D.Va-a<ajbh (2)瓜<生，当里仅 ⊙考题3(2024，江西高安中学单元测试)已知a,b,c都是非负 当a=b时，等号成立，已证 实数，试比较√a+b+√b+2+√c2+a与v2(a十b+c)的大小 (3)a2+b≥2ab→2(a 由空<、得、后于8≥号a+b,当且仅当 +r)2≥(a+by→4E≥ (a+b)2 a=b时，等号成立 +E (ab) 4 N 2 4 同理可得后+C≥（叶，当且仅当b=c时，等号成立， =a+b1_u十b 2 vF+>号c十a,当且仅当u=时，等号成主 所以，当a,b∈R时，有 步≤√，当且仅当 la 2 所以，+F+v+7+P+云≥[a+)+6叶c)十 a=b时，等号成立 64 /第二章》一元二次函数、方程和不等式/ (c+a]=√2(a+b+c), 综合(1)(2)(3)可得，当 故√a+b++c2+√c2+a≥√2(a+b十c),当且仅当 R时：有子≤v a=b=c时，等号成立. ⊙变式13(2024，浙江镇海中学高一月考)若0<a<1,0< ≤√，当且当 ab b<1,且a≠b,则a十b,2√ab,2ab,a2+2中最大的一个是 a=b时，等号成立. (). A.a2+ B.2ab C.2ab D.a+b 公名师支招， 第 ⊙考题4(2024，山东师大附中单元测试)已知a>0,b>0, 考题4应用基本不等式 ab=a十b十3，求ab的取值范围 可把条件a十b转化为关于 解折呢，a>0,b>0,∴.ab=a十b+3≥2√Wab十3. Vab的不等关系，进而可求出 ∴.(ab)2-2ab-3≥0，即(ab-3)(ab+1)>0, √ab的取值范国. ∴.√ab≥3或√ab≤-1（含去），∴.ab9, 等号成立的条件是a=b且ab=9,即a=b=3. 故ab的取值范围为{abab≥9}， @室式四(2024，济南调考)设a>6>c,且。6+十≥ 第五章 恒成立，求m的取值范围。 a-c 考点2 利用基本不等式求最值 ·核总结 海难点突凉… 最值定理：已知x,y都是正数，有下列结论： 1,最值定理的证明 (1)如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x十y有最小 x,y都是正数， 值2VP 传> (2)如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大 (1)积xy为定值P时， 有生厘 ⊙考题5(2024，河南郑州一中月考)求解下列问题： .x+y≥2√P,当且仅当 x=y时取等号 1)若>0，求2+3x的最小值 因此，当x=y时，和x十 65 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 (2)若x<0,求号+3x的最大值 y有最小值2√F (2)和x十y为定值S时 1:>0,“由基本不等式得号+3≥2√吗 2 .3x 有<， 236=12,当且仅当3r=号时取等号，即当x=2时，12+3x取 y<S,当且权当 得最小值12. x=y时取等号， 因此，当x=y时，积xy (2)x0,∴.-x>0, 第 62+(-3>2·(-3)=12. 12 有最大位。 豆 2.利用最值定理，可快速 第 坚+3≤-12，当且仅当号一3x时取等号， 求出最大值和最小值，即两正 数之积为定值，其和有最小 即当x=一2时，12+3x取得最大值-12 值；两正数之和为定值，其积 有最大值 第三章 ⊙变式21(2024，深圳中学单元测试)求解下列问题： 溪名师支招 第 a已知<号，求x一2+与的最大值， 利用基本不等式求最值 的关键在于“一正二定三相 (2)设0<x<2,求x(5一2x)的最大值. 等”，也就是：①一正：各项必 第五金 须为正.②二定：要求积的最 大位，则其和必须为定值：要 求和的最小值，则其积必须为 ©考题日已知x>2,求2二8士16的最小值。 定值.常用方法有：拼凑系数、 x2-2x+4 整体代换、部分分式、倒数相 服2一8士16=2-4.2 x2-2x+4 徐、换元、平方等，③三相等： x2-2x十41 必须验证等号是否成立。 令t=x一2，则>0，x=1十2， 2286-2++2 4 4 x2-2x+4 +4+2 而>4,0≤号 心412罗9 “青<<2，当且仅当1=即1=2=4时等号成立. 4 山拓展研问 故所求的最小值为学 不等式a+b>2ab和生 √ab的常用变形公式及推广公式 ⊙变式22(2024，辽宁省实验中学期中测试)若x>2,则 1.8+片>≥2u,b同号)1 a y=2+4有( x-2 b+4≤-2(a,b异号) a b A.最大值6 B.最大值8 C.最小值6 D.最小值8 2.a+≥2(a>0)a+ a 66 第二章)一元二次函效、方程和不等式 @考(2024，福建南平质检)已知x>0,>0,且}+9 1≤-2(a<0). 1,则x十y的最小值为 3+≥a>0 4 爵方法一(“1”的代换)1+9=1， b>0). y +=+}+）=10+2+ 48>a-Ma>0.6>0. 5.2(a2+)≥(a+b)月 x.9=6, ·x0y0.￥+≥2xy (a,b∈R). 6.十a十+a≥ 当且仅当义-9，即y=3x时取等号. n wa1a·…·an（a1a,…g :1+9=1当r=4y=12时，(x十y)m=16. an∈R且n≥2，n∈N). 方法二（消元法）：上+9=1，x= ataa(+ y y-9 1++1)≥f(a1,a2…, x>0,y>0,y>9. a yyy+若-y叶马1y9 aw∈R且n>≥2，n∈N). y一9 方法梳理+ 9g+10,且y90 利用基本不等式 y9+2g≥8/9X 求最值的方法 -96, 利用基本不等式，求函数 当且仅当)9=，g即y=12时取等号，此时1= 或代效式的最值，需对函敏或 代数式进行恒等变形及配凑， .当x=4,y=12时，(x十y)mim=16. 使“和”或“积”为定值.常见的 答案16. 变形手段为拆、并、配 ⊙变式23(2024，江西景德镇一中期中测试)当0<x<1 (1)拆—裂项拆项 当分子的次数高于分母 时，十的最小值为( 的次数时，将分式进行整式分 拆，即分拆成整式与“真分式” A.8 B.9 C.10 D.12 的和，再根据分式分母的形式 ⊙考题8(2024，上海浦东新区质检)若正数x,y满足 对整式进行凑项，为应用基本 x+3y=5xy,则3.x+4y的最小值是( 不等式创造条件 A.2 B.3 C.4 D.5 (2)并—分组并项 解祈方法一 由已知条件得y一5x一3 目的是分组后各组可以 单独应用基本不等式，或分组 3 由>0，y>0知x>号，从而3r+4y=3x+5-3=3x+ 后可以先部分应用基本不等 式，再组与组之间应用基本不 等式得出最值 (3)配—配式、配系数 为使“积”或“和”为定值， 67 考点同步解读〉高中就学必修第一符RA色 且仅当3x一号) 12 常常需要根据题设条件进行 25- y=6z3即x=1y=时取等 合理配式或配系数，使匹配后 的和式中两部分乘积为定值， 号.故3.x十4y的最小值为5. 或配以恰当的系数后，使积式 方法二 对原条件式进行转化得十}-5，则3江十4y 中的两项之和为定值 但应注意以下两点： (层+)(3x+4)=号(9+4+2+)≥号(13+ (1)使用基本不等式求最 值时一定要满足“一正二定三 12y.3x =5,当且仅当122=3，x+3y=5xy,即x=1,y= 相等”： (2)分式型函数以及含有 2时取等号.故3十4y的最小值为5. 两个变量的函数，特别造合于 答案D 使用基本不等式求最值， 第三章 ⊙变式24(2024，湖南长那中学期末测试)已知x>0,y> 0,且x+y+xy=3,则x+y的最小值为( 第 A.2 B.3 C.22 D.23 考点3 利用基本不等式证明不等式 第五金 核心总结 难点突破， 应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”“凑” 1.利用基本不等式证明 “拆”“合”“放”“缩”等变形，从而构造出符合基本不等式条件的 不等式时，首先要观察题中要 结构。 证明的不等式的形式，若不能 直接使用基本不等式证明，则 ⊙考题9(2024，华南师大附中单元测试)已知a>0,b>0, 考虑对代数式进行拆项、麦 >0,求证：g+g+必>≥a+b十c 形、配凑等，使之达到使用基 本不等式的条件：若题目中还 点拔由于待证不等式的左边有分母，而右边却是整式，因此 有已知条件，则首先观察已知 要想办法利用基本不等式把左边的分母去掉， 条件和所证不等式之间的联 系，当已知条件中含有“1”时， 围a>0.6>0>0+g>·号 be ac=2c. 要注意“1”的代换.另外，解题 过程中要时刻注意等号能否 同理，+哈>2b,+2a 取到， 2.重要不等式a2+> ∴2(g+g+2≥2a+6+o 2ab的形式可以是a≥2ab ,也可以是h≤，还 故c++>a十b十，当且仅当c=a=驰，即a=b=c 2 a'b a b c 可以是a+仁≥25(u>0), 时等号成立 ⊙变式3-1①(2024，湖北判州中学期中测试)证明下列问题： g≥2h-a(a>0)等.解题时 68 第二章)一元二次函效、方程和不等式 (1)若a,b,c,d都是正数，求证：(ab十c)(ac十bd)≥4abcd. 不仅要利用不等式原来的形 (2)已知x>0>0,求证：x2+y+2≥4. 式，而且要掌握它的几种变形 形式以及公式的逆用等，以便 应用. ⊙考题10(2024，江西临川一中单元测试)已知a,b,c均为 正数，且a+6计c=1,求证：++>≥0， 山规律总结… 运用方法一 +名+是生+++ 在应用基本不等式时，要 b 注意它们各自成立的条件，以 3+(台+号)+（后+）+（后+2）≥3+2+2+2=9， 确保推理的正确性，有时需要 适当地使用添项、分拆、拼凑、 当且仅当a=b=c=号时，等号成立。 组合等恒等变形的技巧，如在 考题10中，通过变量代换，出 方法二，a,b,c均为正数，a十b十c=1, 现了倒数，为应用基本不等式 +6+a+b+e(信+方+) 创设了条件.国此我们要善于 灵活运用变量代换来解决问题 =1+++号+1+后+++ =3+(合+号)+（后+）+（后+）≥3+2+2+2=9. 当且仅当a=6=0-专时，等号成立. ⊙变式3-2(2024，湖北黄冈中学月考)已知a,b,c∈R+且 a+b+c=1,求证：(2-1)（分-1）(2-1)≥8. 考点4 基本不等式的综合应用 核心总结 海难点突跟” 1.应用基本不等式解决实际问题的步骤： 如果实际问题需要用多个 (1)仔细阅读题日，透彻理解题意： 变量才能描述清楚量与量之间 (2)分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示 的关系，那么可能需要利用基 其他的变量，进而把目标表示成它的函数： 本不等式构造关于目标变量的 (3)应用基本不等式求出目标函数的最值： 不等式，解此不等式，并验证等 (4)还原实际问题 号成立的条件，即可求出最值， 2.应用基本不等式求参数的取值范围问题在高考中经常 进而解决实际问题 出现，在解决此类问题时，要注意挖掘各个变量之间的关系，探 寻思路，解决问题！ 69 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ ⊙考题11(2024，湖北黄冈中学月考)某校决定在学校门口 误区防错… 借助一侧原有墙体，建造一间墙高为3m,底面面积为24m2,且 利用基本不等式解决实 背面靠墙的长方体形状的校园应急室.此应急室背面靠墙，不需 际问题时，容易出现的错误是 忽视对等号成立条件的验证 要建造费用.公司甲给出的报价为：屋子前面新建墙体为每平方 米400元，左、右两面新建墙体为每平方米300元，屋顶、地面以 及其他共计14400元.设屋子的左、右两面墙的长度均为x(1≤ x≤5)m,公司甲的总报价为y元 第 (1)试求y与x的关系式 (2)现有公司乙也参与此应急室的建造竞标，其给出的总报 价为(520x十20000)元，若采用最低价中标规则，则哪家公司能 竞标成功？请说明理由 第三章 m1)由题意得y=3(300×2x+400×到)+14400 第 1800(x+9）+144001<r≤5). 即y与x的关系式为y=180(+9）+1440(1<r≤5). 第五金 (2)对于公司甲： 2≥1800X2,√.6+14400=2880. 当且仅当x=16,即x=4时取等号， 深方法技巧… 恒成立问题常采用分离 所以当左、右两面墙的长度均为4m时，公司甲的报价最低， 参数的方法求解，若a≤y恒 为28800元. 成立，则u≤ym:若a≥y恒 对于公司乙： 成立，则a≥ymx.将问题转化 当1≤x≤5时，20520≤520x+20000≤22600， 为求y的最值问题，可能会用 即公司乙的最高报价为22600元. 到基本不等式 因为22600<28800，所以无论x取何值，公司甲的报价都比 公司乙高，故公司乙能竞标成功 ⊙考题12(2024，江西余江一中月考)设x>0,y>0,不等 然名师支招… 式√元十y≤avx十y恒成立，则a的最小值为 考题12中，由√元+√少≤ 解析配显然a>0. av十y易得a≥区，要 由题意知，不等式心十恒成立， Vr+y Vx+y 使此式恒成立，必须使a大于 则a必须大于或等于匠十的最大值 或等于匠土的最大值，在 Vx+y √x干y 70 /第二章》一元二次函数、方程和不等式/ (=+叶-1+2<1+2=2. 求十的最大值时，可以 √x+y x+y x+y 2√xy x干y 当且仅当x=y时取等号 将其平方，利用基本不等式 求解 故十的最大值为2。 Vr+y 故a≥√2，即a的最小值是2. 答系√2. @变式41(2024，重庆八中期末测试)已知a>0,b>0,若 不等式4+1m 。十6≥a十4恒成立，则m的最大值为 A.9 B.12 C.16 D.10 对标演练分级测评·果时持训 〉基础过关练限时25分钟， 则x十y的最小值为 1.考点12如果4>0，那么a+】+2的最小值 的)高考提能练]限时0分钟 1.烤点2(2024，江苏常州三中期中测试)已知 是( A.2 B.2√2 C.3 D.4 >0.>0.且a6=1.则2+名+的最小 2.考点12如果a十b=1,那么ab的最大值是 值为( ( A.4+22 B.8 A司 c D.1 C.6√2 D.10 3.考点了对于a>0,b>0,下列不等式中不正确 2.考点4(2024，河南信阳高级中学期末测试) 的是( ）. 若关于x的不等式ax'+≥23u(a> x2+13 <+ a告 0)对于一切实数x都成立，则实数4的取值 ca≤（生 n(<告 范围是( A.{a0a≤9} 4.考点2已知4<0，且ab=1,则十取得 ao<a< a-b C.alu2g D.{aa≥9} 最小值时，a十b等于( ). A.-√10 B.-√6 3.考点14(2024，四川成都七中月考)（多选） C.-3 D.-√2 《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五 5.考点1.2已知a∈R,b>0,且(a十b)b=1,则 步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数 a叶子6的最小值是 学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补 原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用 6.考点1.2已知x>0,y>0,8.x十2y-xy=0, 对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两 71I 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA乡 错误;对于选项C.a>b,所以b-a<0,又因为-1 >0 .△ “,故D是真命题.] (ah>0, (ab>0. #-al o 6.3. [由不等式的性质得 ###{# →b> 0,所以6b-a<0,但--)(b. 6 (h-a)(ab-1) . b #### th-ad-0. (ab>0. ad; a lbad > bc>ad h-ad>0 立,故D错误.] ab0.故可组成3个真命题.] 3.C 7.设PQ=m.MN-n,因为△PMN和△QMN同底等 选项正误 原因 高,所以Sr-Sq,所以S+S=S+S,所以 由o>a>b,得ab>0,又因为a>b,所 2 X S.=S.因为△POQ△NOM,所以S:S=(OQ: 以ab·a>ab·b,即ab>ab OM)-^:,所以 - m .S.因为S.S= 由c>o>ab,得a>b,c>o,故ac> B X br $Q:OM-m·n,所以S-”.S,所以(S+S)- 由o>a>6,得。# 777 C / n D 文 由o>a>b,得a< 2·)-s(1-){,因为(1-”){}→0.所以 4.ACD 选项正误 原因 S+S>S+S. 若a>b,则a十(一c)>b十(一c),即 【实验班选做题】 A -一C [该高校9月初 取a-2,b-1,c-1,d--2.则a B x b.c>d.ac-bd 新生占学生的比例为,补录后新生占学生的比例为 ,为) nb <0.所以是< #所以.~,即# C 所以-1.1-# ) 2.(al2<<27).[·- 即 ·_)8()<27. 因为a>b0,所以a>ab>6 D 1<(xy)<4. 5.CD [利用不等式的性质或者举反例进行判断,取 a2u27.] a-2.b=-1.c=-1.满足选项A.B中的前提条件 2.2 基本不等式 对于选项A,有一,故A是假命题; 【变式训练】 [变式1-1] C [通过观察可以发现,题图中的四个直 对于选项B,有a>b,故B是假命题; 角三角形是全等的 .o.由不等式的性质4 对于选项C..c0. 设直角三角形的长直角边的边长为“,短直角边的边长 知,C是真命题; 为6,则大正方形的边长为十 对于选项D,a>0-a<-b<0→0<c-a<c- 由题图知,整个正方形的面积大于或等于这四个直角三 角形的面积和,即+>4xab-2ab,当a-b时,中 -bc-a 12 /参考答案与提示> 间空白的正方形消失,即整个正方形与四个直角三角形 2-6,当且仅当--2--4 重合。] --2+4有最小值6.] [变式1-2] B [方法-:0<<.< 1-2 [变式2-3]B [由0<x<1,得1-x→0,所以士+ b.排除A.C两项,又vab-a--)>0.即vab>a 4-+4)[+(1-]-5+-+_> 排除D项,故选B 方法二 取a-2,b=8,则vab-4.ab-5,所以a< 20 #ab6.。 时等号成立,所以+1-的最小值为9. 2 [变式1-]D[0< 1.0<1, [变式2-4] A[方法一 x十y十xy=3, .y(x十 'a+b2vab,a+hr>2ab. '.四个数中最大的应从a十b.a^{}十中选择 而a”+-(a+b)-a(a-1)+(b-1). 又:0a1.0b1. 'a(a-1)0,b(b-1)<0. '+-(a+b)<0,即a+<a+b 方法二.x+y+xy-3,..x(y+1)+(y+1)-4,即 '.a十最大.] (x+1)(y+1)=4,'x+y-(x+1)+(y+1)-2 [变式1-4] 由a>bc知a-b>0,b-c>0,a- >0. 2 (r+1(y+1-2-2,当且仅当x+1-y+1,且x+y+ 因此,不等式等价于“二+二,要使原不等式桓成 y-3,即x-y-1时取等号,故x+y的最小值为2.] [变式3-l](1)由基本不等式可知ab十cd2valcd. 立,只需{二“二的最小值不小于m即可. 当且仅当ab=cd时等号成立;ac+bd2vachd,当且仅 当c一/时等号成立 a-b b-c 所以(ab+cd)(ac+bd)>2vabcd·2vacbd-4abcd,即 二+#→2+~二-4.当 (ab+cd)(ac+bd)>4abcd,当且仅当a=d,b-c时等号 成立. .4. (2)因为x0.y0. [变式2-1] .5-4.c>0. r 令y-4r-2+,则--(5-4-+)+3< 1.即x-y-1时取等号,所以+y+2=4. [变式3-2].a,b,cER,a+bc-1. .1-1-1-+2v '当x-1时,y-1. 同理可得-1>2□1-12 (2).0<2.0<2r<4.5-2x>0.令y=(5- 2),则y-·2r·(5-20)<·[2-+(5-20] 2= 上述三个不等式两边均为正,将其两边分别相乘,得 ($-1)(1)(-1)222_8. 6 当且仅当a-b-c-- 1时等号成立. [变式2-2] C [因为x>2,所以x-20,所以y= [变式41]C[根据题意可知,m<(4+)(a十 4)恒成立,即可转化成求y-(4+)(a+40)的最小 1-2 -2 13 I 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA 值又y-(4+)(a+4)-8+1+>8+ 3. BCD [对于A,由题图1,2面积相等得S=ab-(a b)·d.所以d-a 故A错误. 对于B,因为AF1BC,所以·a·b-干· 16,即m的最大值为16.] 【基础过关练】 AF,所以AF-ahb #0 1.D 2.B 3.A 设题图3中内接正方形的边长为(.根据三角形相似 4.B [由条件知a-b0,ab-1. 一b a- #正_ 此时a十b=-(a+b){--(a-b)+4ab- 2 -(②)*+4--6.] 对于C,因为D为斜边BC的中点,所以AD 5.2.['b0,且(a+b)b-1.'a= #_. # 2 a十6 因为AD→AE.,所以#a 2 ,整理得 6.18. [当x0.yo时,8x+2y-xry-02+8- 2 x3y 理得a”十2ab,故D正确。] 1..+y-(x+)(2+8)-10+8r+2 4.ACD 选项正误 原因 x+y2xy,当且仅当x-y时等号 6.y-12时,x+y取得最小值18.] 成立,r十y-xry-3,则r+y-3- A 【高考提能练】 ,即+y<.当且仅当 2 一 r-y-士v③时等号成立 +y-ry=3-(x+y)-3xy,则 B x (+y):-3-3xy<3x+)当 [a=2+③.b-2+v3. b-4.即 时等号成立,] la-2-3 -2-V③ 且仅当x二y时取等号,则(r+y)<12 C 即一2v③<x+y<2③,所以当x y-③时,x十y取得最大值2③ r+y-xy-32xy-xy,则xy D 切实数x都成立,又a(x十+1)0,x+1>0,则由基本 3,当且仅当x-y=士3时等号成立 ] 5.16.[因为正实数a,b满足1+4-2.所以2-1+ c{+1 2V,当且仅当a(r+1)-1 1,即= (1)时 取等号,则2、#→.# 14 /参考答案与提示> 4a-2ab,所以(a+1)(b+4)-4a+b+ab+4-3ab+ 2.10r*+10+ 412+4-16.] xy+3y2+x2 (2+2y)+(8r+)+(8+) 6.. [因为2(a+)a}++2ab-(a+b){,所以 ry+y+x2 a*十(a+b): ,当且仅当a一时等号成立,因为正 42+4r+4 y+z十y8 实数m,n满足vm{}+2+n-3,所以n{}十n= -4. (Vn+2)?+(V) -2(vm{}+2+vn) 当且仅当x-y--时等号成立. 故10+10+的最小值为4. y+yz十x2 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 号成立,则m^{十n的最小值是] 【变式训练】 7.(1)要证二0. y [变式1-1] C [A中x的最高次数为3;B中a不能为 32- 即证-xy+y-y+-xx0. 0.D中x的最高次数为1 即证”++xy+y十cx. [变式1-2] A [将A,B.C.D中的数代入不等式验算, 知A中的0代人3×0+6<19×0不成立,其余1.2,3 因为x,y,:都是正数 代入均成立,] 所以”+y>2xy,y+>2,”+2 [变式2-1] -2,3. [方法- 令y-0,即--6-0. 当且仅当x一y一z时,以上三式等号均成立, 因为△-(-1-4×1×(-6)=25>0,所以方程* 所以++y+”++>2ry+2y+2x. --6-0有两个不相等的实数根x.=-2,x。=3. 整理得r+y+xy十yz十x,当且仅当x=y=z 所以函数y-x-x-6的零点是x--2,x。-3. 时等号成立 方法二 由r-x-6-(x-3)(x+2)-0. 所以原不等式得证 得=-2,r-3. 所以函数y-x---6的零点是x=-2,x-3. 所以-2--2~-”桓成立。 方法三 作出函数y-r-x-6的图象(如图).因为函 r*yx十y xy 数的图象是一条开口向上的抛物线,且当x一0时,y /二,立-1-1,当 一6<0,所以函数y-r一x-6的图象与x轴有两个交 ry ) 点A(-2,0),B(3,0),故y--x-6的零点是x- 且仅当x一v时等号成立 -2-3.] 所以n-2m-2<1.即n-2n-3<0. 解得一1<n3,故实数n的取值范围为-1 n 3 【实验班选做题】 1.D[由x+y<2(+w),得y-又xy xy (0.-6) xry [变式2-2] C [由x(x-2)<0,解得0 x2,即不等 式x(x-2) 0的解集为xl0<x2).由题意可得不等 ·-V-,当且当{ 式x(x-2)<0成立的一个充分不必要条件应为xl0< y. 12)的真子集,故选C.] x-/②y-/②e时取等号,故选D.] [变式2-3] D[-2+x+3<0,即2--3>0. 15