第1章 集合与常用逻辑用语单元知识整合-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第-章)集合与常用这拼用语 单元知识整合 一、微专题妙总结 内酒阐释知识融汇·方法总结 m+1≥-2. m+1>-2, 求解集合问题的两个重要工 微专题 ∴.2m-1<5, 或2m-1≤5 具：数轴与Venn图 2m-1≥m+12m-1≥m+1, 1.利用数轴判断集合间的关系问题 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 般地，判断不等式解集间的关系常借助 ②当B=0时，由m十1>2m一1，得m<2. 数轴数形结合求解， 综上可得，m的取值范国是{m≤3). ⊙例题1(2024，西北工大附中单元测试) (2)当A二B时，如图2所示，此时B≠心. 已知集合A={xx≥一2}，集合B={x一2≤ 四 x<8},则集合A与B的关系是 n+1-2521-1t 图2 解析在数轴上表示出集合A,B,如图所 2m-1>m+1, 〔m>2, 示，易知B军A. .m十1≤一2，即m≤一3，此时无解， 2-1≥5. m≥3， ∴.m不存在. 答案B军A. 即不存在实数m使A二B. 方法总结对于由不等式解集构成的集合 方法总结B=⑦表示集合B中没有元素， 之间的关系判断，利用数轴画出两个集合，能 即集合B中的不等式无解.如B={x|a<x< 直观地得出相应的结论 b}或B={xa≤x<b}或B={xa<x≤b},若 2.利用数轴处理集合间关系的求参问题 B=,则a≥b:若B={xa≤x≤b}=,则 一般地，由不等式的解集引发的集合间关 ab. 系的求参问题，常借助数轴数形结合求解， 3.利用数轴进行集合的运算问题 ⊙例题2(2024，河南安阳一中期中测试) 般地，对于不等式给出的集合的运算， 已知集合A={x|-2≤x≤5)，B={xm+1≤ 借助数轴数形结合处理比较方便快捷， x≤2m-1}. @例题3(2024，宁夏银川一中单元测 (1)若B军A,求实数m的取值范围. 试)设全集为R,集合A={x3≤x<7},B= (2)若A二B,求实数m的取值范围. {x2<x<6},求：A∩B,AUB,CRA,CRB 解妮(1)①当B≠心时，如图1所示. Cm(AUB),CR(A∩B),(CRA)∩B,AU(CRB). 解析将集合A,B表示在数轴上，如图所示 -2m+12m-15 图1 67 47 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 .A∩B={x3≤x<6},AUB={x2< 由A∩B={3},将3填入A,B两区域的 x<7},CRA={x|x<3或x≥7}，CRB={x 交会处，由(CB)∩A=1,9},将1,9填入A x≤2或x≥6}， 区域的左半边.由(CA)∩(CB)={4,6,7}可 ∴.CR(AUB)={xx≤2或x≥7}， 知4,6,7既不在A内又不在B内，将4,6,7填 CR(A∩B)={xx<3或x≥6}， 入A,B区域外，剩下2,5,8填入B区域的右 (CRA)∩B={x2<x<3}, 半边，检查可知符合题意，因此A={1,3,9}, AU(CRB)={xx≤2或x≥3}. B={2,3,5,8} 方法总结一般地，用描述法表示的数集 答{1,3,9}：{2,3,5,8. (常为不等式形式)可以借助数轴将抽象问题 微专题2 集合中的求参问题 直观化，用重叠区域表示集合间的交集运算， 集合中的参数问题是一种较难的问题，在 用合并区域表示集合间的并集运算，分析并得 解题过程中容易出错.其易错点在于学生不能 出结论 正确判断端点值能否取到，忘记考虑空集等 第三草 4.利用Venn图判断集合间的关系问题 高考关于集合中的参数问题的考查，往往与集 般地，对于离散型的数集间的关系判 合元素的性质、函数、解不等式相结合.与之相 断，借助Venn图直观作出判断比较方便快捷. 关的题目，往往有一定的难度，关键是对分类 ⊙例题4(2024，天津耀华中学月考)给 讨论思想的理解和应用。 出下列两个集合：A={1,2,4},B={x|x是8 L,包含关系中的参数问题 五童 的约数}，则A与B之间的关系是 已知两个集合的包含关系，这类问题的求 解A={1,2,4},B={1,2,4,8},如图， 解可借助于数轴来看出两者之间的关系，把包 含关系转化为不等式问题解决，注意端点处的 值是否可以取到， ∴.A至B(A二B亦可，但AB更准确). ⊙例题6设集合A={.x3<x<11},B 答案A年B. {x2a一3≤x≤3a一7}，若B二A,则实数a的 5.利用Venn图进行具体数集的运算问题 取值范围是( Venn图有助于我们加深对集合关系的理 A.{a3<a<6 B.(ala<6) 解以及直观认识，在解决集合的交、并、补问题 C.{a4≤a<6 D.ala<4) 时，充分利用Venn图可以使复杂的运算相对 解析当B=心时，B二A, 简单、直观 所以2a-3>3a-7→a<4: ⊙例题5(2024，湖北黄冈质量检测)全 当B≠必时，因为B二A, 集U={.xx<10,x∈N,},ACU,BU,(CB)∩ 2a-3≤3a-7, A={1,9},A∩B={3},(CA)∩(CB)={4, 所以2a-3>3, 解得4≤a6. 6,7},则集合A .B= 3a-7<11, 解析Venn图如图所示. 综上所述，实数a的取值范围是{aa<6}. U 答案B B 2.元素的互异性中的参数问题 ⊙例题7已知集合A={0,m,m2-3m十 48 第一章)集合与常用过拼用语 2},且2∈A,则实数m的值为 参集合分空集和非空集合两种情况讨论，另一 解析因为A={0,m,m2-3m+2},且2∈ 方面要借助已知关系将问题转化为不等式或 A,所以m=2或m2-3m十2=2，即m=2或m 不等式组来求解。 =0或m=3.当m=2时，A={0,2,0},与集合 4.与“A∩B=B”或“AUB=B”相关的求 中元素的互异性矛盾，舍去：当m=0时，A 参问题 (0,0,2},与集合中元素的互异性矛盾，舍去； (1)如果题目中出现A∩B=B或AUB= 当m=3时，A={0,3,2},满足题意.综上，m B,可转化为集合的包含关系，即可推出B三A 的值为3. 或A二B,求参数的取值范围要注意B(或A) 答案3. 可能是空集的情况，故此类题要分为两类求 方法总结解答集合问题时，要注意集合中 解：①是空集时，②不是空集时.求解时可将问 元素的确定性、互异性、无序性的灵活运用，即 题转化为不等式（组）问题解决， 分析问题要看能否利用“三性”找到解题的切 (2)在集合运算中，如补集运算以及集合 入，点.特别是以集合的互异性为考查点的试 的包含关系等，需要注意端点值能否取到，否 题，在求解过程中，求出变量的值后一定要记 则容易出现错误 得代回检验，看是否满足这一特性 ⊙例题9(2024，辽宁营口一中单元测 3.与“A∩B=☑"或“AUB=R”相关的求 试)已知集合A={x|一2<x≤4}，B={x 参问题 2m一1≤x≤m十1}，当A∩B=B时，求实数m 给定一个具体集合和一个含参集合，在满 的取值范围 足“A∩B=”或“AUB=R"”的条件下求参数 解：A门B=B,∴，B二A 的值或取值范围是一类典型的集合求参问题. ①当B=☑，即2m-1>m+1,m>2时， ⊙例题8(2024，山东烟台一中单元测试) BCA: 已知A={x-2≤x≤5}，B={xk-1≤x ②当B≠☑时，要使B二A, 2k十1}，使A∩B=⑦的实数k的取值范围为 21-1≤m十1， 解析①当B=心，即k一1>2k+1时，k< 必须有2m-1>-2,解得一<m<2 m十1≤4， -2: ②当B≠⑦时，由A∩B=0, 实数m的取值范图为mm>} 2k+1<-2,.k-1>5, 得k-1C2k+1或k一1≤2k+1 方法总结本题考查集合的包含关系的判 断及应用，把集合间的关系转化为不等式（组） 解得-2≤k<一 我k>6 的求解问题 综上所述，k的取值范国为kk<一多或 5.集合间的关系与运算问题中的求参 问题 k>6 ⊙例题10(2024，湖南师大附中月考)设 全集U=R,集合A={x|一5<x<4),集合B 登罩k<一多或>6， ={.xx<-6或x>1},集合C={xx-m< 方法总结求解此类问题时，一方面要对含O},使其同时满足下列两个条件的实数的取值 49 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 范围是 综上可得m≥4. ①C2A∩B:②C2(CA)∩(CB). 答案{mm≥>4. 解析因为A={x|一5<x<4},B={x 方法总结有关集合之间的关系及运算问 x<一6或x>1},所以A∩B={x1<x<4}. 题，往往要转化为方程的根、不等式的解集来处 又因为CA={xx≤-5或x≥4}，CB 理.对于含有参数的问题要特别注意以下两点： ={x-6≤x≤1}， (1)不要忽略集合中元素的互异性，即求 所以(CA)∩(CcB)={x-6≤x≤-5. 出参数后应满足集合中的元素互异， 因为C={xx<m}, (2)不要忽略空集的存在.如A二B,A表 所以当CDA∩B时，m≥4； 示某方程的根或不等式的解集时，不要忽略A 当C2(CA)∩(CB)时，m>-5. =⑦的情况. 第 章 二、高频考点整合 第三草 高须考点 真题制析·能力提升 第四重 高频考点1 集合的含义与表示 ⊙真题2(2020，全国Ⅲ卷)已知集合A (z.y)lr,yEN',yr),B=((x,y)x+y= 学科素养研析 第五金 8},则A∩B中元素的个数为( ). 知识要，点 集合的含义，集合的表示 A.2 B.3 C.4 D.6 核心素养 数学抽象、数学运算 解掘A∩B=((x,y)|x十y=8,x,y∈ 命题意图 考查对集合的含义与表示的理解 N,y≥x}={(1.7).(2,6),(3,5),(4,4). 考查级别 水平一，水平一 答案C ⊙真题面（经典，北京卷）设集合A= 解题策略认清集合元素的属性（是，点集、 {(x,y)x-y≥1，ax+y>4,x-ay≤2}，则 数集或其他情形)并化简集合，是正确求解集 ( 合运算的两个先决条件。 A.对任意实数a,(2,1)∈A 高频考点2 集合间的基本关系 B.对任意实数a,(2,1)任A 学科素养研析 C.当且仅当a<0时，(2,1)任A 知识要点 集合间的基本关系 D.当且仅当u≤号时(2,1EA 核心素养 逻辑推理、数学运算 2-1≥1， 命题意图 考查集合间的基本关系及应用 解若(2,1)∈A,则2a十1>4， 考查级别 水平一、水平 2-a≤2， ⊙真题3(2023，全国新课标Ⅱ卷)设集 合A={0,-a},B=(1,a-2,2a-2},若A□ 化简得 所以心多 B.则a=(. a≥0. 答案D A.2 B.1 c号 D.-1 50 第一章)某合与常用过拼用语/ 解析依题意知，a一2=0或2a一2=0. ⊙真题5(2023，全国乙卷)设全集U 当a一2=0时，解得a=2, R,集合M={x|x<1},N={x|-1<x<2}, 此时A={0,一2}，B={1,0,2},不符合 则{xx≥>2}=( . 题意： A.C(MUN) B.NU CoM 当2a一2=0时，解得a=1, C.(MON) D.MU CN 此时A={0,一1}，B={1,一1,0}，符合 解桥集合M,N在数轴上的表示如图. 题意 M☐N 登案B -1012 由图可知C(MUN)={xx≥2. 解题策略已知两个集合间的包含关系求 答秦A 变量的取值范围时，要明确集合中的元素，对 解题策略解决集合的混合运算问题的 子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 思路 一般地，(1)若集合是有限集或离散型无限集， (1)解决集合的混合运算问题时，一般先 则依据集合间的包含关系，转化为方程（组）求 计算括号内的部分，如求(CA)∩B时，先求出 解，此时需注意集合中元素的互异性：(2)若集 CA,再求交集；求Cr(AUB)时，先求出AU 合是连续型无限集，则常借助数轴转化为不等 B,再求补集. 式（组）求解，此时需注意端点值能否取到 (2)当集合是用列举法表示时（如数集）， 高频考点3 集合间的基本运算 可以通过列举集合的元素分别得到所求的集 学科素养研析 合；当集合是用描述法表示时（如不等式形式 知识要点 集合间的基本运算 表示的集合)，可运用数轴求解。 核心素养 逻辑推理、数学运算 高频考点4 条件关系的判定 命题意图 考查集合间的基本运算及应用 学科素养研析 考查级别 水平一，水平一 充分条件、必要条件、充要条件的概念， 知识要点 ⊙真题4(2023，全国甲卷)设全集U 条件关系的判定 Z,集合M={xx=3k+1,k∈Z},N={xx 核心素养 数学运算，逻辑推理 3k+2,k∈Z,则C(MUN)=( 命题意图 考查条件关系的判定 A.{xx=3k,k∈Z 考查级别 水平一、水平二 B.{xlx=3k-1,k∈Z ⊙真题6(2023，天津卷)“a2=2”是 C.{xx=3k-2,k∈Z “a2+b=2ab”的( D.0 A.充分不必要条件 解集合M中的元素是被3除余1的 B.必要不充分条件 数，集合N中的元素是被3除余2的数，所以 C.充要条件 集合C(MUN)中的元素是能被3整除的数， D.既不充分也不必要条件 即C(MUN)={xx=3k,k∈Z. 解析由a=b得a=|b； 答案A 由a2十b=2ab,得(a一b)2=0,∴.a=b. 51 考点同步解读〉高中数学必修第一册RA色 a=b→a=b,而由a=b不能推出 =x2土y a=b, zy .“a2=”是“2+b=2ab”的必要不充分 =ty+2ry-2ry TV 条件. -(x+y)2-2xy 答秦B ry ⊙真题7(2023，北京卷)若xy≠0，则 =-2xy ry “x十y=0”是“工十义=一2”的( =-2, A.充分不必要条件 所以充分性成立； B.必要不充分条件 第 必要性：因为xy≠0，且+义=一2， 章 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 所以工十卫 第三草 解机方法一因为xy≠0，且工十义 y x =x2+y ty -2,所以x2+y2=-2xy, 四 =ty+2ry-2ry 即x2+y2+2xy=0,即(x十y)2=0, y 第五金 所以x十y=0. _(x十y)2-2.xy 所以“x十y=0”是“正十义=一2”的充要 xy =(x土y)2 -2 条件 ty 方法二充分性：因为xy≠0，且x十y =-2, 0,所以x=一y 所以x十y) ry 0 所以号十=+六一1-1=-2 y x y 所以(x十y)2=0, 所以充分性成立： 所以x十y=0, 必要性：因为xy≠0，且C十义=一2， 所以必要性成立 y a 所以x2+y2=-2.xy,即x2+y2+2xy= 所以“x十y=0”是“十义=一2”的充要 y 0,即(x十y)2=0,所以x十y=0, 条件 所以必要性成立 答军C 所以“x十y=0”是“十义=一2”的充要 解策艳充分条件与必要条件的判断 条件 步骤 方法三充分性：因为xy≠0，且x十 第一步：由条件→结论，看是否成立： 第二步：由结论→条件，看是否成立； y=0, 第三步：由前两步的推导情况及条件关系 所以C十义 y x 的概念作出判断. 52 第一章)朵合与常用过拼用语/ 三、易错考点归纳 纠错笔记答卷统计·误区诊断 易错点1 忽视元素的互异性 B=A,B军A:其次，分A=B和B军A讨论求 ⊙典例门(2024，湖北枝江一中单元测 解，特别注意BA时分B=☑和B≠心讨论 试)（失分率：41%）由实数x,一x,√x,|x, 求解；最后，综合解答过程得出正确结论为α 一云所组成的集合中，含有元素的个数最多 1或a≤-1. 为(). 易错点3 混淆充分条件与必要条件 A.2 B.3 C.4 D.5 ⊙典例3(2024，广东阳江一中单元测 错解B或C或D 错因分析没有注意到元素的互异性，并且 试)（失分率：45%）使x≥3或x≤- 2成立的 对√，x,一的意义把握不准.尤其是x, 一个充分不必要条件是( x,一x,没有注意到x,一x是一对相反数 A.x≥0 B.x0或x>2 正解A 四 解析首先，分析元素的特点，注意到√云= C.x∈{-1,3,5} n≤或3 |x,一云=一x,从而由集合的含义知集合 错解B 中的元素只可能为x,一x,x.其次，注意到x 错因分析对于两个条件A,B,如果A→B, 与一x为一对相反数，因此分x>0和x<0讨 论，最后，注意“最多”的要求，从而确定正确答 则A是B的充分条件（或B的充分条件是A), 案为A. B是A的必要条件；如果B→A,则A是B的 易错点2 误人“空集”陷阱 必要条件，B是A的充分条件；如果A曰B,则 ⊙典例2(2024，江西临川一中单元测 A,B互为充要条件，本题易错的地方是颠例充 试)（失分率：35%）设集合A={xx2十4x=0, 分性和必要性，根据≥3或≤-司}三 x∈R,B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0, x∈R),若B二A,则实数a的取值范围为 {xx>2或x<0}而误选B.事实上，“x≥3或 x≤-2 ”为结论，我们只需找到条件p,使得 错解a=士L. 错因分析集合B为方程x2十2(a十1)x十 p→g且q为p即可. a一1=0的实数根所构成的集合，由B二A可 正解C 知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容 国团已知≥3或x≤-2，所以选项中 易忽视方程无解，即B=⑦的情况，导致漏解 正解a=1或a≤-1. 只有x∈{一1,3,5}是使其成立的一个充分不 解桐首先，求出A并剖析B二A,分解为必要条件. 53