1.5 全称量词与存在量词-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第一章〉集合与常用过辩用语 1.5全称量词与存在量词 高考要求】学业标准·梦情分析 一考点分布· 一学科素养 一学法导引· 1.通过学过的数学知识理 1,学会判断一个命题是全称量词命题，还是存 解全称量词与存在量词 数学抽象、逻辑推理 在量词命题 的意义.（★★） 2.充分理解全称量词命题与存在量词命题的概 2.能正确使用存在量词对 念，重点关注全称量词命题与存在量词命题的真假 全称量词命题进行否定， 数学抽象、逻辑推理 判断，全称量词命题与存在量词命题的否定，熟记一 (★★★)》 些全称量词命题与存在量词命题的不同表述方式， 3.能正确使用全称量词对 并能够熟练运用其表示符号。 存在量词命题进行否定， 数学抽象，逻辑推理 3.运用函数思想、数形结合思想解决含有一个 (★★★) 量词的命题的求参问题 考点分类考，点遗析·典例剑析 考点个 全称量词命题和存在量词命题 ·核心总结 海难点突破： 1.全称量词 1.正确理解全称量词命 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词，并 题和存在量词命题 用符号“”表示. (1)如何理解全称量词命 2.全称量词命题 题和存在量词命题？ (1)定义：含有全称量词的命题，叫作全称量词命题， 全称量词命题是陈述某 (2)符号表示：通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x), 集合中的所有元素都县有（不 具有)某种性质的命题，无一 r(x),…表示，变量x的取值范围用M表示.那么，全称量词命 例外，其强调“整体”“全部” 题“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为Hx∈M, 存在量词命题是陈述某 p(r). 集合中有（存在）元素具有（不 3.存在量词 具有)某种性质的命题，强调 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词， “个别”“部分”的特殊性 并用符号“3”表示. [提醒]全称量词命题与 4.存在量词命题 存在量词命题中可能存在多 (1)定义：含有存在量词的命题，叫作存在量词命题 个量词、多个变量 (2)符号表示：存在量词命题“存在M中的元素x,使 如：x,y∈R,(x+y)· (x-y)>0: p(x)成立”可用符号简记为3x∈M,p(x) 3a,3∈R.使(a十3)2 39 考点同步解读〉高中就学必修第一册RΛ色 ⊙考题面(2024，湖南师大附中单元测试)下列命题是全称 a+8. 量词命题的是(). (2)同一个全称量词命题 或存在量词命题的表述是否 A.有一个偶数是质数 唯一？ B.至少存在一个奇数能被15整除 不唯一.对于同一个全称 C.有些三角形是直角三角形 量词命题或存在量词命题，由 D.每个四边形的内角和都是360° 于自然语言的不同，可以有不 解析因为“每个”是全称量词，所以选D. 同的表述方法，只要形式正确 第 答秦D 即可 2.全称量词命题和存在 ⊙变式11(2024，山西大同一中单元测试)将“x2十y≥ 量词命题的若千表述形式 2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( 章 (1)由于全称量词的不同 A.对任意x,y∈R,都有x2+y≥2xy 表述，对同一个全称量词命题 第三草 B.存在x,y∈R,使x2+y≥2xy 往往也有不同的表迷形式，如： C.对任意x>0,y>0,都有x2+y2≥2.xy 全称量词命题“Vx∈M,p(x) 成立” 第四章 D.存在x<0,y<0,使x2+y≥2xy ①对每一个x∈M,(x)成立： ⊙考题2(2024，湖南长郡中学月考)（多选）下列命题是 不同表 ②对所有的rEM,p(x)成立： ③对一切r∈M,(x)成立： 第五金 “3x∈R,x>3”的表述方法的有( ①任致一个x∈M,p(x)成立： A.有一个x∈R,使得x2>3成立 ⑤凡r∈M,都有p(x)成立 B.对有些x∈R,使得x2>3成立 (2)由于存在量词的不同 C.任选一个x∈R,都有x>3成立 表述，对同一个存在量词命题 往往也有不同的表述形式，如： D.至少有一个x∈R,使得x>3成立 存在量词命题“3x∈A,使 解析C选项是全称量词命题，A,B,D选项符合题意。 p(t)成立" 答案ABD D存在r∈A,使p(x)成立： 不 ②至少有一个x∈A,使p(x) ⊙变武12(2024，安撒合肥二中周练)设集合S={三角 成立； 形}，p(x):内角和为180°，试用不同的表述方法写出全称量词命 ③对某个xEA,使p(r)成立 ①对某些xEA,使(r)成立： 题“Hx∈S,p(x)” D有一个xEA,使(x)成立 ⊙考题3(2024，江苏南京二中周练)设b(x):2x是偶数， 试用不同的表述方法写出下列命题： (1)全称量词命题：“Hx∈N,(x)” (2)存在量词命题：“3x∈N,p(x)” 40 第一章>集合与常用过拼用语/ 群园(1)全称量词命题：①对所有的自然数x,2x是偶数； ②方法梳理 ②对一切的自然数x,2x是偶数：③对每一个自然数x,2x是偶 1.判断一个语句是全称 数：④任选一个自然数x,2x是偶数：⑤凡自然数x,都有2x是 量词命题还是存在量词命题 偶数. 的步聚 (2)存在量词命题：①存在一个自然数x,使得2x是偶数： (1)判断该语句是否为 命题 ②至少有一个自然数x,使得2x是偶数：③对有些自然数x,使得 (2)看命题中是否含有量 2x是偶数：④对某个自然数x,使得2x是偶数：⑤有一个自然数 词，含有量词时，该量词是全 x,使得2x是偶数. 称量词还是存在量词. ⊙变式13(2024，湖北武汉二中周练)设g(x):.x2=x,试 (3)对不含或省略量词的 用不同的表述方法写出存在量词命题“3x∈R,g(.x)” 命题，要根据命题涉及的实际 意义进行判断 2.注意哪些词是量词，同 时应注意全称量词命题和存 在量词命题的结构形式。 考点2 全称量词命题和存在量词命题的真假判断 ·核心总结 奇难点突破… 1.判断全称量词命题“Hx∈M,p(x)”成立，需要对M中 判断全称量词命题和存在量词 的每一个x,都证明p(x)成立，则为真命题，如果在M中存在 命题的真假时应注意的问题 一个x,使(x)不成立，则为假命题 1.判断全称量词命题的 2.判断存在量词命题“3x∈M,p(x)”成立，只需在集合 真假，一定要通过生活和数学 M中找到一个元素xo,使p(x)成立即可，如果M中的所有x 中的丰富实例，结合相关的数 都使p(x)不成立，则为假命题， 学知识综合判断.例如，判断 “所有的素数是奇数”的真假 ⊙考题4(2024，江西南昌一中单元测试)下列全称量词命 因为2是素数，但不是奇数， 题中，是假命题的有(). 所以该命题是假命题. ①2.x十1(x∈R)是整数：②对所有的x∈R,x>一1：③对任 2.判断存在量词命题的 意一个x∈Z,2x2+1为奇数， 真假，也要通过生活和数学中 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 的实例、知识综合判断.例如， 题①取x=3:则2x+1=号EZ.假命题， 判断“(1)有一个实数x,使 x2+2.x十3=0：(2)有些整数 ②取x=-2,一2<一1，假命题， 只有两个正因数”的真假.在 ③Hx∈Z,2x+1均为奇数，真命题 (1)中，△<0，使x2+2.x+3= 答案C 0成立的实数x不存在，故 41 考点同步解读〉高中就学必修第一册R△色 @变式2已知集合A={xx≥≥0}，集合B={xx>1},则 (1)是假命题：在(2)中，3有两 以下命题为真命题的是(). 个正因数，即1和3，故(2)是 A.3x∈A,x∈B B.3x∈B,x任A 真命题 3.在存在量词命题中，有 C.Hx∈A,x∈B D.Hx∈B,x在A “唯一”“至少"“存在”等短语 ⊙考题5(2024，湖北武汉二中月考)下列命题中是真命题 出现时，常用反证法来处理 的是( ). A.在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点P B.每一条线段的长度都能用正有理数来表示 方法梳理 C.存在一个实数x,使得等式x2十x十8=0成立 1.全称量词命题的真假 第 D.Hx∈R,x2-3.x+2=0 判断 章 解析A是真命题，因为平面直角坐标系中的点与有序实数 一般从全称量词命题为 第三章 对之间是一一对应的.B是假命题，如边长为1的正方形，对角线 假命题入手，寻找使其为假命 题的反例：找不到时，再从证 长度为W2,就不能用正有理数表示.C是假命题，方程x2十x十8= 第 明Hx∈M,p(x)成立入手判 0的判别式△=一31<0，故方程无实数解.D是假命题，只有x-2 定其为真命题 或x=1时等式x2一3.x十2=0才成立. 2.存在量词命题的真假 第五金 答案A 判断 ⊙变式22下列命题是存在量词命题且是真命题的是 一般从存在量词命题为 真命题入手，寻汽使其为真命 题的特例：找不到时，再从证 A.所有二次函数的图象都是轴对称图形 明Vx∈M,p(x)不成立入手 B.平行四边形的对角线相等 判定其为假命题. C.有些实数是无限不循环小数 D.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 误区防错… ⊙考题6(2024，山东青岛二中周练)指出下列命题中，哪些 1.易错点 是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 忽视特殊条件的验证，在 (1)3x∈R,使x2十1<0. 判断全称量词命题的真假时， 只注意一般情况，从而未能保 (2)对某些实数x,有2x十1>0. 证“每一个”成立 (3)Hx∈{3,5,7}，3x+1是偶数. 2.防错良方 (4)3x∈Q,x2=3. 特别注意“每一个”，并结 解析判断全称量词命题为假时，可以用特例进行否定：判断 合生活中的丰富实例判断全 存在量词命题为真时，可以用特例进行肯定 称量词命题的真假： (1)命题中含有存在量词的符号“]”，因此该命题是存在量 词命题.对任意x∈R,x十1>0，所以该命题是假命题. (2)命题中含有存在量词“某些”，因此该命题是存在量词命 42 第一章〉某合与常用过辩用语 题，若x>一司，则2十1>0.所以孩命题是真命题。 (3)命题中含有全称量词的符号“H”,因此该命题是全称量 词命题.把3,5,7分别代入3.x十1，得10,16,22且都是偶数，所以 该命题是真命题 (4)命题中含有存在量词的符号“”，因此该命题是存在量 词命题.由于使x=3成立的实数只有土3，且它们都不是有理 数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题. ⊙变式23(2024，湖北麻城一中单元测试)判断下列命题 是否为全称量词命题或存在量词命题.若是，用符号表示，并判断 其真假. (1)对所有的实数a,b,方程a.x+b=0都有唯一解. (2)存在实数x,使得x-x十=2， 四 考点3 全称量词命题和存在量词命题的否定 核心总结。 ②方法梳理 1.含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 1.两种命题之所以有区 全称量词命题p:Vx∈M,p(x),它的否定p:3x∈M 别，是因为构成两种命题的量 7p(x). 词不同.“全称量词”与“存在量 全称量词命题的否定是存在量词命题 词”正好构成了意义相反的表 2.含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 述，如：“对所有…都成立”与 存在量词命题p:3x∈M,p(x),它的否定p:Vx∈M, “至少有一个…不成立"， p(x). “都有”与“不都有”等 存在量词命题的否定是全称量词命题 2.在书写全称量词命题 3全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的 与存在量词命题的否定时，一 否定是全称量词命题，即它们互为彼此的否定形式.在写两种 定要抓住决定命题性质的量 命题的否定时，要牢牢掌握形式上的两个变化：全称量词与存 词，从对量词的否定入手，书 在量词的变化；p(x)和一(x)的结论的变化 写命题的否定 3.在书写全称量词命题 ©考题7(2024，湖南长郡中学单元测试)命题“Hx≥0，x 与存在量词命题的否定时，还 十x≥0”的否定是( 需注意三点：①弄清命题是全 A.Hx≥≥0，x3+x<0 B.Vx<0,x3十x≥0 称量词命题还是存在量词命 43 考点同步解读〉高中数学必修第一册RJA色 C.3x≥0，.x3+x<0 D.3x≥0，x3十x≥0 题，这是正确写出命题否定的 解命题“Hx≥>0，x2十x≥0”的否定是“]x≥>0，x3十x<0” 关键：②注意命题的否定与否 答案C 命题的区别：③当命题的否定 ⊙变式31(2024，四川绵阳中学月考)命题“对于任意的 的真假不易判断时，可以转化 为判断原命题的真假： x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( A.不存在x∈R,.x3一x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≥0 C.对任意的x∈R,x3一x2+1>0 公对比拼析… D.存在x∈R,x3-x2十1>0 “一般命题的否定”与 第 ⊙考题8(2024，宁夏银川一中月考)写出下列命题的否定， “含有一个量词的命题的 并判断其真假， 否定”的辨析 (1)p:所有的正方形都是矩形 1.一般命题的否定通常 第三草 (2)p:3x∈R,x2+1<0. 是保留条件，否定其结论，得 (3)p:至少有一个实数x,使x3十1=0 到真假性完全相反的两个命 四 解(1)是全称量词命题，一p:存在一个正方形，它不是矩 题：含有一个量调的命题的否 定，是在否定结论p(x)的同 形.因为正方形是特殊的矩形，所以一p为假命题。 第五金 时，改变量词的属性，即全称 (2)是存在量词命题，p:Vx∈R,x2+1≥0.因为x∈R, 量词改为存在量词，存在量词 x≥0，所以一p为真命题. 改为全称量词 (3)是存在量词命题，p:Hx∈R,x3十1≠0.因为当x=一1 2.与一般命题的否定相 时，x3十1=0，所以一p为假命题. 同，含有一个量词的命题的否 ⊙变式32(2024，湖南衡阳八中期中测武)写出下列命题 定的关键也是对关键词的否 的否定，并判断其真假。 定，因此，对含有一个量词的 (1)所有能被3整除的整数都是奇数. 命题的否定，应根据命题所叙 (2)四边形的四个顶点在同一个圆上. 述对象的特征，挖掘出其中的 (3)存在x∈Z,x2的个位数字等于3. 量词. 考点4 与全称量词命题和存在量词命题相关的求参问题 核心总结 章难点突破… 已知p(,x)为真命题，求实数x的取值范围，实质上是对全 1.对涉及“是否存在”的 称量词命题意义的考查.p(x)为真命题，即存在一个实数x取 问题的处理策略 值的限定集合A,它的所有元素都使得(x)成立.显然这个限 对于涉及“是否存在”的 定集合就是p(x)表示的不等式（或方程）的解集. 问题，通常总是先假设存在， 44 第一章)集合与常用这拼用语 ©考题9(2024，湖南师大附中月考)若命题“x∈R,x2 然后推出矛盾，或找出符合存 4x十a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是( 在条件的元素。 A.{aa≤4} B.ala<4) 2.利用全称量词命题求 值及参数范围的问题，常以一 C.{aa<-4} D.{aa≥-4} 次函数、二次函数为载体，若 解析因为命题“Vx∈R,x2一4x十a≠0”为假命题，所以 全称量词命题为真命题，就意 “3x∈R,x2一4x十a=0”是真命题，所以方程x2一4x十a=0有 味着对限定集合中的每一个 实数根，则△=（一4）2一4a≥0，解得a≤4. 元素都能具有某种性质，因 答案A 此，当给出限定集合中任意一 点评求参时从真命题的角度更清晰，故本题写出原命题的 个特殊元素时，它都应具有这 否定再求解 种性质，即赋值法（类似于“代 ⊙变式41①(2024，重庆一中月考)使“Hx∈{x|3≤x≤4}， 入”思想).同时要会运用函数 x一a<0”为真命题的一个充分不必要条件是( ). 思想、数形结合思想分析、解 A.a>4 B.a>5 C.a>3 D.a≥4 决问题 对标演练分蚊测评·及时待训 》基础过关练 限时25分钟 大多数同学是团员 1,考点3存在量词命题“3x任M,p(x)”的否定 A.0 B.1 C.2 D.3 是(). 5考点1下列命题中，是存在量词命题的是 A.YrEM,p(r)B.YrM,p(x) (填序号). C.YrM,p(x) D.Vx∈M,p(x) ①正方形的四条边相等：②有两个角相等的 2.考点3已知命题p:了x∈R,x一2>x3,则p 三角形是等腰三角形：③正数的平方根不等 的否定为( 于0：④至少有一个正整数是偶数. A.Hx∈R,x-2≤x 6.考点②已知命题p1:3x∈R,x2+x十1<0： B.3x∈R,x-2≤x p2:Vx∈(xl1≤x≤2}，x2-1≥0.其中为真 C.Vx∈R,x-2<x 命题的是 (填“p”或“p”). D.3.x∈R,x-2<x 》高考提能练] 限时50分钟+ 3.考点3设x∈Z,集合A是奇数集，集合B是 1.考点2(2024，浙江镇海中学单元测试)下列 偶数集.若命题p:Hx∈A,2x∈B,则命题p 命题中，是真命题的是(). 的否定为( ). A.3x∈R,x2+x+3=0 A.Hx∈A,2xtB B.VrA.2rB B.Hx∈R,x2+x+2>0 C.3xtA,2x∈B D.3x∈A,2xEB C.Hx∈R,x2>|x 4.考点1(2024，安徽芜湖一中月考)下列命题 D.已知A={aa=2n},B={bb=3m},则 中，全称量词命题的个数为( 对于任意的，m∈N,都有A∩B= ①平行四边形的对角线互相平分：②存在一 2.考点4(2024，广东湛江一中月考)已知命题 个菱形，它的四条边不相等：③高二(1)班绝 “存在x∈(0,3)，使得等式2.x一m=0成立” 45 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJ△色 是假命题，则实数m的取值范围是( 已知集合A={x5≤x≤6}，B={xm十1 A.{mn≤0或m≥6 x≤2m一1.若命题“ x∈A,x∈B” B.{mm<0或m>6} 是真命题，求实数m的取值范围. C.{mm<0或m≥6】 D.{mm≤0或m>6 3.考点3(2024，西北工大附中期中测试)命题 “存在a∈R,ax十1≥0”的否定是( A.对任意a∈R,a.x十1≥0 第 B.存在a∈R,a.x十1<0 C.对任意a∈R,a.x十l<0 第 D.存在a∈R,a.x十1≤0 4.考点4(2024，安徽马鞍山二中期中测试)若 第三草 “Vx∈M,x>x”为真命题，“3x∈M,.x> 3”为假命题，则集合M可以是(). 第 A.<3) B.xr<-1) C.{x0<x<3} D.(x2>3) 第五章 5.考点1、23（多选）下列命题的否定中，是全称 量词命题且为真命题的是( A3x∈Rr-x+<0 B.所有的正方形都是矩形 C.3x∈R,.x2+2x+2≤0 D.Hx∈R,x3+1≠0 6.考点12(2024，江西吉安一中月考)（多选） 设非空集合P,Q满足P∩Q=Q,且P≠Q, 则下列选项中正确的是( A.Hx∈Q,有x∈P 》实验班选做题限时30分钟… B.3x∈P,使得x任Q 1.(2024,湖北武汉二中单元测试)已知集合A C.3x∈Q,使得x任P ={x0≤xr≤a},集合B={xm十3≤≤nn+ D.Hx在Q,有x任P 4},如果命题“3m∈R,使得A∩B≠⑦”为 7,考点4已知p:Hx∈R.x2+2x十a0:g:Hx∈ 假命题，则实数α的取值范围为 R,x2+2a.x十a2-2a≠0.若p,g一真一假， 2.(2024,湖南师大附中单元测试)已知函数 则实数a的取值范围为 =x2-2.x,=a.x十2(a>0),集合A 8.考点4(2024，江西南昌二模)从“H”“3”两 {x一1≤x≤2}，若Hx1∈A,3x2∈A,使得 个符号中任选一个填写到下面的横线上，并 x一2x1=ax2十2，则实数a的取值范围是 解答问题， 46儿参考答案与提示)7 ∠BAC=∠ACB=∠ABC,则△ABC为正三角形. [变式32](1)命题“所有能被3整除的整数都是奇 若△ABC为正三角形，则△ABC的内心与外心重合. 数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”， 所以p是？的充要条件.] 是真命题.例如，6是能被3整除的整数，且6不是奇数. 1.5全称量词与存在量词 (2)命题“四边形的四个顶点在同一个圆上”的否定是 【变式训练】 “存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”，是 [变式11]A[“任意”为全称量间，所以选项A正确.] 真命题 [变式1-2]对所有的三角形x,x的内角和为180°： (3)命题“存在x∈Z.x2的个位数字等于3”"的否定是“对 对一切三角形x,x的内角和为180°： 任意x∈Zx的个位数字不等于3”，是真命题。 对每一个三角形x,x的内角和为180°： [变式+1门B[依题意知，全称量词命题“Hx∈{x3≤ 对任意一个三角形x,x的内角和为180°： 2≤4}，x一a<0”为真命题，所以a>x在x∈{x3≤r≤ 凡三角形x,它的内角和为180. 4}时恒成立，所以a>4,所以使“Hx∈{x3≤x≤4}， [变式1-3]存在实数x,使x2=x成立： x一a<0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5.] 至少有一个x∈R,使x2=x成立： 【基础过关练】 对有些实数x,使x2=r成立： L.C[由存在量词命题的否定的定义可得C正确.] 有一个x∈R,使x2=x成立： 2.A[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，同时 对某个x∈R,使x2=x成立. 还需否定结论，所以选A.] [变式2-1]A[由题意知，集合A={xx≥0)，集合 3.D[命题p:Hx∈A,2x∈B是一个全称量词命题，其 B={xx>1},所以B是A的真子集，所以3x∈A,x∈B 命题的否定p应为：3x∈A,2x任B.] 或3x∈A,xEB或Hx∈B,x∈A只有A选项符合要求.] 4.B[①是全称量词命题，②是存在量词命题，③“高二 [变式2-2]C (1)班绝大多数同学是团员”即“高二(1)班有的同学 选项正误 原因 不是团员”，是存在量词命题.门 命题中含有全称量词“所有“，为全称量 5.①.[①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是 A × 词命题：所有二次函数的图象都有对称 全称量词命题：②可表述为“凡是有两个角相等的三 轴，为真命题 角形都是等腰三角形”，是全称量词命题：③可表述为 命题中省路了全称量词“所有”，为全称 “所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题： 量词命题：平行四边形的对角线不一定 ④是存在量词命题.] 相等，为假命题 6.p2.[对于命题，因为△=1一4<0，所以是假 命题中含有存在量词“有些”，为存在量 命题.又因为p:Vx∈{x|1≤x≤2}，x2-1≥0，所以 词命题：π是实数，且是无限不循环小 p?为真命题.] 数，为真命题 【高考提能练】 命题中省略了全称量词“所有”，为全称 1.B 量词命题：由几何关系知D是真命题 选项正误 原因 [变式2-3](1)是全称量词命题，用符号表示为“Ha, △=1一12=一11<0.显然此方程无实 b∈R,方程ax十b=0都有唯一解”，是假命题. A 数解 (2)是存在量词命题，用符号表示为“3x∈R,2一x干 r++2-(+)广+>好>0 2”,是假命题 [变式31]D[全称量词命题的否定是存在量词命 当x=0时，x>x不成立 题，故排除C:命题的否定只否定结论，不否定条件，故排 A∩B=(xx=6k,k∈N}≠ 除A,B] 2.A[若命题“存在x∈(0,3)，使得等式2x-m=0成 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 立”是假命题，则命题“对任意x∈(0,3)，都有2.x 【实验班选做题】 m≠0”是真命题，所以m≤0或m≥6.] L.{aa<3.[命题“3m∈R,使得A∩B≠必"为假命 3.C[命题“存在a∈R,a.x十1≥0”的否定是“对任意 题，则该命题的否定“Hm∈R,A∩B=心”为真命题. a∈R,ar+1<0”.] 当a0时，集合A={x0≤x≤a}=0,符合A∩B=必： 4.B[因为3x∈M.>3"为假命题，则“Hx∈M,r 当a≥0时，因为m+3>0,所以由Vm∈R,A∩B= 3”为真命题.可得M三(.xx≤3}，又因为“Vx∈M, ②，得am2+3对于Vm∈R恒成立，又因为m十3 |x>x”为真命题，可得Mxx<O.所以M二{x ≥3，所以a<3.则0≤a<3.综上，实数a的取值范围 x<0.] 为aa<3).] 2.(aa≥3).[由二次函数的性质可知，当一1≤x≤2 5.AC[命题的否定是全称量词命题且为真命题.则原 时，M∈{y一1≤y≤3}.由一次函数的性质可知，当 命题为存在量词命题且为假命题.选项B,D为全称量 -1r≤2时∈{2-a≤必≤2十2a}.因为H∈ 词命题，不符合题意因为-x十十=(。）'≥ A,3x∈A,使得x一2x1=ax2十2，所以 0,x2+2x+2=(x十1)2+1≥1，所以A,C均为假命 2-a≤-1 解得a≥3.] 题，且A,C均为存在量词命题，符合题意.] 2+2a≥3. 6.AB[因为P∩Q=Q,且P≠Q,所以Q年P,画出 第二章一元二次函数、方程和不等式 Vemn图（如图所示），所以A,B正确，C,D错误.] 2.1等式性质与不等式性质 【变式训练】 [变式1H]之(a2+)>ad[题图1中广告牌的面 C 积S=(d+心).题图2中广告牌的面积5=a山，观 7.(aa>≥1或a<0.[若命题p为真，则△1=4-4a≤ 察题图得S>5,即2(a+)>ad] 0,解得a≥1：若命题g为真，则△=4a2一4(a2 [变式1-2]|x-500≤1.[因为某商品包装上标有 2a)<0,解得a<0.若p真q假，则a≥1：若p假4真， 质量(500士1)克，所以若用x表示商品的质量，则一1≤ 则a<0,综上，若p,g一真一假，则实数a的取值范围 x一5001，即x一500≤1.] 为(aa≥1或a<0}.] 8.方案一选“y” [变式2们A[因为0<a<古，所以0<b<1,所以 因为“Vx∈A,x∈B”是真直命题，所以A二B, M-N=(h。)-(品。)=+ m+15, 所以 解得子<m<4. 2m-1≥6 =a0281-》-=2o≥0.所以 (1+a)(1+b) M>N.] 放实数m的取值范围为(m子≤m≤ [室式2】方法-《作装法)#一名 方案二选“了” (a+b)(a2-F)-(d2+)(a-b2 由题意知“了x∈A,x∈B”是真命题， (a2+)(a+b) 则A∩B≠， (a-b)f(a+b)-(a2+F)]_2ab(a-b) (a2+)(a十b) (a+6)(a十b) m+1≤6. 因为a>b>0,所以a+>0,a-b>0,2ab>0,a+∥>0， 所以2m-1>5, 解得3≤m≤5. 所以a平万>0，所以产>。 2ab(a-b) 2m-1≥m十1， a+b-a+b 故实数m的取值范围为{m3≤m≤5}. 方法二（作商法）因为a>>0, 10