1.4 充分条件与必要条件-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 1.4 充分条件与必要条件 高考要求 学业标准·考情分析 -_考点分布_ 一·学科素养- 一、学法导引 1.通过对典型的数学命题的梳理,理解 1.本节的重点是充分条件和必要 充分条件的意义,理解充分条件与判 数学抽象、逻辑推理 定定理的关系.(★) 条件的概念,难点是对充分条件和必要 条件概念的理解,充分条件和必要条件 2.通过对典型的数学命题的梳理,理解 是高考的必考内容之一. 】 必要条件的意义,理解必要条件与判 数学抽象、逻辑推理 2.在本节的学习中,重点是判断充 定定理的关系() 分条件和必要条件的问题,或利用已知 3.通过对典型的数学命题的梳理,理解 关系探求参数的取值范用的间题,对于 充要条件的证明,关键是分清命题的条 到 析 充要条件的意义,理解充要条件与数学 数学抽象、逻辑推理 定义的关系,体会数学的重要研究对象 件和结论,分清充分性和必要性这两个 可以从不同的角度加以描述.() 问题. 考点分类 考点透析·典例剖析 考点 充分条件、必要条件、充要条件的理解与关系判定 ·核心总结· 容难点突破.. 1.一般地,“若),则q”为真命题,是指由条件通过推理 1.若力是。的充分条件, 可以得出结论y.此时,我们就说:由可推出y,记作>9,并 则力是唯一的吗? 且说,是v的充分条件,o是?的必要条件 不唯一,凡是能使成立 2.如果“若),则g”为假命题,那么由条件,不能推出结 的条件都是它的充分条件 论q,记作a.此时,我们就说,不是9的充分条件,g不是 2.如何理解充分条件和 力的必要条件 必要条件? 3.一般地,如果“若,则g”和它的逆命题“若y,则”均是 充分条件是使某一结论 真命题,即既有>q,又有q→,就记作一q.此时,?既是 成立时应该具备的条件,当具 的充分条件,也是q的必要条件,我们就说,,是的 备此条件时就可得出此结论。 充分必要条件,简称充要条件,显然,如果2是9的充要条件, 必要条件可从命题的等价性 那么o也是)的充要条件 理解:是)的必要条件意味 4.如果)是q的充要条件,g是s的充要条件,那么也 着“若q不成立,则力不成 是;的充要条件. 立”,即q是)成立的必不可 少的条件. D考题1 (2024,江苏启东中学期中测试)若A,B均为集 3.力是q的充要条件意 合,则“A写B”是“AOB-A”的 ). 味着“力成立,则必成立;/ 132 第一章> 集合与常用逻辑用语/ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 不成立,则?必不成立” C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.符号“一”的含义有多 解析当AB时,AOB-A成立.当AOB-A时,有ACB 种,如“等价于”“当且仅当” 成立,不能得到A二B.故“A二B”是“AOB一A”的充分不必要 “必须且只需”“反之亦真”等。 条件。 可根据具体问题分析其具体 签案A 含义. 变式1-1 (2024,宁夏银川一中单元测试)“r1”是“x 1”的( ). 方法梳理. A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 充分条件、必要条件、 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 充要条件的判断方法 1 田 考题2(2024,西北工大附中单元测试)设甲、乙、丙三个 1.定义法 条件,如果甲是乙的必要条件,丙是乙的充分条件,但不是乙的必 (1)分清命题的条件和结 论:分清哪个是条件,哪个是 要条件,那么( ). 结论。 A.丙是甲的充分条件但不是甲的必要条件 (2)判断“若力,则q”及 B.丙是甲的必要条件但不是甲的充分条件 “若q,则j”的真假. C.丙是甲的充要条件 (3)得出结论 D.丙既不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 2.集合法:写出集合A一 解析 .甲是乙的必要条件,.乙→甲. xp(x)及B一xq(x)). 又.丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件, 利用集合间的包含关系进行 丙→乙,但乙今丙。 判新。 3.传递法:若问题中出现 结构示意图如图所示,综上,有丙→乙→甲,但是乙)丙,故 若干个条件和结论,应根据条 有丙→甲,但是甲丙,即丙是甲的充分条件,但不是甲的必要 件画出相应的“推式图”,根据 条件. 图中推式的传递性进行判断。 7 4.特殊值法:对于选择 变式1-2 (2024,湖北襄阳四中月考)已知,q都是,的 题,可以取一些特殊值或特殊 充分条件,s是r的必要条件,a是s的必要条件,那么?是a的 情况,用来说明由条件(结论) 不能推出结论(条件),但这种 。考题3 (2024,湖北武汉外国语学校单元测试)设p:x3,q 方法不适用于证明题 -1r3,则是成立的 ). A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析因为x|-1<x3){x|x<3),所以,是q成立的必 要不充分条件, 搭零 C 3 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RA乡 变式1-3 (2024,天津南开中学周练)从“充分不必要条 件”“必要不充分条件”“充要条件”中选一个合适的填空: (1)“x-1-0”是“x-1-0”的 (2)“x5”是“x3”的 考点2 充分、必要、充要条件的证明 1·核心总结· 方法梳理.. 1.证明“充分不必要条件”“必要不充分条件”,一般先证明 充要条件的证明方法 一个方面成立,然后验证另一个方面不成立, (1)定义法:分别证明充 2.证明“充要条件”一般应分两个步骤,即分别证明“充分 分性和必要性两个方面,在解 1 到 料 性”与“必要性”,但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件,“谁”是 题时要避免把充分性当作必 “谁”的必要条件,尽管证明充要条件问题中前者可以是后者的 要性来证明,这就需要先分清 充分条件也可以是必要条件,但还是不能把步骤颠倒了,一般 条件与结论,若从条件推出结 地,证明2成立的充要条件为y,在证明充分性时,应以9为 论,就是充分性:若从结论推 “已知条件”,?是该步中要证明的“结论”,即q→;在证明必 出条件,就是必要性 要性时,则是以?为“已知条件”,?是该步中要证明的“结论”, (2)等价法:就是从条件 即→. (或结论)开始,逐步推出结论 (或条件),但要注意每步都是 。考题4(2024,江西临川一中单元测试)证明:△ABC是 可逆的,即反过来也能推出。 等边三角形的充要条件是a②}十b十c*-ab十ac十bc(这里a,b,c分 别是△ABC的三条边的长). 明充分性(由a^{}十十c2}-ab十ac十bc→△ABC为等边三 角形): 因为a^{}++c=ab+ac+bc,所以2a^{}+2/+2c-2ab+$$ 2ac十2bc. △规律总结 即(a-b)②十(a-c)②}+(b-c)?-0,所以a-b,a=c,b= , 证明充要条件问题,若直 即a一b一c,故△ABC为等边三角形 接证明比较困难,则可先根据 必要性(由 ABC为等边三角形→a^}十十c*一ab十ac十b) 命题之间的关系进行等价献 因为△ABC为等边三角形,所以a一b一c. 换,再加以证明 所以a②}+b+c2-3a{},ab+ac十bc-3a{}, 所以a2十b+c2-ab十ac十bc. 综上可知,结论得证 。变式2-1(2024,浙江杭州二中单元测试)已知ab平0,求 证,a十b=1是a}+十ab-a}--0的充要条件$ 134 第一章> 集合与常用过辑用语/ 。 变式2-2 (2024,湖北荆州中学单元测试)设集合M一 答题模桐.. -m}-nr,m,nZ.证明:偶数2(Z)属于M的充要条件 一般地,证明“)成立的 是为偶数 充要条件为q”的步骤如下: (1)充分性:把当作已知 条件,结合命题的条件推出p. (2)必要性:把力当作已 知条件,结合命题的条件推 出. 解题的关键是分清哪个 是条件,部个是结论,然后确 定推出方向,至于先证明充分 门 田 性还是先证明必要性则无硬 性要求。 考点3 充分、必要、充要条件的探求 ·核心总结: 难点突破. 1.探求a的充分条件,即求使9成立的条件力 充要条件关系探求的思路 2.探求a的必要条件),即求以o为条件可推出的结论? 1.双向互推法 3.探求a的充要条件力,有两种方法; 先由成立,再由一 (1)等价转化法:将原命题进行等价转化,直至获得使其成 p成立,进而得到,是q的充 立的充要条件,其中探求的过程也是证明的过程,因为探求过程 要条件。 的每一步都是等价的,所以不需要将充分性和必要性分开来证 2.转换法 (2)非等价转化法:先寻找必要条件,再证明充分性,即从 当所给命题的充要条件 必要性和充分性两方面说明 不易利定时,可对命题进行等 价转换,改用其逆否命题进行 考题5 (2024,安徽合肥一中月考)不等式0<x2成立 探求. 的一个必要不充分条件是( ). A.0<x2 B.-1 C.0r1 D.1x<3 解析若0<x2,则x-1,反之,x-1时,不一定能推 出0 x2,x-1是不等式0 x2成立的一个必要不充 分条件. 答案 B 。 变式3-1 (2024,湖南师大附中单元测试)使不等式2x-4 >0成立的一个充分不必要条件是( ). A<2 B.x0或x2 Cx(2.3,5) D.x2 35 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA& 考题6 (2024,江西南昌一中单元测试)方程ax*}十x+1 一0有实根的充要条件是 解析当a=0时,方程为x十1-0,解得x--1,故方程有实根 a0. 当a0时,要使方程ar^2十x+1-0有实根,则有 △-1-4a0. 。变式3-2 (2024,河北张家口宣化一中期中测试)设a,be ] 到 R,则“ab+4-2a+2”的充要条件是 ). A.a,b都为2 B.a,b都不为2 C.a,6中至少有一个为2 D.a,都不为0 考点4 应用充分、必要、充要条件确定参数的取值范围 ·核心总结· 方法梳理 根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时, 解决“给出条件关系求参 应主要根据充分条件、必要条件、充要条件与集合间的关系,将 数的值或取值范围”的问题的 问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参 基本方法是:先化简(即等价 数的不等式(组)进行求解. 转化)条件和结论,并用集合 考题7(2024,四川绵阳中学期中测试)已知P一(xl-2< 来表示,然后由题目中给出的 充要性,写出集合间的包含关 r10 ,非空集合S-x 1-m x 1+m,若xEP是xE$的 必要条件,则n的取值范围为___. 系,进而求出参数的值或取值 范围. 解析由xP是xS的必要条件,知S二P, (1-n1+n 则{1-m二-2,所以0<n<3. 1m10. 所以当0 m3时,xP是xS的必要条件. 即所求m的取值范围是0n3 答案 ml0n3). 变式4-1 (2024,江西南昌二中期末测试)集合A-xCR -1 <3 ,B=xER-1 <m+1 ,若xB成立的-个充 分不必要条件是xCA,则实数n的取值范围是( ). Bm<2 A.n二2 C.n>2 D.-2m2 。 变式4-2 (2024,河北石家庄二中月考)已知:一2 x 10.q:1-m x 1+n(m>0).目?是g的充分不必要条件,则 实数m的取值范围为 136 第一章> 集合与常用逻辑用语/ 对标演练 分级测评·限时特训 基础过关练 限时25分钟. 条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件” 1.考点1“1<x<2”是“x<2”成立的( ). 中选出适当的一种填空; A.充分不必要条件 (1)“-4-0”是“x -2-0”的 B.必要不充分条件 (2)“x17”是“x11”的 C.充要条件 高考提能练 限时50分钟 D.既不充分也不必要条件 1.考点3(2024,山东烟台二中月考)一元二次 2.考点1(2024,安徽芜湖一中月考)设U为全 方程ax^}十4x十3-0(a关0)有一个正根和一 集,A,B是集合,则“存在集合C,使得AC 个负根的充分不必要条件是 ). 门 C.BfC”是“AOB-”的 . A.a<o B.a<-1 A.充分不必要条件 C.<1 D.-3<a<2 B.必要不充分条件 2.考点1(2024,四川遂宁二中月考)《三国演 C.充要条件 义》第四十九回写道:“欲破曹公,宜用火攻 D.既不充分也不必要条件 万事俱备,只欠东风.”后以此比喻一切都准 3.考点1已知A:0<a<2,B:关于x的一元二 备好了,只差最后一个重要条件,你认为“东 次方程x2十(a+1)x十a-2-0的一个根大 风”是“破曹公”的 ). 于0,另一个根小于0,则A是B的( ). A.充分不必要条件 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.考点3(2024,辽宁六校协作体期中测试)使 4. 考点1(2024,湖南长沙一中单元测试)设四 得不等式“x+1-x-1>0”成立的一个必 边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四 要不充分条件是( ). 边形ABCD为菱形”是“AC BD”的 ). A.x十2<0 A.充分不必要条件 C.<0 B.必要不充分条件 D.x<-2或:>2 C.充要条件 4.考点4(2024,湖南邵东一中月考)若x>2m D.既不充分也不必要条件 一3是-1 x4的必要不充分条件,则实 5.考点4(2024,湖北武汉二中周练)如果不等 数n的取值范围是( ). A. mm3 式x-n<1成立的充分不必要条件是1 B. mm3 C. mm1 x<2,则实数n的取值范围是 D.mn<1) 6.考点12从“充分不必要条件”“必要不充分 5.考点1(多选)已知,是p的必要条件,r是 37 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA& 的充分条件,s是,的充要条件,s是)的充 (2)若)是。的必要不充分条件,求实数 分条件,则 . 的取值范围 A.7是o的必要条件 B.s是g的充分条件 C.s是的充要条件 D. 是a的既不充分也不必要条件 6.考点3(2024,安徽六安一中月考)(多选)已 知集合A={x -1<x<3 ,集合B=$ x m十1,则下列不等式中可以作为AO 1 到 B一的充分不必要条件的是 ). A.m<-2 B.m-2 C.m<2 D.-4<m<-3 7.考点4(2024,广东揭阳三中高一质量测试) 实验班选做题 限时20分钟 若“x-2”是“n{}-(m+3)x+4=0”的充 1.(2024,河北唐山一中单元测试)若条件力是 分不必要条件,则实数n的值为 “xy>0”的充分不必要条件,则,可以是 8. 考点4(2024,西北工大附中单元测试)已知 p:关于x的方程x*-2ax十a十a-2-0有 2.(2021,复旦大学强基计划)命题:“△ABC 实数根,q:m-1 a n+3. (1)若命题2是假命题,求实数a的取值 的内心与外心重合”是命题g:“△ABC是正 三角形”的 范围. 条件。 138参考答案与提示)7 0)=(-1,1},所以A=B,即“x2-1=0”是“|x1-1=0” a3-2 的充要条件.(2)对于A={x<5},B={xx<3},因为 图2 A星B,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件.] 综上，当AnB=B时，实数a的取值范围是{a>≥}。 [变式2-1]充分性：因为a十b=1.所以b=1一a. 所以a+W+ab-a2-=a2+(1-a)3+a(1-a) 放AnB≠B时，实数a的取值范围是aa<号： a2-(1-a)'=a2+1-3a+3a2-a3+a-a2-a2-1+ 【实验班选做题】 2a-a”=0,即a3+2+ab-a2-=0. 1.D[由条件知1,2,4,4,2（允许有重复）为C的全部 必婴性：因为a3+?+ab-a-形=0， 元索.因为1+2+4+t十>6,1十2十4+产>6，所以 所以(a十b)(a2-ab+B)-(a2-ab+)=0, F与其余几个数重复（产+十1>0恒成立），故只可能 所以(a一ab+)(a+b-1)=0. 是C={1,2,4.},且1十2十4十1=6，于是t=一1（经 又因为ab≠0，所以a≠0且b≠0. 检验符合题意)，此时C的所有元素之积为1×2×4× 所以d-ab叶8-(a-b)+是F≠0， (-1)=-8.] 2.(1)集合{1,2,3,4,5}不是“和谐集”. 所以a+b-1=0,即a+b=1. (2)集合{1,3,5,7,9,11,13}为“和谐集”，证明如下： 综上可知，当ab≠0时，a十b=1是a2++ab-a2一 因为3+5+7+9=11+13， ?=0的充要条件 1+9+13=5+7+11, [变式2-2]充分性：因为k为偶数，设k=2a(a∈Z),所 9+13=1+3+7+11 以2k=4a. 1+9+11=3+5+13, 又(a+1)2-(a-1)2=4a,所以2k=(a+1)2-(a-1)2, 1+3+5+11=7+13, 所以偶数2k(k∈Z)属于M 3+7+9=1+5+13, 必要性：因为偶数2k(k∈Z)属于M, 1+3+5+9=7+11, 所以2k=2一2=(m+n)(m一n), 所以集合(1,3,5,7,9,11,13}是“和谐集” 因为m,n∈乙，所以十与m一n同为奇数或同为偶数， (3)假设集合A是“和谐集”.不妨设0<a1<a:<aa< 又2k(k∈Z)为偶数，所以m十n与m一n均为偶数， a4<as,则集合{a,aa,a,a}能分成两个交集为空集 所以(m十n)(m一n)应为4的倍数，则2k必为4的倍数， 的子集，且两个子集元素之和相等，则有：十a=a 所以友为偶数. 十a4①，或as=a十a十a4②，集合{a2aa45}也 综上，偶数2k(k∈Z)属于M的充要条件是k为偶数： 能分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相 [变式31]C[由2x-4≥0得x≥2，所以选项中只 等，则有a十a=a十a4③，或a=a十a十a④.由 有(2,3,5}{xx≥2}，故只有C选项中的条件是使不 ①③得a1=a2,由①④得a1=一42，由②③得a1= 等式2x一40成立的一个充分不必要条件.] 一a:,由②④得a=a,都与假设矛盾，所以假设不成 [变式3-2]C[因为ah+4=2a+2b.所以ah-2a 立.故当n=5时，集合A一定不是“和谐集” 2b+4=0,即(a-2)(b-2)=0,解得a=2或b=2,故“ab 1.4充分条件与必要条件 十4=2a+20"的充要条件是“a,b中至少有一个为2”.] 【变式训练】 [变式+1]C[因为A={.x|-1<x<3,且x∈B成 [变式1-1]B[由x>1得x>1,而由x>1得x< 立的一个充分不必要条件是x∈A,所以A云B,所以m -1或x>1.] 十1>3，解得m>2.] [变式1-2]充分条件.[因为pr→→q,所以p是g [变式+2]{mm>9},[因为p是q的充分不必要 的充分条件.] 条件，所以p→g且g为p [变式13](1)充要条件.(2)必要不充分条件. 即{x|一2≤x≤10}是{x|1一m≤x1+m,m>0}的真 [(1)因为A={x.x2-1=01=(-1,1}.B={.x11x-1= 子集， 考点同步解读)高中数学必修第一甜RJA色 m>0, m>0, B由<0，得×-1，是x+1-x-1>0成立 所以31一m<一2，或{1一m≤一2，解得m9. 的充要条件：对于C,x<0是“x+1川一x一1>0”成立 1+m≥10 1十m>10, 所以实数m的取值范围为{m>9.] 的必要不充分条件：对于D,x<一2或x>2是“1x十1 【基础过关练】 x一1>0”成立的既不充分也不必要条件.] 4.D[因为x>2m一3是一1<xr<4成立的必要不充分 L.A[若“1<x<2”成立.则“x<2”成立，所以“1<x 条件，所以2m-3≤-1，解得m≤1.] 2”是“x<2”的充分条件：若“x<2”成立，则“1<x<2” 不一定成立，例如“0<2”成立，但“1<0<2”不成立， 5.BC[由题意得>r,→g,s,s→p,则=g.] 所以“1<x<2”不是“x<2”的必要条件，综上，“1< 6.BD[设A∩B=的一个充分不必要条件是p,p对 应的集合为C.当A∩B=⑦时，m十1≤一1，解得m≤ 2<2”是“x<2"的充分不必要条件.] 2.C[“存在集合C,使得A二C,B二CC”-“A∩B=”.] -2,所以C室{mm≤-2.] 3.A[因为关于x的一元二次方程x+(a十1).x+a一 [由题意可知，x=2是2x2一(m十3)x十4= 2=0的一根大于0，另一根小于0，所以a一2<0，即 0的解，但不是唯一的解.将x=2代入方程，得4m a<2,故0<a<2是结论成立的充分不必要条件.] 4.A[四边形ABCD为菱形，则对角线AC⊥BD,反之 2m十3)十4=0，解得m=1或m=-之，当m=1时， 不成立.例如，两个同底的不全等的等腰三角形拼成 x=2是x2一4x十4=0的唯一解，不满足题意；当m 的四边形满足对角线垂直，但此四边形不是菱形.] -时，原方程为-号r十4=0，即2-10r+16 5.{m1≤m≤2.[由x一m≤1得m-1≤，x≤m十1， 由x一m≤1成立的充分不必要条件是1<x≤2，可 -0,解得x=2或x=8,滴足题意综上，m=一之] 1≥m-1, 8.(1)因为命题p是假命题， 得 解得1≤2，故实数m的取值范围是 2≤m+1, 所以对于方程x2-2ax+a2+a一2=0，有△= 1≤n≤2.] (-2a)2-4(a2+a-2)<0 6.(1)充要条件，(2)必要不充分条件 即4a-8>0,解得a>2. [(1)设A={x|x2-4=0)={-2,2),B={x 所以实数a的取值范围是aa>2. |x1-2=01=-2,2),所以A=B,即“2-4=0”是 (2)由命题p为真命题，根据(1)可得{aa≤2} “1x一2=0”的充要条件 又由p是g的必要不充分条件，可得{a|m一1≤u (2)设A=xx<17},B-{xx11),因为A异B.所 m+31至{aa≤2，则m十3≤2，解得m≤-1， 以“x<17”是“x<11”的必要不充分条件.] 所以实数m的取值范围是{mm≤一1. 【高考提能练】 【实验班选做题】 1.B[设一元二次方程a.x2十4.x+3=0(a≠0)有一个正 L.x>0,y>0(答案不唯一)，[因为当x>0,y>0时 △=16-12a>0. xy>0一定成立：而当xy>0时，可能有x>0,y>0, 根x和一个负根，则 =3<0, 解得a<0. 也可能有x<0,y<0,所以“x>0.y>0”是“xy>0”的 充分不必婴条件（注：满足题意的答案均可）.] 则一元二次方程a.x十4x十3=0(a≠0)有一个正根和一 2.充要.[如图所示，若D既是 个负根的充分不必要条件应为{aa<0)的非空真子集.] △ABC的内心也是外心，则有 2.B[“东风”是“破曹公”的必要条件，但不是充分条件] AD=BD,所以∠BAD=∠ABD 3.C[由x+1|-x-1>0,可得|x+1|>x+1,所以 x十1<0，解得x<一1，即“|x+1一x一1>0”成立的 即号∠BAC=立∠ABC,所以白 充要条件为x<一1.对于A,由x十2<0，得x<-2, ∠BAC=∠ABC 是“|x十1一x一1>0”成立的充分不必要条件：对于 同理可知，∠BAC=∠ACB,∠ABC=∠ACB,即 8 儿参考答案与提示)7 ∠BAC=∠ACB=∠ABC,则△ABC为正三角形. [变式32](1)命题“所有能被3整除的整数都是奇 若△ABC为正三角形，则△ABC的内心与外心重合. 数”的否定是“存在一个能被3整除的整数不是奇数”， 所以p是？的充要条件.] 是真命题.例如，6是能被3整除的整数，且6不是奇数. 1.5全称量词与存在量词 (2)命题“四边形的四个顶点在同一个圆上”的否定是 【变式训练】 “存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上”，是 [变式11]A[“任意”为全称量间，所以选项A正确.] 真命题 [变式1-2]对所有的三角形x,x的内角和为180°： (3)命题“存在x∈Z.x2的个位数字等于3”"的否定是“对 对一切三角形x,x的内角和为180°： 任意x∈Zx的个位数字不等于3”，是真命题。 对每一个三角形x,x的内角和为180°： [变式+1门B[依题意知，全称量词命题“Hx∈{x3≤ 对任意一个三角形x,x的内角和为180°： 2≤4}，x一a<0”为真命题，所以a>x在x∈{x3≤r≤ 凡三角形x,它的内角和为180. 4}时恒成立，所以a>4,所以使“Hx∈{x3≤x≤4}， [变式1-3]存在实数x,使x2=x成立： x一a<0”为真命题的一个充分不必要条件是a>5.] 至少有一个x∈R,使x2=x成立： 【基础过关练】 对有些实数x,使x2=r成立： L.C[由存在量词命题的否定的定义可得C正确.] 有一个x∈R,使x2=x成立： 2.A[因为存在量词命题的否定是全称量词命题，同时 对某个x∈R,使x2=x成立. 还需否定结论，所以选A.] [变式2-1]A[由题意知，集合A={xx≥0)，集合 3.D[命题p:Hx∈A,2x∈B是一个全称量词命题，其 B={xx>1},所以B是A的真子集，所以3x∈A,x∈B 命题的否定p应为：3x∈A,2x任B.] 或3x∈A,xEB或Hx∈B,x∈A只有A选项符合要求.] 4.B[①是全称量词命题，②是存在量词命题，③“高二 [变式2-2]C (1)班绝大多数同学是团员”即“高二(1)班有的同学 选项正误 原因 不是团员”，是存在量词命题.门 命题中含有全称量词“所有“，为全称量 5.①.[①可表述为“每一个正方形的四条边相等”，是 A × 词命题：所有二次函数的图象都有对称 全称量词命题：②可表述为“凡是有两个角相等的三 轴，为真命题 角形都是等腰三角形”，是全称量词命题：③可表述为 命题中省路了全称量词“所有”，为全称 “所有正数的平方根都不等于0”，是全称量词命题： 量词命题：平行四边形的对角线不一定 ④是存在量词命题.] 相等，为假命题 6.p2.[对于命题，因为△=1一4<0，所以是假 命题中含有存在量词“有些”，为存在量 命题.又因为p:Vx∈{x|1≤x≤2}，x2-1≥0，所以 词命题：π是实数，且是无限不循环小 p?为真命题.] 数，为真命题 【高考提能练】 命题中省略了全称量词“所有”，为全称 1.B 量词命题：由几何关系知D是真命题 选项正误 原因 [变式2-3](1)是全称量词命题，用符号表示为“Ha, △=1一12=一11<0.显然此方程无实 b∈R,方程ax十b=0都有唯一解”，是假命题. A 数解 (2)是存在量词命题，用符号表示为“3x∈R,2一x干 r++2-(+)广+>好>0 2”,是假命题 [变式31]D[全称量词命题的否定是存在量词命 当x=0时，x>x不成立 题，故排除C:命题的否定只否定结论，不否定条件，故排 A∩B=(xx=6k,k∈N}≠ 除A,B] 2.A[若命题“存在x∈(0,3)，使得等式2x-m=0成