1.3 集合的基本运算-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第-章〉集合与常用过拼用语∥ 1.3集合的基本运算 高考要求】学业标准·考情分析 一考点分布 一学科素养 一学法导引 L.理解交集、并集，全集、补集的概念，会用文字 语言，符号语言及图形语言来描述这些概念。 数学抽象、数学运算 交、并、补的概念既有区别又 (★★) 有联系，特别是“且”“或”的区别， 2.了解交集、并集、补集的一些简单性质，会求 两个简单集合的交集与并集，会求给定集合 数学抽象、数学运算 应结合Venn图或数轴加深理解. 的补集.（★★★） 利用数形结合的数学思想将满足 第 3.初步掌握集合的基本运算的常用语言及有关 条件的集合用Venn图或数轴表 符号，并会正确地运用它们进行集合的相关 数学抽象、数学运算 示出来，从而求集合的交集、并 运算.（★★★★） 集、补集，这是最直观、最基本的 4.通过Venn图来描述集合的相关运算，进 方法，应注意灵活运用. 直观想象、数学运算 步体会数形结合思想的作用.（★★★） 考点分类考点透析·典例制析 第 考点1 并集 ·核心急结 奇难点夹破… 1.并集的三种语言 对并集的概念和运算的理解 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为 1.AUB仍是一个集合， 文字语言 集合A与B的并集，记作AUB AUB由所有属于集合A或 符号语言 AUB={xx∈A或x∈B 属于集合B的元素组成。 2.“或”字的意义：并集中 B 的“或”与生活中的“或”宇含 图形语言 义不同，生活中的“或”只取其 一，并不兼存：而并集中的 2.常用的运算性质 “或”连接的并列成分之间不 性质 含义 一定五相排斥.“x∈A或x∈ AUB-BUA 两个集合的并集满足交换律 B”包括三种情况，如图所示 AUA-A 任何集合与其本身的并集等于集合本身 @QB AUO=OUA=A 任何集合与空集的并集等于集合本身 xEA,但xBx∈A且x∈B AC(AUB). Q 任何集合都是该集合与另一集合并集的子集 BC(AUB) x∈B但xEA 若ACB,则AUB=B, 3.求集合A与B的并集 反之也成立 任何集合与它的子集的并集等于集合本身 时，公共元素只能算一次（元 素的互异性). 21 考点同步解读〉高中教学必修第一册A色 ©考题面(2024，安徽安庆五校高一联考)已知集合A={y 衣视野拓展 y=x2-1,x∈R},B=(y|x2=-y+2,x∈R,则AUB等于 AUB不同情形的Venn 图如图所示 (). A.R B.{y-2≤y≤2} C.{yy≤-1或y≥2) D.以上都不对 ①A=B.AUB=B②BEA.AUB=A 解析两集合表示的都是y的取值范围，故可转换为A=《y 4(B y≥-1}，B={y|y=2-x2,x∈R}={y|y≤2}，在数轴上表示出 A与B(如图所示)，可知AUB=R.故选A ③A-B,AUB= ①A.B有公共充 A且AUB=B 素，但互不包含 第 -1012x 章 答军A A.B没有公共元素 第三草 ⊙变式11(2024，山东青岛二中期中测试)已知集合A= ®方法梳理， {x1≤x≤3}，B={x2<x<4},则AUB=(). 求两个集合的并集的 方法技巧 第四重 A.{x2<x≤3} B.{x|1≤x<2} L,对于元素个数有限的 C.{x|1≤x<4} D.{x2≤x<4} 集合，可直接根据集合的“并” 第五金 ⊙考题2（多选）已知集合P={1,2},Q={xax十2=0}， 的定义求解，但要注意集合中 元素的互异性 若PUQ=P,则实数a的值可以是() 2.对于元素个数无限的 A.-2 B.-1 C.1 D.0 集合，进行并集运算时，可借 解标因为PUQ=P,所以Q二P,故Q=必或{1}或{2.当Q 助数轴并利用数轴分析法求 =☑时，a=0:当Q={1}时，a=-2:当Q={2}时，a=一1. 解.两个集合的并集等于两个 集合在数轴上的相应图形所 答素ABD 覆盖的全部范围但要注意端 ⊙变式12(2024，湖南长沙一中月考)（多选）已知集合 点值能否取到. B={1,3},则满足BUA=〈1,3,5}的集合A可能是( A.{5 B.{1,5} C.{1,3 D.{1,3,5} 考点2 交集 ·核心总结 女难点突破： 1.交集的三种语言 对交集的概念和运算的理解 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为 1.A∩B仍是一个集合， 集合A与B的交集，记作A∩B A∩B中的任意元素都是A 符号语言 A∩B={xx∈A且x∈B 与B的公共元素，同时A与B 的公共元素都属于A∩B. 图形语言 2.“且”字的意义：A∩B 中的元素既属于A,又属于B. 22 第一章)>朵合与常用过拼用语 2.常用的运算性质 3.两个集合A与B没有 公共元素不能说两个集合没 性质 含义 有交集，而是A∩B=可.例 AOB-BOA 两个集合的交集满足交换律 如：A={xly=2x十1}，B= A∩A=A 任何集合与其本身的交集等于集合本身 (x,y)|y=x+2},则A∩ B=②.原因是A为数集，B A∩0=0∩A-② 任何集合与空集的交集都是空集 为点集，两者不可能有公共元 若ACB,则A∩B=A 任何集合与它的子集的交集等于该子集 素，故A∩B=0. 4.常用的结论如下： 若两集合的交集等于其中某一个集合，则 若A∩B=A,则AB 该集合是另一个集合的子集 (1)A∩(B∩C)=(A∩ B)∩C (A∩B)CA,(A∩B)CB两个集合的交集是其中任一个集合的子集 (2)AU(BUC)=(AU 第 B)UC. ⊙考题3(2024，广州调研)若集合A={0,1,2,4},B={1, (3)A∩(BUC)=(A∩ 2,3},则A∩B=( B)U(A∩C). A.{0.1,2,3,4 B.{0,4} (4)AU(B∩C)=(AU C.1,2 D.{3 B)∩(AUC). 第 四 解析集合A与集合B的公共元素是1,2，即A∩B={1,2). 章规野拓展： 答案C A∩B的不同情形的 Venn图如图所示. 点评给定有限集求交集是交集运算中最简单的情形.有时 集合也可能以方程解集的形式来呈现，如变式2-1，此时需先化简 集合再求交集。 ①A实B,A∩B=A②B深A,A∩B=B ⊙变式2(2024，安徽合肥一中单元测试)设集合S= AnB {x∈Rx2十2.x=0},T={x∈R.x2-2.x=0},则S∩T=( ). AB别 A.{0 B.{0,2} ③，A=H,AnB= ④A,B有公共元 C.{-2,0} D.{-2,0,2 A且A∩B=B 素，但互不也含 ⊙考题4(2024，山东青岛一中月考)若集合A={xx>0}, B={xx≤2或x≥3}，则A∩B=(). ⑤M∩B= A.{x2≤x≤3} B.{xx2或x≥3) ⊙方法梳理： C.(rr3) 求两个集合的交集的 D.{x|0<x≤2或x≥3 方法技巧 解配借助数轴（如图所示），可得A∩B={x0<x≤2或 1.对于元素个数有限的 x≥3. 集合，可直接根据集合“交”的 定义求解，但要注意集合中元 素的互异性 2.对于元素个数无限的 答率D 集合，进行交集运算时可借助 23 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJA色 ⊙变式22(2024，安徽安庆高三一模)若集合A={x∈Z 数轴分析法求解。两个集合的 -3<x<3},B={x∈N|0≤x≤3}，则A∩B=(). 交集等于两个集合在数轴上的 A.{0,1,2 B.{1,2,3 相应图形所覆盖的公共范围，但 C.{1,2 D.{0,1,2,3} 要注意端点值能否取到。 考点3 全集与补集 ·核心总结。 奇难点突破… 1.全集与补集的三种语言表示 1.集合的补集运算与实 全集 补集 数的减法运算的相似，点 符号 U 实数 集合 如果一个集合含有所研究问若集合A是全集的一，个子集， 被减数d 被减集合（全集）A 文字 题中涉及的所有元素，那么由全集U中不属于集合A的所 城敦b 减集合B 语言 就称这个集合为全集，通常记有元素组成的集合称为集合A 差4-6 补（余）集B 第三章 作U 相对于全集U的补集，记作CA 2.对全集与补集的关系 第 符号 若ACU,BU,CU,…,则 的理解 语言 U为全集 CA=(xx∈U且x任A (1)补集相对于全集而存 在，求补集之前一定要明确其 第五金 图形 所对应的全集。 语言 (2)全集是一个相对概 A 念，它随着研究对象的不同而 2.补集的有关性质 改变，如我们只在整数范国内 ①CACU;②CU=,CuO=U:③C(CA)=A: 研究问题，则Z为全集：而当 ④AU(CA)=U,A∩(CA)=. 问题扩展到实数集时，则R为 全集，这时Z就不是全集，我 ©考题5(2024，湖南长沙一中期末测试)设集合U={0,1, 们研究数集时，常常把实数集 2,3,4,5},A={1,3,5},则CA=(). R作为全集 A.{2,4}B.{1,3,5}C.{0,2,4} D.{0,1,2,3,4.5 (3)“CA”的三层含义： 解析因为集合U={0,1,2,3,4,5},A={1,3,5},所以CA ①CA表示一个集合， ={0,2,4}. ②CA是U的子集，即 若案C CACU. ⊙变式3(2024，湖北黄冈中学期中测试)已知全集U= ③CA={xx∈U且 {2,4,3一x2},M={2,x2一x十2}，CM={-1},则实数x的值为 x足A, (4)CA表示U为全集 (). 时A的补集，如果全集换成其 A.2 B.-2 C.2或-2 D.不存在 他集合（如R)时，则CA中的 ⊙考题6若全集U={x|一2≤x≤2}，则集合A={x|一2≤ “U”也必须换成相应的集合 x≤0}的补集CA为( (即CRA). A.{x|0<x<2 B.{x0≤x2 24 第一章〉集合与常用过拼用语 C.{x0<x≤2 D.{x0≤x≤2 ⊙方法梳理… 解匠借助数轴（如图）易得CA={x0<x≤2. 求补集的常用方法 13 1.直接利用补集的概念 来处理 答案察C 2.用Venn图来求解比 ©变式32(2024，福建龙岩一中期中测试)已知全集U 较直观，求解过程中要注意图 形语言与符号语言的转化. {-2,-1,1,4},集合A={-2,1},B=1,4},则AU(CB)=(). A.{-2 B.{-2,-1} C.{-2,-1,1 D.{-1,1,4 考点4交、并、补的混合运算 第 ·核心总结 物难点突破 1.A=B=A∩B=AUBA三B且BCA. 我们要善于用图示法来 2.AUB=U且A∩B=0=A=CuB. 解决集合的交、并、补的运算问 3.德摩根法则： 题，注意(CA)∩B.(CB)∩A C(A∩B)=(CA)U(CB): 四 等在图示法中的表示如图1 C(AUB)=(CA)∩(CB). 中阴影所示 该法则可借助下面的Venn图来理解： B AU3 (CAnB (GB)∩A 6QB 图1 C.(A0B) (CAOC.B 如图2所示，两条封闭相 C(A∩B)=(CA)U(CB)C(AUB)=(CA)∩(CB) 交的曲线将集合U分为四个 (“交之补”等于“补之并”) (“并之补”等于“补之交”) 部分 ⊙考题7(2024，北京海淀区一漠)设集合U={1,2,3,4}, B (2) (3) 1 M={1,2,3},N={2,3,4},则C(M∩N)=( ). CBAAOB CAOB 1(4) A.{1,2 B.{2.3 C.{2.4 D.{1,4》 C(AUB) 解析，M∩N=〈2,3}， 图2 ∴.C(MnN)=(1,4. 答案D ⊙变式4(2024，陕西榆林中学期中测试)已知全集U= ®方法梳理： {xlx<10},M={a-3≤a≤3}，N={bb≤-5)，则C(MUN) 1.解决集合的混合运算 =(). 时，一般先计算括号内的部分， A.{x-5<x<-3 如求(CA)∩B时，应先求出 B.{x-5<x<-3或x>3} CA,再求交集：求C(AUB) C.{x|-5<x<-3或3<x<10 时，先求出AUB,再求补集， 25 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 D.{x3<x<10} 2.利用德摩根法则解决 ⊙考题8设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,3},N=(3 问题的好处是不用先求CA, 4,5},则(CM)∩(CN)=( CB,再求相关集合，从而简 化了集合的运算。 A.{2,3,4,5》 B.{1,2,4,5,6 3.正确理解集合交、并 C.{1,2,6 D.{6 补的含义，熟妹掌握集合几种 解方法一，CM={4,5,6},CN={1,2,6}. 表示法的互相转换，充分利用 .(CM)∩(CN)={6. Venn图是解题的关键， 方法二根据题意易得MUN={1,2,3,4,5},故(CM)∩ 4,在进行集合的交，并，补 (CN)=C(MUN)={6. 运算时，应首先求出各集合，对 第 答案D 于数集的集合运算，一般可借 ⊙变式42(2024，安徽合肥八中单元测试)设集合S={x 助数轴将问题形象化、直观化 第三草 x>-2},T={x-4≤x≤1}，则(CRS)UT=(. ②记忆商门 A.{x|-2<x≤1} B.{x|x≤-4 集合的交、并、补运算口诀 第 C.{xx≤1} D.{xx≥>1} 交集元素仔细找， ⊙考题9(2024，陕西长安一中月考)已知集合A={.x一2< 属于A且属于B: x<4},B={0,1,2,3,4,5},则{4,5}=(). 第五金 并集元素勿遗漏， A.(CRA)UB B.(CRA)∩B 切忌重复仅取一： C.(CRB)UA D.(CRB)∩A 全集U是大范国， 解，A={x一2<x<4},B={0,1,2,3,4,5}, 去掉U中A元素， 剩余元素成补集 ∴.CRA={x.x≤-2或x≥4}，.(CA)∩B={4,5. 密案B ⊙变式43(2024，西北工大附中模块测评)已知全集U (不大于20的素数}，M,N为U的两个子集，且满足M∩(CN) (3,5},(CM)∩N={7,19},(CM)∩(CN)={2,17},则M= ,N= 考点5 利用集合的运算解决参数问题 ·核心总结 女难点突破： 1.集合间的关系与集合的运算的重要性质： 集合间的关系与集合的运算 由图1可知，A∩B=A一A二B; 1.在利用集合的交集、并 由图2可知，AUB=A=AB. 集性质解题时，常常遇到A∩ B B=A,AUB=A等类型的问 题，解答时常借助交集、并集的 图1 图2 定义及集合间的关系去分析. 2.对于已知集合的运算结果求参数的值或取值范围的问 2.当集合B三A时，如果 26 第一章)集合与常用过拼用语儿 集合A是一个确定的集合，而 题，一般是先通过观察得到不同集合中元素之间的关系，再列 集合B不确定，运算时要考虑 方程（组）或不等式（组）求解.另外，在处理有关参数的集合问 B=②的情况，切不可漏掉 题时，要注意对结果进行检验，以避免违背集合中元素的互异 性，同时还要注意对空集的讨论，以避免漏解. 山规律总结 ⊙考题10(2024，山西太原第二外国语学校月考)设集合 对于涉及集合运算的问 题，首先应看清集合中元素的 A={xa-1<xa+1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R),则满足 范国，化简集合，若是用列举 A∩B=☑的实数a的取值范围是( 法表示的数集，可以根据交 集、并集的定义直接观察或用 A.{a0a<6 B.{aa<2或a>4 Venn图表示出集合运算的结 C.{aa≤0或a≥6} D.{aa≤8 果；若是用猫述法表示的数 集，可借助数轴分析写出结 解析由a一1<a十1知A≠心，又A∩B=心，如图，则需 果，此时要注意当端点不在集 a十1≤1或a一1≥5，解得a≤0或a≥6，所以满足A∩B=⑦的实 合中时，应用“空心点“表示， 数a的取值范围是{aa≤0或a≥6}. 数轴分析法在集合运算中经 常使用. AB B 4■ ②方法梳理 四 a-1a+11 5 5a-1a-1 求集合运算中参数的思路 答案C 1,将集合中的运算关系 ⊙变式51(2024，九省联考)已知集合A={-2,0,2,4}, 转化为两个集合之间的关系， 若集合中的元素能一一列举， B={x||x一3≤m},若A∩B=A,则m的最小值为 则可用规察法得到不同集合 ©考题11设集合A={x2a十1≤x≤3a-5},B={.x|3≤ 中元素之间的关系：若是与不 等式有关的集合，则可利用数 x≤22}，则使A二(A∩B)成立的实数a的取值集合为( 轴得到不同集合之间的关系， A.{a1a≤9 B.{a6≤a≤9} 2.将集合之间的关系转 C.{aa≤9 D.☑ 化为方程、不等式是否有解或 解集的范围 解析由AC(A∩B)得A二B,则： 3.通过解方程（组）或解 ①当A=0时，2a十1>3a-5,解得a<6: 不等式（组）来确定参数值或 取值范围时，需注意两点： 2a+1≤3a-5, (1)由集合间的运算得到 ②当A≠0时，2a+1≥3， 解得6≤a≤9. 的新集合一定要满足集合中 3a-5≤22， 元素的互异性，因此，在求解 参数的问题时，要注意隐含的 综上可知，使A二(A∩B)成立的实数a的取值集合为{aa≤9. 条件 答案C (2)对于涉及AUB=A 或A∩B=B的问题，可利用 ⊙变式52(2024，陕西安康中学月考)已知集合A={0,1, 集合的运算性质转化为相关 2,3,4},B={xx>m},若A∩(CRB)中有三个元素，则实数m的 集合之间的关系求解，注意空 取值范围是 集的特殊性， 27 /考点同步解读>】高中效学必修第一册RJA么 ⊙考题12(2024，广东湛江白沙中学月考)设集合A={x ●规律总结… x2-3.x+2=0},B={xx2+2(a+1)x十a2-5=0}. 运用补集思想求参数范围的 (1)若A∩B={2},求实数a的值， 一般步骤 1.否定已知条件，考虑反 (2)若A∩B=B,求实数a的取值范围. 面问题. (3)若U=R,A∩(CB)=A,求实数a的取值范围. 2.求解反面问题对应的 解析由题意得集合A={1,2}. 参数范围 (1),A∩B={2},.2∈B,将x=2代入B中的方程，得 3.将反面问题对应的参 第 a2十4a十3=0，..a=-1或a=-3. 数范围取补集 当a=一1时，B={一2,2}，满足条件： 当a=一3时，B={2},也满足条件. 第二章 综上可知，实数a的值为一1或一3. (2)A∩B=B,.BA 第三草 对于集合B中的方程，当△=4(a十1)-4(a一5)=8(a+3) <0,即a<一3时，B=☑，满足条件； 第四重 当△=0，即a=一3时，B=(2},满足条件： 当△>0，即a>一3时，B=A={1,2}才能满足条件，即 第五章 -2(a+1)=3, 此时a的值不存在。 a2-5=2. 综上可知，实数a的取值范围是{aa≤-3. (3),A∩(CB)=A,.AC(CB),.A∩B=O. ①当△<0，即a<一3时，B=☑，满足条件 ②当△=0，即a=-3时，B={2},A∩B={2},不满足条件 ③当△>0，即a>-3时，只需1B且2任B即可. 将x=2代入B中的方程，得a=一1或a=一3（含去）： 将x=1代入B中的方程，得a=一1土3. ∴.a>-3且a≠-1且a≠-1±V3. 综上可知，实数a的取值范围是{aa<-3或一3<a<-1 3或-1-3<a<-1或-1<a<-1+3或a>-1+v3. ⊙变式53(2024，山西大同一中期中测试)已知集合A {x1<x3},集合B={x2m<x<1-m}. (1)当m=-1时，求AUB. (2)若A二B,求实数m的取值范围. (3)若A∩B=必，求实数m的取值范围. 28 第一章)集合与常用道辩用语 考点6 集合运算的实际应用与创新问题 ·核心总结 奇难点突破… 1.与集合运算相关的实际应用问题 L,集合元素个数的计算 集合中的实际应用问题主要是涉及集合中元素个数的问 若用card(A)表示集合A 题，先对实际问题进行分析，建立集合模型，转化为集合问题， 中的元素个数，则有cmrd(AU 运用集合知识进行求解，然后将数学问题的解翻译成实际问题 B)=card(A)+card(B)- 的解并进行检验，从而使问题得以解决.用Venn图进行分析， card(A∩B) 往往可将问题直观化、形象化，使问题简捷、准确地获解， 事实上，由图1可知A∩ B的元素个数在card(A)和 2.与集合运算相关的创新问题 card(B)中均计数一次，也就 (1)集合的创新问题，其创新性主要体现在新定义与新运 是说在card(A)+card(B) 第 算上，通过给出一个新概念或约定一种新运算或给出几个新的 中计数两次，而在card(AU 模型等，创设一种全新的问题情境，以达到考查同学们独立获 B)中却只能计数一次，从而 取信息、加工信息的能力的目的 有crd(AUB)=crd(A)+ (2)此类题型主要的解题策略：在认真阅读并理解题意的 card(B)-card(A∩B. 第 基础上，紧扣条件，抓住关键，实现新的信息向已有的集合知识 AnBnC 四 的转化，从而达到解题的目的. B ⊙考题13(2024，浙江镇海中学期中测试)某班举行数理化 C 竞赛，每人至少参加一科.已知参加数学竞赛的有27人，参加物 理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中同时参加数学、 图1 图2 类似地，有card(AUBU 物理两科的有10人，同时参加物理、化学两科的有7人，同时参加 C)=card (A)+card (B)+ 数学、化学两科的有11人，而同时参加数学、物理、化学三科的有 card(C)-card(A∩B) 4人.则全班人数为 card(A∩C)-card(B∩C)+ 解析设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分 card(A∩B∩C),它可由图2 别为A,B,C 来解释。 由题意可知，集合A,B,C中的元素个数分别为27,25,27，集 2.与集合运算相关的创 合A∩B,B∩C.A∩C,A∩B∩C中的元素个数分别为10,7.11,4. 新问题 创新型数学试题大致为 画出Venn图（如图所示）. 新概念、新情景问题，是指试 故全班人数为10十13+12十6十4十7十3=55. 题中自定义一个概念、一种运 A B 算、一个规定等，再提出一个 10 12 与此相关的问题，要求考生结 7 合所学数学知识进行解答.解 13 C 题时首先必须深刻理解新概 答案55. 念的内涵，再利用新概念将所 研究的问题转化为常规的数 ⊙变式61(2024，河南开封一中期中测试)某班有36名同 学问题来解决： 学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小 29 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时 ●规律总结… 参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有 利用Venn图探求集合中 4人，则同时参加数学和化学小组的有 人 元素个数的步骤 ⊙变式62（多选）若X是一个集合，x是一个以X的某些 1.将属性相同的对象用 集合表示 子集为元素的集合，且满足：(1)X属于x,☑属于x:(2)x中任意 2.用Venn图表示各集 两个元素的并集属于x;(3)x中任意两个元素的交集属于x,则称 合间的关系 x是集合X上的一个拓扑.已知X={a,b,c},给出下列四个集合， 3.由card(A)+card(B) 其中是集合X上的拓扑的是()。 -card(A∩B)+card[C(A A.x={☑，{a},{c},{a,b,c}} UB)]=card(U)card(AU B.x={⑦，{b},{c},{b,c},{a,b,c} B)card(A)+card B)- 第 C.x={☑，{a,{a,b,{a,c}} card(A∩B)求解. D.r={⑦，{a,c},{b,c},{c},{a,b,c} 第三草 对标演练分饭测评·及时持训 第 》基础过关练】 限时25分钟* 3,5,7},B={2,4,5},则C(AUB)= 1.考点3已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},A 高考提能练限时0分钟… 第五金 {2,4,5},则CA=( 1.考点35(2024，河北衡水十三中月考)已知集 A.0 B.{2,4,6 合CRA={x-4≤x≤2}，B={xx≤-3或 C.{1,3,6,7 D.(1,3,5,7} x≥a}(a>-3),若{x∈Zx∈A且x∈CRB 2.考点1若A={x|0<x<√2}，B={x|1≤x ={3,4},则( 2),则AUB=( A.4≤a5 B.4<a≤5 A.{xx√2 B.{xx≥1} C.3<a≤4 D.3≤a≤4 2.考点23、4(2024，湖南长沙一中期中测试)已 C.{x|1≤x<V2 D.{x0<x<2 知全集U={1,2,3,4.5,6,7,8},集合A= 3.考点4图中阴影部分表示的集合是( {2,3.5,6},集合B={1,3,4,6,7},则集合A∩ A.A∩(CB) (CB)的真子集的个数为( ) B.(A)∩B A.2 B.3 C.4 D.7 C.Cu(A∩B) D.(AUB) 3.考点6某班45名学生参加植树节活动，每名 学生都参加除草、植树两项劳动.依据劳动表 4.考点2若A={0,1,2,3},B={xx=3a,a∈ 现，评定为优秀、合格两个等级，结果如下表 A},则A∩B=( A{1,2}B.{0,1} C.{0,3}D.{3 等级 劳动项 合计 5.考点25设集合M={x|一1≤x<2},N 优秀 合格 {xx一k≤0，若M门N≠0，则k的取值范 除草 30 15 45 围是 植树 20 25 45 6考点34设全集U={x∈N”|x<8},A={1, 若在两个项目中都为合格等级的学生最多有 30参考答案与提示> [变式5-1]5. 解得a=-或a-2.综上,a=0或或2.] [因为AOB-A,所以ACB.由1x-31 1.3 集合的基本运算 (4<m+3. <m得-m+3<x n+3,所以有 即 -2-m+3. 【变式训练】 n>1. [变式1-1] C [由并集的定义知选C] 即n5.故n的最小值为5.] n5. [变式1-2] ABD [由B-1.3,BUA-1.3,5),知 [变式5-2]m2<m3). [根据B一(xxm》,得 AC(1.3,5),且A中至少有1个元素5,故选ABD.] CB-xlxm),若AO(CB)中有三个元素,则有2< [变式2-1] A m<3,即实数m的取值范围是ml2<n{3).] [变式2-2] A [将集合A,B化简得A-{-2.-1,0. [变式5-3](1)当n=-1时,B=x -2<x2. 1.2.B-(0.1.2,3).借助Venn图(如图).可得AOB 因为A=[xl1 <3),所以AUB-xl-2< 3. (0.1.2.] [1-m>2n. (2)由ACB知2nr1. 解得n-2. 1-m3. 所以实数n的取值范围是(nln-2. [变式3-1] A [由题意得-1EU且4EM,所以3- (3)①若B-,则A0B-,此时2n>1-n.即 --1且r-x+2-4,解得x-2] [变式3-2] C [由题意得CcB--2.-1),所以AU ②若B,则 1-n1 (CB)--2.-1.1.] 2n3, [变式4-l]C [因为M=al-3<a>3,N-l 综上,实数的取值范围为n0. -51,所以MUN-xlx-5或-3 x3).因为U= [变式6-1] 8. [设参加数学、物理、化学小组的人构 (x10],所以f(MUN)-xl-5<-3或3 成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有 <10.] x人,由题意可得如图所示的Venn图.由全班共36名同 [变式4-2]C[CS=xlx-2,T=xl-4 学可得(26-6-r)+6+(15-10)+4+(13-4-x)+= 11.(Cs)UT-xl1.] 36,解得x一8,即同时参加数学和化学小组的有8人.] [变式4-3]3.5,11.13;{7,11:13:19 [方法一 U-(2,3.5.7.11,13.17,19(如图所示) 2661 A % C 15-10 13-4-- *.M-3.5.11,13),N-(7.11,13.19). 方法二.MO(fN)=(3,5)..3M,5-M且3 [变式6-2]BD[对于A,=,a),c].,b,c, 6N,5N. 因为a)Uc}一a,cr,所以A错误.对于Br-, 又(CM)ON-7.19). ,c,(6.c),a,b,c)),满足:(1)X属于r.属于z; ..7EN.19N且7M.19M (2)-中任意两个元素的并集属于t;(3)-中任意两个元 又(fM)O(N)-(2.17. 素的交集属于r,所以B正确.对于C,r一,(a),a, .*.Co(MUN)-/2.17). ,(a,c)),因为X=a.b,c)c,所以C错误.对于D,r ..M-(3,5,11,13),N-(7,11,13,19).] 一(,(a,c),(b,c),(c),a,b,c)),满足;(1)X属于r 5 1 考点同步解读> 高中数学 必修 第一册 RJA乡 属于r:(2)r中任意两个元素的并集属于-:(3)-中任 选项正误 原因 意两个元素的交集属于t,所以D正确.] A={l2+1→0,x乙-x> 【基础过关练】 1.C 2.D 3.A 4.C A .ez].B-(-1.0.1,2),所以 5.一1.[如图,当-1时,M.N有公共部分, A0B-(0.1.2 满足MON子.] ### B x AB-rlr-1,x乙 lA-{<-rez, C 6.6.[·U-(1,2,3,4,5,6,7).AUB-(1,2,3,4. 所以(CA)OB--1 5.7)..C(AUB-(6.] ) 由A0B-(0.1.2),知A0B的真子 【高考提能练】 D 集的个数是2-1-7 1.B [因为CA=xl-4<x2),所以A-xlx<-4 6.yl-3<0或y3[由题意知A-yy>0. 或x2).因为B-{xlx-3或xa),所以CB 如图,则A-B=yly>3),B-A-yl-3<y 0 . (xl-3<ra),所以xEZ xEA且xElB= 所以A△B-(A-B)U(B-A)=yl-3<y 0或 rEZ2 -3,4.所以4<a 5 2.B [.U-(1.2,3,4.5.6.7.8,B-(1.3.4.6,7. y>3.] # *.C-B-(2,5.8. 又:集合A-2,3,5.6...AO(C-B)-2.5) '.集合AO(C-B)的真子集的个数为2}-1-3.] 7.(1)方法一 由(CA)UB-R,得ACB. 3.C [用集合A表示除草为优秀等级的学生,B表示植 (3-2aa; 树为优秀等级的学生,全班学生用全集U表示,则 所以<0. 解得a0. CuA表示除草为合格等级的学生,CuB表示植树为合 3-2a2. 格等级的学生,画出Venn图,如图,设在两个项目中 所以实数“的取值范围是aa乏0. 都为优秀等级的学生人数为x,在两个项目中都为合 方法二 由集合A-(xl0<2,得CA-x0 格等级的学生人数为y.由图可得20一x十x十30- 或x2. r+v45,则x=y+5.因为v的最大值为10.所以 又B-xla x3-2a),所以要使(CA)UB-R,如 的最大值为10+5-15 (3-2a二a. 图1,则需a0. 解得<0. 20_ A 3-2a二2. 30-r 23-2 4. BCD 图1 选项正误 原因 所以实数a的取值范围是ala<0). A 文 由A0B-,得a+2>3.a>1 (2)若AOB-B,则BCA. 。 由a>1,得a+23,从而A0B-& 当B-时,B二A,此时3-2a<a,解得a>1; & / 由AUB-R,得a+2<3,即a<1 当B,即a1时, D 由a1,得a+2<3,故AUB-R a0. 解待_。<1. 要使BCA.如图2,则需 5.ACD 3-2. 6 参考答案与提示> 0)(-1,1),所以A-B,即“-1=0”是“lxl-1-0” 3-22 的充要条件.(2)对于A-xx5),B-xx3,因为 图2 A二B,所以“<5”是“x3”的必要不充分条件。] 综上,当AOB-B时,实数a的取值范围是{aa1. [变式2-1] 充分性:因为a十6-1,所以b-1-a 所以a++ab-a--a+(1-a)+a(1-a)$ 故AnB≠B时,实数a的取值范围是{ala<1. -(1-a)*-a+1-3a+3-a+a-a-a-1+$ 【实验班选做题】 2a-a-0,即a+P+ab---0. 1.D[由条件知1.2.4,/.^(允许有重复)为C的全部 必要性:因为a十十ab-a--0. 元素,因为1+2+4+(+>6.1+2+4+^>6,所以 所以(a+b)(a-ab+)-(a-ab十)-0 与其余几个数重复(十+1>0恒成立),故只可能 所以(a-ab+)(a+b-1)-0. 是C-(1,2,4.t,且1十2十4十1-6.于是(--1(经 又因为a字0,所以a子0且关0. 检验符合题意),此时C的所有元素之积为1×2×4× 所以a{-ab+-(a-0)第}+3-40. (-1)--8.] 2.(1)集合(1.2,3,4,5)不是“和谐集”. 所以a+b-1-0,即a+b-1. (2)集合(1.3.5.7.9.11,13)为“和谐集”,证明如下; 综上可知,当ab0时,a十b-1是a+十ab-a} 因为3+5+7+9-11+13 -0的充要条件. 1+9+13-5+7+11 [变式2-2] 充分性:因为为偶数,设b-2a(a乙),所 9+13-1+3+7+11. 以2-4a. 1+9+11-3+5+13 又(a+1)-(a-1)-4a,所以2h-(a+1)-(a-1. 1+3+5+11-7+13 所以偶数2k(Z)属于M 3+7+9-1+5+13. 必要性:因为偶数2(乙)属于M 1+3+5+9-7+11. 所以2k-nr-n=(m+n)(m-n). 所以集合(1,3,5,7,9,11,13是“和谐集”. 因为m.nEZ,所以n十a与m一n同为奇数或同为偶数 (3)假设集合A是“和谐集”,不妨设0<a<a:<a< 又2k(Z)为偶数,所以m十n与m一n均为偶数, a. a,则集合a.a.么.a能分成两个交集为空集 所以(m十n)(n一n)应为4的倍数,则2必为4的倍数 的子集,且两个子集元素之和相等,则有a:十a。一a 所以为偶数 士 ①,或a-a十a十a ②,集合aa也 综上,偶数2(EZ)属于M的充要条件是人为偶数 能分成两个交集为空集的子集,且两个子集元素之和相 [变式3-1] C [由2x-40得x2,所以选项中只 等,则有a+a-a十a③,或a-a:+a+a④.由 有(2,3,5){xx2),故只有C选项中的条件是使不 ①③得a=a,由①④得a=-a,由②③得a 等式2x-40成立的一个充分不必要条件,] 一a,由②④得a;一a,都与假设矛盾,所以假设不成 [变式3-2] C [因为ab+4-2a+2b,所以ab-2a- 立,故当n一5时,集合A一定不是“和谐集” $+4-0,即(a-2)(b-2)-0,解得a-2或b-2,故“ab 1.4 充分条件与必要条件 十4-2a+2”的充要条件是“a,b中至少有一个为2”] 【变式训练】 [变式41]C [因为A-cl-1<x3,且xB成 [变式1-1]B[由x1得x1,而由x1得x< 立的一个充分不必要条件是xEA,所以A二B,所以n -1或>11 +13,解得n2. [变式1-2] 充分条件。[因为→→,所以,是 [变式4-2]mm9. [因为,是?的充分不必要 的充分条件.] 条件,所以→q且qp. [变式1-3](1)充要条件.(2)必要不充分条件。 即r -2 x10]是xl1-n x 1+n,m>0的真 [(1D因为A-[-1-0]--1,1,B-xl|xl-1- 子集, 1.