1.2 集合间的基本关系-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第一章〉朵合与常用过拼用语 1.2集合间的基本关系 高考要求学业标准·考情分析 一·考，点分布 一学科素养 一学法导引 L,能识别给定集合的子集，理解子集、真子集的 数学抽象、数学运算 概念，并掌握其记法和读法.（★★★） 本节学习的重点是理解集合 2.理解两个集合相等的含义，会用子集的观点 之间的包含关系，会用集合相等 数学抽象，数学运算 来解释两个集合相等.（★★） 的条件解决一些问题，同时会写 出给定集合的子集，特别要注意 3.在具体情境中了解空集的含义并理解空集是 数学抽象、数学运算 空集在具体情境中对解题的影 任何集合的子集这一规定.（★★） 响，并注重数形结合，分类讨论思 4.初步认识Venn图，会用Venn图来表示两个 想在研究集合关系时的应用。 直观想象、数学运算 集合的关系.（★★★） 考点分类考点透析·典例制祈 考点1 子集的概念 ·核心总结。 章滩点突破… 1.子集 对子集的概念的理解 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素 L.注意符号“∈”与“二" 定义 都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作 的区别.“二”只能用于集合与 A二B(或B已A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 集合之间，如{0}二N,而不能 写成0□N:“∈”只能用于元 图示 A(BX 素与集合之间，如0∈N,而不 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A二A: 能写成{O)∈N, 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B且B二C,则A二C 2.“A是B的子集”的含 2.Venn图 义：集合A中的任何一个元素 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venm 都是集合B中的元素，即由任 图.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩 意x∈A都能推出x∈B. 形、椭圆，也可以是其他封闭曲线， 3.当A不是B的子集时， ©考题司(2024，宁夏银川一中单元测试)下列说法中正确 记作“A车B”"(或“B史A”),读 的是( ). 作“A不包含于B”(或“B不 ①任意集合必有子集：②集合A={a,b,c}是集合B={a,b, 包含A”),此时A中至少存在 d,}的子集；③若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子 一个不在B中的元素.用图形 11 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJΛ色 集，则集合A是集合C的子集：④若不属于集合A的元素也一定 语言表示，如图所示 不属于集合B,则B是A的子集， (B)或AB©A A.②③ B.①③④ C.①③ D.①②④ 解机 例如，集合A=(a:b,c》 不是集合B={b,c,d,e,f}的 序号 正误 原因 子集，因为集合A中的元素4 ① 任意集合都是其自身的子集，故①正确 不是集合B中的元素 因为集合A中的元素（不是集合B中的元 ② 素，所以②不正确 山规律总结： ③ 集合子集具有传递性，故③正确 L,用Venn图表示集合 ④ 由子集的定义可知④正确 的优点是能够直观地表示集 童 答案B 合间的关系，缺点是集合元素 ⊙变式1)(2024，湖北宜昌三峡高级中学单元测试)对于 的公共特征不明显 第三草 集合A,B,“A二B不成立”的含义是(). 2.包含关系{a}二A说明 A.B是A的子集 {a}是A的一个子集，即集合 四 A中必定含有元素a,属于关 B.A中的元素都不是B中的元素 系a∈A说明a是集合A中 C.A中至少有一个元素不属于B 第五金 的一个元素 D.B中至少有一个元素不属于A 3.对于简单的集合子集关 ⊙考题2(2024，山东青岛二中月考)已知 系的判断问题，可根据集合中 集合U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},集合A与 B 元素的特征进行判断，如考题 B的关系如图所示，则集合B可能是( 2.对于元素不多的数集问题， A.{2,4,5} B.{1,2,5} C.{1,6} D.(1,3} 可用列举法表示，再由子集的 解祈由图可知B二A.由A={1,2,3},并结合选项可知{1， 概念加以判断，如变式1-2 3二A. 答案D ⊙变式12(2024，湖南师大附中周练)用Venn图表示下列 集合之间的关系：A={x∈N「一2<x<4}:B={24的正约数}. 考点2 集合相等的概念 ·核心总结 般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素， 难点突破 同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A 对集合相等的概念的理解 1,若ACB,同时B二A, 与集合B相等，记作A=B,读作A等于B. 则A=B. 12 第-章)集合与常用这拼用语/ ⊙考题3(2024，陕西西安铁一中月考)已知P={xx=2n, 因为A二B,所以A的元 素都是B的元素；又因为B n∈Z,Q={xx=2(n-1),n∈Z},则P,Q的关系为 A,所以B的元素都是A的元 解析对于Q,因为n∈Z,所以1一1∈乙，从而Q表示偶数集. 素.这就是说，集合A与集合 又因为P也表示偶数集，所以P=Q B的元素是完全相同的，因而 A与B是相等的集合 答案P=Q. 2.用图形语言 Venn ⊙考题4(2024，天津南开中学月考)已知X={xx=(2n十 图表示，如图所示 1)π，n∈Z,Y={yy=(4k士1)π，k∈Z,试证明：X=Y. (A(B) 证明设y∈Y,即y=(4k士1)π，k∈Z 规律总结， 用元素分析法证明 :4k士1为奇数，∴y∈X,即Y二X 两集合相等 第 又设x∈X,即x=(2n+1)π，n∈Z. 根据集合相等的定义，要 当n=2k时，x=(4k十1)r,x∈Y. 证明X=Y,应分两步： 第一步，证明X二Y,转化 当n=2k一1时，x=(4k一1)π，x∈Y. 为证明对任意x∈X都有 ∴x∈Y,即XCY.∴X=Y x∈Y 第二步，证明Y二X,转化 ⊙变式21(2024，东北师大附中单元测试)若P={xx2一 为证明对任意y∈Y都有 x=0,Q={xx=1+21D,n∈Z,则P,Q的关系为 y∈X. 考点3 真子集的概念 核心总结 章准点突破 如果集合AB,但存在元素x∈B,且x年A,就称集合A是集 对真子集的概念的理解 定义 合B的真子集，记作AB(或B星A),读作“A真包含于B”(或 1.两个集合A,B之间的 “B真包含A”) 关系如下 A=B=ACB且B二A A三B 图示 (A≠B→AB ACB 2.元素与集合之间的关 (1)若A二B且A≠B,则AB: 系是属于或不属于的关系，用 结论 (2)若A互B且BC,则AC 符号“∈“任”表示：集合与集 合之间的关系是包含、不包 ⊙考题5(2024，湖南师大附中单元测试)已知集合M={x 含、真包含、相等的关系，用符 号“二”“生”“军”和“=”表示 x=1十a2,a∈N·,P={xx=a2-4a十5，a∈N,那么M与P 3.若集合A=(1,2},B 的关系是 {1.2.3,4,则A是B的子 解析对于任意x∈M,有x=1十a2=(a十2)2-4(a十2)+5. 集，也是真子集，用符号“A□ a∈N,.a+2∈N*,.x∈P. B”或“A至B”表示均可，但 由子集的定义知M二P. “A=B”更准确些，所以解题 当a=2时，a2-4a+5=1∈P. 时要选择最优的表示方法 13 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA色 ,1十a2=1在a∈N"时无解，∴.1庄M ②方法梳理… 综上所述，MP 1.在判断集合A是否是 答案M年P 集合B的真子集时，先判断 ⊙变式3](2024，湖北黄冈中学期中测试)集合M={0, A二B是否成立，再进一步判 1},N={yx2+y2=1,x∈N},则M,N的关系是(). 断A军B是否成立.此时只需 A.M=N C.NM 在集合B中找出一个元素不 B.MN D.不确定 属于A即可 ⊙考题6(2024，山东枣庄高一联考)下列各组集合之间的 2.对于有些实际问题中 关系中满足真子集关系的有 组 的真子集关系的判断，要注意 (1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1). 理解实际问题的准确含义，明 (2)A={2,3,6},B={xx是12的约数} 第 确给出集合的含义，再利用真 章 (3)A={xx是等边三角形}，B={xx是等腰三角形 子集的概念加以判断。 解析(1)集合A中的元素是数，集合B中的元素是有序实数 第三草 对，故A与B之间无包含关系 山规律总结… (2)集合A中的元素2,3,6都是12的约数，故它们都属于集 判断AB的一般步骤 第 合B,所以A二B;又因为1也是12的约数，即1∈B,但是1度A, 第一步，弄清集合A,B 故AB. 各自的含义。 第五金 (3)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相 第二步，判断A二B. 等的三角形，故AB. 第三步，说明存在元素x 由此可知(2)(3)为真子集关系. B且x任A. 答率2. 第四步，下结论：A军B. ⊙变式32一次羽毛球比赛中，若集合A=(参加羽毛球比 赛的运动员}，集合B={参加羽毛球比赛的男运动员}，集合C (参加羽毛球比赛的女运动员}，则下列关系中正确的是( A.ACB B.BCC CC生A D.B年A 考点4 空集的概念 ·核心总结 海难点突破 L.我们把不含任何元素的集合叫作空集，记作②，并规定： 对空集的概念的理解 空集是任何集合的子集！ 1.空集是任何集合的子 2.在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念， 集，其中“任何集合”当然也包 可以得到： 括必.故将会出现心二心.而 (1)空集只有一个子集，即它本身. 此时按子集理解不能成立，原 (2)空集是任何非空集合的真子集 因是空集中无元素，不符合定 因此，若0军A,则一定有A≠心，反之也成立. 义，因此要知道这一条是课本 [注意]①有关空集的判断问题，要抓住空集概念的本质特 中“规定”出来的。 征：不含任何元素 2.“xE”的写法是错误 14 第一章〉朵合与常用过拼用语/ ②判断由方程或不等式表示的集合是否为空集，关键是看 的，x任②是恒成立的.{0)与 方程或不等式是否有解，有解则非空，无解则为空， 0是不同的，0}表示由一个 ③有关空集性质的应用问题，要熟记性质并利用其作出 元素0构成的集合，②是不含 任何元素的集合， 判断. ④对于含有参数的集合为空集，求参数的值或取值范围的 问题，利用方程或不等式无解来建立关系式进而求解， ⊙考题7(2024，西北工大附中单元测试)已知集合：①{0}： 山规律总结 ②{☑}：③{x3m<x<m}:④{xa+2<x<a};⑤{x∈R|x2+2x 1.由A二B不能推出A 十5=0以.其中一定表示空集的是 (填序号). 就是由B中的部分元素组成 解析集合①中有元素0，集合②中有元素⑦，它们不是空集： 的，这是因为若A=0,则A 对于集合③，当m<0时，m>3m,不是空集；在集合④中，无论a 中不含任何元素：若A=B,则 取何值，a十2总是大于a,故集合①是空集：对于集合⑤，x2十 A中含有B中的所有元素. 2x十5=0在实数范围内无解，故集合⑤是空集.故填④⑤. 2.0,{0},②，{0}的关系 答案④⑤. 0与0 ④与{0 0与0 第 ⊙变式4①(2024，安微芜湖一中周练)给出下列说法：①空 相都表示无 都是集合 都是集合 集没有子集；②任何集合至少有两个子集：③空集是任何集合的 ②不含任0不含任 0是集 真子集.其中正确的个数是 何元素：何元素： 合：0是 (0}含一个(01含 ⊙变式42(2024，湖北武汉二中月考)已知集合A={x∈R 实数 元幸0 个元素0 x2+mx十4=0}为空集，则实数m的取值范围是( ={0}或 0日☑ 2={0 A.{m-4<m<4》 B.{ml-4≤m≤4 0∈1 C.{m-2<m<2 D.{m-2≤m≤2 考点5 集合与集合之间关系的判断 ·核心总结 海难点突很… 1.集合与集合之间的关系符号：二、手、车、星、主、口、= 元素与集合、集合与集合 2.符号“∈”“任”与“二”“要”…=”的区别：“∈”及“任”是表 之间关系的判断 示元素与集合之间的关系：而“二”“季”“=”是表示集合之间的 1.元素与集合之间的关 关系 系是从属关系，这种关系用符 号“∈”或“任”表示」 3.a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只 2.集合与集合之间的关 有一个元素的一个集合，因此有1∈1,2,3}，0∈{0}，{1} 系有包含关系、相等关系，其 {1,2,3等，而不能写成1二{1,2,3,0=〈0}，1}∈{1,2,3}等 中包含关系有包含于（二）、包 ⊙考题8（多选）已知集合A={1,2,3},Y={xx二A},则 含（口）、真包含于（买）、真包 含()等，用这些符号时要注 下列结论正确的是(). 意方向，如A二B与B口A是 A.(1CY B.A∈Y C.0=Y D.{0}Y 相同的，但A二B与B二A是 考点同步解读〉高中就学必修第一册RJA色 解析由题意知，Y={☑，1}，{2}，{3)，{1,2}，{1,3}，{2,3}， 不同的. 3.在使用以上符号的时 {1,2,3}},所以{1}∈Y,A∈Y,{⑦}Y,所以A错误，B,D正确. 候要弄清楚是元素与集合之 因为空集是任何非空集合的真子集，所以C正确. 间的关系还是集合与集合之 间的关系 答案BCD 方法梳理， ⊙变式5(2024，东北三校联考)能正确表示集合M={x∈ 判断集合间关系的常用方法 1.集合元素特征法：首先 R0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}之间关系的Venn图 确定集合的元素是什么，弄清 楚集合元素的特征，再利用集 是( 合元素的特征判断关系，如考题 9.一般地，设A={xP(x)}, M M B={xQ(x),①若由x满足 碧 P(x)可推出x满足Q(x),则 章 ACB:②若由x满足Q(x)可 A B O 推出x满足P(x),则B二A: 第三草 ③若x满足P(x)与x满足 ⊙考题9(2024，湖北黄冈中学单元测试)集合M=xx Q(x)可互相推出，则A=B: ④若由x满足P(x)推不出x 四 经+平，k∈ZN=r=年+登k∈Z,则集合M与N的关 满足Q(r),由x满足Q(x)也 推不出x满足P(x),则集合 A,B之间无包含关系 系为 第五金 2.一一列举观察，此方法 团M=e-2经+贤，keZ,N=x=Dx+ 在选择题中更实用 4 3.数形结合法：利用数轴 或Venn图. 平，k∈乙，因为十1能取所有的整数，2k只能取所有的偶数，而 山规律总结 三个重要结论 偶数是整数，整敏不一定是偶数，所以M军N. 1.一个整致被2整除，可 记为2k:被2除余1，可记为 答案M年N. 2k+1或2k-1(k∈Z). 点评此类集合间关系问题的判断是高考中的常见题型，要 2.一个整数被3整除，可 记为3k:被3除余1，可记为 熟练掌握，集合之间的关系除了包舍、真包含关系的判断，还有相 3k十1或3k一2：被3除余2，可 等关系的判断 记为3k十2或3k-1(k∈Z). 3.一个整敏被4整除，可 ⊙变式5-2(2024，湖北武汉一中单元测试)若集合A= 记为4：被4除余1，可记为 4+1或4一3：被4除余2， =号(2+1D,k∈Z,B=r=士号k∈Z,则集合A, 可记为4k十2或4k一2：被4 除余3，可记为4k+3或4k B之间的关系为 1(k∈Z). 考点6 集合间的基本关系的综合应用 核心总结 0难点突破州 1,当一个集合的元素个数较多时，一一写出子集不太现 1.关于有限集合子集的 实，对于其子集的个数有如下结论： 确定问题，其求解关键有三 点： (1)含有n个元素的集合有2个子集. (1)确定所求集合。 16 第一章〉来合与常用这拼用语儿 (2)含有n个元素的集合有(2”一1)个真子集。 (2)合理分类，按照子集 所含元素的个数依次写出， (3)含有n个元素的集合有(2”一1)个非空子集. (3)注意两个特殊的集 (4)含有n(n≥1)个元素的集合有(2一2)个非空真子集 合，即空集和集合本身 2.在写含有2个元素的 (5)若集合A含有n(心1)个元素，集合C含有(1)个 子集时，先从第1个元素开 元素，且A二B二C,则符合条件的集合B有2m一个。 始，第1个元素与其后的每个 2.由A三B,A二B确定集合中参数的取值范围是子集概念 元素搭配，然后不看第1个元 素，再将第2个元素与其后的 的重要应用，常与方程（组）、不等式（组）综合考查，一般借助数 每个元素搭配…以保证不 轴解决此类问题，要注意数形结合思想和分类讨论思想的应用. 重不漏。 3.利用Venn图和数轴 3.解决与集合间的基本关系有关的新定义问题的关键是 理解集合间的关系 第 对新定义的理解， 用形来代数，形象而直 观，因此数形结合的思想在数 ⊙考题10(2024，湖北武汉二中单元测试)满足{1,2}M 学中应用广泛.用Venn图和 二{1,2,3,4,5}的集合M有 个 数轴可以非常直观地表示出 解新由{1,2}至M二{1,2,3,4,5}可以确定集合M中必含有 两个集合间的关系，如下表： 概念Ven图 数轴 第 元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的 四 元素个数分类如下，含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}： 风B 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}：含有五个元 A 素：{1,2,3,4,5}.故满足题意的集合M共有7个 A(B】 答系7 A》 ⊙变式61(2024，江西临川一中单元测试)已知集合A,B, A C,其中集合A有10个元素，集合C有15个元素，则满足A ④R A三 B三C的集合B的个数为(). A.32 B.31 C.30 D.5 AB ⊙考题1①(2024，江西南昌调考)已知集合A={1,3,5},则 集合相等 A(B) AUB) 集合A的所有子集的元素之和为 解析集合A的所有子集分别是0,1}，(3}，{5}，1,3}，1， 以拓展探究… 5},(3,5},{1,3,5.故所求之和为1+3+5+1+3+1+5+3+ 对于考题11，A中每个元 5+1+3+5=36. 素都出现在A的4个子集之 答案36. 中，这是在写出A的子集后观 ©变式62(2024，河北石家庄高中毕业年级质量检测)已 察得出的结论，能否不写出A 知集合M={1,2,…,10},A是M的子集，且A中各元素的和为 的子集也得出这样的结论呢？ 8,则满足条件的子集A共有( 注意到：A中的元素1出现在 A.8个 B.7个 C.6个 D.5个 A的子集{1}，{1,3,1,5}， ⊙考题12若A={x-3≤x≤4}，B={x2m-1≤x≤m十 {1,3,5}中，如果在这些子集 1},当B二A时，实数m的取值范围为 中排除1这个数，剩下的元素 考点同步解读〉高中就学必修第一册RA☑ 解析当B=☑时，2m一1>m十1，.m>2; 依次组成的集合为0，{3}， 2m-1≥-3， (5},{3,5),也就是A中除元 当B≠0时，如图，由题意得十1≤4， 解得一1≤m≤2. 素1外组成的集合3,5}的子 集，即有2=4个.因此，利用 2m-1≤m+1, 整体思想可知，在求A的所有 .所求m的范围是m≥一1. 子集的元素之和的过程中，1 出现了4次：同理，3也出现了 -32m-1m+14 4次，5也出现了4次.故所求 第 答案{mm≥一1. 的和为1×4+3×4+5×4 (1十3+5)×4=36.此结论可 ⊙变式63(2024，江西九江一中高一月考)已知集合A= 推广到一般情形：已知A= 第 {xx<一2或x>5},B={xm+1≤x≤2m-1》. {a4:ag,,an,则A的所 (1)若BA,求实数m的取值范围. 有子集的元素之和为(a1十a2 (2)若A二B,求实数m的取值范围. 第三章 十a+…十an)×2-.有兴趣 的同学可尝试证明一下， 四 第五金 误区防错… 1.易错点 在解题的过程中空集极 ©考题13(2024，江西师大附中单元测试)已知集合P= 易被忽视，从而导致错误。如 (x∈Rx2-3x+m=0},集合Q={x∈R(x+1)2(x2+3x 考题12. 2.防错良方 4)=0},集合P能否成为Q的一个子集？若能，求出m的取值范 空集是一个特殊而重要 围：若不能，请说明理由. 的集合，因为它不含任何元 解析(1)当P=0时，P是Q的一个子集，此时方程x2一 素，所以在解题过程中极易被 3x十m=0无实数根，即△=9-4m<0,所以m>是 忽视，特别是在题设中隐含有 空果参与的集合问题时，忽视 (2)当P≠0时，Q={一1，一4,1}. 空集的讨论往往导致错解. ①当一1∈P时，一1是方程x2一3.x十m=0的一个根，所以 m=一4，此时P={4,一1}，不是Q的一个子集； ⊙方法梳理， ②当一4∈P时，一4是方程x2一3.x十m=0的一个根，所以 1.根据两集合的关系求 m=-28,此时P={一4,7}，不是Q的一个子集； 参数的方法 ③当1∈P时，1是方程x2一3x十m=0的一个根，所以m=2, (1)若集合元素是一一列 此时P={1,2},不是Q的一个子集. 举的，依据集合间的关系，转 综上可知，P能成为Q的一个子集，m的取值范围是 化为解方程（组）求解，此时应 注意集合中元素的互异性， (2)若集合是以方程的解 18 第-章)集合与常用这拼用语/ ©变式64(2024，深圳中学模块测试)已知集合A={x 集的形式呈现，首先应求出方 1<ax2},B={x|Ix<1},是否存在实数a,使得A二B?若存 程的解，将问题转化为一一列 在，求出实数α的取值范围；若不存在，请说明理由. 举的形式.此时要注意方程无 解的问题，即对应的集合为④， (3)若集合表示的是不等 式的解集，常利用数轴转化为 不等式（组）求解，此时需注意 端点值能否取到。 2.集合关系中的探索性 ⊙考题14(2024，重庆巴蜀中学月考)已知集合M={1,2, 求参问题的求解方法 3,4,5,6,7},对于它的非空子集A,将A中的每一个元素k都乘 对于存在性问题，一般是 第 (-1),再求和（如A={2,3,5},可求得和为2×（一1）2+3× 先假设存在，然后依据题目条 件求解，若能求出，并经检验 (一1)3+5×（一1）=一6).若对M的所有非空子集执行上述求 满足题意，则存在；若不能求 和操作，则这些和的总和是 出或求出后不符合题意，则不 解机易知集合M={1,2,3,4,5,6,7}中的每个元素在集合 存在 M的所有非空子集中均出现2"次，若对M的所有非空子集中的 3.求解新定义型集合问 四 元素k都乘（一1），再求和，则这些和的总和是2×[（一1）1×1+ 题，关键是对新定义概念的理 (-1)2×2+(-1)3×3+(-1)×4+(-1)5×5+(-1)5×6+ 解，然后将新定义的概念翻译 (-1)7×7]=-256. 成集合的语言，运用集合的知 答案-256. 识进行处理 ⊙变式65(2024，安徽芜湖一中月考)已知非空集合A1 A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：(1)若a∈A,则a日 A2,(2)若a∈A2,则a在A1,则称(A,A2)是集合A的“互斥子集 组”，并规定(A,A2)与(A,A)为不同的“互斥子集组”.则集合 A={1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是 对标演练分緘评·展时特训 基础过关练限时25分钟 C.0,1 D.-1,0,1 1.考点1.4、6(2024，湖南长郡中学周练)集合 3.考点12,35若集合M=xx=m+6,m∈ A={x∈Rx(x-1)(x-4)=0},则集合A 的非空子集的个数为( N=k=+e,P={x=多 A.4 B.6 C.7 D.8 2.考点16已知集合A={xa.x2十2.x十a=0, 6pEZ,则集合M,N,P的关系是( a∈R),若集合A有且仅有两个子集，则a的 A.M-NP B.MN=P 值是( C.MNP D.NPSM A.1 B.-1 4.考点36已知集合A{2,3,7},且A中至多 19 考点同步解读〉高中就学必修第一册A色 有一个奇数，则这样的集合A的个数为 A.{aa≤4 B.{aa≤3y (). C.{a3<a≤4 D.{aa≥4 A.3 B.4 C.5 D.6 5.考点3.6(2024，山东省实验中学期中测试)定 5.考点3.6已知集合A={a,b,c},则集合A的 义：若对任意m,n∈A(m,n可以相等)，都有 真子集的个数是 个 1+mn≠0，则集合B={xx=m” 1+7mm m,n∈ 6.考点16已知M={xx>1},N={xx≥a}, 且M二V,则a的取值范围是 A称为集合A的生成集， 的》高考提能练限时0分钟… (1)求集合A=3,4)的生成集B. 1.烤点6(2024，安徽六安一中单元测试)若一 (2)若集合A={a,2},A的生成集为B,且B 个集合的子集含有n个元素，则称该子集为 的子集个数为4，求实数a的值. (3)若集合A={x|一1<x<1},A的生成集 第三草 “n元子集”已知集合A=-2,23,4,则 为B,求证：A=B 其“2元子集”的个数为( 第 A.6 B.8 C.9 D.10 2.考点26(2024，安徽合肥一六八中学月考) 第五金 设全集U=R,集合A={x|0<x<2},B= {xx<a},若A与B的关系如图所示，则实 数a的取值范围是( B A.ala0 B.{aa>0} 》实验班选做题限时20分钟 C.{aa≥2} D.(ala>2) 1.(2024,福建漳州实验中学期中测试)已知集 3.烤点6(2024，重庆有才中学期中测试)定义 合A={xx2-3x+2=0,B={x0≤x≤5， 集合A⊙B={xx=√a+b,a∈A,b∈B}, x∈N},则满足条件A二C二B的集合C的个 若A=(n,一1}，B={W2,1},且集合A⊙B 数为( 中有3个元素，则由实数n的所有取值组成 A.15 B.16 C.7 D.8 的集合的非空真子集的个数为( 2.(2024,深圳中学期中测试)若一个集合是另 A.2 B.6 C.14 D.15 一个集合的子集，则称这两个集合构成“鲸 4.考点26(2024，湖北襄阳五中月考)（多选） 吞”：若两个集合有公共元素但互不为对方的 已知集合A={x|一1≤x≤7}，B={xa+2 子集，则称这两个集合构成“蚕食”，对于集合 ≤x≤2a一1}，若使B二A成立的实数a的 A={-1,2,B={xa.x2=2,a≥0}，若这两个 取值集合为M,则M的一个真子集可以是 集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则实数a的值为 20考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 集合，但未写出代表元素，应为{xx一5>01.门 a=a, ≠h.若a2=,则a=-b,故ab=-a2,又 或 6.一2.[由条件知，b中a为分母，所以a≠0，因为两 1-a2=b a=b, a=1, 个集合相等，所以集合中的元素相同，则么=0，即b 所以 a=-1, 或 所以S={一1， -a2=a, 16=-16=1. 0,此时集合为{a,0,1},{a,a,0},所以a2=1,解得 1).若a2=ah.则a=0,此时=b,故b=1,此时S= a=一1或a=1,当a=1时，不满足集合元索的互异 {0,1.若=ab则b=0,此时a2=a,故a=1,此时 性，所以a=-1.所以2a+b=一2.] S=(0,1.] 【高考提能练】 8.满足条件的集合M是由集合{4}，(0,8}，(1,7，{2， 1.C[由于两个集合相等，因此2一m=2,解得m=2 6},{3,5}中的元素组成的，它包括以下情况： 或m=-1.] ①由1个集合中的元素组成的有(4}，0,8}，{1,7}， 2Bg2音-音区.即-是6品 (2,6},{3,5},共5种： ②由2个集合中的元素组成的有{4,0,8，{4,1,7 y-3+2,即a=3,6=,:-音∈0.-音∈0， (4,2.6}.(4,3,5}.0.8,1,71.(0.8,2.6}.{0.8.3.5} 3∈Q,πQ,∴x∈M,ytM.] (1,7,2,6},1,7,3,5},{2,6.3,5,共10种： 3C[当x>0,y>0时，m=3:当x<0,y<0时，m= ③由3个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7}，{4,0， 一1一1十1=一1：若x,y异号，不妨设x>0,y<0,则 8,2.6},4,0,8.3.5,4,1,7,2,61,{4,1,7,3.5},{4. m=1+(-1)+(一1)=-1.综上，m=3或-1，即 2,6.3,5}.{0,8,1,7,2,6},{0,8,1.7,3,5},0.8,2,6, M={-1,3.] 3.511.7,2,6,3.5,共10种： 4.D[A={0,1,2,9},B={kk∈R,k-2∈A,k-2 ④由4个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7,2,6} A.①当k-2=0时，k=士2，k一2=士√2-2任A. 4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3 5},{0,8,1,7,2,6,3,5),共5种 满足条件：②当2一2=1时，k=土3，k一2=士3- ⑤由5个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3， 2任A,满足条件：③当一2=2时，k=士2，k=2时，k 一2=0∈A,所以k≠2，k=-2时，k一2=一4任A,满 5},共1种. 综上，满足题设条件的集合M共有31个， 足条件：④当k2-2=9时，k=土√T,k一2=土√T 【实验班选做题】 一2任A,满足条件.从而得到B={士2，士3，士√I, L.B[若①正确，即a=1,易知②也正确，不符合题意. 一2).所以集合B中所有元素之和为一2. 若②正确，则①③④错误，得d=4,c=1,a=2或a= 5.C[当a,b都是正偶数时，(a,b)可以是(2,14)，(4： 3,有序数组为(2.3,1,4)，(3,2,1,4)，共2个.若③正 12),(6,10),(8,8),(10,6),(12,4),(14.2),共7个： 确，则①②④错误，得a=3,b=1,d=4,有序数组为 当a,b都是正奇数时，(a,b)可以是(1,15)，(3,13)， (3,1,2,4),共1个.若④正确，则①②③错误，得b (5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个： 当a,b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a,b)可以 1,a≠1，c≠2，d≠4，有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4， 2),(4,1,3,2),共3个，综上可知，满足题意的有序数 是(1,16)，(16,1)，共2个.所以满足题意的元素个数 为17.] 组的个数为6.] 6.ACD[2023=4×505+3,所以2023∈A,故A正 1.2集合间的基本关系 确：若a十b∈A,则a∈A:,b∈A或a∈A:,b∈A,或 【变式训练】 a∈A,b∈A或a∈A,b∈A,故B错误：一1=4× [变式11]C[A二B,即集合A中任意一个元素都是 (一1)+3，所以一1∈A,故C正确：令a=4n十k,b= 集合B中的元素，“A二B不成立”，则A中至少有一个 4十k,m,n∈Z,则a一b=4(n一m)十0，n一n∈Z,故 元素不属于B.了 a一bEA,故D正确.] [变式1-2]A=(1.2,3},B={1,2,3,4, 7.{0,1}(或{一1,1}.[不妨设S={a,b),根据题意有 6,8,12,24}, a2,ab,∈S,所以a°，行，ab中必有两个是相等的且a ,A二B,放可用如图所示的Venn图表示. c2 参考答案与提示) [变式2-1]P=Q.[P=《0,1.Q中当n为奇数时， 当B=时，由2-1<m+1得m<2. x=1+（21D=0:当n为偶数时.x=1+(2D=1,故 综上可得，m的取值范围是{mm<2或m>4. 2 2 (2)易知不存在实数m使A二B. Q={0,1.所以P=Q.] m的取值范围是心. [变式31]B[先确定集合N中的元素y,因为r∈N, [变式6-4]B={x-1<x<1. 所以x=0或1，从而y=±1或0，即N=一1,0,1}，所 ①当a=0时，A=☑，显然A二B. 以MN.] [变式32]D[易知集合B,C是集合A的子集，且是真 ②当a>o时A={<<名}月 子集，而B,C之间没有包含关系，因此只有D选项正确.] 1≥-1 [变式+1]0.[①错误，空集是任何一个集合的子集， :ACB,如图1， ∴a≥2 所以⑦二心：②错误，0只有一个子集必：③错误，空集是 任意非空集合的真子集，是它本身的子集.] [变式+2]A[依题意知，一元二次方程x2+mx+4 0121 =0无实数解，所以△=m一16<0，解得一4<m<4.] 图1 图2 [变式5-1]B[易知N=0,1},做NM.] 当a<0时A={女名<日》 [变式52】A=R[设任意∈A,则n=号2%十 14. 1D.∈Z当=2neZ时西=吉（+D-奇+日 ,ACB,如图2， ∴a≤-2. a 所以∈B:当=2一1，m∈Z时A=号(-1D 综上可知，当a≥2或a≤一2或a=0时，A二B. 音m一司，所以∈B所以ACR又设任意∈B,则 4 故a的取值范围为{aa≥2或a≤一2或a=0. [变式6-5]50.[(1)当集合A,中只有1个元素 =号士号=号(4：士1.∈五.因为十1= (1},{2),{3,4},共4种)时，集合A:是由集合A中 2·2k:十1,4k一1=2(2k:一1)+1，且2k:表示所有的 除去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子 偶数，2k一1表示所有的奇数，所以4士1(：∈Z)与 集，这样的“互斥子集组”共有4×(2一1)=28（个）. 2k1十1(k1∈Z)都表示所有的奇数，所以∈A,所以 (2)当集合A中有2个元素({1.2}，{1,3，(1,4,2， B二A.故A=B.] 3},{2,4},《3,4},共6种)时，集合A2共有2一1= [变式6-1]C[因为集合A有10个元素，集合C有 3(个)，故此时这样的“互斥子集组”有6×3=18（个）. 15个元素，且A至B至C,所以集合B的个数为2一 (3)当集合A1中有3个元素({1,2,3}，{1,2,4}，{1,3 2=30.] 4},{2,3,4,共4种)时，集合A只有1种情形，这样的 [变式62]C[元素的和为8的子集A有{8}，1,7， “互斥子集组”共有4×1=4（个）. (2,6},{3,5},1,2,5},11,3,4,共6个.] 综上所述，这样的“互斥子集组”共有28+18十4= [变式6-3](1）当B≠0时，由2m一1≥m+1,得m≥ 50(个).] 2.如图1、图2所示 【基础过关练】 1.C[由x(x一1)(x-4)=0,得x=0或x=1或x=4 所以A=(0,1,4}.故集合A的非空子集的个数为2 m+12-1-2 -25m+12-1x 图1 图2 -1=7.] 由图可知，要使B运A, 2.D[因为集合A有且仅有两个子集，所以A仅有一 12m-1≥m+1,12m-1≥n十1， 个元素，即方程a2+2x十a=0(a∈R)仅有一个根. 或 解得m>4. 2m-1<-2 m+1>5, 当a=0时，方程化为2x=0,此时A=(01,符合题意： 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 当a≠0时，由△=2-4×a×a=0,得ad2=1,故a= 士1，此时A={一1或A=(1),符合题意.综上所述， 5当=3时，件品是=号 十n4十48 d=0或a=士1.] 当m=n=4时，十+4×47 3B[因为M={x=ing 1.mez.N={c 当a-3=4或m=4-3时，件品-装表 ngne,P==e小，所以M 是所以B={得品 N=P.] m十12十24 4.D[满足要求的集合A=☑或{2}或{3}或{7}或{2， (2)当m=n=2时，十n千2×2-方 3)或{2,71，共6个.] 当=时件品品： 5.7.[2-1=7.] 6.{aa≤1.[由M仁V得M年N或M=N.如图，由 当加=8a或mu2时品许老 MN得a≤1：当M=N时，不符合题意.] 因为B的子集个数为4，所以B中有2个元素， M 所似或品或 【高考提能练】 解得a=士1或a=2(a=2舍去)， 1A[集合A={-2,号，3,4}的所有2元子集"为 当a=1时，B=〈告，1，符合题意：当a=-1时，B= {-2,2}-2,3-24,分3号43 {-1,号}符合题意，当a=号时，B=(号，，符 4,共6个.] 合题意.所以a=分或士1. 2.C[由题意知集合A={x0<x<2},且B={xx< (3)对于A={x一1<x<1中的任意的两个元素m, a,根据题中的Venn图，可得A是B的直子集，所以 a≥2.] 件+1= 时D>o,a-1 1+ 3.B[因为A⊙B-{xx=√G+F,a∈A,b∈B},A= 二(m-1)(-卫<0， 1十m (n,-1,B=(w2,1,所以x=5,2,√2+m, √1+7.又集合A⊙B中有3个元素，当2= 所以-1K件品1. √2+r,即n=0时，A⊙B=W32,1,满足题意：当 即B={x-1<x<1},所以A=B. 【实验班选做题】 2=√1十m,即n=1或n=一1（舍去）时，A⊙B= 1.B[集合A={xx-3x+2=01={1,2},B=(x10≤ (5v2,不符合题意：当3=√1十n,即n=士√2时， 2≤5，x∈N}=(0,1,2,3,4,5),满足条件A二C℃B的 A⊙B={3,2,21,满足题意：当3=√2+m,即n= 集合C的个数即为集合{0,3,4,5}的子集个数，易求 1或n=一1（舍去）时，A⊙B=W3,√2)，不符合题意. 集合(0,3,4,5)的子集个数为2=16，所以满足条件 综上，∈(0,2，一√2)，故所构成集合的非空真子集 A二二B的集合C的个数为16. 的个数为2-2=6.] 2.0或7或2.[当a=0时，B=,则BCA,A.B构 4.BC[由题意知集合A=(x-1≤x≤7，B={xa+ 2≤r≤2a-1.因为B二A,所以当B=0时，a+2> 鲸春当>0时，B=√√不满足 2a-1,即a<3:当B≠0时，有-1≤a+2≤2a-1≤ 一个集合是另一个集合的子集，即A.B不能构成“鲶 7,解得3≤a≤4.故M={aa≤4.结合选项，则M的 一个真子集可以是{aa≤3或{a3<a≤4.] 若AB构成蚕食则√侣=2或√侣=-1 参考答案与提示)7 解得a=之或a=2.综上，a=0或号或2.] [变式5-1]5.[因为A∩B=A,所以ACB.由|x-3 (4≤m+3, 1.3集合的基本运算 ≤m得一m十3≤x≤m十3.所以有 一2≥一1十3. 【变式训练】 m≥1， [变式1-1]C[由并集的定义知选C.] 即m≥5.故m的最小值为5.] m≥5， [变式1-2]ABD[由B={1,3,BUA=1,3,5),知 [变式5-2]{m2≤m<3,[根据B=(xx>m),得 A≤1,3,5，且A中至少有1个元索5，故选ABD.] CRB={xx≤m),若A∩(CRB)中有三个元素，则有2≤ [变式2-1]A m<3,即实数m的取值范围是{m2≤m<3).] [变式2-2]A[将集合A,B化简得A={-2,一1.0， [变式5-3](1)当m=-1时，B={x-2<x<2. 1,2},B=(0,1,2,3},借助Vnn图（如图），可得A∩B 因为A=(x1r3},所以AUB={x-2x3}. (0,1,2.J [1-m>2m. (2)由A二B知2m≤1， 解得m≤一2， 1-m≥3. 所以实数m的取值范围是{mm≤一2. [变式31]A[由题意得一1∈U且4∈M,所以3一 (3)①若B必，则AnB=必，此时2m>1-7m…即m> x2=一1且x2一x十2=4，解得x=2.] 1 [变式32]C[由题意得CB=《一2，-1，所以AU ②若B≠0，则 mK了'解得0Cm分 (CB)={-2,-1,1h,] 1一r≤12m≥3， [变式41]C[因为M={a-3≤a≤3，N={bb≤ 综上，实数m的取值范围为(mm≥0. -5},所以MUN={xa≤一5或-3≤x≤3}.因为U [变式61]8.[设参加数学、物理、化学小组的人构 (xxr<10,所以Cu(MUN)={x-5<x<-3或3< 成的集合分别为A,B,C,同时参加数学和化学小组的有 x<10}. x人，由题意可得如图所示的Vcn图.由全班共36名同 [变式+2]C[,C.S={xx≤-2，T-{x-4≤ 学可得(26-6-x)+6+(15-10)+4+(13-4一x)+x= z≤1}，.(CS)UT={xlx≤1.] 36,解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人.] [变式+3]{3,5,11,13}：{7,11,13,191. [方法-U={2,3,5,7,11,13.17.191(如图所示)， 266x A 13 C 19 15-10 3 13-4-x .M={3,5,11,13},N=(7,11,13,19. 方法二，M∩(CuN)=(3,5,∴.3∈M,5∈M且3 [变式6-2]BD[对于A,x={d,{a,{c},{a,b.c} N,5 N. 因为aU{c}={a,c}Ex,所以A错误.对于B,r={, 又，(CM)∩N=7,19, (b,{c},{b,c},fa,b,c},满足：(1)X属于x,0属于 ∴.7∈N,19∈N且7eM,19∈M. (2)x中任意两个元素的并集属于x:(3)x中任意两个元 又，(CM)∩(CN)={2,17}, 素的交集属于r,所以B正确.对于C,x={,{a,{a, ∴.C(MUN)={2,17, bM,{a,c},因为X={a,b,cx,所以C错误.对于D,x ∴.M={3,5,11.13,N=(7,11,13,191.] =(⑦，{a,e},{b,c,{c,{a,b,c},满足：(1)X属于r,