1.1 集合的概念-【考点同步解读】2024-2025学年高中数学必修1（人教A版2019）

第一章 集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念 高考要求 学业标准·考情分析 一学科素养 →考点分布 一_学法导引, 1.一般地,我们把一些元素组成的总体叫作集合; 1.通过实例了解集合的定 但这只是集合的一个描述,并不是集合的准确定义,集 数学抽象。 义,体会元素与集合间的 逻辑推理 合是数学中最基本的概念,它不能“被定义”,而只能用 属于关系.(★) 来定义“别人” 2.集合中的元素有三个特性:确定性、互异性 无序性,特别是互异性,这是一个常考的考点,简明 2.能通过自然语言、图形语 数学抽象、 地讲,集合肯定是一些元素组成的全体,但反过来, 言、集合语言描述不同的具 “全体”未必是集合 体问题,感受集合的意义 数学运算 3.集合常用的三种表示方法各有优点,用什么 和作用.(★★★) 方法要具体情况具体分析 考点分类 考点透析·典例剖析 考点 元素与集合的概念及元素的三个特性 ·核心总结: 难点突破 1.元素与集合的含义及符号表示 1.集合是什么?什么是 元素 把研究对象统称为元素 集合? 集合 把一些元素组成的总体叫作集合(简称为集) (1)集合是数学中最基本 的概念,就如几何中的点、线 符号表示 通常用大写拉丁字母A,B.C....表示集合,用小写拉丁 面一样是无法“被定义”的,就 字母a,b.c....表示集合中的元素 像原料,你可以用它来制造产 2.元素的三个特性 品,但你不能用什么来制造原 含义 示例 特性 料,所以,我们只能用描述性 给定一个集合,任何一个对象在 集合A一(1,3,5),可知1在 的语言来说明,而无法去定义 确定性 不在这个集合中是确定的 集合A内,4不在集合A内 集合,正因为如此,我们只能 集合中的任何两个元素都不相 判断什么是或者不是集合,却 集合3x,文)中的x应满足 互异性 同.也就是说,集合中的元素是 无法定义集合是什么 3x去r”,即x0且x3 不重复出现的 (2)集合概念中的对象所 指非常广泛,现实生活中我们 无序性 组成集合的元素间无先后顺序 集合(1,2,3)和(2,1,3是 之分 同一个集合 看到的、听到的、闻到的、触提 到的、想到的各种事物或一些 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RA& 3.集合的相等 抽象的符号,都可以看作对 象,即集合的元素 只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合 (3)集合是某些确定元素 是相等的,例如,集合(一1,1)与集合(1,一1)是相等的 组成的总体. 。考题1(2024,四川成都七中月考)下列各组描述的对象 2.如何认识集合中元素 ). 的三个特性? 可以组成集合的是( (1)确定性是指集合中的 A.数学必修一课本中所有的难题 元素是确定的,即对于任何一 B.小于8的所有质数 个对象,我们都能明确判断出 C.平面直角坐标系内第一象限的一些点 它是否是某个集合中的元素 D. 所有比较小的正数 确定性是判断一组对象是否能 】 解析A中“难题”的标准不确定,所以不能构成集合;B能构 构成集合的标准. (2)互异性是指对于一个 成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些 给定的集合,它的任意两个元 点”中无法确定,所以不能构成集合;D中“比较小”没有明确的标 素都是不同的,简单地说,一个 准,所以不能构成集合 集合中不能出现相同的元素. B (3)无序性是指集合中的 。变式1-1 (2024,湖南师大附中月考)下列对象能构成集 元素是没有先后顺序的,如由 合的是 “1,2,3”和“3,2,1”组成的集 (填写所有正确的序号) 合是同一集合. ①所有的正三角形 ②比较接近1的全体正数; ③约等于0的实数 5方法梳理 考题2(2024,东北师大附中单元测试)集合A中有三个 1.判断一个全体是否能 元素1,x,^一x,则x所满足的条件是 构成集合的方法--标准确 定法 解析根据集合中元素的互异性可知 判断一个全体是否能构 x71, [x1. 成一个集合,其关键是对确定 {x”一:,→ x-0且x-2. 性标准的把握,即根据这个标 -1 1 准,可以明确判定一个对象是 或者不是给定集合的元素. 且平 2.有关集合元素“三个特 2 性”的题型和解题方法 1-5 (1)根据集合中元素的确 定性可以解出字母的所有可 -0且x1且x2且-1+ 11-5 答案 能的值,再根据集合中元素的 2 2 互异性对集合中的元素进行 点考题2还可以变式为一类条件比较隐蔽但却需要利用 检验,另外,在利用集合中元 元素互异性来处理的问题(如集合中的三个元素1.m,n不能作为 素的特性解题时要注意分类 正三角形或等腰三角形的边而构成三角形),也可以变式为若干 计论息想的运用 第一章> 集合与常用过辑用语/ 个含参元素组成的集合的元素个数的确定问题,如变式1-2. (2)分类讨论的基本步骤 。变式1-2(2024,河北衡水中学月考)在由实数x,-x. ①确定分类主体以及分 lxl,,一V^所组成的集合中,含有元素的个数最多为 类主体的范围. . ②确定分类标准。 ( ③逐类讨论 A.2 B.3 C.4 D.5 ④归纳综述结论 。考题3 (2024,江苏启东中学单元测试)已知集合A由a (3)集合中若有两个元 a+b.a十2b三个元素组成,集合B由a,ac,ac^{}三个元素组成,若 素,则要列一个不等式,若有 A-B,则c-. 三个元素,则要列含三个不等 解析分两种情况进行讨论. 式的不等式组,其依据就是集 合中元素的互异性,如考题2. 了 1) 田 ①若a十b-ac,且a+2b-ac*, 消去b,得a十ac2-2ac-0. 当a一0时,集合B中的三个元素均为0,和元素的互异性相 矛盾,故a去0. 规律总结 所以c*-2c十1-0,即c-1,但c-1时,B中的三个元素都相 . 同,故不符合题意 1.判断集合中元素的个 ②若a十b-ac②,且a+2b-ac 数时,注意集合中的元素必须 满足互异性. 消去b,得2ac②}-ac-a-0 2.若集合中的元素含有 因为a去0,所以2c*-c-1-0 参数,要抓住集合中元素的互 即(c-1)(2c十1)-0. 异性,采用分类讨论的方法进 行研究. 签 规律总结 点讲 考题3还可以变式为由集合相等的条件求参数表达式 集合相等问题的求解步骤 的值的问题. 1.根据集合相等的定义 D 变式1-3 (2024:湖南雅礼中学期中测试)下列说法中正 及元素的互异性建立方程组 确的是( 。. 2.解方程组 A.单词book的所有字母组成的集合的元素共有4个 3.代回检验,剔除不符合 B.若a,b,c.d为集合A中的4个元素,则以a,b,c.d为边长 集合构成条件的值 构成的四边形不可能是菱形 4.作出回答 C.将小于10的自然数按从小到大的顺序排列和按从大到小 的顺序排列,可构成两个不同的集合 D.集合M-(3,4)与N-(3,4))表示同一个集合 3题 考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 考点 元素与集合关系的判断及应用 ·核心总结· 难点突破 1.元素与集合的关系 1.如何认识元素与集合 关系 概念 记法 读法 的关系? (1)a-A与aA取决于 如果a是集合A中的元素,就 属于 a属于 aA 集合A a是不是集合A中的元素,根 说a属于集合A 据集合中元素的确定性可知 如果a不是集合A中的元素, a不属于 不属于 对于任何a与A,aéA或a aA 就说a不属于集合A 集合A A这两种情况必有一种具只 1 口 到 有一种成立. 2.常用数集及表示符号 (2)符号“仁”“号”表示元 非负整数集 名称 正整数集 有理数集 整数集 实数集 素与集合的关系,不能用来表 (自然数集) 示集合与集合之间的关系,这 7 N·或N. R 符号 0 一点要牢记 2.常用的数集符号N. N.,N.有什么区别? 考题4 (2024,湖南十二校高一联考)集合A是由点 (1)N为非负整数集(即 (##)(heZ)构成的集合,则下列选项中是集合A中的元素的 自然数集),而N和N 表示 ). 正整数集,N包括元,素0,而 是( N.和N.不包括元素0. #A.(13) B.(23) C.(3,4) D.(4.3) (2)N和N的含义是一 样的,初学者往往误记为N. 解集合A中元素的特征为(,)(ke乙). 或N. 3.你能画出常用数集间 的关系图吗? 二面。 (正整数集N* 或N 自然数 10) 集N 对于C。#3>-9. .-4→h-16,k不相同,不满足题意. 负整数集 “3 分数集 无理数集 答案 D 。变式2-1 (2024,湖北黄冈中学月考)已知集合A由满足 条件x^{2}一x的元素构成,则下列判断正确的是( ). A.-1A B.1EA C.0A D.2A 第一章> 集合与常用过辑用语/ 考题5 (2024,辽宁四校高一期中联考)若集合A由三个 2方法梳理. 元素m-1.3m.m{}-1组成且3 A.求实数m的值 1.判断元素和集合关系 解析 分三种情况进行讨论 的两种方法 ①若m-1-3,则m-4,此时3m-12,m}-1-15,故m-4 (1)直接法 符合题意; ①使用前提:集合中的元 ②若3m-3,则m-1,此时m-1-n}-1-0,舍去; 素是直接给出的 ③若n^{}-1-3,则m=士2,经检验,m-士2符合题意 ②判断方法:判断该元素 综上可知,m-4,2或-2. 在已知集合中是否出现即可, 。 变式2-2 (2024:江苏盐域中学期中测试)集合A由满足 此时应首先明确集合是由哪 ). 条件3x+2>m的元素x组成,若-1EA,则( 些元素构成的. A.m-1 Bm>-1 (2)推理法 C.m<-1 D.m>-1 ①使用前提:对于某些不 6考题6 (2024,北京人大附中单元测试)设实数集S是满 便直接表示元素的集合。 足下面两个条件的集合: ②判断方法:判断该元素 是否满足集合中元素所具有的 特征即可,此时应首先明确已 知集合中的元素具有什么特 征,即该集合中的元素要符合 (2)若26S.则在S中必含有另外两个数,试求出这两个数 什么表达式或满足哪些条件. (3)集合S能否是单元素集(即集合中只有一个元素)?若 2.已知元素与集合的关 能,把它求出来;若不能,说明理由. 系求参数的思路 (4)求证:集合S中至少有三个不同的元素 当aA时,若集合A是 1-11-0 用描述法表示的,则a一定满 足集合中元素的共同特征,如 满足方程(组)不等式(组) n 等;若集合A是用列举法表示 的,则a一定等于集合A中的 某个元素,反之,当aA时, 1-(-1#.# 结论相反. 利用上述结论建立方程 ###时,# ## --2S,又回到了开始. (组)或不等式(组)求解参数即 可,注意根据集合中元素的互 因此当26S时,一定有-16S.<S. 异性对求得的参数进行检验。 一3~0,故方程无实数根,因此集合S不能为单元素集 5题 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RJA乡 ②若a-1-1,则a^{}-a+1-0,无解, ③若一□ 11-1,则a^*}-a+1-0,无解, a 综上所述,集合S中至少有三个不同的元素. 。变式2-3 ] (2024,江西师大附中单元测试)已知集合A由 满足特征x=m十2n(m,nEZ)的元素x组成 回 料 合A的关系. (2)设x,xA.求证;x·xA 考点3 集合的表示方法 ·核心总结· ☆难点突破) 1.自然语言法 a与)的区别 自然语言法 a与a)是完全不同的, 用文字叙述的形式描述集合的方法叫作自然语言法 a表示一个集合,这个集合 示例 不大于10的正整数组成的集合 由一个元素a构成,a是集合 2.列举法 a的一个元素。 △规律总结, 把集合中的元素一一列举出来,并用花括号“()”括起来表 1.用列举法表示集合时, 列举法 示集合的方法叫作列举法 首先要明确集合中有哪些元 la.a.a...,a.) 素,然后再在“)”内将元素一 一般形式 一列举出来,在该过程中必须 “中国古代四大发明”组成的集合用列举法可表示为(火 注意以下几点: 示例 药,造纸术,活字印刷术,指南针 (1)元素之间必须用“,” 隔开。 第一章> 集合与常用适辑用语/ 3.描述法 (2)集合的元,素必须是明 确的. (3)不必考虑元素出现的 设A是一个集合,把集合A中所有具有共同特征P(x)的 先后顺序. 描述法 元素x所组成的集合表示为{xAP(x)),这种表示集合 (4)集合中的元素不能 的方法称为描述法 重复。 (5)集合中的元素可以是 任何事物. (x P(x)),其中x是表示集合元素的一般符号,P(x)是这 一般形式 2.将特征性质用描述法 个集合中元素的共同特征 表示的集合转化为用列举法 表示时,特别要注意元素是什 么,元素的限制条件是什么。 示例 不等式x-2>0的解集用描述法表示为(xx>2 看懂集合的具体意义是关键, 1 特别要注意元素所满足的限 制条件。 D考题7 (2024.陕西榆林十中月考)集合A-{xN 方法梳理 1.识别集合含义的方法 (1)看代表元素,例如,xl P(x))表示数集,((x,y)| B.1,2 A./3,6 P(x,y)表示点集 (2)看条件,例如,xly一 C.(0.1,2 D.-2,-1,0,1.2 r}表示使y一r有意义的文 的范围,因此xy一x一R: 解析 yly-r”)表示使y-r”有意 义的y的范围,因此yly-r) -3.因为x-N*,所以集合A=1,2. 一(yl0);(x,y)yr 答B 表示满足y一r^{}的点的集合, 即函数y一r*}的图象上的点 D考题8 (2024,广东深圳中学期中测试)已知集合A= 集。 ). ((x.y)r十<3,xZ,yz,则A中元素的个数为 2.选择恰当的集合表示 方法 A.9 B.8 C.5 D.4 (1)当集合中元素的个数 有限且共同特征难以概括时, 解析 因为x^+}<3,所以x<3.又xZ,所以x=-1或$ 只能用列举法,例如工,r十 0或1.当x--1时,y--1或0或1;当x=0时,y--1或0或 1,2-. (2)当集合中的元素无法 1;当x-1时,v=-1或0或1.综上,集合A中元素的个数为9. 一一列出时,可先抽象出元素 的共同特征,再用描述法表示。 (3)当集合中的元素不是 变式3-1 (2024,山东烟台一中期中测试)已知集合A一 实数或式子时,可用自然语言 表示。 -1,0,1,2 ,B=1,2 ,C=xlx=ab,aA,bEB,则集合C= 考点同步解读> 高中数学 必修 第一骨 RA& 考点 集合的含义与表示的综合问题 ·核心总结· 难点突破 1.集合与方程有密切的联系,利用集合中元素的特性,即 1.求方程ar十hr十e-0 元素的互异性、无序性、确定性,再结合方程的解,可以求出集 的根时应注意什么? 合中参数的值,求集合中参数的值常与方程的知识相联系,如 对于“方程ar十bx十c三 借助方程的根与系数的关系,再结合集合中元素的三个特性, 0”,要分两种情况加以讨论: 通过解方程(组),可以求出集合中参数的值 (1)当a-0,b去0时,该 方程是一元一次方程. 2.新定义集合问题能有效地考查学生快速学习的潜能.因 (2)当a:0时,该方程是 为新定义集合问题的情景新颖,并体现了“背景公平”的原则; ] 到 一元二次方程,也只有在这种 所以新定义集合问题一直被高考命题者所青睐,成为热点问 情况下才能用判别式“△”来确 题,解决这类问题的关键在于准确理解新定义,灵活地进行集 定方程实数根的情况 合语言之间的转换,达到“化新为旧”(即将新定义转化到原有 2.新定义集合问题的特 的知识体系之中)的目的. 点是什么? 集合命题中与运算法则 。考题9(多选)已知集合A-{x-Rlax-3x十1-0,a 相关的问题已经成为新课标 R,则下列说法中正确的是( ). 高考的热点,这类试题的特点 A.若1A,则a-2 是:通过给出新的数学概念或 新的运算方法,在新的情况下 完成某种推理证明或指定要 C.若A中有两个元素,则a一 求,常见的类型有定义新概念。 新公式、新运算和新法则等 D.若A中至多有一个元素,则a或a-0 规律总结... 解析把x一1代入方程,得a一2,故A正确. 1.对于集合与方程的综 若A中只有一个元素,则分两种情况: 合问题,一般要对方程中最高 (1)当a-0时,方程为-3x十1-0; 次项的系数的取值进行分类 (2)当a-0时,有△-9-4a-0,即a- 讨论,确定方程的形式和方程 的根的情况,进而求得结果。 若A中有两个元素,则a≠0且△-9-4a→0,即a-且a- 需特别关注判别式在讨论一 元二次方程的实数根个数中 0.故C错误. 的作用。 若A中至多有一个元素,则分两种情况, 2.利用集合中的元素特 (1)方程无解,即a-0且△-9-4a<0,解得a> 征解决与方程有关的问题,首 先是将集合语言具体化,从而 (2)方程只有一个解,即a=0或a一 转化为自然语言,使它们描述 的语言形象化、直观化,这也 AD 是解决此类问题的常用技巧. 18 第一章> 集合与常用适辑用语/ 变式4-1 (2024,吉林二中月考)已知集合A一x ax十 3.对于一些已知某个集 2x+1-0),若A中只有一个元素,则a的值为( ). 合(此集合中涉及方程)中的 B.-1 A.0 C.0或1 D.0或-1 元素个数求参数的问题,常把 。考题10(2024,辽宁盘锦一中期中测试)已知A,B是两 此集合的问题转化为方程的 解的问题,如对于方程ar②十 个集合,定义集合A*B=x x=y-z.yEA,zEB.若M=0. br十c-0,当a-0,b去0时. 1.2,N-(-2,-3,则NxM-( ). 方程有一解:当a子0时,若A A.{2.3.4.5) B.(0.-1,-2.-3 一0,则方程有两个相等的实 C.(1.2,3,4 D.(-2,-3,-4,-5 数根,若△0,则方程无实数 解析:AxB={xlx-y-z,yA,:B. 根,若△一0,则方程有两个不 ..N¥M-xlx=-.yN,M 相等的实数根。 1 田 .yN,N--2.-3,.y--2.-3. 4.新定义问题就是在现 .M,M-0,1,2,=0,1,2. 有运算法则和运算律的基础 '-y-z--2,-3,-4,-5. 上定义一种新的运算,并运用 它解决相关问题,新定义可能 .*.N×M--2.-3,-4.-5 以文字形式出现,也可能以数 答D 学符号或数学式子的形式出 D 变式4-2 (2024,江西鹰潭一中月考)给定集合S一(1,2. 现,如“A*B”“A-B”等。 3.4,5,6,7,8,对于xS,如果x十1S.x-1S,那么x是$ 5.对于集合的新定义问 的一个“好元素”,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元 题,在解题时要能正确理解所 素”的集合共有 ). 给的新定义并找到集合中元 C.9个 A.6个 B.12个 D.5个 素的特点. 对标演练 分级测评·限时特训 基础过关练 限时25分钟.. D.M-((1,2)),N-{1,2) 1.考点1(2024,云南大理一中周练)下列各选 3.考点2(2024,重庆一中月考)下列关系中正 确的个数有( ). 项中不能组成集合的是( ). ①R;②/2Q;③πEQ;④l-31N; A.所有的整数 B.所有大于0的数 -V4乙 C.班上所有长得帅的同学 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D.所有的偶数 4.考点1由a②,2-a,4组成一个集合A,A中含 2.考点1(2024,河北枣强中学月考)下列各组 有3个元素,则实数a的取值可以是( ). 集合中表示同一个集合的是 ). A.1 B-2 C.6 D.2 A.M-(3,2)),N-(2,3) 5.考点1.3下列集合:①(1,2,2):②R-(全体 BM-3.2.N-(2.3 实数;③3,5;④不等式x-50的解集 C.M-(x,)x+y=1,N-yx+y=1 为-50. 考点同步解读> 高中数学 必修 第一哥 RA乡 其中,集合表示方法正确的是 (填 被4除余数为(b-0,1,2.3)的整数组成的 序号). 集合为A,即A =x x-4n+k,nEZ,则 6.考点1(2024,安徽合肥一中月考)已知含有 下列结论中正确的是( ). A.2023CA B.若a+bEA,则aA,bEA 表示成(a②,a十b,0》,则2a+b- C.-1-A 高考提能练 限时50分钟- D.若aA,bEA,则a-bA 1.考点1已知集合A-(2,-1),集合B-m^ 7.考点1、4数集S满足:若a,bS,则必有a^②}, m.一1,且A一B,则实数m等于( ). ,abES.则满足条件且含有两个元素的数 A.2 B.-1 门 目 到 集S可以为 (写出一个即可). C.2或-1 D.4 8.考点3、4(2024,安徽阜阳一模)已知集合M 2.考点2设x一 中的元素为自然数,且满足xCM,8一x mm=a+②b,aE0,bE0,那么x,y与集 M,则满足题设条件的集合M共有多少个? 合M的关系是 ). A.xEM.yEM B.xM.yM C.xM,yM D.xM.yM 3.考点3(2024,福建龙岩一中月考)已知x,y 均为非零实数,则集合M-{m-+ #+#)# 用列举法可表示为( ). A.(0,3 B./1.3 C.-1,3 D.(1,-3) 4.考点4(2024,陕西安康中学月考)已知集合 A-0,1,2,9 ,B-l-R,-2A,$ 24A),则集合B中所有元素之和为( 。 A.0 B.2 C.-1 D.-2 5.考点4现定义一种运算,当n,n都是正偶 实验班选做题 数或都是正奇数时,nn一m十n;当m,n中 限时10分钟 一个为正奇数,另一个为正偶数时,n 1.(2024,湖北武汉二中月考)若集合a,b,c.d mn.则集合M-((a,b) a⑧b=16,aéN*. - 1,2,3,4),在①a=1,②b1,③c-2,④d 6N中元素的个数为( ). 去4这四个关系中有且只有一个是正确的 A.22 C.17 D.15 B.20 则有序数组(a,b,c,d)的个数为( ). A.5 B.6 C.7 6.考点4(2024,湖南长沙一模)(多选)设所有 D.8 110参考答案与提示 第一章集合与常用逻辑用语 =(1-2√2)2=9-42=9+(-4)×2， 1.1集合的概念 因为9，-4∈Z,所以x2∈A 【变式训练】 (2)因为x,x∈A,所以可设x=m十√2m,=m+ [变式11]①.[①能构成集合，其中的元素是满足 √2，且m,m,m,2∈Z 三条边相等的三角形：②中“比较接近1”的标准不明确， 所以x1·=(1十√21)(m十√22) 元素不确定，故不能构成集合：③中“约等于0的实数” =mm2十√2(m十m1内)十2h 不能被明确界定，元素不确定，故不能构成集合.] =(mm4+21n)+√2(n+m1n:). [变式1-2]A[:√=x,-√F=-lx, 因为mm:十2∈Z,mn十m∈Z .当x=0时，这几个实数均为0：当x>0时，它们分别 所以·x∈A. 是x,一xx,x,一x:当x0时，它们分别是x,一x,一x [变式31]{-2，-1,0,1,2.4. 一x,x.,该集合最多表示2个不同的数，故集合中的 [变式+1]C[因为集合A是方程ax2+2x十1=0的 元素个数最多为2.] 解集，所以当a=0时，A=(一受，符合题意，当a≠0 [变式1-3)B 时，方程ax2+2.x+1=0应有两个相等的实数根，则△ 选项正误 原因 4一4a=0,解得a=1,此时A=(一1}，符合题意.综上 单词xok中的字母o有重复，所以共有 a=0或1.] 3个不同的字母，因此单词ook的所有 [变式+2]A[若不含“好元素”，说明集合S中的三 字母组成的集合的元素个数是3 个数必须连在一起，故不含“好元素”的集合有{1,2,3}， 因为a,b,c,d是集合A中的4个元素， (2,3,4},{3.4,5},(4,5,6},{5,6,71,6,7,8},共6个」 B 所以a,b,c,d互不相等，因此四边形的 【基础过关练】 四边长互不相等，故不可能是菱形 LC 小于10的自然数不管按哪种顺序排列， 2.B[选项A,两个集合中的元素是有序数对，显然元 构成的集合里面的元素都是0,1,2,3,4， 素不同，不是同一个集合：选项B,两个集合都表示由 5,6,7,8,9这10个数，集合是相同的 2,3这两个元素构成的集合，是同一个集合：选项C, 集合M={3,4}表示由数3,4构成的集 集合M表示的是直线x十y=1上的点，而集合N表 合，集合中有两个元素，集合N={(3, 示的是直线y=1一x上的点的纵坐标，不是同一个集 D 4)}表示点集，集合中有一个元素，故集 合：选项D,集合M中的元素是有序数对，而集合N 合M与N不是同一个集合 中的元素是1,2两个数，不是同一个集合，] [变式2-1]B[(-1)2≠-1,1=1,0=0,22≠2，所 3C[?为实数，故①正确2是无理数，故②正确：π 以-1A,1∈A,0∈A,2EA.] 是无理数，故③不正确：一3|=3∈N,故④不正确： [变式2-2]A[因为集合A={x3.x十2>m,一1∈ 一√4=-2∈Z.故⑤正确.综上，①②⑤正确.] A.所以-3十2>m,即m<-1.] a2≠2-d, [变式2-3](1).x=-√2=0+(-1)×w2. 4.C[由题意知a2,2-a,4互不相等，即a2≠4，解 因为0，一1∈Z.所以∈A: 2-a≠4， ,12生y2-1+号×区，因为1z但号乙 得a≠-2，a≠1且u≠2.] 2-22 5.③.[①违背了集合中元素的互异性：②中“全体实数” 所以x2任A: 本身就是集合，不能再加大括号：①中用描述法表示解的 考点同步解读)高中数学必修第一册RJA色 集合，但未写出代表元素，应为{xx一5>01.门 a=a, ≠h.若a2=,则a=-b,故ab=-a2,又 或 6.一2.[由条件知，b中a为分母，所以a≠0，因为两 1-a2=b a=b, a=1, 个集合相等，所以集合中的元素相同，则么=0，即b 所以 a=-1, 或 所以S={一1， -a2=a, 16=-16=1. 0,此时集合为{a,0,1},{a,a,0},所以a2=1,解得 1).若a2=ah.则a=0,此时=b,故b=1,此时S= a=一1或a=1,当a=1时，不满足集合元索的互异 {0,1.若=ab则b=0,此时a2=a,故a=1,此时 性，所以a=-1.所以2a+b=一2.] S=(0,1.] 【高考提能练】 8.满足条件的集合M是由集合{4}，(0,8}，(1,7，{2， 1.C[由于两个集合相等，因此2一m=2,解得m=2 6},{3,5}中的元素组成的，它包括以下情况： 或m=-1.] ①由1个集合中的元素组成的有(4}，0,8}，{1,7}， 2Bg2音-音区.即-是6品 (2,6},{3,5},共5种： ②由2个集合中的元素组成的有{4,0,8，{4,1,7 y-3+2,即a=3,6=,:-音∈0.-音∈0， (4,2.6}.(4,3,5}.0.8,1,71.(0.8,2.6}.{0.8.3.5} 3∈Q,πQ,∴x∈M,ytM.] (1,7,2,6},1,7,3,5},{2,6.3,5,共10种： 3C[当x>0,y>0时，m=3:当x<0,y<0时，m= ③由3个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7}，{4,0， 一1一1十1=一1：若x,y异号，不妨设x>0,y<0,则 8,2.6},4,0,8.3.5,4,1,7,2,61,{4,1,7,3.5},{4. m=1+(-1)+(一1)=-1.综上，m=3或-1，即 2,6.3,5}.{0,8,1,7,2,6},{0,8,1.7,3,5},0.8,2,6, M={-1,3.] 3.511.7,2,6,3.5,共10种： 4.D[A={0,1,2,9},B={kk∈R,k-2∈A,k-2 ④由4个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7,2,6} A.①当k-2=0时，k=士2，k一2=士√2-2任A. 4,0,8,1,7,3,5},{4,0,8,2,6,3,5},{4,1,7,2,6,3 5},{0,8,1,7,2,6,3,5),共5种 满足条件：②当2一2=1时，k=土3，k一2=士3- ⑤由5个集合中的元素组成的有{4,0,8,1,7,2,6,3， 2任A,满足条件：③当一2=2时，k=士2，k=2时，k 一2=0∈A,所以k≠2，k=-2时，k一2=一4任A,满 5},共1种. 综上，满足题设条件的集合M共有31个， 足条件：④当k2-2=9时，k=土√T,k一2=土√T 【实验班选做题】 一2任A,满足条件.从而得到B={士2，士3，士√I, L.B[若①正确，即a=1,易知②也正确，不符合题意. 一2).所以集合B中所有元素之和为一2. 若②正确，则①③④错误，得d=4,c=1,a=2或a= 5.C[当a,b都是正偶数时，(a,b)可以是(2,14)，(4： 3,有序数组为(2.3,1,4)，(3,2,1,4)，共2个.若③正 12),(6,10),(8,8),(10,6),(12,4),(14.2),共7个： 确，则①②④错误，得a=3,b=1,d=4,有序数组为 当a,b都是正奇数时，(a,b)可以是(1,15)，(3,13)， (3,1,2,4),共1个.若④正确，则①②③错误，得b (5,11),(7,9),(9,7),(11,5),(13,3),(15,1),共8个： 当a,b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a,b)可以 1,a≠1，c≠2，d≠4，有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4， 2),(4,1,3,2),共3个，综上可知，满足题意的有序数 是(1,16)，(16,1)，共2个.所以满足题意的元素个数 为17.] 组的个数为6.] 6.ACD[2023=4×505+3,所以2023∈A,故A正 1.2集合间的基本关系 确：若a十b∈A,则a∈A:,b∈A或a∈A:,b∈A,或 【变式训练】 a∈A,b∈A或a∈A,b∈A,故B错误：一1=4× [变式11]C[A二B,即集合A中任意一个元素都是 (一1)+3，所以一1∈A,故C正确：令a=4n十k,b= 集合B中的元素，“A二B不成立”，则A中至少有一个 4十k,m,n∈Z,则a一b=4(n一m)十0，n一n∈Z,故 元素不属于B.了 a一bEA,故D正确.] [变式1-2]A=(1.2,3},B={1,2,3,4, 7.{0,1}(或{一1,1}.[不妨设S={a,b),根据题意有 6,8,12,24}, a2,ab,∈S,所以a°，行，ab中必有两个是相等的且a ,A二B,放可用如图所示的Venn图表示. c2