平面直角坐标系知识拓展（二）讲义-2024-2025学年北师大版数学八年级上册

平面直角坐标系拓展（二） 课前评估 总分10分 得分___________ 1．（2分）在平面直角坐标系中，点P（2，－3）关于关于y轴对称的点的坐标为__________． 2．（2分）若点P（2a－1，2a＋1）在x轴上，则点P的坐标为__________． 3．（2分）若点P（a－2，2a－1）在二、四象限夹角的平分线上，则点P坐标为__________． 4．（2分）若点A（－1，－2），B（－1，3），点M（2m＋1，1－m）到直线AB的距离为1，则点M的坐标__________． 5．（2分）已知点P（3＋a，2a－2）在第四象限，且点P到x轴的距离是到y轴的距离的2倍，则a的值为__________． 【本讲知识点归纳】 平面直角坐标系中的图形面积问题、等腰三角形的存在性问题 【学习目标】 1．能够根据平面直角坐标系中点的坐标计算三角形或四边形的面积． 2．能够解决平面直角坐标系中等腰三角形的存在性问题． 【教学重难点】 求不规则图形的面积、点的横纵坐标及面积和差在面积计算中的灵活运用、分类讨论等腰三角形的存在性问题． 第一部分 基础知识过关 考点1：平面直角坐标系中的图形面积问题 知识点与方法技巧梳理： 1．当三角形有一边在坐标轴上或与坐标轴平行时，就以这条边为底边，它的长等于这两个点的横坐标（或纵坐标）差的绝对值，它的高等于第三个顶点的纵坐标（或横坐标）的绝对值或第三个顶点到这条边所在直线的距离． 【例】已知点A（－3，2），B（0，－1），点C在y轴上，△ABC的面积为12，求点C的坐标． 【变式1】已知点A（2，4），B（2，1），点C在x轴上，△ABC的面积为9，求点C的坐标． 【变式2】已知点A（－2，3），B（4，3），点C在y轴上，△ABC的面积为15，求点C的坐标． 2．当三角形的三边都不与坐标轴平行时，一般利用“割补”法，把不规则的图形转化成规则的图形（例如：补成长方形、梯形）． 第二部分 能力提升 ( y A B C O x )【例】已知点A（－1，－2），B（6，2），C（1，3），求△ABC的面积． ( O B A C x y )【变式1】如图，在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（－2，5），B（－6，4），C（－7，0），求四边形OABC的面积． ( B y x A O )【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，2），C（a，4），若△ABC的面积为9，求a的值． ( A B C y x O )【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，5），B（1，2），C（5，3），D（4，m），若S△ABD ＝ S△ACD ，求m的值． ( O x y B A C )【变式4】在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B（0，），以线段AB为直角边在第一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC＝30°，若点P（m，）为坐标平面内一点，使得△APB与△ABC面积相等，求m的值． 【变式5】如图，在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，2），点C在第一象限内，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°． ( B y x C A O )（1）求点C的坐标； （2）点P（1，a）为坐标平面内一点，且△ABP与△ABC的面积相等， 求a的值． 【变式6】如图，在平面直角坐标系中，已知点B（a，b），线段BA⊥y轴于A，线段BC⊥x轴于C，且( a＋4 )2＋＝0． （1）求A、C两点的坐标； （2）若点D是AB的中点，点E是线段OD上一动点，记点E的横坐标为m，试用含m的代数式表示△AEC的面积； ( x C O A y B D E )（3）在（2）的条件下，当点E运动到OD的中点时，请在y轴上确定一点P，使得△AEP为等腰三角形．（直接写出P点坐标，不用书写过程） ( y O E x D C B A P Q )【变式7】如图，在平面直角坐标系中，AB∥CD∥x轴，BC∥DE∥y轴，且AB＝CD＝4cm，OA＝5cm，DE＝2cm，动点P从点A出发，沿A→B→C路线运动到点C停止；动点Q从点O出发，沿O→E→D→C路线运动到点C停止．P、Q两点同时出发，且点P的运动速度为1cm/s，点Q的运动速度为2cm/s．设运动时间为t s． （1）直接写出B、C、D三点的坐标； （2）当t＝__________s时，求△OPQ是等边三角形； （3）当t＝5.5s时，求△PQC的面积； （4）设△OPQ的面积为S，求S关于t的关系式． 第三部分 满分冲刺 考点2：平面直角坐标系中的等腰三角形的存在性问题 知识点与方法技巧梳理： 利用对称性及勾股定理建立方程解决． ( x A B y O )【例】在平面直角坐标系中，点A（2，－4），B（－2，0），点P是x轴上一点，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标． ( x A B y O )【变式1】在平面直角坐标系中，点A（2，－3），B（－2，0），点P是x轴上一点，使△PAB为等腰三角形，求点P的坐标． 【变式2】如图，在平面直角坐标系xOy中，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB＝10，点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC－CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒． （1）求△OPD的面积S关于t的函数解析式； ( O x A C B D y )（2）点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第四部分 培优提尖 ( y O D A x B C P )1．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A（9，0），C（0，4），D（5，0）．点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC－CB－BA运动，设点P的运动时间是t（s）． （1）当点P在CB上，求OP＋PD的最小值及此时点P的坐标； （2）当t为何值时，△OPD是等腰三角形？（直接写出结果） 2．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A（0，4），C（9，0），D（5，0）．点P从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OA－AB－BC运动，将△OPD沿PD翻折得到△O′PD，设点P的运动时间是t（s）． （1）当点P在OA上时，O′P、O′D分别交AB边于点E、F，若△O′EF≌△AEP； ①用含t的代数式分别表示线段的长：O′F＝____________，AF＝____________； ②求点P的坐标； （2）当t为何值时，点O′ 恰好落在长方形OABC的一条边上？ ( O D C x P y B A O ′ E F ) ( O D C x y B A 备用图 ) 【学习评估】 1．已知点A（－2，1），B（－2，－3），点C在x轴上，使△ABC的面积为8，求点C的坐标． ( y x O C A B )2．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，9），点B在第一象限，AB＝8，点C在x轴正半轴上，∠BAC＝90°，且四边形OABC的周长为46，求点C的坐标． ( x y C E F B N O M A )3．如图，以长方形OABC的顶点O为原点，OA所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，点F是线段BC一点，BF＝2CF，在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由． 【知识过手训练】 姓名___________ 等级___________ 1．（3分）如图，已知点A（3，4），B（1，1），C（4，2），△ABC的面积为___________；点P为坐标轴上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，点P的坐标为_____________． 2．（3分）如图，已知点A（5，4），B（1，1），点P为x轴上一动点，使得△PAB为等腰三角形，点P的坐标为______________________． ( x A B C O y ) ( O x y A B ) 3．（4分） ( A B C D O E x y )如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形ABCD是长方形，顶点B、D的坐标分别为（5，0），（－1，3），点E（3，0）在x轴上，点P在长方形的各边上运动，使△OPE为等腰三角形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$平面直角坐标系拓展（二） 课前评估1.(-2，-3) 2.(-2,0) 3.(-1,1) 4.(0,32) 5. -1 第一部分基础知识过关 考点1：平面直角坐标系中的图形面积问题 【例】C1(0,7),C2(0,-9) 【变式1】C1(8,0),C2(-4,0) 【变式2】C1(0,8),C2(0,-2) 第二部分能力提升 【例】△4BC的面积为272 【变式1】四边形OABC的面积为25 【变式2】a=6或- 12 【变式3】m=5或-1 【变式4】m=116或-56 【变式5】(1)C(5,3):(2)a=-3 或173 【变式6】 解：(1)，(a+4)2+a+2b=0,.a+4=0,a+2b=0,.a=-4,b=2,A(0,2),C(-4,0) (2)当点E在AC下方时，S△4c=SA4C0-S△4O-S△CBO =12×4×2-12×2×(-m)-12×4×(-m)=4+3m 当点E在AC上方时，S△4Cg=SAM8O+S△cg0-S△4C0=12X2×(-m)+12×4×(一m)-12×4X 2=-3m-4 (3)P1(0,2+2),P2(0,1),P3(0,2-2),P4(0,0) 【变式7】 (1)B(4,5),C(4,2),D(8,2) (2)353 A B (3)点P在BC上，点Q在CD上 C D PC=1.5cm,CO=3cm,SAFc=1 2 OD.EF=94 (cm2 (4)①当0<1≤4时，点P在AB上，点Q在OE上O E S=12×2f×5=5t(cm2) B ②当4<1≤5时，点P在BC上，点O在DE上 S=S△POP+S梯形PFEQ-S△Qo8 =12×4×(9-)+12×4×(9-t+21-8)-12×8×(21-8) =52-8t B ③5<t≤7时，点P在BC上，点Q在CD上 S=S△PAoP+S梯形PaQ-S△eoG =12×4×(9-)+12×(14-21)×(9-t+2)-12×2×(18-4 GE x =12-181+77 第三部分满分冲刺 考点2：平面直角坐标系中的等腰三角形的存在性问题 【例】P1(-2-42,0),P2(2,0),P3(42-2,0),P4(6,0) 【变式1】P1(-7,0),P2(98,0),P3(3,0),P4(6,0) 【变式2】(1)当点P在线段AC上时，S=6:当点P在线段BC上时，S=-21+16 (2)当BD=PD时，P1(6,2+27):当BP=DP时，P2(6,6):当BD=BP时，P3(6,10-27) B 第四部分培优提尖 1.(1)OP+PD的最小值为89，此时点P的坐标为(52,4) (2)=6或132或7或12或14 2.(1)①O℉=4-t,AF=:②点P的坐标为(0,103) (2)1=52或7或132 【学习评估】 1.C1(2,0),C2(-6,0) 2.解：OC+BC=46-(9+8)=29 设OC=x,则BC=29-x,AC2=x2+92 .AB2+AC2=BC2,.82+x2+92=(29-x)2 解得x=12,.C(12,0) 3.解：作点E关于x轴的对称点E',作点F关于y轴的对称点F',连接EF,分别与x轴、y轴交 于点M、N,连接FN、MM、ME,此时四边形NFE的周长最小 由题意，E(3,1),F(1,2),∴.EF=5,E(3,-1),(-1,2) ,BE=3,BF=4,.EF=5 M ∴.四边形MWFE的周长的最小值为5+5 E 【知识过手训练】 1.3.5:(5,0),(-9,0),(0,3),(0,-53) 2.(2,0),(8,0),(1+26,0),(1-26,0),(398,0) 3.P1(-1,22),P2(0,3),P3(32,3),P4(3,3),P(5,5) 3