湖北省武汉市江夏区第一中学2024-2025学年高一上学期数学周测卷（10月23日）

江夏一中高一数学10月23日周测卷 命题人：张胜言 审题人：张亚如 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2. 下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（    ） A． B． C． D． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征.已知函数的部分图象如图示，则函数的解析式可能为（    ）-1 1 A. B． C． D． 5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”.计费方法如表格所示：若某户居民本月交纳的水费为48元，则此户居民本月用水量是（    ） 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 A． B． C． D． 6．若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．定义在上的函数满足：对任意的，都有，且，函数关于直线对称，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．常用符号表示不超过的最大整数，如，已知函数与 的图象在区间上恰好有2个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列说法错误的是（    ）. A．函数在定义域内是减函数 B．若为偶函数，则关于对称 C．若的定义域为，则的定义域为 D．已知函数 在上是增函数，则实数的取值范围是 10．已知，则下列结论正确的是（    ） A．的最小值为16 B．的最小值为9 C．的最大值为1 D．的最小值为 11．函数，且，则（ ） A． 的值域为 B．的解集为 C． D． 3、 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 ； 函数的单调递减区间是 ． 13． 正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 14． 已知定义在上的函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，则不等式 的解集为 ． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分）已知命题；命题． (1) 若p是真命题，求实数a的取值范围； (2) 若p与q有且只有一个为假命题，求实数a的取值范围． 16．（满分15分）已知函数为幂函数，且在上单调递增． (1) 求的解析式； (2) 解关于的不等式 ，其中． 17．（满分15分）美国对中国芯片的技术封锁，激发了中国“芯”的研究热潮．某公司研发的A，B两种芯片都已经获得成功，该公司研发芯片已经耗费资金2亿元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1亿元，公司获得毛收入0.25亿元；生产芯片的毛收入（亿元）与投入的资金（亿元）的函数关系为，其图象如图所示．    (1) 试分别求出生产两种芯片的毛收入（亿元）与投入资金（亿元）的函数关系式； (2) 如果该公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片毛收入更大？ (3) 现在公司准备投入40亿元资金同时生产两种芯片，设投入亿元生产芯片，用表示公司 所获净利润，当为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润． （净利润芯片毛收入芯片毛收入一研发耗费资金） 18．（满分17分）函数对任意实数恒有，且当时，． (1) 判断的奇偶性并证明； (2) 判断在上的单调性并证明； (3）若对所有的均成立，求实数的取值范围． 19． （满分17分）设，若函数定义域内的任意一个都满足，则函 数的图象关于点对称；反之，若函数的图象关于点对称，则函数定义域内 的任意一个都满足． （1）若函数图像关于点对称，且当时，，求的值； （2）设函数． （ⅰ）证明：函数的图像关于点对称； （ⅱ）在（1）的条件下，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的 取值范围． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江夏一中高一数学10月23日周测参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A C B D C C 题号 9 10 11 答案 AD ABD BCD 三、填空题 12．第一空： （2分），第二空：或均可 （3分）； 13.； 14. 四、解答题 15.【详解】（1）命题p：，为真，则恒成立，等价于， …………（2分），令，由基本不等式可得，，…………（4分），当且仅当时，等号成立，即，…………（5分）， 所以 故实数a的取值范围为.…………（6分） （2）命题q为真命题：，，故，…………（7分）， 解得或…………（8分），由于p与q有且只有一个为假命题， ①p真q假：，故；…………（10分） ②p假q真：，故；…………（12分） 故实数a的取值范围为.…………（13分） 16.【详解】（1）因为为幂函数，且在上单调递增， 则，…………（3分），解得，所以；…………（5分） （2）不等式0，即…………（7分） 当，，即不等式解集为，…………（10分） 当，或，即不等式解集为，…………（12分） 当，或，即不等式解集为.…………（14分） 所以，当，不等式解集为， 当，不等式解集为， 当，不等式解集为.…………（15分） 17..【详解】（1）设投入资金亿元，则生产A芯片的毛收入.……（1分），将代入，得，解得，……（3分），生产B芯片的毛收入.……（4分）， （2）由，得；由，得；由，得.…………（6分） 当投入资金大于16亿元时，生产芯片的毛收入更大； 当投入资金等于16亿元时，生产芯片的毛收入相等； 当投入资金小于16亿元时，生产B芯片的毛收入更大…………（7分） （3） 由题意知投入亿元生产芯片，则投入亿元资金生产A芯片，公司所获净利润，…………（10分），令，则， ，…………（14分） 故当，即亿时，公司所获净利润最大，最大净利润为9亿元.…………（15分） 18.【详解】（1）是奇函数.…………（1分），由题意，函数对任意实数恒有，令得：，解得：.…………（2分） 取，则由得，∴，…………（4分） 即，∴函数是奇函数.…………（5分） （2） 是上的增函数，.…………（6分） 理由如下：任取，且，则，∵当时，，∴， 由得，∴， ∴，∴是上的增函数.…………（11分） 因为，恒成立，即， 即，又因为在定义域上单调递增， 所以恒成立，因为，所以， 所以在上恒成立，…………（13分），令，则， ，在上单调递增， ，…………（16分）， ，即．…………（17分）. 19． 【详解】（1）因为函数的图像关于点对称，则，令，可得．…………（3分） （2）（ⅰ）证明：由，得， 所以函数的图像关于对称．…………（7分） （ⅱ），则在上单调递增，所以的值域为，…………（8分）， 设在上的值域为A，则则，当时，，函数图象开口向上，对称轴为，且， ①当，即，函数在上单调递增，由对称性可知，在上单调递增，所以在上单调递增，因为，，所以， 所以，由，可得，解得．…………（11分） ②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，由对称性可知在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，结合对称性可得或， 因为，所以，，又，，所以，， 所以当时，成立．…………（14分） ③当，即时，函数在上单调递减，由对称性可知在上单调递减，因为，，所以，所以，由， 可得，解得． 综上所述，实数a的取值范围为．…………（17分） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$