专题08一次函数表达式的六种求法（六种技巧精讲精练+过关检测）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

专题08一次函数表达式的六种求法（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01定义型 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·甘肃白银·期中）下列函数中是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（20-21八年级上·陕西西安·阶段练习）若y＝（m﹣2）是一次函数函数，则其解析式为 ． 【例1-3】（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数为一次函数，求出此时函数的表达式． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】八年级上·江苏盐城·期中）若函数是一次函数，则函数解析式是 . 【变式1-3】（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式． 题型02坐标型 【典例分析】 【例2-1】（八年级·河北保定·期末）已知直线l经过点A（4，0），B（0，3）．则直线l的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝3x+4 C．y＝4x+3 D．y＝﹣3x+3 【例2-2】（八年级上·全国·单元测试）已知直线l经过点，，若将这条直线向下平移至恰好经过原点，则平移后直线对应的函数表达式为 ． 【例2-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点、点，求此一次函数的表达式． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和，则这个一次函数的表达式为 ． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数 的图象经过点与． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上． 题型03平移型 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·陕西渭南·期末）将直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【例3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）将函数图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）平面直角坐标系中，若一次函数的图象沿x轴向右平移3个单位后，所得到的图象表达式是，则函数的表达式为 ． 【变式3-3】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）根据要求解决问题： (1)在同一平面直角坐标系中画出和的函数图像； (2)直线和直线有什么共同点； (3)请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式． 题型04对称型 【典例分析】 【例4-1】（八年级上·北京昌平·阶段练习）函数与的图象关于x轴对称，且交点在x轴上，则该函数表达式为(     ) A． B． C． D．以上都不对 【例4-2】（八年级·陕西西安·期末）若一次函数与函数的图象关于x轴对称，且交点在x轴上，则这个函数的表达式为： ． 【例4-3】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数的图象经过点，与轴交点为，直线与轴的交点为，若点与点关于轴对称，求这个一次函数的解析式． 【变式演练】 【变式4-1】（2023八年级·全国·专题练习）一次函数，为常数，且与一次函数关于轴对称，则一次函数的表达式为(　　) A． B． C． D． 【变式4-2】（八年级上·陕西宝鸡·期末）若一次函数（）与一次函数的图象关于轴对称，且交点在轴上．则这个函数的表达式为 【变式4-3】（23-24八年级·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 题型05应用型 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【例5-2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为时，下表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么Ｔ与v的函数表达式可能是 ． 风速 0 10 20 30 40 风寒温度 5 3 1 【例5-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了______h； (2)求线段对应的函数表达式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·安徽亳州·期中）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（21-22八年级上·广东清远·期中）小明家离学校距离3千米，上学时小明骑自行车以10千米/小时速度走了x 小时，这时离学校还有y千米．写出y与x的函数表达式 ． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 题型06面积型 【典例分析】 【例6-1】（21-22八年级·上海·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是 ． 【例6-2】一条直线满足①经过第一、二、三象限，②和坐标轴围成的三角形的面积等于6，试写出一个满足条件的直线的函数关系式 ． 【例6-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线的解析式为 ． 【变式演练】 【变式6-1】（20-21八年级·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分交于点A，B，过点B的直线平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为 ． 【变式6-2】（20-21八年级·上海徐汇·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过(3，0)，则这条直线的解析式为 ． 【变式6-3】（八年级·全国·课后作业）已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此直线的函数表达式． 一、单选题 1．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，李爷爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为．边的长为 （），则y与x之间的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一个一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）动点的运动轨迹表达式为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为 ． 6．（2022八年级上·浙江·专题练习）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油，汽车行驶时正常的耗油量为，则油箱中剩余的汽油量关于加满后已驶里程的函数表达式是 ，自变量的取值范围 ． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 三、解答题 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于D，交于E，且使和的面积相等． (1)求的面积． (2)求直线l的函数解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08一次函数表达式的六种求法（六种技巧精讲精练+过关检测） 题型01定义型 【典例分析】 【例1-1】（23-24八年级上·甘肃白银·期中）下列函数中是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义，分别进行判断即可． 【详解】解：是二次函数，故不符合题意； 是一次函数，故符合题意； 中x的次数不为1，故不是一次函数，不符合题意； 中没有自变量，故不是一次函数，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查一次函数的定义，能够熟练掌握一次函数的定义是解决本题的关键 【例1-2】（20-21八年级上·陕西西安·阶段练习）若y＝（m﹣2）是一次函数函数，则其解析式为 ． 【答案】y＝﹣4x+5． 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：∵y=（m-2）xm2−3+5是一次函数函数， ∴m-2≠0，且m2-3=1， 解得：m=-2， ∴y=-4x+5， 故答案为y=-4x+5． 【点睛】此题考查待定系数法求一次函数解析式，关键是根据一次函数的定义得出m的值． 【例1-3】（21-22八年级上·陕西咸阳·期中）已知函数为一次函数，求出此时函数的表达式． 【答案】一次函数表达式为． 【分析】此题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得到，求出m，即可得到函数表达式． 【详解】解：由题意得：且， 解得， 这个一次函数表达式为． 【变式演练】 【变式1-1】（22-23八年级上·江苏淮安·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义解答即可． 【详解】解：A．自变量次数为，不是一次函数，故A不符合题意； B．分母中含有未知数，不是一次函数，故B不符合题意； C．自变量次数为，是一次函数，故C符合题意； D．分母中含有未知数，不是一次函数，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为． 【变式1-2】八年级上·江苏盐城·期中）若函数是一次函数，则函数解析式是 . 【答案】y=－8x－2 【分析】根据一次函数的定义得到k－4≠0 且|k|﹣3=1，由此解答即可． 【详解】由原函数是一次函数得：k－4≠0 且|k|﹣3=1，解得：k=－4． 所以，函数解析式是y=－8x－2． 故答案为y=－8x－2． 【点睛】本题考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【变式1-3】（22-23八年级上·安徽淮北·阶段练习）当为何值时，函数是一次函数？求该一次函数的表达式． 【答案】时是一次函数， 【分析】根据一次函数的定义得到，求出m，舍去不符合的结果，即可得到函数解析式． 【详解】解：由题意得：．解得或， 当时，， 所以应舍去， 所以， 这个一次函数表达式为． 【点睛】此题考查了一次函数的定义，求一次函数的解析式，正确掌握一次函数的定义是解题的关键． 题型02坐标型 【典例分析】 【例2-1】（八年级·河北保定·期末）已知直线l经过点A（4，0），B（0，3）．则直线l的函数表达式为（　　） A．y＝﹣x+3 B．y＝3x+4 C．y＝4x+3 D．y＝﹣3x+3 【答案】A 【分析】根据已知条件可直接写出函数表达式，清楚y=kx+b中k和b与x轴y轴交点之间的关系即可求解 【详解】解：∵A（4，0），B（0，3）， ∴直线l的解析式为：y＝﹣x+3； 故选A． 【点睛】此题主要考查一次函数的解析式，掌握k和b与直线与x轴y轴交点之间的关系是解题关键 【例2-2】（八年级上·全国·单元测试）已知直线l经过点，，若将这条直线向下平移至恰好经过原点，则平移后直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】先根据待定系数法求出函数解析式，然后再根据平移时k的值不变，只有b发生变化计算平移后的函数解析式． 【详解】设直线l对应的函数表达式为，把点A，代入，得，解得，所以，因为将这条直线向下平移至恰好经过原点，所以平移后直线对应的函数表达式为． 故答案为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式，注意细心运算． 【例2-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点、点，求此一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，熟知待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点、点， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 【变式演练】 【变式2-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）某一次函数的图象经过点，且y随x的增大而减小，则这个函数的表达式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟知函数图象上的点满足函数解析式是解题关键．根据一次函数的增减性可得，排除A，B，然后将点代入C，D选项的解析式验证即可． 【详解】解：根据一次函数y随x的增大而减小可得：，排除A，B， 把代入得，即该函数图象过点，不符合题意， 把代入得，即该函数图象过点，符合题意， 故选D． 【变式2-2】（24-25八年级上·全国·课后作业）已知一次函数的图象经过点和，则这个一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征，将点和代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图像经过点和， ∴， 解得：， ∴这个一次函数的表达式为． 故答案为：． 【变式2-3】（23-24八年级上·全国·单元测试）已知一次函数 的图象经过点与． (1)求这个一次函数的表达式； (2)判断点是否在这个一次函数的图象上． 【答案】(1) (2)点在这个一次函数的图象上 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入，即可判断． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点与． ， 解得 ， 这个一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 点在这个一次函数的图象上． 题型03平移型 【典例分析】 【例3-1】（22-23八年级上·陕西渭南·期末）将直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，根据上加下减即可得到答案． 【详解】解：函数平移，由“上加下减”可得到， 直线向上平移4个单位长度，所得直线的函数表达式是． 故选A． 【例3-2】（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的图象对应的函数表达式是， 故答案为：； 【例3-3】（23-24八年级上·安徽六安·期末）已知与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)将（1）中函数图象向上平移5个单位后得到直线，求直线对应的函数表达式，并回答：点是否在直线上？ 【答案】(1) (2)，不在 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，体现数学中的转化思想，掌握方法很重要： （1）根据与成正比例，则，将时，代入计算即可； （2）根据（1）中函数式和图象平移规律：“上加下减”写出直线对应的函数表达式，进行验证即可． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， 当时，, 所以, 解得，， ∴ ∴， 故y与x之间的函数关系式：； （2）解：由（1）知：， 所以将图象向上平移5个单位后得到直线， ∴直线对应的函数解析式为，即， 当时，故点不在直线上． 【变式演练】 【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期末）将函数图像向下平移2个单位长度，所得图像对应的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，根据“上加下减”的平移规律解答即可． 【详解】解：将函数的图象向下平移2个单位长度，所得函数图象的表达式是， 故选：A． 【变式3-2】（23-24八年级上·安徽亳州·期末）平面直角坐标系中，若一次函数的图象沿x轴向右平移3个单位后，所得到的图象表达式是，则函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，先确定平移后的关系式，再根据对应系数相等得出方程组，即可求出答案． 【详解】将一次函数向右平移3个单位长度得到的关系式为， 即， ∴， 解得， ∴函数表达式为． 故答案为：． 【变式3-3】（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）根据要求解决问题： (1)在同一平面直角坐标系中画出和的函数图像； (2)直线和直线有什么共同点； (3)请写出将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式． 【答案】(1)图见解析 (2)倾斜程度相同；都经过一、三象限 (3) 【分析】本题考查一次函数的图像平移： （1）根据题意，画出函数图像即可； （2）根据图像获取信息即可； （3）根据平移规则，写出函数关系式即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，， ∴直线过点； ∵， ∴当时，，当时，， ∴直线过点； 画图如下： （2）由图像可知：两条直线的倾斜程度相同；都经过一、三象限． （3）将直线向上平移5个单位长度后的函数关系式为：． 题型04对称型 【典例分析】 【例4-1】（八年级上·北京昌平·阶段练习）函数与的图象关于x轴对称，且交点在x轴上，则该函数表达式为(     ) A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】先求出这两个函数的交点，然后根据一次函数y=kx+b（k≠0）与函数的图象关于x轴对称，解答即可． 【详解】解：∵函数与的图象交点在x轴上 ∴解得 ∴ ∵函数与的图象关于x轴对称 ∴b=1 ∴k=-2 ∴ 故选A. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 【例4-2】（八年级·陕西西安·期末）若一次函数与函数的图象关于x轴对称，且交点在x轴上，则这个函数的表达式为： ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 先求出这两个函数的交点，然后根据一次函数与函数的图象关于轴对称，解答即可． 【详解】∵两函数图象交于轴， 解得：， ∵与关于轴对称， 故答案为：． 【例4-3】（21-22八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知一次函数的图象经过点，与轴交点为，直线与轴的交点为，若点与点关于轴对称，求这个一次函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，关于坐标轴对称的点的特征，一次函数与坐标轴的交点坐标． 先求出直线与轴的交点坐标，根据关于坐标轴对称的点的特征得出点的坐标，再待定系数法求一次函数解析式即可． 【详解】解：令，则， ∴直线与轴的交点为， ∵点与点关于轴对称， ∴， ∵一次函数的图象经过点，与轴交点为， 故将，代入可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：． 【变式演练】 【变式4-1】（2023八年级·全国·专题练习）一次函数，为常数，且与一次函数关于轴对称，则一次函数的表达式为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数解析式得出与轴的交点为，与轴的交点为，根据轴对称的性质得出经过点，，进而待定系数法求解析式即可求解． 【详解】解：一次函数， 当时，，即一次函数与轴的交点为 当时，，即一次函数与轴的交点为 ∵关于轴对称的点为， 则经过点，， ∴设该一次函数的图象关于轴对称的解析式为， ∴ 解得： ∴一次函数的表达式为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，待定系数法求解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式4-2】（八年级上·陕西宝鸡·期末）若一次函数（）与一次函数的图象关于轴对称，且交点在轴上．则这个函数的表达式为 【答案】 【分析】先求出这两个函数的交点，然后根据一次函数y=kx+b（k≠0）与函数的图象关于x轴对称，解答即可． 【详解】解：∵两函数图象交于x轴， ∴0=， 解得x=2， ∴0=2k+b， ∵y=kx+b与关于轴对称， ∴b=1， ∴k=， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知关于x轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 【变式4-3】（23-24八年级·广东汕头·阶段练习）如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q．若的面积为3，求点M的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或． 【分析】本题考查了一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是用含有字母的式子表示相关点的坐标和相关线段的长度． （1）先确定出点坐标和点坐标，进而求出点坐标，最后用待定系数法求出直线解析式； （2）设点，则点，点，则，最后用三角形面积公式即可得出结论． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ． 由得：，解得， ， 点与点关于轴对称． 设直线的函数解析式为， ，解得， 直线的函数解析式为； （2）解：设点，则点，点， 过点作于点， 则，， 则的面积，解得， 故点的坐标为或． 题型05应用型 【典例分析】 【例5-1】（23-24八年级上·广东深圳·期末）在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比．某弹簧不挂物体时长；当所挂物体质量为时，弹簧长．则弹簧长度与所挂物体质量之间的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式．设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为，然后根据题意，代入求解即可． 【详解】解：设弹簧总长度与所挂物体质量之间符合一次函数关系为， 由题意得，解得， 所以该一次函数解析式为． 故选：D． 【例5-2】（23-24八年级上·江苏南京·期末）风寒效应是一种因刮风所引起的使体感温度较实际气温低的现象，科学家提出用风寒温度描述刮风时的体感温度，并通过大量实验找出了风寒温度和风速的关系．当气温为时，下表列出了风寒温度和风速的几组对应值，那么Ｔ与v的函数表达式可能是 ． 风速 0 10 20 30 40 风寒温度 5 3 1 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由表格中数据可知，当气温为一定时，风寒温度T和风速v成一次函数关系， 设风寒温度T和风速v的关系式为：， 根据题意，得， 解得， ∴， 故答案为：． 【例5-3】（23-24八年级上·四川达州·期末）甲、乙两地距离，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线表示轿车离甲地的距离与时间之间的函数关系，根据图象，解答下列问题： (1)线段表示轿车在途中停留了______h； (2)求线段对应的函数表达式； (3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车． 【答案】(1) (2) (3)轿车从甲地出发后经过追上货车 【分析】本题考查了一次函数的应用，对一次函数图象的意义的理解，待定系数法求一次函数的解析式的运用． （1）根据C、D两点的横坐标即可求得线段表示轿车在途中停留的时间； （2）根据点、在线段上，利用待定系数法求出的函数解析式即可； （3）联立直线和的函数解析式求出交点即可求解． 【详解】（1）解： 即线段表示轿车在途中停留了， 故答案为：； （2）解：设线段的函数解析式为， ∵点、在线段上， ，解得 ∴线段的函数解析式为． （3）解：设线段的函数解析式为， ∵线段经过点， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为． 联立方程、的函数解析式可得，解得 轿车从甲地出发后追上货车所需时间为： ∴轿车从甲地出发后经过追上货车． 【变式演练】 【变式5-1】（23-24八年级上·安徽亳州·期中）小亮每天从家去学校上学行走的路程为900米，某天他从家去上学时以每分钟30米的速度行走了前半程，为了不迟到他加快了速度，以每分钟45米的速度行走完了剩下的路程，那么小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的实际应用．由题意可知，时，小亮处于后半段路程，据此列出函数表达式即可． 【详解】解：由题意可知，时，小亮处于后半段路程， 即， 小亮行走的路程（米）与他行走的时间（分钟）之间的函数表达式是， 故选：C． 【变式5-2】（21-22八年级上·广东清远·期中）小明家离学校距离3千米，上学时小明骑自行车以10千米/小时速度走了x 小时，这时离学校还有y千米．写出y与x的函数表达式 ． 【答案】y=3-10x/y=-10x+3 【分析】根据小明离学校的距离＝小明家离学校距离-小明骑自行车行驶的距离，列出表达式即可． 【详解】解：∵小明家离学校距离3千米，上学时小明骑自行车以10千米/小时速度走了x 小时， ∴小明离学校的距离． 故答案为：． 【点睛】此题考查了一次函数的应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． 【变式5-3】（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，水费按分段收费标准收取．居民每月应交水费y（元）与用水量x（吨）之间的函数关系如图所示．请你观察函数图象，回答下列相关问题． (1)若用水不超过10吨，水费为______元/吨． (2)当用水超过10吨时，求该函数图象对应的一次函数的表达式． (3)若某户居民8月共交水费65元，求该户居民8月共用水多少吨？ 【答案】(1)2.5 (2) (3)20吨 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式及一次函数的应用；根据自变量或函数值的取值使用相应的函数解析式是解决本题的关键． （1）根据图象列式求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意将代入求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， ∴用水不超过10吨，水费为2.5元/吨； （2）解：设当用水超过10吨时 ，该函数图象对应的一次函数的表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴； （3）解：∵， ∴该户居民用水量超过10吨． 由（2），得． 将代入，得， 解得， 故该户居民8月共用水20吨． 题型06面积型 【典例分析】 【例6-1】（21-22八年级·上海·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是，且经过，则这条直线的表达式是 ． 【答案】或 【分析】先根据面积求出三角形在轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意，设与轴交点坐标为 则， 解得， ， 当时，与轴交点为 ∴，解得， 函数解析式为； 当时，与轴的交点为 ∴解得， 函数解析式为． 这个一次函数的解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况． 【例6-2】一条直线满足①经过第一、二、三象限，②和坐标轴围成的三角形的面积等于6，试写出一个满足条件的直线的函数关系式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设直线解析式为，依题意，得出，进而即可求解． 【详解】解： 设直线解析式为，令，得， 令，得， ∵一条直线满足经第一、二、三象限， ∴ ∴直线和坐标轴围成的三角形的面积等于， ∴， 当时，， ∴满足条件的直线的函数关系式可以为 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，与坐标轴围成的三角形面积，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【例6-3】（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点和点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】由点，的坐标可得出，的长，结合的面积为12，即可得出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出a值，再用待定系数法求函数解析式即可． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ，． 又， ， 解得：或． ∴或， 设直线解析式为， 把，代入得： ，解得：， ∴ 把，代入得： ，解得， ∴ ∴直线的解析式为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质、三角形的面积以及解含绝对值符号的一元一次方程，利用三角形的面积公式，求出值是解题的关键． 【变式演练】 【变式6-1】（20-21八年级·全国·假期作业）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分交于点A，B，过点B的直线平分△ABO的面积，则直线l相应的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】∵一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴令y＝0，则求得x＝﹣8，令x＝0，求得y＝6， ∴A（﹣8，0），B（0，6）， ∵过点B的直线l平分△ABO的面积， ∴AC＝OC， ∴C（﹣4，0）， 设直线l的解析式为y＝kx+6， 把C（﹣4，0）代入得﹣4k+6＝0， 解得k＝， ∴直线l的解析式为y＝x+6， 故答案为y＝x+6． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，求得C点的坐标是解题的关键． 【变式6-2】（20-21八年级·上海徐汇·期中）已知直线与坐标轴围成的三角形面积是6，且经过(3，0)，则这条直线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】先根据面积求出三角形在y轴上边的长度，再分正半轴和负半轴两种情况讨论求解． 【详解】解：根据题意，设与y轴交点坐标为（0，b） 则×3×|b|＝6， 解得|b|＝4， ∴b＝±4 ①当b＝4时，与y轴交点为（0，4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为； ②当b＝−4时，与y轴的交点为（0，−4） ∴ ，解得 ， ∴函数解析式为． ∴这个一次函数的解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式，先根据三角形面积求出与y轴的交点，再利用待定系数法求函数解析式，本题需要注意有两种情况 【变式6-3】（八年级·全国·课后作业）已知直线经过点，且与坐标轴围成的三角形的面积为，求此直线的函数表达式． 【答案】直线的函数表达式为或． 【分析】先求得直线与y轴的交点坐标为，然后根据三角形面积公式求出b的值为5或－5，当b=5时，把（0,5）和代入解析式，求出k、b的值；类似的再求出b=－5时的k、b的值，最后写出答案即可. 【详解】解：当时，， 则直线与y轴的交点坐标为， 根据题意，得，解得或． 当时，，把代入，得， 解得； 当时，，把代入，得， 解得． 所以此直线的函数表达式为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式. 用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤是，先设出，再将自变量x的值及其对应的函数值y代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式. 一、单选题 1．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，李爷爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边的总长恰好为．设边的长为．边的长为 （），则y与x之间的函数表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知条件得出，即，再确定自变量得取值范围即可得出结论． 【详解】由题意可得，， ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确分析已知条件列出函数表达式，并结合实际确定自变量的取值范围是解题的关键． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）一次函数满足时，；时，，则一次函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数解析式，根据题意代入求解即可，熟练掌握待定系数法是解题关键 【详解】解：∵一次函数满足时，；时，， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 故选：B 3．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一个一次函数的图象与直线平行，且与函数的图象交y轴上于同一点，那么这个一次函数的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数的性质，掌握“利用待定系数法求解函数解析式”是解本题的关键． 设一次函数为根据两直线平行的性质先求解的值，再根据与函数的图象交y轴于同一点，求解的值，从而可得答案． 【详解】解：设一次函数为 一次函数的图象与直线平行， ∴一次函数为 由可得函数与轴的交点为 与函数的图象交y轴于同一点， ∴一次函数的解析式为：． 故选：C． 4．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）动点的运动轨迹表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，求一次函数解析式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， 由得：， ∴， ∴动点的运动轨迹表达式为． 故选：C． 二、填空题 5．（2024八年级上·全国·专题练习）若与成正比例，且当时，，则y与x之间的函数表达式为 ． 【答案】 【详解】本题考查了求一次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．由正比例函数的定义可设，把时，，代入即可求出k，进而得到y与x之间的函数表达式即可． 【分析】解：∵与成正比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴， 即， 故答案为：． 6．（2022八年级上·浙江·专题练习）一辆汽车加满油后，油箱中有汽油，汽车行驶时正常的耗油量为，则油箱中剩余的汽油量关于加满后已驶里程的函数表达式是 ，自变量的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意，找到等量关系，求出函数关系，即可求解． 【详解】解：原有油量，用油量， 由题意得：油箱中剩余的汽油两关于加满后已驶里程的函数表达式是， 自变量d的取值范围为：． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了函数的实际应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出函数关系式． 7．（24-25八年级上·安徽滁州·阶段练习）已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，则一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条直线平行的问题，解题的关键是知道两条直线平行的条件是相等．根据两直线平行的条件可知，再把代入中，可求，进而可得一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数的表达式为， 与直线平行， ， 把代入中，得， 一次函数解析式是， 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知一次函数的图像经过，两点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)求此函数与轴、轴围成的三角形的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为 (2) 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式以及图像与坐标轴围成的三角形面积求法，掌握一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）设函数解析式为，将，两点代入可得出和的值，进而可得出函数解析式； （2）求出一次函数的图像与坐标轴的交点坐标，即可求出所围成的三角形面积． 【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为， 将，代入得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）解：当时，， 解得：， 该一次函数图像与轴交于点， 当时，， 该一次函数图像与轴交于点， 此函数图像与轴、轴围成的三角形的面积为． 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装费16000元，每加工一个纸箱还需成本费元． (1)若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的函数表达式； (2)在同一直角坐标系中作出它们的图象； (3)假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？ 【答案】(1)方案一：；方案二： (2)见解析 (3)当时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以；当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一；当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 【分析】本题考查一次函数的应用，关键是列出函数解析式． （1）由已知条件可以得出两个方案的解析式； （2）根据函数关系式画出图形即可； （2）列出方程，解得，讨论的取值范围来比较来比较两个方案． 【详解】（1）解：方案一：， 方案二：． （2）解：如图． （3）解：由题意得：， 得，， 解得， 由图象，可知当，时，两种方案所需的费用相同，两种方案都可以； 当时，从纸箱厂购买纸箱所需的费用低，选择方案一； 当时，蔬菜加工厂自己加工纸箱所需的费用低，选择方案二． 10．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，过点作直线l交于D，交于E，且使和的面积相等． (1)求的面积． (2)求直线l的函数解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，求解一次函数的解析式； （1）由点A的坐标为，点B的坐标为，结合三角形的面积公式可得答案； （2）证明和的面积相等，可得，可得E的纵坐标，再求解直线的解析式可得的横坐标，再设直线为：，把坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． （2）解：∵和的面积相等， ∴和的面积相等， ∵，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 当时，， 解得：， ∴， 设直线为：， ∴， 解得：， ∴直线为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$