3.1.2椭圆的简单几何性质课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

教学目标： 教学重点： 教学难点： 理解椭圆的简单几何性质，并能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2.能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程； 3.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 能运用椭圆的简单几何性质求椭圆的标准方程． 　　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常 出现. 从音响效果考虑，国家大剧院最终会选择了椭圆形设计 那么椭圆到底有什么样的几何性质？ 情境导入 1.范围 观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？ (1) -a ≤ x ≤a, -b ≤ y ≤ b. (2) 椭圆位于直线x =±a和y=±b所围成的矩形区域里. o y B2 B1 A1 A2 F1 F2 c a b x 以椭圆方程 为例来研究 简单的几何性质 2.对称性 椭圆关于y轴对称 椭圆关于x轴对称 椭圆关于原点对称 x y O F1 F2 x y O F1 F2 x y O F1 F2 A2 A1 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图象关于原点成中心对称。 3、椭圆的顶点 顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点， 叫做椭圆的顶点。 A1 A2 B1 B2 (-a，0) (a，0) (0,-b) (0,b) 长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 x y O F1 F2 4、椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量) 离心率的取值范围： 0< e <1 离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 ，叫做椭圆的离心率,用e表 示，即 O x y 椭圆上到对称中心距离最近和最远的点各是哪些？ A1 A2 B1 B2 短轴端点 B1和 B2到中心 O 的距离最近； 长轴端点 A1和 A2到中心 O 的距离最远. 椭圆上到焦点最小和最大距离各是多少？ 最小距离：a-c, 最大距离：a+c, x y O F1 F2 例1.求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标． 所以椭圆的长轴长和短轴长分别是2 a ＝8和2 b ＝6， 四个顶点坐标分别是（－4，0），（4，0），（0，－3），（0，3） 题型一 由椭圆标准方程研究几何性质 把已知方程化成标准方程为 所以 a ＝4， b ＝3， c ＝ 离心率 e ＝ 两个焦点坐标分别是 用标准方程研究几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式； (2)确定焦点位置,不确定的需要分类讨论； (3)求出a，b，c； (4)写出椭圆的几何性质． 注意：　长轴长、短轴长、焦距不是 a ， b ， c ，而应是 a ， b ， c 的两倍. 　（多选）（2024·临沂月考）关于椭圆4 x2＋3 y2＝12有以下结论，其中正确的有（　　） 所以该椭圆的焦点在 y 轴上，故C正确，D错误； a ＝2，长轴长是4，故B错误； A.离心率为 B. 长轴长是2 C.焦点在y轴上 D.焦点坐标为(-1,0),(1,0) 把已知方程化成标准方程为 由已知得2a＝10，a＝5. ∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. (1)设椭圆的方程为 题型二 由椭圆几何性质求标准方程 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b， A1 A2 则c＝b＝3，a2＝b2＋c2＝18， (1)确定焦点位置； (2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定可能有两种标准方程)； (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有 (2)依题意可设椭圆方程为 x y O F1 F2 由题意知，2 c ＝8， c ＝4， 从而 b2＝ a2－ c2＝48， 分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1) 已知椭圆的中心在原点，焦点在 y 轴上，其离心率为 ，焦距为8； 故椭圆的标准方程为 ∴ a2＝144， b2＝80， 因为焦点不确定，所以椭圆的标准方程为 （2）已知椭圆的离心率为 e ＝ ，短轴长为8 . 题型三 椭圆的离心率问题 例3　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆 C1： ( a ＞1) C2： 的离心率分别为 e1， e2，若 e2＝ e1，则 a ＝( ) 如图，△BF1F2是正三角形，∵在Rt△OBF2中，|OF2|＝c，|BF2|＝a，∠OF2B＝60°， 2）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( ) x y O F1 F2 求椭圆离心率及范围的两种方法 (2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围． (1)直接法：若已知a，c可直接利用 若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式 1．已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率等于________． 根据题意得2b＝6，a＋c＝9或a－c＝9. 又因为a2－b2＝c2，所以(a＋c)·(a－c)＝9. 当a＋c＝9时，a－c＝1，解得a＝5，c＝4. 当a－c＝9时，a＋c＝1，不合题意，舍去． (1)若焦点在x轴上，即当k＋8>9，k＞1时，a2＝k＋8，b2＝9. 解得k＝4. (2)若焦点在y轴上，即当0<k＋8<9，－8＜k＜1时，a2＝9，b2＝k＋8. $$