3.1.1椭圆及其标准方程课件2（焦点三角形）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

椭圆焦点三角形 第三章 圆锥曲线的方程 3.1 椭圆 1 类型一 识别椭圆方程 例1：已知方程 分别求方程满足下列条件的 的取值范围. (1)表示一个圆； (2)表示焦点在 轴上的椭圆； (3)表示焦点在 轴上的椭圆； (4)表示一个椭圆 类型二 椭圆的焦点三角形 解题关键： （1）余弦定理 （2）等价转化：m2+n2=(m+n)2-2mn 练1 3 类型二 椭圆的焦点三角形 5 类型二 椭圆的焦点三角形 6 题型二：椭圆中的焦点三角形问题 典例剖析 思路分析(1)由|PF1|+|PF2|是定值,求|PF1|·|PF2|的最大值,可考虑用基本不等式;(2)求焦点三角形的面积,可考虑用定义|PF1|+|PF2|=2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|,再考虑用三角形面积公式求面积. 即122=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|. ∵|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|, ∴122=(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1|·|PF2|, ∴122=202-3|PF1|·|PF2|, 归纳总结 1.焦点三角形的概念 如图,设M是椭圆上一点,F1,F2为椭圆的焦点,当点M,F1,F2不 在同一条直线上时,它们构成一个三角形——焦点三角形. 2.关于椭圆的焦点三角形问题,可结合椭圆的定义列出|PF1|+|PF2|=2a,利用这个关系式转化求解.因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法.在求解过程中要灵活运用勾股定理、正弦定理、余弦定理等. 3.焦点三角形的常用公式 (1)焦点三角形的周长L=2a+2c. (2)在△MF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2-2|MF1||MF2|cos θ. (3)焦点三角形的面积(选择题、填空题可直接应用此公式求解) 例2 P为椭圆 上的一点，F1，F2为焦点. (1)求△F1PF2的周长； (2)求|PF1|·|PF2|的最大值； (3)若|PF1|·|PF2|=12，求∠F1PF2； (4)若∠F1PF2＝60°，求|PF1|·|PF2|； (5)若∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积； (6)若△F1PF2的面积为3，求P坐标，求△F1PF2内切圆半径； 变式 设 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆上一点， 若线段 的中点在y轴上，那么 _________ 若 ，则 的面积为__________ 例已知F1,F2是椭圆=1的两个焦点,P是椭圆上的任一点. (1)求|PF1|·|PF2|的最大值; (2)若∠F1PF2=,求△PF1F2的面积. 解 (1)由|PF1|+|PF2|≥2知, |PF1|·|PF2|≤=100, 当且仅当|PF1|=|PF2|=10时,等号成立,即|PF1|·|PF2|取到最大值100. (2)c2=a2-b2=100-64=36,c=6, 则F1(-6,0),F2(6,0).∵P为椭圆上任一点, ∴|PF1|+|PF2|=2a=20. 在△PF1F2中,|F1F2|=2c=12,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos , ∴|PF1|·|PF2|=. ∴|PF1|·|PF2|sin . $$