2024-2025学年苏科版九年级上学期数学期中复习练习

九年级数学期中复习1 一．选择题 1．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是　　 A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 2．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，5） B．（0，﹣5） C．（0，4） D．（0，﹣4） 第3题图 第5题图 第6题图 3．如图，某超市的自动扶梯高为，坡角为，那么扶梯长为　　 A． B． C． D． 4．若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 5．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 6．如图，在中，，，，将绕直角边的中点旋转，得到，连接，若恰好经过点，且交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 二．填空题 7．是关于的一元二次方程，则所满足的条件是　　． 8．已知是方程式的根，则式子的值为 　　． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 　　． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为 　　． 11．如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为 　　． 第10题图 第11题图 12．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为 　　． 第12题图 第13题图 13．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 　　． 三．解答题 14．解方程：（1）． （2）． 15．计算：（1）； （2）． 16．在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　　． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 17．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有1200个座位，如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么门票就减少2张． （1）当门票收入为245000元，票价应该定为多少元？ （2）票价定为多少元时门票收入最高？ 18．如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为，求建筑物的高度和铁塔的高度（结果保留根号）． 19．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在处成功拦截捕鱼船． （1）图中　　； （2）求图中点到捕鱼船航线的距离； （3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 20．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值． ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标． （3）点M是抛物线上的一点，且∠MAC＝45°，设点M的横坐标为m，直接写出m的值． 答案与解析 1．若的半径为，点到圆心的距离为，那么点与的位置关系是　　 A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不能确定 【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可． 【解答】解：的半径为，点到圆心的距离为， ， 点与的位置关系是：点在圆内， 故选：． 2．抛物线y＝﹣（x﹣3）2+5与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，5） B．（0，﹣5） C．（0，4） D．（0，﹣4） 【分析】令，求出的值即可求解． 【解答】解：当时，， 抛物线与轴的交点坐标为． 故选：． 3．如图，某超市的自动扶梯高为，坡角为，那么扶梯长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据锐角三角函数即可得结果． 【解答】解：因为， 所以． 故选：． 4．若关于的一元二次方程方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D． 【分析】根据方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，结合一元二次方程的定义以及根的判别式即可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故选：． 5．如图，的顶点都在正方形网格的格点上，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】如图，连接．在中，解决问题即可． 【解答】解：如图，连接． 在中，，，， ， 故选：． 6．如图，在中，，，，将绕直角边的中点旋转，得到，连接，若恰好经过点，且交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，由勾股定理求出，由直角三角形的性质求出，，的长，由锐角三角函数的定义可得出答案． 【解答】解：连接， 在中，，，， ， 点是边的中点， ， ，， ， ， 在中，，， ，， 在中，，在中，，， ， ． 故选：． 7．是关于的一元二次方程，则所满足的条件是　　． 【分析】根据一元二次方程的定义得出，求出即可． 【解答】解：是关于的一元二次方程， ， ． 故答案为：． 8．已知是方程式的根，则式子的值为 　2025　． 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．把入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解． 【解答】解：是方程的根， ， ． 故答案为：2025． 9．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为 　　． 【分析】直接利用二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”，即可得出答案． 【解答】解：在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为． 故答案为：． 10．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为中点，若的度数为，则的度数为______. 【分析】由的度数为，得到，由邻补角的性质求出，由圆心角、弧、弦的关系得到． 【解答】解：的度数为， ， ， 为中点， ． 故答案为：． 11．如图，是一个盛有水的容器的横截面，水面的宽度为，水的最深处到水面的距离为，则的半径为 　10　． 【分析】过点作于点，交于点，则，设的半径为，则，由勾股定理得，解方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【解答】解：过点作于点，交于点， 水面的宽度为， ，， 水的最深处到水面的距离为， ， 设的半径为 ，则， ， ， 解得， 故答案为：10． 12．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州历史文化．如图②，“东方之门”的内侧轮廓是由两条抛物线组成的，已知其底部宽度均为，高度分别为和，则在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为 　40　． 【分析】以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点、 的横坐标，从而可得的长． 【解答】解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系： ，， 设外侧抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， 外侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 在内侧抛物线顶部处的外侧抛物线的水平宽度的长）为． 故答案为：40． 13．在平面直角坐标系中，一个图形上的点都在一边平行于轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数的图象（抛物线中的实线部分），它的关联矩形为矩形．若二次函数图象的关联矩形恰好也是矩形，则 　或　． 【分析】根据题意求得点，，，然后分两种情况，利用待定系数法求出解析式即可． 【解答】解：由，当时，， ， ，四边形是矩形， ， ①当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得； ②当抛物线经过、时，将点，代入得 ， 解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 14．略 15．略 16．在一元二次方程中，若，则称是该方程的中点值． （1）方程的中点值是 　4　． （2）已知的中点值是3，其中一个根恰好等于，求的值． 【分析】（1）利用方程的中点值求解，即可解答； （2）先根据方程的中点值的定义可得，从而可得：，进而可得，然后把代入方程中得：，从而进行计算即可解答． 【解答】解：（1）， 方程的中点值是4， 故答案为：4； （2）由题意得：， 解得：， 方程可化为：， 把代入方程中得：， 即， ， 解得：或． 17．某演出团体准备在苏州文化艺术中心大剧院举办迎新演出，该剧院有1200个座位，如果票价定为每张100元，那么门票可以全部售出；如果票价每增加1元，那么门票就减少2张． （1）当门票收入为245000元，票价应该定为多少元？ （2）票价定为多少元时门票收入最高？ 【分析】（1）可设票价应定为元，根据票价销售的票数获得门票收入，即可列出一元二次方程解题； （2）根据题意得出与的函数关系式，进而求出最值即可． 【解答】解：（1）设票价应定为元，依题意有： ， ， 解得：． 答：票价应定350元． （2） ， ， 即票价定为350元时，门票收入最多，最多收入是245000元． 18．如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距，在建筑物的顶部分别观测铁塔底部的俯角为、铁塔顶部的仰角为，求建筑物的高度和铁塔的高度（结果保留根号）． 【分析】过点作于点，则四边形为矩形，再根据特殊角的三角函数值求出的长，得的长，然后由等腰直角三角形的性质得出长，即可得出． 【解答】解：过点作于点， 则四边形为矩形， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即铁塔的高度是． 19．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在处成功拦截捕鱼船． （1）图中　120　； （2）求图中点到捕鱼船航线的距离； （3）求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间． 【分析】（1）由平行线的性质可得，再利用角的和差运算可得答案； （2）过点作的延长线于点，在中，求解，而，再利用锐角的余弦可得答案； （3）先求解，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，由题意可得：，，， ， ； （2）过点作的延长线于点， 在， ， 点到捕鱼船航线的距离为海里； （3）设巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间为小时， ，， 在中，，， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（不合题意舍去）， 巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时． 20．如图，二次函数的图象经过点，点，点，连接． （1）求二次函数的表达式； （2）点是该二次函数图象上位于第一象限内的一点． ①如图1，过点作轴的平行线交于点，求线段的最大值． ②如图2，过点作，交直线于点，若，求点的坐标． 【分析】（1）把，点，点，代入二次函数中，可得三元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）①设点的横坐标为，则，，，根据二次函数的最值即可求解； ②过点，分别作轴得平行线与直线交于点，，可证，由，可得，设点的横坐标为，则，，可计算出的代数式，即，解方程即可得出答案． 【解答】解：（1）把，点，点，代入二次函数中， 得，解得， 二次函数的表达式为； （2）①设点的横坐标为，则，， ， 时，线段的最大值为； ②过点，分别作轴得平行线与直线交于点，．如图： ， ， ， ， ， ， ， 点，点， 直线的解析式为， ， 由，得， 设点的横坐标为，则，， 得， 令，，解得或， 故为或． （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $$ 九年级数学期中复习卷2 一．选择题 1．下列方程中，是一元二次方程的是　　 A．x﹣2＝0 B．x+3y＝1 C． D．x2＝1 2．已知的半径为，点到圆心的距离，则点　　 A．在外 B．在上 C．在内 D．无法确定 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，那么sinA的值是（　　） A． B． C． D． 4．二次函数的顶点坐标为　　 A．（2，0） B．（2，3） C．（3，0） D．（0，3） 5．对抛物线的描述，其中说法错误的是　　 A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为5 D．当时，随的增大而增大 6．已知函数的图象上两点，，其中，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法判断 7．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为　　 A． B． C． D． 第7题图 第8题图 8．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径匀速运动，运动到点停止，过点作于点，设点运动的路程为，的面积为，则与的函数图象是　　 A． B． C． D． 二．填空题 9．　　． 10．二次函数的图象与轴交点坐标是　　． 11．设，是方程的两个根，则　　． 12．若抛物线与轴交于，，，两点，则　　． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点、、都在格点上，则的值是 　　． 第13题图 第15题图 第16题图 14．如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与轴交于点，点，则的长度为 　　． 15．如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为，如果，那么　　． 16．如图，点是的中点，在同侧分别以、为直径作半、半．直线，与两个半圆依次相交于、、、不同的四点．若，，，则与之间的函数表达式为 　　． 三．解答题 17．（1）计算：； （2）解方程：． 18．若二次函数图象的顶点为，且经过点． （1）求，，的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，则平移后的抛物线的函数表达式为 　　． 19．在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，，于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 20．某服装店以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量（件与每件的销售价（元之间的函数关系为：． （1）若服装店一天销售这种服装的毛利润为360元，求这种服装每件销售价是多少元？（毛利润销售价进货价） （2）每件服装销售价多少元才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ （3）销售一段时间以后，服装店决定从每天的毛利润中捐出100元给慈善机构，若物价部门规定该产品捐款后每天剩余毛利润不能超过380元，为了保证捐款后每天剩余毛利润不低于260元，请直接写出这种服装每件销售价的范围 　　． 答案与解析 1．． 2．已知的半径为，点到圆心的距离，则点　　 A．在外 B．在上 C．在内 D．无法确定 【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的大小关系，即可判断； 【解答】解：的半径为，点到圆心的距离， ， 点在圆内， 故选：． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，那么sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【分析】先由勾股定理求出AB，再利用锐角三角函数的定义求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∵AC＝5，BC＝12， ∴AB＝＝＝13． ∴sinA＝＝． 故选：D． 4．二次函数的顶点坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的性质可得答案． 【解答】解：二次函数的顶点坐标为， 故选：． 5．对抛物线的描述，其中说法错误的是　　 A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．函数的最小值为5 D．当时，随的增大而增大 【分析】根据二次函数性质逐项分析判断即可． 【解答】解：、抛物线，开口方向向下，选项正确，不符合题意； 、抛物线的对称轴为直线，选项正确，不符合题意； 、抛物线的最大值为5，选项不正确，符合题意； 、抛物线开口方向向下，对称轴为直线，当时，随的增大而增大，选项正确，不符合题意． 故选：． 6．已知函数的图象上两点，，其中，则与的大小关系为　　 A． B． C． D．无法判断 【分析】先根据函数的解析式得出函数的对称轴是直线，开口向下，再进行比较即可． 【解答】解：函数， 函数的对称轴是直线，开口向下， 图象上两点，，其中， ， 故选：． 7．如图，中，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到△，若点的对应点恰好落在边上，连接，则的值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，交于点，，根据旋转的性质证明是等边三角形，设，，利用含30度角的直角三角形的性质列出关于，的等式，再利用正切函数定义即可解决问题． 【解答】解：如图：设，交于点，， 在中，， ， ， 由旋转可知：， 是等边三角形， ， ， 由旋转可知：， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：． 8．如图，在中，，，于点．点从点出发，沿的路径匀速运动，运动到点停止，过点作于点，设点运动的路程为，的面积为，则与的函数图象是　　 A． B． C． D． 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，当点在上时，当点在上时，根据三角形的面积公式可得出与的关系，进而可判断． 【解答】解：在中，，，于点， ，点是的中点，； ， 根据点的运动可知，需要分两种情况，当点在上时， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 函数图象是一段抛物线，且开口向上； 当点在上时，如图， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 函数图象是一段抛物线，且开口向下； 故选：． 9． 10．二次函数的图象与轴交点坐标是　　． 【分析】求出二次函数，当时的值，即可得出答案． 【解答】解：，当时，， 二次函数的图象与轴交点坐标是； 故答案为：． 11．设，是方程的两个根，则　11　． 【分析】根据根与系数的关系得，根据方程解的定义得，即，代入所求的式子计算即可． 【解答】解：，是方程的两个根， ，， ， ． 故填空答案：11． 12．若抛物线与轴交于，，，两点，则　　． 【分析】根据抛物线与轴的交点问题，、为方程的两根，然后根据根与系数的关系求解． 【解答】解：抛物线与轴交于，，，， 、为方程的两根， ． 故答案为：． 13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点、、都在格点上，则的值是 　　． 【分析】连接网格中适当的格点，构造出直角三角形即可解决问题． 【解答】解：如图所示，连接， 显然． 由勾股定理得， ， ． 在中， ． 故答案为：． 14．如图，抛物线（其中为常数）的对称轴为直线，与轴交于点，点，则的长度为 　4　． 【分析】利用抛物线对称轴公式可求得，令，解方程可得，，得出，，即可求得． 【解答】解：抛物线（其中为常数）的对称轴为直线， ， 解得：， ， 令，得， 解得：，， ，， ； 故答案为：4 15．如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为，如果，那么　12　． 【分析】连接、，过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为，，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解． 【解答】解：如图，连接、， 过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为， ， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12． 16．如图，点是的中点，在同侧分别以、为直径作半、半．直线，与两个半圆依次相交于、、、不同的四点．若，，，则与之间的函数表达式为 　　． 【分析】过点作于，过点作于点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明四边形为矩形，则，所以，接着证明得到，利用等线段代换得到，即，进而得解． 【解答】解：过点作于，过点作于点，连接、，如图，则，， ， ，，， 四边形为矩形， ， 即， ， ，， 而， ， ， ， ， ， 故答案为：． 17略 18．若二次函数图象的顶点为，且经过点． （1）求，，的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，则平移后的抛物线的函数表达式为 　　． 【分析】（1）设抛物线的解析式为，将点代入解析式即可求出的值，从而得到二次函数解析式． （2）设平移后的抛物线为，把代入求得的值，即可求得平移后的抛物线的函数表达式． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为， 将代入得， ， 函数解析式为， 该抛物线的函数解析式为， ，，； （2）设平移后的抛物线为， 平移后的抛物线经过原点， ， ， 平移后的抛物线的函数表达式为． 故答案为：． 19．在苏科版九年级物理第十一章《简单机械和功》章节中有这样一个问题：“如图1示意图所示，均匀杆长为，杆可以绕转轴点在竖直平面内自由转动，在点正上方距离为处固定一个小定滑轮，细绳通过定滑轮与杆的另一端相连，并将杆从水平位置缓慢向上拉起．当杆与水平面夹角为时，求动力臂．”从数学角度看是这样一个问题：如图2，已知，，于点且，连接，求点到的距离．请写出解答过程求出点到的距离．（结果保留根号） 【分析】设点到的距离为，过作于，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：设点到的距离为， 过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：点到的距离为． 20．某服装店以每件42元的价格购进一种服装，由试销知，每天的销售量（件与每件的销售价（元之间的函数关系为：． （1）若服装店一天销售这种服装的毛利润为360元，求这种服装每件销售价是多少元？（毛利润销售价进货价） （2）每件服装销售价多少元才能使每天的毛利润最大？最大毛利润是多少？ （3）销售一段时间以后，服装店决定从每天的毛利润中捐出100元给慈善机构，若物价部门规定该产品捐款后每天剩余毛利润不能超过380元，为了保证捐款后每天剩余毛利润不低于260元，请直接写出这种服装每件销售价的范围 　或　． 【分析】（1）根据每件服装毛利润销售价进货价，由此即可求出每天销售这种服装的毛利润（元与每件销售价（元之间的函数表达式，令解之即可． （2）利用配方法求出二次函数的最大值即可． （3）列出一元二次不等式，解不等式，结合题意确定销售单价即可． 【解答】解：（1）由题意，销售利润（元与每件的销售价（元之间的函数关系为， 即． 令， 则， 解得或， 若服装店一天销售这种服装的毛利润为360元，这种服装每件销售价是48元或62元； （2）由（1）得． 故当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元． （3）由题意， 解得或， 故答案为：或． 学科网（北京）股份有限公司 $$