精品解析：浙江省温州市瑞安、龙湾 2024-2025学年九年级上学期六校联考 数学试卷

2024学年第一学期九年级第8周监测数学卷 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分； 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置； 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！ 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知的半径为，点A在外，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线经过点，则a的值是（ ） A. B. C. D. 4. 一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（ ） A. 红球可能性最大 B. 白球可能性最大 C. 黄球可能性最大 D. 三种小球的可能性相同 5. 函数的图象，可以由抛物线平移得到，其平移过程是（ ） A. 向左1个单位 B. 向右1个单位 C. 向上1个单位 D. 向下1个单位 6. 如图，内接于．若，度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的最小值为5，则m的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 10. 如图在给定的中，弦的弦心距，，点E在弦上，且，当面积的为最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 12. 二次函数的对称轴是______． 13. 的半径长为5，弦，则弦的弦心距为______． 14. 已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为______． 15. 抛物线交y轴于点，则c的值是______． 16. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为______． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动． （1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． （2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 18. 如图，，为直径，弦，分别交半径，于点G，H，且． （1）求证：． （2）若，且，求的度数． 19. 如图，已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的表达式． （2）利用函数图象，求当时，y的取值范围． 20. 尺规作图问题： 如图1，弦交直径于点F，连结，，用尺规作弦，，C是直径上一点． 小蔡：如图2，以E为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，． 小通：以B为圆心，长为半径作弧，交于点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，． 小蔡：小通，你的作法有问题． 小通：哦——我明白了． （1）求证：，． （2）指出小通作法中存在的问题． 21. 如图，在中，弦，于E，于H． （1）求证：． （2）若的半径为5，，，求的长． 22. 如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． （1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． （2）求y的最小值． 23. 如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 24. 如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，． （1）求该抛物线表达式． （2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． （3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级第8周监测数学卷 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分； 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置； 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基！ 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何概率问题，首先确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向红色区域的概率． 【详解】解：∵圆被等分成4份，其中红色部分占1份， ∴落在红色区域的概率=． 故选：A． 2. 已知的半径为，点A在外，则的长可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，先得到圆的半径为，根据点与圆的位置关系的判定方法得到当时，点在外；当时，点在上；当时，点在内，然后对各选项进行判断． 【详解】解：的半径为，点A在外， 当时，点A在外； ， 故选：D． 3. 抛物线经过点，则a的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，将点代入可得关于a的方程，解之可得． 【详解】解：将点代入，得， 解得， 故选：A． 4. 一个袋中装有2个红球，1个白球，3个黄球，它们除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，则下列有关可能性说法中，正确的是（ ） A. 红球可能性最大 B. 白球可能性最大 C. 黄球可能性最大 D. 三种小球的可能性相同 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查可能性的大小即概率，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．分别用红球、白球或黄球的个数除以总球的个数，再比较即可得出答案． 【详解】解：∵不透明的盒子中装有2个红球，1个白球和3个黄球，共有6个球， ∴摸到红球的可能性是， 摸到白球的可能性是， 摸到黄球的可能性是， ， ∴摸到黄球的可能性最大， 故选：C． 5. 函数的图象，可以由抛物线平移得到，其平移过程是（ ） A. 向左1个单位 B. 向右1个单位 C. 向上1个单位 D. 向下1个单位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换．原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移规律． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 平移后的抛物线的顶点坐标为， 所以，函数的图象，可以由抛物线向下1个单位平移得到， 故选：D． 6. 如图，内接于．若，度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据圆周角度数等于它所对弧度数的一半求出，再由等腰三角形的性质和三角形定理可得结论． 【详解】解：∵所对圆周角是，且度数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若函数的最小值为5，则m的值为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的最值，将抛物线解析式化为顶点式即可解答． 【详解】解： ∵， ∴函数有最小值为， 又函数的最小值为5， ∴， 解得，， 故选：B 8. 如图，为的直径，构造四边形，且弦，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理等知识． 连接，由平行线的性质得到，由得到，由四边形是的内接四边形即可得到的度数． 【详解】解：连接， ∵弦，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：C． 9. 若点在抛物线上，其中，则不等式的解为（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，以及解不等式，先由点在抛物线上得，再将其代入不等式，再根据，得出解集即可． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴或， ∴或， 故选：A． 10. 如图在给定的中，弦的弦心距，，点E在弦上，且，当面积的为最大时，的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆与三角形的综合题，涉及勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键在于确定点E的轨迹以及当点三点共线时，最大，则面积最大．过点E作于点，则点轨迹为以点O为圆心，为半径的圆，由，，则当点三点共线时，最大，则面积最大，过点作延长线的垂线，垂足为点，过点O作于点G，由垂径定理得，则，由勾股定理得，显然，则，，故，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点， ∵， ∴点轨迹为以点O为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴当点三点共线时，最大，则面积最大，如图： 过点作延长线的垂线，垂足为点，过点O作于点G， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每题3分） 11. 已知抛物线的开口向上，写出一个满足条件的k值______． 【答案】3（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数，据此求出k的范围，得到合适的k值． 【详解】解：因为抛物线的开口向上， 所以，即，故的取值范围是， 则k可以取3． 故答案为：3（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答此题要掌握二次函数图象的特点． 12. 二次函数的对称轴是______． 【答案】直线 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的对称轴为直线进行解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线， 故答案为：直线 13. 的半径长为5，弦，则弦的弦心距为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，先过点O作于点D，由垂径定理可知，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：如图，点O作于点D， 则， ∵圆的半径是5，即， ∴在中，． 故答案为：4． 14. 已知，是抛物线上的点，则，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，把，分别代入抛物线，求出，，再比较得出答案． 【详解】解：把，分别代入抛物线得， ， ∴， 故答案为：． 15. 抛物线交y轴于点，则c的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与y轴的交点，根据抛物线与y轴的交点的横坐标为0列式求解即可． 【详解】解：∵抛物线交y轴于点， ∴ 解得，， 故答案为：． 16. 如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点作于点G，连接，证明是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，根据三角形外接圆的性质可得点O在上，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理求出，，由圆周角定理得到，结合，证明，推出，由四边形的面积为即可求解． 【详解】解：过点作于点G，连接， ∵D为优弧的中点， ∴， ∴ ∴是等腰三角形， ∵，， ∴， ∵是的外接圆， ∴点O在上， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵于点H，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形全等的判定与性质，正确作出辅助线构造三角形全等时解题的关键． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分） 17. 有一个转盘如图，转盘可以自由转动． （1）让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率． （2）让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． （1）将黄色区域平分成两部分，再运用概率公式求解即可； （2）根据题意画树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次指针都落在黄色区域的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：如图，将黄色区域平分成两部分， 这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分， 所以，指针落在红色区域的概率为． 【小问2详解】 解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有4种情况， ∴两次指针都落在黄色区域的概率为：； 18. 如图，，为直径，弦，分别交半径，于点G，H，且． （1）求证：． （2）若，且，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ． ，为直径， ， ， 即． ，所对的弧分别是，， ． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系，熟练掌握圆周角定理，圆心角、弧、圆周角的关系是解题的关键． （1）证明即可得出结论； （2）求出，得，根据可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，． ． ， ． 19. 如图，已知抛物线经过点，． （1）求抛物线的表达式． （2）利用函数图象，求当时，y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求二次函数的表达式； （2）利用配方法得到，根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，当时，y有最小值，当时，的值为1，从而可得结论． 【小问1详解】 解：把，代入，得， 解得， ∴抛物线的表达式为 【小问2详解】 解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，y有最小值， 当时，的值为1， ∴当时，y的取值范围． 20. 尺规作图问题： 如图1，弦交直径于点F，连结，，用尺规作弦，，C是直径上一点． 小蔡：如图2，以E为圆心，长为半径作弧，交于另一点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，． 小通：以B为圆心，长为半径作弧，交于点G，连结，以A为圆心，长为半径作弧，交直径于点C，连结，则，． 小蔡：小通，你的作法有问题． 小通：哦——我明白了． （1）求证：，． （2）指出小通作法中存在的问题． 【答案】（1） 证明：， ． 弦， ． ， ． ， ∴四边形为平行四边形， ． （2） 点G还可能在上，如图3，此时与相交，不满足结论． 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质得到，根据圆周角定理得到，再结合等量代换和平行线判定得到，最后根据平行四边形的判定和性质，即可推出； （2）根据“以B为圆心，长为半径作弧，”作图可知点G还可能在上，此时与相交，即可判断解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形性质，圆周角定理，平行线判定，平行四边形的判定和性质，解题的关键在于根据题意作出草图，并结合相关定理性质求解． 21. 如图，在中，弦，于E，于H． （1）求证：． （2）若的半径为5，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴，， 即， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查弧、弦之间的关系及垂径定理，熟练掌握弧、弦的关系及垂径定理是解题的关键． （1）由题意易得，进而问题可求证； （2）连接，由勾股定理，得．根据垂径定理可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴． ∴， 同理可得， ∴． 22. 如图，在矩形中，，，点E，F，G，H分别在边，，，上，且，，记四边形的面积为y，边长为x． （1）求y关于x的表达式及自变量x的取值范围． （2）求y的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是二次函数的应用，利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积得到函数的关系式是解题的关雄． （1）利用四边形的面积等于矩形的面积减去四个直角三角形的面积，得到y与x的函数关系； （2）通过对函数配方，结合自变量取值范围取得最值． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴ ∵边长为x， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：∵ ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴抛物线开口向上， 在范围内．当时，函数有最小值，为 23. 如图，在中，弦，点E在上，延长至点F，使，延长至点G，连结，使，． （1）连结，求证：． （2）若，为直径，求的度数． （3）连结，求证：． 【答案】（1） 证明：∵弦， ，， ∴． ， ． （2） （3） 证明：连结EC， ，都是所对的圆周角， ． ， ． 又，， ． ． ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是正确作出辅助线构造圆周角． （1）根据弦可得，，由弧、弦的关系可得结论； （2）由为直径得，再根据圆周角定理可得结论； 、 （3）连结EC，得，，证明，进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接如图， 为直径， ． ， ． ． 【小问3详解】 略 24. 如图，抛物线经过点，对称轴为直线，点G坐标为，点C在边上运动，延长交抛物线于点B，连结，分别记，的面积为，． （1）求该抛物线表达式． （2）若点，均在抛物线上，且，，请比较，大小，并说明理由． （3）记，直线的表达式为，求t关于函数表达式，并求t的最大值． 【答案】（1） （2），理由： ∵点，均在抛物线上， ∴，， ， 又， ∴， 解得，或． ， ， ． （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数的最值问题，灵活掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据抛物线的对称轴方程可求出，再把代入，可求出，从而可得抛物线的解析式为； （2）分别把，代入得，，将化简得，求出，代入，求出或，取舍后得，再求出，，进行比较即可； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设点的坐标为，由点在上得，求得，由得，配方后可得结论． 【小问1详解】 解：由题意，得，解得． 把点代入，得． ∴抛物线表达式为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设直线表达式为， 把，代入，得： ， 解得，， 所以，直线表达式为， 点C在边上运动， ∴设． ∵点C在直线上， ，化简，得， ． 即． ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $