12.5 全等三角形的判定（28大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北京版）

第十二章 三角形 12.5 全等三角形的判定（28大题型提分练） 题型一 用SSS证明三角形全等(SSS) 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．由三边相等得，即由判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：由图可知，， 在和中， ， ∴， ， 即是的平分线． 故选：A． 2．用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：如图： 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴，即：为的角平分线， ∴用尺规作角平分线的依据是； 故选D． 3．如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有 个， 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的判定；根据田字格的特点画出所有与全等的三角形即可确定． 【详解】解：画出图形如下： 则由可判定都与全等，即这样的三角形共有3个； 故答案为：3． 4．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 ，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 【答案】1或 【分析】本题考查全等三角形判定的应用，利用分类讨论的思想是解题关键．设点Q的运动速度为，则，，．结合题意可分两种情况讨论：①当，，即时和②当，，即时，分别列出等式求解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为，则，， ∴． ∵， ∴可分两种情况讨论：①当，，即时， ∴，， 解得：，； ②当，，即时， ∴，， 解得：，． 综上可知点Q的运动速度为或时，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 故答案为：1或． 5．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解：，，， ， ． 题型二 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 【答案】A 【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可． 【详解】解：∵AE=FB， ∴AE+BE=FB+BE， ∴AB=FE， 在△ABC和△FED中， ， ∴△ABC≌△FED（SSS）， ∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE， ∴可利用的是①或②， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键． 2．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 【答案】C 【分析】由SSS证明△AED≌△CFB，得到∠BCF＝∠DAE，利用三角形的外角的性质得∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝70°． 【详解】解：∵BE＝DF， ∴BE+EF＝DF+EF， ∴BF=DE 又∵AD＝BC，AE＝CF． ∴△AED≌△CFB（SSS）， ∴∠BCF＝∠DAE， ∵∠DAE＝∠AEB −∠ADB＝100°-30°=70° ∴∠BCF＝70°． 故选C． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和等知识． 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 【答案】41° 【分析】根据题意，用SSS证明三角形全等，再根据全等三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵AB = CD， ∴AB+BC=CD+BC，即：AC=BD， 在△ACE和△DBF中， ， ∴在△ACE≌△DBF(SSS)， ∴∠A=∠D=55°，∠E=∠F=84°， ∴∠DBF=180°-55°-84°=41°， 故答案为：41°． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，以及三角形的内角和定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． 4．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 【答案】SSS 【分析】等边三角形三边相等，按全等三角形的判定定理（SSS）即可作图． 【详解】解：：等边三角形三边相等，依题意得使其边长等于已知线段，则按全等三角形的判定定理（SSS）可得作图． 【点睛】此题考查作图和等边三角形全等的判定，解题关键在于利用全等三角形的判定定理作图 5．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，由，则，即，再根据即可证明，掌握证明三角形全等的判定定理是解题得关键． 【详解】证明：， 则，即， 在和中， ， ． 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 1．如图，，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△△是解题的关键，进而得出的度数． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ， 故选：B． 2．如图，在四边形中，，，则与的关系是(   ) A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；先连接，由于，，，利用可证，于是． 【详解】解：如图所示，连接， 在和中， ， ， ． 故选：C． 3．如图，在中，，．若，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 利用证明，再根据全等三角形的性质得出，然后根据三角形外角即可得出答案． 【详解】解：在和中， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 4．如图，点在一条直线上，，，．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，先由得出，证明，然后，运用三角形内角和180度进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；由已知条件证得，可证，进而得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 题型四 用SAS证明三角形全等(SAS) 1．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：在与中， ， ∴， ∴， 故选：A． 2．下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，全等三角形的判定．根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，全等三角形的判定定理，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A不符合题意； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B不符合题意； 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，故选项C符合题意； 如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积也可能相等，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．如图，在中，，，，、两点分别在线段和的垂线上移动（、不与点、重合），线段，则当 时，和全等． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：，， ∴ ∵、不与点、重合， ∴和全等只能， ∴ 故答案为： 4．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 【答案】 【分析】由，推导出，而，，即可证明，此题重点考查全等三角形的判定与性质． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， 故答案为：， 5．如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据题意可得，再结合“边角边”可得结论． 【详解】证明：， ， 即． 在和中，， ． 题型五 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 1．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用掌握全等三角形判定的“”方法是解题的关键． 由题意知、，由于，根据“”即可证明． 【详解】解：由题意知、， 在和中， ∴． 故选：B． 2．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据已知条件即可判断三角形全等的依据是. 【详解】证明：， ， ∵， ∴， 又， ， 故选：D 3．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    【答案】/边角边 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据即可证明是解题的关键． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， 故答案为：． 4．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，，，试说明． 解：已知 ______（______） 在与中 ≌（______） （______） 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；SAS；全等三角形的对应角相等． 【分析】根据平行线的性质求出∠ABC=∠E，根据SAS求出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质推出即可； 【详解】解：已知 （两直线平行，同位角相等） 在与中 ≌（SAS） （全等三角形的对应角相等） 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；SAS；全等三角形的对应角相等． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，侧重考查学生的逻辑推理，题目比较典型． 5．如图所示，在中，，D，E是，的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先利用中点定义可得出，然后利用证明即可． 【详解】证明∶∵D，E是，的中点， ∴，， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 题型六 全等的性质和SAS综合(SAS) 1．如图，在的正方形网格中，的顶点和线段的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．请你在图中找出所有满足条件的点D，使得以D、E、F为顶点的格点三角形与全等，这样的点D有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的判定，利用网格的特性找到原三角形的边和角的特点，据此作图是解题关键；由图可知：，是的正方形的对角线，，而，则在网格中分别以E，F为一个端点，连接的正方形网格的对角线，且使，根据可知，所作三角形与全等． 【详解】解：D的位置如图所示：    由图可知，这样的点D有4个， 故选：． 2．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，且点在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，先证明得到，进而求得壁虎所走的路程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，又 ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴壁虎爬到点所用的时间为， 故选：D． 3．如图，在中，是边上的中线．已知，则长的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 延长至点，使，连接，根据证明得出，再根据三角形三边关系即可推出结果． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵是上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则 °． 【答案】135 【分析】本题考查的是全等三角形的性质与判定，属于较容易的基础题．根据题意知，，所以由全等三角形的对应角相等进行推理论证即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：135． 5．已知：如图，A、F、C、D四点在同一直线上，，，且．请判断与的关系，并说明理由． 【答案】，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．先证明，，然后证明，即可证得． 【详解】解：，．理由如下： 、、、四点在同一直线上，， ，即， 又， ， 又， ， ，， ． 题型七 尺规作一个角等于已知角 1．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 【答案】B 【分析】本题考查复杂作图，根据作图的痕迹进行判断即可求解．掌握全等三角形的判定定理及基本作图是解题的关键． 【详解】解：由作图得：，， 在和中， ， ∴， ∴能得到的依据是． 故选：B． 2．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，第一步：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于点和点．第二步：连接，以为圆心，为半径画弧，与第一步中的弧交于点，作射线，射线就是射线．第三步：连接，证明即可，则这两个三角形全等的依据是（    ）    A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，作角平分线，根据作图，连接、，则，根据，即可根据“边边边”证明，即可求解． 【详解】解：连接、，    根据作图可得，， ∴， ∴，即 故选：D． 3．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】． 【分析】根据作图可知∠PBC=∠C=45°，根据三角形内角和求出∠ABC=75°，即可求的度数． 【详解】解：由作图可知，∠PBC=∠C=45°， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一个角等于已知角和三角形内角和，解题关键是理解作图方法，熟练运用三角形内角和定理求角． 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是 ． 【答案】/边边边 【分析】本题考查的是基本作图及全等三角形的判定与性质，由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用． 【详解】解：作图的步骤： ①以为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点； ②任意作一点，作射线，以为圆心，长为半径画弧，交于点； ③以为圆心，长为半径画弧，交前弧于点； ④过点作射线． 所以就是与相等的角； 在与， ， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，是等边三角形，是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】如果，那么，因此只需要作出即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作平行线，熟知相关作图方法是解题的关键． 题型八 过直线外一点作这条直线的平行 1．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图的原理，考查推理能力、几何直观，熟练掌握过直线外一点作已知直线的平行线的作法是解题关键．根据作图原理逐一分析即可． 【详解】解：该作图过程中，弧①的半径长度为任意长；弧②、③的半径长度相等，且大于的长；弧④以的长度为半径．只有C选项正确， 故选：C． 2．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的判定，结合尺规作图方法即可判断． 【详解】解：若要过点C作AB的平行线， 则应过点C作一个角等于已知角， 由作图可知，选项A符合题意， 故选A． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定． 3．如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是 度． 【答案】50 【分析】由作图可知：∠DAE＝∠B，推出AE//BC，利用平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：由作图可知：∠DAE＝∠B， ∴AE//BC， ∴∠EAC＝∠C＝50°， 故答案为：50． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握知识点是解题关键． 4．阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P的直线m，使得m∥l． 小东的作法如下： 作法：如图2， （1）在直线l上任取点A，连接PA； （2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C； （3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D； （4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m． 老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断． 【详解】∵∠EPA=∠CAP，∴m∥l（内错角相等，两直线平行）． 故答案为内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型． 5．如图，已知，，延长至点D． (1)过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的尺规作图，平行线的性质： （1）根据平行线的尺规作图方法作图即可； （2）根据平行线的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，，， ∴， ∴． 题型九 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 1．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A．带去 B．带去 C．带去 D．带去 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形． 【详解】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的； 第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据来配一块一样的玻璃． 最省事的方法是应带③去，理由是：． 故选：C． 2．如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．利用全等三角形判定定理分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知，， ， 用“”证，还需， 故选：C 3．如图，测量水池的宽，可过点A作直线，再由点C观测，在延长线上找A一点，使，这时只要量出的长，就知道的长．这个测量用到判定三角形全等的方法是 ． 【答案】 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系． 【详解】解：， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：． 4．有一个专用三角形模具损坏后只剩如图阴影部分，在图中测量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，其根据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据三角形全等的判定方法解答即可． 【详解】解：测量出、、后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，其根据是． 故答案为：． 5．如图，点E在的边上，，，． 求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，先由平行线的性质得到，再利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型十 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 1．要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再定出的垂线，使A，C，E在一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长．判定的理由是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．结合图形根据三角形全等的判定方法解答． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ∴， 故选：A． 2．如图点O在上，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判判定以及性质，根据题意，利用先证明，得到，，利用线段的和差关系，即可求出的长度． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：C． 3．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是根据题意，则，根据对顶角相等，求出，再根据，判定三角形，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图，是的平分线，过点作，垂足为，若，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质．延长交于点，证明，推出，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：延长交于点， ∵是的平分线，， ∴，，又， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 5．如图，、相交于点O，，．求证： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形对应边相等是解题关键． （1）结合对顶角相等，证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ； （2）证明：由（1）可知，， ，， ， ． 题型十一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 1．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解答本题的关键．根据三角形全等的判定定理，，，，，分析每一个选项，只有C选项不能判定，由此得到答案． 【详解】选项中，，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中， ，，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 选项中，，，，不能判定，故本选项符合题意； 选项中，，得到，又，，符合，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 3．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，利用判定时，需要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，根据已经有，结合判定可得添加条件． 【详解】解：添加：， 理由是：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， 故答案为：． 4．如图，，请你添加一个条件： ，使． 【答案】（或或或）（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定及性质即可求解 ． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∴； 添加， ∵， ∴， ∴； 添加， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 添加， ∵， ∴， ∴； 综上所述，添加的条件为（或或或）（答案不唯一）， 故答案为：（或或或）（答案不唯一） ． 5．如图，点C，F在线段上，，请添加一个合适的条件使． (1)根据“”进行判定，需添加的条件是______；根据“”进行判定，需添加的条件是______； (2)请从（1）中选择一种，加以证明． 【答案】(1)；； (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）根据“”进行判定两个三角形全等，则需添加的条件是使相等的边为两相等角的夹边，根据“”进行判定两个三角形全等，则需添加的条件是使相等的角为两相等边的夹角，据此求解即可； （2）根据（1）所求结合全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，两个三角形已有一角和一边对应相等，若根据“”进行判定两个三角形全等，则需添加的条件是使相等的边为两相等角的夹边，即条件条件；若根据“”进行判定两个三角形全等，则需添加的条件是使相等的角为两相等边的夹角，即条件条件； 故答案为：；； （2）证明：添加条件， 在和中， ， ∴； 添加条件， 在和中， ， ∴． 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 1．根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A、根据，能够画出唯一确定的，符合题意； B、，不能构成三角形，不符合题意； C、不能得到唯一三角形，不符合题意； D、不能得到唯一三角形，不符合题意； 故选A． 2．如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，由与不全等，可得有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 【详解】解：由题意知，与中有两边和其中一边的对角分别相等， 与不全等， 有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． 故选A． 3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 4．根据，，， （填“能”或“不能”）画出唯一的． 【答案】能 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键． 根据三角形全等的判定方法判断即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴根据能得出与之全等的三角形， 即能画出唯一的， 故答案为：能． 5．如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】已知：，求证：；由“”可证，即可证明结论成立．也可以（1）（3）⇒（2）（4）或（2）（3）⇒（1）（4）或（1）（4）⇒（2）（3）或（3）（4）⇒（1）（2）．证明方法类似． 【详解】①已知：， 求证：， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②已知：，， 求证：，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，； ③已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ④已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，； ⑤已知：，， 求证：，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查证明的概念，根据题意写出已知、求证、证明过程，在证明时需要用到全等三角形的性质与判定，答案不唯一． 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 1．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 【答案】A 【分析】本题主要借助尺规作图考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据题意先画出相应的图形，然后进行推理论证即可得出结论． 【详解】甲的作法如图一： ∵为等边三角形，是的角平分线 ∴ 由甲的作法可知， 在和中， 故甲的作法正确； 乙的作法如图二： 在和中， 故乙的作法正确； 故选：A． 2．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据证明三角形全等即可． 本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 【详解】解：由作图可知，，，， 在和中， ， 故选：D． 3．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定画出三角形即可，注意观察图形，数形结合是解决本题的关键． 【详解】解：如图所示：    使，则这样的格点三角形最多可以画7个， 故答案为：7 4．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    【答案】6/六 【分析】根据全等三角形的判定分别求出以为公共边的三角形，以为公共边的三角形，以为公共边的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：如图所示， 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边可画出、、三个三角形和原三角形全等； 以为公共边不可以画出三角形和原三角形全等； 所以共有6个三角形和原三角形全等， 故答案为：6．    【点睛】本题考查全等三角形的判定，三条边分别相等的两个三角形全等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决问题的关键． 5．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由作图过程得到相应条件，再根据证明即可； （2）根据作图过程可得这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 【详解】（1）解：证明：在和中， ， ， ． （2）这种作一个角等于已知角的方法的依据是． 故答案为： 【点睛】本题考查了作图应用与设计作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法． 题型十四 连接两点作辅助线全等(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】连接，可证≌，根据全等三角形对应角相等可以得到，，代入角度即可求出和的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】连接，如图， 在与中 ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，添加正确的辅助线是解题的关键． 2．如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 【答案】A 【分析】首先证明，再利用勾股定理即可求解． 【详解】如图连接BD， ， ， ， ， 在中，， ∴， 在中，，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查三角形全等的证明和勾股定理，解题的关键是能通过已知的条件结合三角形全等的判定方法来证明三角形全等，结合垂直关系和边的等量代换运用勾股定理求边长． 3．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 【答案】全等三角形的对应边相等 【分析】连接AB，，可以证△AOB≌△COD（SAS），依所据全等三角形对就边相等得所以测量CD的长也就等于测量了工件内槽AB的长． 【详解】解：连接AB，，如图， ∵点O分别是AC、BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD． 在△AOB和△COD中， OA＝OC，∠AOB＝∠COD（对顶角相等），OB＝OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴CD＝AB（全等三角形的对应边相等）． 故答案为：全等三角形的对应边相等． 【点睛】本题考查全等三角形的应用，在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 4．在△ABC中，AC=5，AB=9，则BC边上的中线AD的范围是 ． 【答案】2＜AD＜7 【详解】延长AD到E，使DE=AD，连接CE， ∵AD=DE，∠ADB=∠EDC，BD=CD， ∴△ABD≌△ECD， ∴EC=AB=9， △AEC中， ∵9-5=4，9+5=14，∴4＜2AD＜14， ∴2＜AD＜7， 故答案为2＜AD＜7． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，遇中线加倍延长，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 5．（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　． （2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小． 【答案】（1）∠EAF=∠BAD；（2）仍然成立，见解析；（3）70° 【分析】（1）根据小明同学的探究方法不难得到∠EAF= ∠BAD； （2）延长FD到G，使DG=BE，连接AG，根据同角的补角相等求出∠B=∠ADG，然后利用“边角边”证明△ABE和△ADG全等，根据全等三角形对应边相等可得 AE=AG ，∠BAE=∠DAG，再求出∠EAF=∠GAF，然后利用“边角边”证明△AEF和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GF，然后求解即可； （3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，然后求出∠OAC+∠OBC=180°，判断出符合探索延伸的条件，再根据探索延伸的结论解答即可． 【详解】解：(1)如图①，延长FD到G，使DG=BE，连结AG． 在△ABE和△ADG中，AB=AD，BE=DG，∠B=∠ADG=90°， ∴△ABE≌△ADG，∴AE=AG， 在△AEF和△AGF中，AE=AG，AF=AF，EF=BE+FD=DG+FD=GF， ∴△AEF≌△AGF，∴∠EAF=∠GAF=∠GAD+∠DAF=∠EAB+∠DAF ∴∠BAD=∠EAF+∠EAB+∠DAF=2∠EAF ∴∠EAF=∠BAD (2)∠EAF=∠BAD仍然成立． 证明：如图②，延长FD到G，使DG=BE，连接AG． ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADC+∠ADG=180°，∴∠B=∠ADG， ∴△ABE≌△ADG（SAS）．∴AE=AG，∠BAE=∠DAG． 又∵EF=BE+DF，DG=BE，∴EF=DG+DF=GF． ∴△AEF≌△AGF（SSS）．∴∠EAF=∠GAF．        又∵∠GAF=∠DAG+∠DAF，∴∠EAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF． 而∠EAF+∠BAE+∠DAF=∠BAD， ∴∠EAF=∠BAD (3)如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C． ∵2小时后，舰艇甲行驶了120海里，舰艇乙行驶了160海里， 即AE=120，BF=160．而EF=280，∴在四边形AOBC中，有EF=AE+BF， 又∵OA=OB，且∠OAC+∠OBC=（90°﹣30°）+（70°+50°）=180°， ∴符合(2)中的条件．   又∵∠AOB=30°+90°+（90°﹣70°）=140°，∴∠EOF=∠AOB =70°． 答：此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小为70°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，读懂问题背景的求解思路，作辅助线构造出全等三角形并两次证明三角形全等是解题的关键，也是本题的难点． 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，先画出图形，延长至点，使得，连接，再利用定理证出，根据全等三角形的性质可得，然后根据三角形的三边关系定理即可得． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，则，   是的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，，即， ， 观察四个选项可知， 的长不可能是， 故选：D． 2．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形三边之间的关系，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 延长至，使，连接．由证明，得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接． 则， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ， 故选：A． 3．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系．画出图形，延长至，使，连接，证明得到，利用三角形的三边关系即可解答． 【详解】解：如图，延长至，使，连接， ∵为边上中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， ∴． 故答案为：． 4．如图，是△的中线，，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．延长至H，使，连接，证明，推出，再利用三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， ， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 【答案】（1）；3（答案不唯一）；（2）详见解析；（3）2 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解； 【详解】（1）解：∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴ 可得， 即：， ∴，的可能取值为3 故答案为：；3（答案不唯一） （2）证明：延长至点，使得，连接，如图所示： 由题意得：， ∵，, ∴， ∴，， ∴ ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解： 由（2）可得：， ∴ ∴ ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用三角形内角和定理求出∠A′CB′=30°，然后利用旋转的性质得到BC=B′C，再利用全等三角形的判定和性质得到A′B=A′B′进而求出此题的答案． 【详解】解：如图，连接A′BA′B．    ∵∠A=45°，∠B'=105°， ∴∠A′CB′=180°−45°−105°=30°， ∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°后得到△A'B'C， ∴∠B′CB=60°，AB=A′B′=， ∴∠A′CB=60°−30°=30°， ∴∠A′CB′=∠A′CB， 在△A′B′C和△A′BC中 , ∴△A′B′C≌△A′BC， ∴A′B′=A′B=， 故选A． 【点睛】本题主要考查的是旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的有关知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键． 2．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边三角形的性质、三角形的全等证明，得到三角形的全等，即可选出答案； 【详解】解：△EBC≌△DAC，△GCE≌△FCD，△BCG≌△ACF．理由如下： BC=AC，EC=CD，∠ACB=∠ECD，∠ACE是共同角⇒△EBC≌△DAC． CD=EC，∠FCD=∠ECG，∠GEC=∠CDF⇒△GCE≌△FCD． BC=AC，∠GBC=∠FAC，∠FCA=∠GCB⇒△BCG≌△ACF． 故选C． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及旋转的性质的综合运用．解题的关键在于熟练掌握等边三角形的性质与全等三角形的判定方法． 3．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 【答案】1 【分析】将三角形ABC绕点C顺时针旋转至AB与AE重合，连AC，AD，可得Rt△ABC≌Rt△AEF，△ACD≌△AFD可将五边形ABCDE的面积转化为两个△ADF的面积，进而求出结论． 【详解】解：延长DE至F，使EF=BC，连AC，AD，AF， 由旋转的性质可得Rt△ABC≌Rt△AEF（SAS）， ∴AC=AF，，∠B=∠AEF=90°， ∴∠DEF=∠AED+∠AFE=180°， ∴D、E、F三点共线， 又∵AD=AD， ∴△ACD≌△AFD（SSS）， ∴， ∵AB=CD=AE=BC+DE，， ∴DF=CD=1， ∵， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查全了等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    【答案】3 【分析】如图，连接AD．证明Rt△ADF≌Rt△ADC（HL），推出DF＝DC＝1，可得结论． 【详解】解：如图，连接AD．    在Rt△ADF和Rt△ADC中， ， ∴Rt△ADF≌Rt△ADC（HL）， ∴DF＝DC， ∵BD＝5，BC＝4， ∴CD＝DF＝5﹣4＝1， ∵EF＝BC＝4， ∴DE＝EF﹣DF＝4﹣1＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 5．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 【答案】（1）∠DAE＝28°；（2）见解析 【分析】（1）利用AB∥DE内错角相等∠EAB=∠E =37°再计算∠DAE=∠DAB-∠EAB即可， （2）证明：由（1）和已知得∠DAE=∠B＝28°，证△ADE≌△BCA（ASA）即可． 【详解】（1）解：∵AB∥DE，∠E=37°， ∴∠EAB=∠E =37°， ∵∠DAB=65°， ∴∠DAE=∠DAB-∠EAB=65º-37º=28°， （2）证明：由（1）得∠DAE＝28°∵∠B＝28°， ∴∠DAE=∠B， 在△ADE与△BCA中， ， ∴△ADE≌△BCA（ASA）， ∴AD＝BC． 【点睛】本题考查求角的度数与线段相等问题，掌握平行线的性质，会利用平行线求角，会计算两角的差，会证三角形全等，会利用全等解决线段相等是关键． 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图， 由题意知：AE=BF=3，CF=BE=1，∠AEB=∠BFC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCF，AB=BC， 又∵∠BCF+∠CBF=90°， ∴∠ABE+∠CBF=90°， ∴为等腰直角三角形， 故选：D 2．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】通过SAS证明全等，进而证明AB=BC，∠ABC=90°，进而得到答案． 【详解】如图，由题意知：AE=BD=2，CD=BE=1，∠AEB=∠BDC=90°， 在和中： ∴， ∴∠ABE=∠BCD，AB=BC， 又∵∠BCD+∠CBD=90°， ∴∠ABE+∠CBD=90°， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：D． 3．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    【答案】 【分析】过点C作CD⊥y轴于点D，由△ABC为等腰直角三角形即可得出∠ABC＝90°、AB＝BC，通过角的计算即可得出∠ABO＝∠BCD，再结合∠CDB＝∠BOA＝90°即可利用AAS证出△ABO≌△BCD，由此即可得出BD、CD的长度，进而可得出点C的坐标． 【详解】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． ∵CD⊥BD，BO⊥AO， ∴∠CDB＝∠BOA＝90°． ∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠CBD+∠BCD＝90°， ∴∠ABO＝∠BCD． 在△ABO和△BCD中， ， ∴△ABO≌△BCD（AAS）， ∴BD＝AO，CD＝BO， ∵A（4，0），B（0，6）， ∴BD＝4，CD＝6， ∴点C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题结合等腰直角三角形和坐标点综合考查，关键在于辅助线的作法，过C点作垂直于x轴的垂线还是垂直于y轴的垂线是解题关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 【答案】10 【分析】作轴于，轴于，求出∠∠，证，推出，即可． 【详解】 作轴于，轴于， ，则四边形是正方形， ∴，∠∠°， ∴∠∠ 在和中， ， ∴， 则，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质的应用，关键是添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 5．如图：在正方形网格中，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上）． （1）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△DEF． （2）求△ABC的面积为　 　． （3）在△ABC中，作出BC边上的中线AG和AC边上的高线BH．（要求只能通过连接格点方式作图）． 【答案】（1）见解析；（2）3；（3）见解析 【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出A、B、C的对应点D、E、F即可； （2）利用三角形面积公式计算； （3）找到BC的中点可画出中线AG，通过构建△BNM与△CKA全等得到BM⊥AC，从而高BG． 【详解】解：（1）如图，△DEF为所作； （2）S△ABC＝×3×2＝3； 故答案为3； （3）如图，AG和BH为所作． 【点睛】本题考查了作图−平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】利用垂直的定义得到，则，于是可对①进行判断；利用“”可证明，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到，则根据三角形内角和和对顶角相等得到，于是可对③进行判断． 【详解】解：，， ，， ， 即，所以①正确； 在和中， ， ，所以②正确； ， ∵∠AFD=∠MFB， ， ，所以③正确． 故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 2．如图，中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，得出△ABP≌△AEP，从而将四条不同的线段转化到一个三角形中进行求解，即可得出结论． 【详解】解： 如图，在CA的延长线上取一点E，使AE=AB，连接EP． 由AD是∠BAC的外角平分线，可知∠BAP=∠EAP， 又AP是公共边，AE=AB， 故△ABP≌△AEP 从而有BP=PE， ∵在△CPE中，CB+PE＞CE ∴CB+PB＞CE 而CE=AC+AE=AC+AB ∴CB+PB＞AB+AC， 故选D. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形三边关系的问题，应熟练掌握． 3．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 【答案】1 【分析】延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解． 【详解】解：延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ， ∴阴影部分的面积； 故答案为：1． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键． 4．如图，方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段AB，在这个格点纸上找一点C，使得△ABC与这个格点三角形全等，这样的C点可以找到 个． 【答案】4个 【详解】试题分析：根据三边相等可得：有4个三角形可以和已知三角形全等. 考点：三角形全等的判定 5．如图所示，、两点被池塘隔开，不能直接测量．在、外选一点，连接 和．请你设计一个简单的方案，说明如何测量的实际距离，并简要说明理由． 方案： ；理由： ． 【答案】方案：①取的中点，的中点，连接；②测量的长度，则的实际距离为的2倍，即；理由：∵、是、的中点，∴是的中位线，∴． 【分析】根据题意列出不同方案即可. 【详解】方案：①取的中点，的中点，连接； ②测量的长度，则的实际距离为的2倍，即． 理由：∵、是、的中点 ∴是的中位线       ∴． 方案：①在的延长线上取点，使得； 在的延长线上取点，使得，连接； ②测量的长度，则的实际距离为，即． 理由：在和中     ∴≌ (SAS)      ∴． 备注：方案设计不唯一，其它方案只要合理，均应给出相应分数． 【点睛】本题考查三角形全等的应用,关键在于熟练掌握全等的判定和性质. 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 2．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①直线AB上取点F，使EF=BE，①直线AB上取点F，使EF=BE，即可得到△BCE和△FCE全等，再由AB=AD+2BE即可求解； ②由①可证明△ACD和△ACF全等，再根据即可求解； ③由②即可得解； ④由②即可得解． 【详解】解：①在AE取点F，使． 在Rt△BCE与Rt△FCE中， ∴， ∴△BCE≌△FCE， ，， ， ， ， ，故①正确； ②AB上取点F，使，连接CF． 在与中，，，， ， ． 垂直平分BF， ， ． 又， ， ，故②正确； ③由②知，，， 又， ，故③正确； ④易证， ， 又， ， ，故④正确． 故答案为：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键． 3．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    【答案】1 【分析】根据全等三角形的性质可以得出AC=BE，CD=BC， ，根据以上结论可以推导出 ，，即可求解． 【详解】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AC＝BE， ∵在Rt△BEC中，BE＜BC， ∴AC＜BC， ∴①错误； ∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD， ∴∠D≠∠BED， ∴AD和BE不平行， ∴②错误； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE， ∵∠CAD＝90°， ∴∠ACD+∠D＝90°， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCE＝90°， ∴③正确； ∵Rt△ACD≌Rt△EBC， ∴AD＝CE，CD＝BC， CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC， ∵BE＜BC， ∴AD+DE＞BE， ∴④错误； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边大于直角边等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键． 4．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 【答案】a-b 【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题. 【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠A′CD， 在△ADC和△A′DC中， ， ∴△ADC≌△A′DC（SAS）， ∴DA′=DA，∠CA′D=∠A， ∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB， ∴∠A′DB=∠B， ∴BA′=A′D=AD， ∴BC=CA′+BA′=AC+AD ∴AD=BC-AC=a-b， 故答案为：a-b. 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 5．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 【答案】（1）；（2）BE+CP=BC，理由见解析． 【分析】（1）先证得为等边三角形，再利用平行线的性质可求得结论； （2）由BP、CE是△ABC的两条角平分线，结合BE=BM，依据“SAS”即可证得△BEO≌△BMO；利用三角形内角和求出∠BOC=120°，利用角平分线得出∠BOE=∠BOM=60，求出∠BOM，即可判断出∠COM=∠COP，即可判断出△OCM≌△OCP，即可得出结论； 【详解】（1）∵，， ∴为等边三角形， ∴∠ACD=， ∵， ∴∠BAC=∠ACD=； （2）BE+CP=BC，理由如下： 在BC上取一点M，使BM=BE，连接OM，如图所示： ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBE=∠OBM=∠ABC， 在△BEO和△BMO中，， ∴△BEO△BMO(SAS)， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∵BP、CE是△ABC的两条角平分线， ∴∠OBC+∠OCB= 在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180， ∵∠BAC =60， ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=180-60=120， ∴∠BOC=180-(∠OBC+∠OCB)=180=180-×120=120， ∴∠BOE=60， ∴∠COP=∠BOE=60 ∵△BEO≌△BMO， ∴∠BOE=∠BOM=60， ∴∠COM=∠BOC-∠BOM=120-60=60， ∴∠COM=∠COP=60， ∵CE是∠ACB的平分线， ∴∠OCM=∠OCP， 在△OCM和△OCP中， ∴△OCM≌△OCP（ASA）， ∴CM=CP， ∴BC=CM+BM=CP+BE， ∴BE+CP=BC． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形内角和定理、全等三角形的判定和性质，证明∠CFM=∠CFD是解题的关键． 题型二十 全等三角形综合问题 1．如图，，，，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定．解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 证明,得到，得到，结合，，得到，得到，判断①；，判断②； 根据，，即得 判断③． 【详解】如图，∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴，①不正确； ，②正确； ∵，， ∴，③正确． ∴正确的有②③，共2个． 故选：C． 2．已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：；；；．其中，符合要求的条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等图形的判断，三角形全等的判定，根据两个完全重合的图形叫全等图形，结合三角形全等直接逐个判断即可得到答案，熟练三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：符合要求的条件是，选证明， 如图，连接、 ， 在与 中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴四边形和四边形中， ，，， ， ，，，， ∴四边形四边形， 同理可以证明， 故选：． 3．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时， s． 【答案】3或7或10 【分析】本题考查三角形全等的性质，根据题意分两种情况：①当在线段上时，②当在上，再分别分成两种情况，求解即可，分情况讨论是解题关键． 【详解】解：①当在线段上，时，   ， ， ， 点 的运动时间为 秒． ②当在上，时，如图所示：， ， ， ． 点 的运动时间为 秒． ③当在上，时，如图所示： 此时， ， 点的运动时间为 秒； ④当在线段上，时，这时在点未动，因此时间为秒不符合题意． 故答案为：3或7或10． 4．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定得出两种情况，求出每种情况的x值即可． 【详解】解：要使与全等，有两种情况：①， 点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为， ； ②，， 时间为秒， 即， 所以的值是或， 故答案为：或． 5．如图，在中，O为的中点，，的延长线交于点E． (1)求证：O为线段的中点． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质， （1）根据中点及平行的性质可证，得，即可求证； （2）由全等三角形的性质可得，由即可求解． 【详解】（1）证明：为的中点， ， ， ， 在和中， ， ， ，即为线段的中点； （2）解：由（1）已知， ， ， ． 题型二十一 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质；证明可得，进而可得的周长． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴的周长； 故选：D． 2．如图，已知是的角平分线，，交于点E、，交于点F，则下列说法：①；②；③；④；⑤，错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由，，可判断②错误，④正确，由是的角平分线，可得到①和③正确，由可得⑤正确 【详解】∵，， ∴，， 故选项④正确，不符合题意；选项②错误，符合题意； ∵是的角平分线， ∴， 故选项③正确，不符合题意； ∴， 故选项①正确，不符合题意； 在和中， ， ∴， 故选项⑤正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定、角平分线的性质及平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键 3．如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 过点作于点，由角平分线的性质可知，再由三角形面积公式即可得出结论． 【详解】过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴ 故答案为：6． 4．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．    【答案】 【分析】延长DE交AB于G，根据平分，且，证明≌，得到，，再利用E是边的中点，证明≌得到，利用周长公式即可求得答案． 【详解】解：延长DE交AB于G，如图    ∵平分，且， ∴， 在和中， ∴≌ 则， 又∵E是边的中点， ∴ 在和中， ∴≌ 则， , 则， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定种类，解题的关键是作辅助线． 5．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 【答案】，，AP平分；证明见解析 【分析】本题考查全等三角形、角平分线的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，角平分线的定义． 【详解】由题意得，，，根据这两个条件可推导出平分， 故答案为：，；平分． 证明，如下： ∵是公共边， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴平分． 题型二十二 角平分线的判定定理 1．如图，，是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件和平行线的性质可得，过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据是的中点，可得，根据角平分线的判定定理可得是的角平分线，进而可得 【详解】如图，过点作于点， ,平分， ， 是的中点， 平分 故选A 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，掌握角平分线的性质与判定是解题的关键． 2．有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质定理和判定定理即可作出判断． 【详解】角平分线的任意一点到角的两边的距离相等，故①错误； 角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故②错误； 角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等，根据角平分线的性质定理知，③正确； 在ABC中三个内角的平分线的交点到三角形三边的距离相等，故④错误． 所以正确的只有一个． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理与判定定理，掌握这两个定理是解答本题的关键． 3．如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 【答案】到角两边距离相等的点在角平分线上 【分析】作交于点，作交于点，根据，可得出，然后根据角平分线性质定理的逆定理即可求解． 【详解】解：如图所示，作交于点，作交于点， ∵，， 又∵， ∴， ∵，， ∴是角平分线． ∴依据是：到角两边距离相等的点在角平分线上． 故答案为：到角两边距离相等的点在角平分线上． 【点睛】此题考查了三角形面积，角平分线的性质定理的逆定理，解题的关键是作出辅助线，根据面积和底边相等得出高相等． 4．如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为 ． 【答案】72°/72度 【分析】求出O为△ABC的三条角平分线的交点，求出∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，求出∠OBC+∠OCB，再根据三角形内角和定理求出∠A的度数即可； 【详解】解：∵ 在△ ABC中，点O是△ABC内的一点，且点O到△ ABC三边距离相等， ∴ O为△ABC的三条角平分线的交点， ∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB， ∵∠BOC=126°， ∴∠OBC+∠OCB=180°-∠BOC=54°， ∴∠ABC+ ∠ACB=54°， ∴∠ABC+∠ACB=108°， ∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB =72°， 故答案为：72°． 【点睛】本题考查了角平分线的有关计算，三角形内角和定理的应用，能正确掌握与角平分线有关的三角形内角和问题是解题的关键； 5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）由条件可利用AAS先证明△BOD≌△COE，即可证明OD=OE； （2）利用角平分线的判定定理即可证明OA平分∠BAC． 【详解】证明：（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO=∠CEO． 在△BOD和△COE中， ， ∴△BOD≌△COE（AAS）， ∴OD=OE． （2）∵OD⊥AB，OE⊥AC，且OD=OE， ∴∠BAO=∠CAO， 即AO平分∠BAC． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的判定，利用三角形全等来找条件是解本题的关键． 题型二十三 角平分线性质的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，理解角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵亭子中心到三条马路的距离相等， ∴亭子中心就是的三个内角的平分线的交点， 因此，A、B、C三个选项都不符合要求， 设和两条角平分线的交于点，作于点，于点，于点，如图所示，    ∵平分，，， ∴， 同理可得：， ∴， 即点到三边的距离相等， 亭子应建在点，因此，D选项正确． 故选：D． 2．如图，在ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则（    ） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 【答案】A 【分析】根据角平分线的性质可得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵AD是角平分线， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线上任意一点到两点的距离相等是解本题的关键． 3．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则 ． 【答案】3.5 【分析】作，根据角平分线的性质计算即可； 【详解】作， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案是． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质应用，准确计算是解题的关键． 4．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 cm2． 【答案】15． 【分析】根据角平分线性质，可得OD=OE=OF=cm，将三角形分三个小三角形，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，OD⊥BC， ∴OD=OE，OD=OF， ∴OD=OE=OF=cm， ∴S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=cm2． 故答案为15． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形面积，掌握角平分线性质，三角形面积求法是解题关键． 5．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，理解角平分线的性质是解题的关键． 题型二十四 作角平分线(尺规作图) 1．如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理：． 根据题目所给条件可利用定理判定，进而得到． 【详解】解：∵在和中， ， ∴， ∴， ∴就是的平分线． 故选：B． 2．作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据角平分线的作图可得三边相等，即可作答． 【详解】连接， 在和中， ∵， ∴， 故答案为：A． 3．如图，△ABC的面积为12cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是 cm2． 【答案】6． 【分析】延长CD交AB于E，依据△ACD≌△AED，即可得到CD＝ED，进而得到S△BCD＝S△BED，S△ACD＝S△AED，据此可得S△ABD＝S△AED＋S△BED＝S△ABC． 【详解】解：如图所示，延长CD交AB于E， 由题可得，AP平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， 又∵CD⊥AP， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（ASA）， ∴CD＝ED， ∴S△BCD＝S△BED，S△ACD＝S△AED， ∴S△ABD＝S△AED+S△BED＝S△ABC＝×12＝6（cm2）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是作图−基本作图以及角平分线的定义，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 4．如图，是尺规法作∠AOB的平分线OC时保留的痕迹，这样作可使△OMC≌△ONC，全等的根据是 ． 【答案】SSS． 【分析】根据角平分线的作图方法解答． 【详解】根据角平分线的作法可知，OM＝ON，CM＝CN， 又∵OC是公共边， ∴△OMC≌△ONC的根据是“SSS”． 故答案为SSS． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟悉角平分线的作法，找出相等的条件是解题的关键． 5．如图，在中，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】本题主要考查尺规作角平分线以及角平分线的性质，掌握“角平分线上的点到角两边的距离相等”，是解题的关键． ①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于一点P；③连接，交于点D，点D即为所求． 【详解】解：如图所示，点D即为所求 证明：如图所示，过点D作交于点E，过点D作交于点F， 由作图可得，是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型二十五 线段垂直平分线的性质 1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的垂直平分线的判定：到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上．根据线段的垂直平分线的判定即可解答． 【详解】解：∵到线段两个端点距离线段的点在线段的垂直平分线上， ∴到三个顶点的距离相等的点应该在各边的垂直平分线上， ∴凉亭应选的位置是三条边的垂直平分线的交点． 故选：C 2．如图，在的周长为30，的垂直平分线分别交、于点D、E，，则的周长为（   ） A．22 B．24 C．26 D．20 【答案】A 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：是线段的垂直平分线， ， ， ， 的周长， ， 的周长， 故选：A． 3．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【详解】解：因为垂直平分，所以． 故答案为：5． 4．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 【答案】8 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等量代换思想的应用． 根据线段垂直平分线的性质可知，再利用已知条件结合三角形的周长计算即可． 【详解】解：的周长为，即， DE垂直平分AB， ， ， ， ， 故答案为：8． 5．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 【答案】22 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键． 根据的周长是14，可得，再由线段垂直平分线的性质定理，可得，，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵的周长是14， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ∴的周长． 题型二十六 线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 【答案】C 【分析】此题考查线段垂直平分线的判定：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，根据题意得到，判定点在的垂直平分线上，由此判断． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点D在线段的垂直平分线上， 故选C． 2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定，全等三角形的判定，先根据线段垂直平分线的性质得出是的垂直平分线，可判断A，B；再根据“边边边”证明C；能否确定三者之间的关系判断D． 【详解】∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 所以A，B正确； ∵， ∴， 所以C正确； 不能确定之间的关系，所以D不正确． 故选：D． 3．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．利用线段垂直平分线的判定定理判定垂直平分，再利用即可求解． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：2700． 4．如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了全等三角形的中与判定，垂直平分线的性质与判定，证明，可得，，进而可得垂直平分，则，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴ 又∵， ∴ ∴，，即平分；故①③正确， 又∵ ∴垂直平分，故④正确， ∵在上， ∴，故②正确， 故答案为：①②③④． 5．如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 【答案】相等，理由见解析 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，连接，中垂线的性质，推出，即可得出结论． 【详解】解：相等，理由如下： 连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵线段的垂直平分线交于点， ∴， ∴． 题型二十七 作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，线段的垂直平分线的定义，根据题意可得是的垂直平分线，从而可得，然后根据的周长为16，周长为，可得，从而可解答． 【详解】解：由作图可得：，， ∴， ∵周长为周长为16， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，利用线段的垂直平分线的性质证明，可得结论． 【详解】由作图可知垂直平分线段， ∴， ∴的周长． 故选：D． 3．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 【答案】2000 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，证明垂直平分，分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：∵，， ∴点在线段的中垂线上， ∴， 设交于点，则：， ∴制作这个风筝需要的布料至少为； 故答案为：2000． 4．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图，基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握五种基本作图方法，是解答本题的关键． 由作图得：垂直平分，故，，然后利用等线段代换计算的周长，由此得到答案． 【详解】解：由作图得： 垂直平分， ，， 的周长为， ， ， 即， 的周长是： ， 故答案为：． 5．（1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，，，求的周长． 【答案】（1）见解析；（2）18． 【分析】本题考查了作图-基本作图和线段垂直平分线的性质． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等线段代换得到的周长 【详解】解：（1）如图所示： （2）∵垂直平分 ∴ ∴的周长 题型二十八 作垂线(尺规作图) 1．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 【答案】A 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息．根据作图信息，一一判断即可． 【详解】解：由作图可知， 垂直平分线段，故D选项是正确的 ∴，故B选项是正确的； ∴，故C选项是正确的； 则不一定正确的是 故选：A 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 【答案】C 【分析】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．由题意可得垂直且平分，根据垂直平分线的性质可得，从而可得，求解即可． 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分， ， ， 故选：C． 3．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了基本作图，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， 的周长为， ， ， 即， ． 故答案为：32． 4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为16，AB=12，则△ABC的周长为 ． 【答案】28 【分析】根据基本作图可判断MN为AB的垂直平分线，则根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，则利用AC+CD+AD=16得到AC+CD+BD=16，即AC+BC=16，然后计算△ABC的周长． 【详解】解：由作法可得MN为AB的垂直平分线， 则DA=DB， ∵△ADC的周长为16， ∴AC+CD+AD=16， ∴AC+CD+BD=16， 即AC+BC=16， ∴△ABC的周长=， 故答案为28． 【点睛】本题考查了作图-基本作图：作线段的的垂直平分线线以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题关键． 5．如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 【答案】(1)；；到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． (2)见解析. 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质定理的逆定理， （1）根据作法和到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可得出答案； （2）模仿题干的作法即可按要求作图. 【详解】（1）解：根据作法可知：，，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （2）如图：即所求作高； 1．如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查以网格为背景的全等三角形的判定和性质，根据网格特征可利用判定，有，则，在正方形中即可知答案． 【详解】解：如图， 在和中， ∴， ∴， 则， 故选A 故选：A． 2．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据全等三角形的判定与性质可☆代表对应角，※代表，@代表，◎代表 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 3．如图，在和中，，，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④．给出下列结论：其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，只要证明，即可判断．解题的关键是证明三角形全等． 【详解】解：∵，则 ∴， 在和， ， ∴， ∴，，故①正确； 由知：，； 在和， ， ∴，故④正确； ∴． ∵， ∴，故③正确； 由于条件不足，无法证得②； 综上所述，正确的结论是①③④，共有3个． 故选：C． 4．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，延长，交于点G，构造，利用三角形中线的性质得出，进而求出，再由求出答案． 【详解】解：延长，交于点G， ∵在长方形中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 5．已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 【答案】D 【分析】利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：连接CN、DN． 由作图可知，CM=DM，CN=DN, 在△MCN和△MDN中， ， ∴△MCN≌△MDN（SSS）， ∴∠CMN=∠DMN， ∵∠AOB=∠CMN=∠DMN， ∴∠CMD=2∠AOB=40°， 故选：D 【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是 ． 【答案】2或4/或 【分析】本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用，路程、速度、时间之间的关系．能求出符合题意的所有情况是解题的关键．由题意知当与全等时，分和两种情况，根据全等的性质列方程求解即可． 【详解】解：∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为，，， ∴，，， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①当时， ， ∴，， 解得，； ②当时 ∴，， 解得，， 综上所述，t的值是2或4， 故答案为：2或4． 7．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，已知．若，则的度数为 ． 【答案】55 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．利用证明，可得，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：55． 8．如图，已知是的角平分线，增加下列条件：①；②；③；④，其中能使的条件有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题综合考查全等三角形的判定和性质，要使，必须证明，根据选项条件对应求证即可． 【详解】解：是的角平分线， ， ， 增加条件①时，，则； 增加条件②时，，则； 增加条件③时，，则； 增加条件④，则， 故答案为：①②③④． 9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 【答案】440． 【分析】作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，利用AAS证出△AEN≌△CDM，从而得出AN＝CM，EN＝DM，设BE＝5a，用含a的式子分别表示各个线段的长度，根据三角形的面积公式即可求出a2，然后根据三角形的面积公式求面积即可． 【详解】解：作DM⊥BC于M，AN⊥BC于N，如图所示： 则∠CMD＝∠BMD＝∠ANE＝90°， ∵∠ABC＝45°， ∴△BDM、△BAN是等腰直角三角形， ∴BM＝DM，BN＝AN， ∵AE⊥CD， ∴∠AEN+∠EAN＝∠AEN+∠DCM＝90°， ∴∠EAN＝∠DCM， 在△AEN和△CDM中， ， ∴△AEN≌△CDM（AAS）， ∴AN＝CM，EN＝DM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∴BM＝DM＝CN＝EN， ∵BE：CE＝5：6， ∴设BE＝5a， 则CE＝6a，BC＝BE+CE＝11a，BM＝DM＝CN＝EN＝CE＝3a，AN=CM＝BC﹣BM＝8a， ∴CD2＝DM2+CM2＝（3a）2+（8a）2＝73a2， ∵S△BDE＝BE×DM＝×5a×3a＝75， ∴a2＝10， ∴S△ABC＝BC×AN＝×11a ×8a＝44 a2＝440； 故答案为：440． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质和求三角形的面积，掌握构造全等三角形的方法、三角形的面积公式和方程思想是解决此题的关键． 10．如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，垂线段最短等知识，把求最小值转化为求最小值是解题的关键；连接，过B作于G；由垂直平分，得，，则，当B、E、F三点共线，且即重合时，最小，从而最小；利用面积相等关系即可求得最小值． 【详解】解：如图，连接，过B作于G； ∵垂直平分， ∴，， ∴， 当B、E、F三点共线，且即重合时，最小， 从而最小，最小值为线段的长； ∵， ∴． 故答案为：． 11．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    【答案】见解析 【分析】如图所示，按图中实线部分即可将原图形划分为4个全等的图形，且能拼成一个正方形．（答案不唯一） 【详解】    【点睛】本题考查全等图形，解题的关键是掌握全等图形的定义，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 12．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得，，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 13．如图，，，D为上一点，分别过A、C作的垂线，垂足分别为E、F， (1)； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，解此题的关键是推出． （1）根据已知和三角形内角和定理求出，根据即可推出； （2）根据全等三角形的性质得出即可求解． 【详解】（1）证明：∵过作的垂线，垂足分别为， ， ， ， ， 在和中 ， ． （2）证明：， ， ． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图，利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识，根据利用网格作已知直线的平行线，网格与勾股定理的应用，点到直线的距离，全等三角形的判定与性质等知识作出相应直线即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． ， 15．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G，连接AF． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠CAE＝24°，求∠AFB的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据三角形的内角和定理、对顶角相等可得，从而可得，分别过点作于点，过点于点，再根据三角形全等的判定定理证出，然后根据全等三角形的性质可得，最后根据角平分线的判定定理即可得． 【详解】证明：（1）， ，即， 在和中，， ， ； （2）， ，即， ， ， 如图，分别过点作于点，过点于点， 在和中，， ， ， 是的角平分线， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、角平分线的判定定理等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！131 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十二章 三角形 12.5 全等三角形的判定（28大题型提分练） 题型一 用SSS证明三角形全等(SSS) 1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边、上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，过角尺顶点作射线，由此作法便可得，其依据是（   ） A． B． C． D． 2．用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 3．如图，由4个小正方形组成的田字格中，的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与全等的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有 个， 4．如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．它们运动的时间为，则点Q的运动速度为 ，使得A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等． 5．如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 题型二 用SSS间接证明三角形全等(SSS) 1．如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（    ） A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④ 2．如图，AD＝BC，AE＝CF．E、F是BD上两点，BE＝DF，∠AEB＝100°，∠ADB＝30°，则∠BCF的度数为（    ） A．30° B．60° C．70° D．80° 3．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，AB = CD，AE = DF，CE= BF．若∠A=55°，∠E=84°，则∠DBF的大小为 4．已知一条线段作等边三角形，使其边长等于已知线段，则作图的依据是 ． 5．如图，点在同一条直线上，，，．求证：． 题型三 全等的性质和SSS综合(SSS) 1．如图，，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在四边形中，，，则与的关系是(   ) A． B． C． D．不能确定 3．如图，在中，，．若，，则 °． 4．如图，点在一条直线上，，，．若，，则 ．    5．如图，已知，，，求证：． 题型四 用SAS证明三角形全等(SAS) 1．如图，公园里有一座假山，要测假山两端A、B之间的距离，先在平地上取一点，分别连接并延长、到点D、E，使、，连接，此时，通过测量的长就可以得到假山两端A、B之间的距离．其中判定的依据是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 D．如果两个三角形不全等，那么这两个三角形的面积一定不相等 3．如图，在中，，，，、两点分别在线段和的垂线上移动（、不与点、重合），线段，则当 时，和全等． 4．如图是小明用同一种材料制成的金属框架，已知，，，则 ，其依据是 ． 5．如图，，，．求证：． 题型五 用SAS间接证明三角形全等(SAS) 1．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，连接并测量出它的长度，的长度就是A，B间的距离．那么判定和全等的依据是（    ） A． B． C． D． 2．下列表格中，填入“◎”处正确的是（    ） 已知：，且． 求证： 证明： 又， ∴ （◎）    A． B． C． D． 3．如图，为了测量A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，使，然后在的延长线上确定点D，使，那么只要测量出的长度就得到A、B两点之间的距离，其中的依据是 ．    4．填空：把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 已知：如图，，，，试说明． 解：已知 ______（______） 在与中 ≌（______） （______） 5．如图所示，在中，，D，E是，的中点，求证：． 题型六 全等的性质和SAS综合(SAS) 1．如图，在的正方形网格中，的顶点和线段的端点都在小正方形的顶点上，这样的三角形叫做格点三角形．请你在图中找出所有满足条件的点D，使得以D、E、F为顶点的格点三角形与全等，这样的点D有（   ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图1，两个大小不同的三角板叠放在一起，图2是由它得到的抽象几何图形，已知，且点在同一条直线上，，，连接．现有一只壁虎以的速度沿的路线爬行，则壁虎爬到点所用的时间为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，是边上的中线．已知，则长的取值范围 ． 4．如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则 °． 5．已知：如图，A、F、C、D四点在同一直线上，，，且．请判断与的关系，并说明理由． 题型七 尺规作一个角等于已知角 1．如图，用直尺和圆规作两个全等三角形，能得到的依据是（    ） A．SAS B．SSS C．ASA D．AAS 2．如图，请仔细观察用直尺和圆规作的三个步骤，第一步：以为圆心，任意长为半径画弧，分别交的两边于点和点．第二步：连接，以为圆心，为半径画弧，与第一步中的弧交于点，作射线，射线就是射线．第三步：连接，证明即可，则这两个三角形全等的依据是（    ）    A．边角边 B．角边角 C．角角边 D．边边边 3．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点；②以点为圆心，长为半径在内画弧，交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点；④作射线交于点．若，，则的度数为 ． 4．用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是 ． 5．如图，是等边三角形，是的一个外角．请用尺规作图法，求作射线，使．（保留作图痕迹，不写作法） 题型八 过直线外一点作这条直线的平行 1．如图1，使用尺规经过直线l外的点P作已知直线l的平行线，作图痕迹如图2： 下列关于图中的四条弧线①、②、③、④的半径长度的说法中，正确的是（    ） A．弧②、③的半径长度可以不相等 B．弧①的半径长度不能大于的长度 C．弧④以的长度为半径 D．弧③的半径可以是任意长度 2．下面四个图是小明用尺规过点作边的平行线所留下的作图痕迹，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，∠CAD为△ABC的外角，按以下步骤作图： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N； ②以点A为圆心，以BM长为半径画弧，交AD于点P； ③以点P为圆心，以MN长为半径画弧，交前一条弧于点Q； ④经过点Q画射线AE，若∠C＝50°，则∠EAC的大小是 度． 4．阅读下列材料： 数学课上老师布置一道作图题： 已知：直线l和l外一点P． 求作：过点P的直线m，使得m∥l． 小东的作法如下： 作法：如图2， （1）在直线l上任取点A，连接PA； （2）以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交线段PA于点B，直线l于点C； （3）以点P为圆心，AB长为半径作弧DQ，交线段PA于点D； （4）以点D为圆心，BC长为半径作弧，交弧DQ于点E，作直线PE．所以直线PE就是所求作的直线m． 老师说：“小东的作法是正确的．” 请回答：小东的作图依据是 ． 5．如图，已知，，延长至点D． (1)过点C作（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求的度数． 题型九 用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS) 1．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ） A．带去 B．带去 C．带去 D．带去 2．如图，已知，用“AAS”证，还需（    ） A． B． C． D． 3．如图，测量水池的宽，可过点A作直线，再由点C观测，在延长线上找A一点，使，这时只要量出的长，就知道的长．这个测量用到判定三角形全等的方法是 ． 4．有一个专用三角形模具损坏后只剩如图阴影部分，在图中测量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，其根据是 ． 5．如图，点E在的边上，，，． 求证：． 题型十 全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS) 1．要测量河两岸相对的两点A，B间的距离，先在的垂线上取两点C，D，使，再定出的垂线，使A，C，E在一条直线上，如图，可以证明，得到，因此测得的长就是的长．判定的理由是(    ) A． B． C． D． 2．如图点O在上，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，垂足分别为、，、交于点，已知，，则 ． 4．如图，是的平分线，过点作，垂足为，若，，则的度数是 ． 5．如图，、相交于点O，，．求证： (1)； (2) 题型十一 添加条件使三角形全等(全等三角形的判定综合) 1．如图，已知，，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定的选项是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，利用判定时，需要添加的条件是 ． 4．如图，，请你添加一个条件： ，使． 5．如图，点C，F在线段上，，请添加一个合适的条件使． (1)根据“”进行判定，需添加的条件是______；根据“”进行判定，需添加的条件是______； (2)请从（1）中选择一种，加以证明． 题型十二 灵活选用判定方法证全等(全等三角形的判定综合) 1．根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，把长短确定的两根木棍，的一端固定在处，和第三根木棍摆出固定，木棍绕转动，得到，这个实验说明（    ） A．有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等 B．有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等 C．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 D．有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等 3．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 4．根据，，， （填“能”或“不能”）画出唯一的． 5．如图，在中，C，D是边上的两点，有下面四个关系式：（1），（2），（3），（4）请用其中两个作为已知条件，余下两个作为求证的结论，写出你的已知和求证（请写具体内容，不要写序号）并证明． 已知： 求证： 证明： 题型十三 结合尺规作图的全等问题(全等三角形的判定综合) 1．如图，为等边三角形，要在外部取一点，使得和全等，下面是两名同学做法：（    ） 甲：①作的角平分线；②以为圆心，长为半径画弧，交于点，点即为所求； 乙：①过点作平行于的直线；②过点作平行于的直线，交于点，点即为所求． A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 2．已知，按图示痕迹做，得到，则在作图时，这两个三角形满足的条件是( ) A．， B．， C．，， D．，， 3．如图，的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．若要在图中再画1个格点三角形，使，则这样的格点三角形最多可以画 个．    4．如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，则与有一条公共边且全等（不与重合）的格点三角形（顶点都在格点上的三角形）共有 个．    5．作一个角等于已知角的方法： 已知： 求作：，使，    作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C、D； （2）画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点； （4）过点画射线，则． 请你根据提供的材料完成下列问题． (1)请你证明． (2)这种作一个角等于已知角的方法的依据是________________________． 题型十四 连接两点作辅助线全等(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，已知：，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 2．如图：△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝3，AC＝6，则AD的长为（　　） A．3 B．6 C．9 D．4 3．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）在图中，只要量出的长，就能求出工件内槽的宽的长，依据是 ． 4．在△ABC中，AC=5，AB=9，则BC边上的中线AD的范围是 ． 5．（1）如图①，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点，且BE+FD=EF．试探究图中∠EAF与∠BAD之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到G，使DG=BE，连结AG．先证明，再证明，从而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF与∠BAD之间的数量关系是　　． （2）将（1）中的条件“∠B=∠ADC=90°”改为“∠B+∠D=180°”（如图②），其余条件不变，上述数量关系是否成立，成立，请证明；不成立，说明理由 （3）如图③，中俄两国海军在南海举行联合军事演习，中国舰艇在指挥中心（O）北偏西30°的A处，俄罗斯舰艇在指挥中心南偏东70°的B处，两舰艇到指挥中心距离相等．接到行动指令后，中国舰艇向正东方向以60海里/小时的速度前进，俄罗斯舰艇沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到两舰艇分别到达E，F处且相距280海里．求此时两舰艇的位置与指挥中心（O处）形成的夹角∠EOF的大小． 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．是的中线，若，则的长不可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．10 2．如图，点是的边上的中线，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，为边上的中线，若，，则的取值范围是 ． 4．如图，是△的中线，，，则的取值范围是 ． 5．（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1．是的中线．，写出一个符合条件的的值． 【探究方法】第一小组经过合作交流．得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______． 方法总结：解题时．条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2、，连接、，是的中点．连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，求的面积． 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，，且，则，两点之间的距离为（    ）    A． B． C．2 D． 2．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（    ）对． A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，五边形中，，则这个五边形的面积等于 ． 4．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AEF，延长BC交EF于点D，若BD＝5，BC＝4，则DE＝ ．    5．如图，，，， （1）求的度数； （2）若，求证：． 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 2．如图，△ABC是一个什么三角形？（    ）请说明理由． A．等腰三角形； B．等边三角形 C．直角三角形； D．等腰直角三角形 3．如图，，以点为直角顶点在第一象限作等腰直角，则点的坐标为    4．如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在P（5,5）处，两直角边与坐标轴交点为A,B,则OA+OB的长是 . 5．如图：在正方形网格中，△ABC是格点三角形（顶点都在格点上）． （1）画出先将△ABC向右平移5格，再向上平移3格后的△DEF． （2）求△ABC的面积为　 　． （3）在△ABC中，作出BC边上的中线AG和AC边上的高线BH．（要求只能通过连接格点方式作图）． 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题) 1．如图：，，，，连接与交于，则：①；②；③；正确的有（  ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，中，是的外角平分线，是上异于的任意一点，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，平分，于点P，已知的面积为2，则阴影部分的面积为 ． 4．如图，方格纸上有一个格点三角形和一条格点线段AB，在这个格点纸上找一点C，使得△ABC与这个格点三角形全等，这样的C点可以找到 个． 5．如图所示，、两点被池塘隔开，不能直接测量．在、外选一点，连接 和．请你设计一个简单的方案，说明如何测量的实际距离，并简要说明理由． 方案： ；理由： ． 题型十九 证一条线段等于两条线段和差(全等三角形的辅助线问题) 1．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE， 成立的有 个．    4．如图，已知在中，平分，，则 . （用含的代数式表示）. 5．如图，四边形ABCD中，,,,对角线BD平分交AC于点P.CE是的角平分线,交BD于点O. （1）请求出的度数; （2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由; 题型二十 全等三角形综合问题 1．如图，，，，有下列结论：①；②；③．其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．已知，四边形和四边形中，，，，，现在只需补充一个条件，就可得四边形四边形，下列四个条件：；；；．其中，符合要求的条件的有（   ） A． B． C． D． 3．如图，，垂足为点，射线，垂足为点，，．动点从点出发以的速度沿射线运动，动点在射线上，随着点运动而运动，始终保持．若点的运动时间为，则当以、、为顶点的三角形与全等时， s． 4．如图，，．，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．它们运动的时间为．设点的运动速度为，若使得与全等．的值为 ． 5．如图，在中，O为的中点，，的延长线交于点E． (1)求证：O为线段的中点． (2)若，，求的长． 题型二十一 角平分线的性质定理 1．如图，在中，，，是的角平分线，于点E，若，则的周长是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知是的角平分线，，交于点E、，交于点F，则下列说法：①；②；③；④；⑤，错误的有（　　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，是的角平分线，于点，若，则的面积为 ． 4．如图，在四边形中，E是边的中点，平分，且，若，四边形的周长为18，，则的值为 ．    5．如图1，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞，油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图2，伞圈D沿着伞柄AP滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为了说明这一制作方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程. 已知：如图，点，，，在同一平面内，__________，__________.求证：__________. 题型二十二 角平分线的判定定理 1．如图，，是的中点，平分，且，则（   ） A． B． C． D． 2．有下列四种说法：①角的内部任意一点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；③角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；④在ABC中的∠BAC的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，在中，，是边上的动点点与，不重合，和的面积分别表示为和，且，请说出说明是角平分线的依据 ． 4．如图，在△ABC中，O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等，∠BOC＝126°，则∠A的度数为 ． 5．如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，OB＝OC． （1）求证：OD＝OE； （2）求证：OA平分∠BAC． 题型二十三 角平分线性质的实际应用 1．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现决定在其中修建一个亭子，使亭子中心到三条马路的距离相等，则亭子应建在（    ）    A．在边，两条高的交点处 B．在边，两条中线的交点处 C．在边，两条垂直平分线的交点处 D．在和两条角平分线的交点处 2．如图，在ABC中，AB＝8，BC＝9，AC＝6，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，则（    ） A．4：3 B．9：8 C．9：6 D．3：2 3．如图，中，平分，交于，于点，的面积是，，，则 ． 4．如图，△ABC的周长为20cm，若∠ABC，ACB的平分线交于点O，且点O到AC边的距离为cm，则△ABC的面积为 cm2． 5．太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 题型二十四 作角平分线(尺规作图) 1．如图是一个平分角的简单仪器，其中．将A放在角的顶点，和沿着角的两边放下，沿画一条射线就是的平分线．在这个过程中的根据是（   ） A． B． C． D． 2．作的平分线的过程如下： ①在上分别截取，使； ②分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C； ③作射线，则就是的平分线． 用三角形全等的判定解释作图原理，下列最为恰当的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，△ABC的面积为12cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是 cm2． 4．如图，是尺规法作∠AOB的平分线OC时保留的痕迹，这样作可使△OMC≌△ONC，全等的根据是 ． 5．如图，在中，请用直尺和圆规在边上求作一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 题型二十五 线段垂直平分线的性质 1．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（ ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 2．如图，在的周长为30，的垂直平分线分别交、于点D、E，，则的周长为（   ） A．22 B．24 C．26 D．20 3．如图是小明绘制的“箭在弦上”的简笔画，已知箭杆垂直平分，，则的长为 ． 4．如图，在中，，DE垂直平分，垂足为E，交于D，若的周长为，则BC的长为 ． 5．如图，的垂直平分线交于点D，交于点E，的周长是14，，求的周长． 题型二十六 线段垂直平分线的判定 1．如图，在中，已知点在上，且，下列说法正确的是（    ） A．点是的中点 B．平分 C．点在的垂直平分线上 D．点在的垂直平分线上 2．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中，，小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（        ） A． B． C． D． 3．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有多年的历史，如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 4．如图，已知平分，，在上，结论：①；②；③平分；④所在的直线是的垂直平分线．其中正确的是 （填序号） 5．如图，在中，，．线段的垂直平分线交于点，交于点，连接．试问：线段与的长相等吗？请说明理由． 题型二十七 作已知线段的垂直平分线 1．如图，在中，点在边上，，分别以为圆心，大于的一半长度为半径作圆弧，交于一点．连接，交于点周长为周长为16，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，在中，，分别以点A，B为圆心，5为半径画弧，两弧分别交于点M，N，直线交于点D，连接，则的周长为（   ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．风筝又称“纸鸢”、“风鸢”、“纸鹞”等，起源于中国东周春秋时期，距今已有2000多年的历史．如图是一款风筝骨架的简化图，已知，，，，制作这个风筝需要的布料至少为 ． 4．如图，已知，分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，连接，若，的周长为，则的周长是 ． 5．（1）作的垂直平分线，交于点D，交于点E；（用黑色水笔描出作图痕迹，不要求写作法） （2）连接，，，求的周长． 题型二十八 作垂线(尺规作图) 1．如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，的长为半径画弧交直线l于A，B两点，再分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点D，连接，交直线l于点F，则下列结论不一定正确的是（     ） A． B．直线l C． D．平分线段 2．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（　　） A．12 B．14 C．19 D．26 3．如图，在中，分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于，两点，作直线，分别交线段，于点，，若，的周长为，则的周长为 ． 4．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为16，AB=12，则△ABC的周长为 ． 5．如图1，是李倩同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点 为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B 的任一点C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李倩同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点 B，C 在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图2，已知，请按照李倩的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高． 1．如图所示是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是(　　) A． B． C． D． 2．下图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容： 则回答正确的是（    ） A．☆代表对应边 B．※代表110° C．@代表ASA D．◎代表∠DCA 3．如图，在和中，，，与相交于点M，与相交于点D，与相交于点N，．有下列结论：①；②；③；④．给出下列结论：其中错误的有（　　）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在长方形中，是中点，在边上，若，则（    ） A．3 B．2 C．1.5 D． 5．已知∠AOB＝20°和射线MN．如图，以点O为圆心，任意长度为半径画弧分别交∠AOB的两边于点P、Q，接着在射线MN上以点M为圆心，OP长为半径画弧l交射线MN于点N；以N为圆心，PQ长为半径画两段弧，分别交l于C、D两点，连MC，MD并延长．则∠CMD的度数为（    ） A．20° B．50° C．60° D．40° 6．如图，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为．当与全等时，的值是 ． 7．如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且，已知．若，则的度数为 ． 8．如图，已知是的角平分线，增加下列条件：①；②；③；④，其中能使的条件有 ． 9．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝ ． 10．如图，在中，垂直平分，若E，F分别是和上的动点，则的最小值是 ．    11．沿着图中的虚线，请将如图的图形分割成4个全等的图形，并能拼成一个正方形．    12．如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 13．如图，，，D为上一点，分别过A、C作的垂线，垂足分别为E、F， (1)； (2)求证：． 14．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．图①、图②中，点A、B、C均在格点上；图③中，点A、B、C均在网格线上，但不在格点上．请在图①、图②、图③中，过点C作直线，使点A、B到直线距离相等．要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹． 15．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，DE分别交BC，AC于点F，G，连接AF． （1）求证：∠C＝∠E； （2）若∠CAE＝24°，求∠AFB的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！59 学科网（北京）股份有限公司 $$