第四章 图形的相似 第4讲 成比例线段和平行线分线段成比例 讲义 2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第4讲 成比例线段和平行线分线段成比例 课前练一练： 1．（2分）已知是方程＝0的一个根，则方程的另一个根是___________． 2．（4分）设x1，x2是一元二次方程x 2－3x－2＝0的两个实数根，则x12＋3x1x2＋x22的值为___________． 3．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x 2－5x＋a＝0的两个实数根，且x12－x22＝10，则a＝_________． 【学习目标】 1．掌握线段的比，成比例线段以及比例中项等概念； 2．熟悉比例的性质，并能利用性质解题； 3．了解黄金分割； 4．能够应用平行线分线段成比例定理及三角形一边平行线的性质与判定定理进行计算与证明． 【教学重难点】 对成比例线段和平行线分线段成比例定理的理解及应用． 考点1：成比例线段 知识点与方法技巧梳理： 成比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．如果＝，那么ad＝bc；反之，如果ad＝bc（abcd≠0），那么＝． 比例中项：特别地，如果＝（或＝），则b叫做a、c的比例中项． 黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC）且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，≈0.618． 【例1】已知a＝2，c＝6，b是a、c的比例中项，则b＝___________． 【变式】已知b是a、c的比例中项，且a＝2，b＝，则c＝___________． 【例2】如左图，将一张矩形纸片沿它的长边对折（EF为折痕），得到两个全等的小矩形．如果小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，则原来矩形的长边与短边的比是____________． A D E B C F A D E B C F 【变式】如右上图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝a，按照图中所示的方式将它分成三个相同的小矩形，且小矩形长边与短边的比等于原来矩形长边与短边的比，则a的值是___________． 考点2：比例的基本性质 知识点与方法技巧梳理： 1．合（分）比性质：如果＝，那么＝，＝． 2．等比性质：，如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），那么＝． 【例】已知＝＝2，则＝____________；＝____________． 【变式1】已知＝，则的值为____________． 【变式2】已知＝，则＝____________． 【变式3】已知＝＝＝，则＝____________． 【变式4】若k＝＝＝，则k的值为____________． 【变式5】已知＝，且a－b≠0，c－d≠0，求证：＝． 【变式6】在△ABC和△DEF中，已知＝＝＝，且△ABC的周长为18cm，则△DEF的周长为____________． 考点3：平行线分线段成比例 知识点与方法技巧梳理： 1．基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例． 如图，直线a∥b∥c，分别交直线m、n于点A1、A2、A3、B1、B2、B3，则有＝，＝，＝． 注意：①平行线分线段成比例得到的比例式中，四条线段与两条直线的交点位置无关； ②三条直线截两条直线，如果截得的对应线段成比例，那么这三条直线不一定平行．A B C E F G m n B1 A1 B2 A2 B3 A3 a b c 2．推论：平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例． 如图，在△ABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF∥BC，则有＝，＝， ＝．特别地，当E是AB的中点时，F是AC的中点，EF是△ABC的中位线． 3．预备定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边（及延长线）相交的直线，所截得的三角形三边与原来三角形三边对应成比例． 【例1】如图，l1∥l2∥l3，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若＝，则的值为____________．l1 l2 l3 A D B C F E 【变式1】如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC和DF被l1、l2、l3所截，AB＝5，BC＝6，EF＝4，则DE的长为（ ）A D B E C F l1 l2 l3 A．2 B．3 C．4 D． 【变式2】如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若AG＝2，GD＝1，DF＝5，则的值为____________． A B G C D E F 【例2】如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，A B C D E F 且DE∥BC，EF∥AB，若AB＝5，DB＝2，AC＝6，求的值和AE的长． 【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且DE∥BC， 若 AD＝4，DB＝8，DE＝5，求的值和BC的长．A D E B C 【能力提升】 1．如图，在△ABC中，点D、E分别在BC、AC的延长线上，且DE∥AB，若BC＝54，BD＝90，CE＝30，则AE＝____________．A B C E D 2．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC．A B C E F （1）若AE＝7，EB＝5，FC＝4，则AC＝___________． （2）若AB＝10，AE＝6，AF＝5，则FC＝___________． 3．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列结论不成立的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝A B C D E F A B C D E A B C F E D 4．如图，在△ABC中，DE∥BC，AE＝4，EC＝2，DE＝，则BC＝___________． 5．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且DE∥BC，EF∥AB，若AD∶DB＝3∶5，那么，CF∶BC＝（ ） A．5∶8 B．3∶8 C．3∶5 D．2∶5 6．若D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，且＝，那么下列各式中正确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 7．已知abc≠0，且满足＝＝＝k，则一次函数y＝kx＋k的图象一定经过（ ） A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限 C．第二、三象限 D．第一、二象限 8．若＝，则＝____________；若x∶6＝( 5＋x )∶2，则x＝____________． 9．已知线段a＝2cm，c＝cm，线段b是线段a、c的比例中项，则b＝________cm． 10．已知线段AB的长为1，点C是线段AB的黄金分割点，则线段AC的长为_______________． 11．如图，△ABC中，D为BC的中点，E为AC上任意一点，BE交AD于点O．某同学在研究这一问题时，发现了如下事实：当＝＝时，有＝＝； 当＝＝时，有＝；当＝＝时，有＝；…；A B D C E O 那么，当＝时，＝_________；当＝时，＝___________． 12．如图，点P是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于点E，交BA的延长线于点F，若PE＝3，EF＝5，求线段PC的长． D C F A B E P 【思维拓展】 如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线，AD⊥BE，垂足为F，若AD＝BE＝4，求AB的长． A B C E D F 【课后复习】 1．已知＝，则的值是（ ） A． B． C． D． 2．已知x∶y＝3∶2，则下列各式中正确的是（ ） A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 3．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，若AB＝3，DE＝4，EF＝2，则（ ） A．BC∶DE＝1∶2 B．BC∶DE＝2∶3 C．BC·DE＝8 D．BC·DE＝6 l1 l2 l3 A B E D C F 4．若k＝＝＝，且a＋b＋c≠0，则k的值为__________． 5．如图，已知点C是线段AB的黄金分割点（其中AC＞BC），则下列结论正确的是（ ） A． ＝ B． ＝ A B C C．AB 2＝AC 2＋BC 2 D．BC 2＝AC·AB 6．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC上的点，且四边形BDEF是菱形，若AD＝5cm，BD＝3cm，求BC的长．A B C F E D 7．如图，△ABC中，D、E是AC的三等分点，过D、E作DF∥AB，EG∥AB，分别交BC于F、G，连AG交DF于H．若DH＝ ，求AB的长．A B C F D E G H 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第4讲 成比例线段和平行线分线段成比例答案 练一练： 1． 2．7 3． 考点1：成比例线段 【例1】 【变式】3 【例2】 【变式】 考点2：比例的基本性质 【例】1；1 【变式1】 【变式2】 【变式3】 【变式4】或－1 【变式5】略 【变式6】27cm 考点3：平行线分线段成比例 【例1】 【变式1】D 【变式2】 【例2】＝，AE＝ 【变式】＝，BC＝15 【能力提升】1．75 2．（1）AC＝；（2）FC＝ 3．B 4．BC＝8 5．A 6．D 7．C 8．， 9． 10．或 11．；．提示：过D作DF∥BE交AC于F 12．由AD∥BC可得： ＝ ，由DC∥AB可得： ＝ ∴ ＝ ，∴ ＝ ，∴PC＝2 【思维拓展】 过E作EG∥AD交BC于G，则DF＝EG＝AD＝1，AF＝3，BF＝EF＝2，AB＝ 【课后复习】 1．C 2．A 3．D 4．k＝－1 5．A 6．BC＝ 7．AB＝9 学科网（北京）股份有限公司 $$