仿真模拟试卷(1)-【精编高考12套】2025年高考数学仿真模拟卷

—1— —2— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(一) 数 学 时间:120分钟 分数:150分 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的。 1. x+1x 6 的展开式中的常数项为 ( ) A.15 B.16 C.20 D.22 2.已知函数f(x)=-12x 2+lnx,则lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx 的值为 ( ) A.e B.-2 C.-12 D.0 3.有4名学生和2名老师站成一排拍照,若2名老师不站两端,则不同排列方式共有 ( ) A.72种 B.144种 C.288种 D.576种 4.已知离散型随机变量X 服从二项分布X~B5,23 ,则P(X=2)= ( ) A.40243 B. 70 243 C. 80 243 D. 160 243 5.已知f(x)=14x 2+2sin2 π2- x 2 +f'(1),f'(x)为f(x)的导函数,则f'(x)的大致图象是 ( ) A B C D 6.若过点(m,n)(m>0)可以作两条直线与曲线y=12lnx 相切,则下列选项正确的是 ( ) A.2n<lnm B.2n>lnm C.2m>lnn>0 D.2m<lnn<0 7.已知点P 在抛物线M:y2=4x上,过点P 作圆C:(x-2)2+y2=1的切线,若切线长为2 7,则点 P 到M 的准线的距离为 ( ) A.5 B.29 C.6 D.30 8.设a=0.1e0.2,b=110 ,c=0.2e0.1,则下列选项正确的是 ( ) A.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<c<b 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。 全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.为调研加工零件效率,调研员通过试验获得加工零件个数x与所用时间y(单位:min)的5组数据 为:(1,5),(2,9),(3,12),(4,15),(5,19),根据以上数据可得经验回归方程为:̂y=3.4x+̂a,则下 列选项正确的有 ( ) A.̂a=1.8 B.回归直线ŷ=3.4x+̂a必过点(2,9) C.加工6个零件的时间大约为22.2min D.若去掉(3,12),剩下4组数据的经验回归方程不会有变化 10.定义:f″(x)是函数f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的 “拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心.已知函 数f(x)=ax3-bx2+13 (ab≠0)的对称中心为(-1,-1).则下列选项正确的有 ( ) A.a=13 ,b=-1 B.f(0)+f -110 +f -210 +…+f -1910 +f(-2)的值是-21 C.函数f(x)有一个零点 D.过 -3,16 可以作三条直线与y=f(x)图象相切 11.甲、乙、丙、丁、戊、己6名同学相互做传接球训练,球从甲手中开始,等可能地随机传向另外5人 中的1人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外5人中的1人,如此不停地传下去,假设传 出的球都能被接住.记第n次传球之后球在乙手中的概率为an.则下列正确的有 ( ) A.a2= 4 25 B.an- 1 6 为等比数列 C.设第n次传球后球在甲手中的概率为bn,b10<a10 D.an= 1 61- - 1 5 n􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。 12.两批同种规格的产品,第一批占20%,次品率5%;第二批占80%,次品率为4%,现将两批产品 混合,从混合的产品中任取一件,则这件产品是次品的概率为 . 13.一副扑克共54张牌,无放回地抽取两次,已知第一次抽到的是 A,则第二次抽到 A 的概率 为 . 14.方程x2-2x=0的根个数为 ,若方程x2-ax=0(a>1)恰有两个根,则a= . 四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演练步骤。 15.(13分)已知函数f(x)=23ax 3-x2. (1)若f'(1)=1,求函数f(x)在区间[0,2]上的最值; (2)讨论函数y=f(x)的单调性. —3— —4— 16.(15分)健身运动可以提高心肺功能,增强肌肉力量,改善体态和姿势,降低患病风险.这些好处吸引 着人们利用空闲的时间投入到健身运动中,以改善自己的身体状况,增强一下体质.某兴趣小组为 了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况,随机抽取200人进行调查,得到如下列联表: 年龄 周平均锻炼时长 周平均锻炼时间少于4小时 周平均锻炼时间不少于4小时 合计 50岁以下 40 60 100 50岁以上(含50) 25 75 100 合计 65 135 200 (1)试根据小概率值α=0.05的􀱽2 独立性检验,分析周平均锻炼时长是否与年龄有关? (􀱽2 精确 到0.001); (2)现从50岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于4小时,用分层随机抽样法抽取10人做 进一步访谈,再从这10人中随机抽取5人填写调查问卷.记抽取5人中周平均锻炼时间不少于4 小时的人数为X,求X 的分布列和数学期望. 参考公式及数据: 􀱽2= n (ad)-(bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) ,其中n=a+b+c+d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 􀱽α 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17.(15分)当前,人工智能技术以前所未有的速度迅猛发展,并逐步影响生活的方方面面,人工智能 被认为是推动未来社会发展和解决人类面临的全球性问题的重要手段.某公司在这个领域逐年 加大投入,以下是近年来该公司对产品研发年投入额x(单位:百万元)与其年销售量y(单位:千 件)的数据统计表. x(百万) 1 2 3 4 5 y(千件) 0.5 1 1.5 3 5.5 (1)若该公司科研团队计划用方案①̂y=̂bx+̂a作为年销售量y 关于年投资额x 的回归分析模 型,请根据统计表的数据及参考公式,确定该经验回归方程; (2)若该公司科研团队计划用方案②̂y=e0.59x-1.27作为年销售量y关于年投资额x 的回归分析模 型,̂y=e0.59x-1.27的残差平方和∑ 5 i=1 (yi-̂yi)2=0.1122,请根据统计表的数据及参考公式,比较两种 模型的拟合效果哪种更好? 并选择拟合精度更高的模型,预测年投入额为6百万元时,产品的销 售量约为多少? (计算结果保留到小数点后两位) 参考公式及数据:̂b= ∑ n i=1 (xi-x)(yi-y) ∑ n i=1 (xi-x)2 = ∑ n i=1 xiyi-nxy ∑ n i=1 x2i-nx2 ,̂a=y-̂bx,R2=1- ∑ n i=1 (yi-̂yi)2 ∑ n i=1 (yi-y)2 , e2.27≈9.68,e2.28≈9.78 18.(17分)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家,杨辉三角是杨辉的一项重要研究成 果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律,它的许多性质与组合数的性质有关,图1为杨辉三角的 部分内容,图2为杨辉三角的改写形式 图1 图2 (1)求图2中第10行的各数之和; (2)从图2第2行开始,取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数,求取出的所有数之和; (3)在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14? 若存在,试求出这 三个数;若不存在,请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=ax2-(lnx)2(a∈R). (1)讨论函数f(x)的导函数f'(x)的零点个数; (2)若f(x)有两个极值点x1,x2,求证: (ⅰ) x1-x2 lnx1-lnx2 > x1x2; (ⅱ) x1-x2 lnx1-lnx2 >e. —5— —6— 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(一) 数学 答题卡 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 条 形 码 粘 贴 处 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 注 意 事 项 1.答题前,考生先将自己的学校、班级、 姓名、准考证号填写清楚。 2.选择题使用2B 铅笔填涂;如需改动, 用橡皮擦干净后,再选择其他答案标 号;非选择题使用黑色碳素笔书写,字 体工整、笔迹清楚,按照题号顺序在各 题目的答题区域内作答,超出答题区 域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上 答题无效。 3.保持卡面清洁,不折叠、不破损。 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀧈 􀧈 􀧈􀧈 填 涂 范 例 正确填涂: 错误填涂: 缺考 标记 准 考 证 号 [0][0][0][0][0][0][0][0][0] [1][1][1][1][1][1][1][1][1] [2][2][2][2][2][2][2][2][2] [3][3][3][3][3][3][3][3][3] [4][4][4][4][4][4][4][4][4] [5][5][5][5][5][5][5][5][5] [6][6][6][6][6][6][6][6][6] [7][7][7][7][7][7][7][7][7] [8][8][8][8][8][8][8][8][8] [9][9][9][9][9][9][9][9][9] 选择题(请用2B铅笔填涂) 1 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 2 [A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 3 [A][B][C][D] 9 [A][B][C][D] 4 [A][B][C][D] 10 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 11 [A][B][C][D] 6 [A][B][C][D] 非选择题(请使用0.5毫米的黑色字迹签字笔书写) 12.(5分) 13.(5分) 14.(5分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 —7— —8— 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 18.(17分) 图1 图2 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答,超出答题区域的答案无效 参考答案 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(一) 1.A 由Tr+1=Cr6(x)6-r 1 x r =Cr6·x 6-3r 2 ,(r=0,1,2, 3,4,5,6) 令6-3r 2 =0⇒r=2 ,故常数项为C26x0=15. 故选:A. 2.D 因为f'(x)=-x+1x , 所以f'(1)=-1+1=0, 所以lim Δx→0 f(1+Δx)-f(1) Δx =0. 故选:D. 3.C 首先将2名老师排在中间4个位置中的2个位置,再 将其余4名学生全排列, 故不同排列方式共有A24A44=288(种). 故选:C. 4.A 因为 X~B 5,23 ,所 以 P(X=2)=C25 23 2 × 1-23 3 =40243. 故选:A. 5.C f(x)=14x 2+2sin2 π2- x 2 +f'(1)=14x2+cosx +1+f'(1), 所以f'(x)=12x-sinx ,x∈R 因为f'(-x)=-12x-sin (-x)=-12x+sinx= -f'(x), 所以f'(x)为奇函数,故排除BD, 令g(x)=f'(x),则g'(x)=12-cosx , 当0<x<π3 时,g'(x)=12-cosx<0 ,所 以f'(x)在 0,π3 上单调递减,排除A. 故选:C. 6.B 设切点P x0, 1 2lnx0 , 因为y=12lnx ,所以y'=12x , 所以点P 处的切线方程为y-12lnx0= 1 2x0 (x-x0), 又因为切线经过点(m,n), 所以n-12lnx0= 1 2x0 (m-x0),即2n+1=lnx0+ m x0 , 令f(x)=lnx+mx (x>0), 则y=2n+1与f(x)=lnx+mx (x>0)有两个不同的 交点, f'(x)=1x- m x2 =x-m x2 ,当m≤0时,f'(x)>0恒成立, 所以f(x)单调递增,不合题意; 当m>0时,当0<x<m时,f'(x)<0,当x>m时,f'(x)>0, 所以f(x)min=f(m)=lnm+1,则2n+1>lnm+1,即 2n>lnm, 故选:B. 7.C 设点P y 2 P 4 ,yP ,由圆的方程(x-2)2+y2=1可知 圆心C(2,0),半径r=1; 又切线长为2 7,可得|PC|= 29, 即 y 2 P 4-2 2 +y2P=29,解得y2P=20,可得P(5,yP);再 由抛物线定义可得点P 到M 的准线的距离为5+1=6. 故选:C. 8.B a=0.1e0.2=110e 0.2>110e 0=110=b , c=0.2e0.1=15e 0.1>15e 0=15> 1 10=b , 而a c = 1 2e 0.1,因为e<210,所以e0.1<2, 所以a c = 1 2e 0.1<12×2=1 ,故a<c, 所以b<a<c. 故选:B. 9.ACD x=15 (1+2+3+4+5)=3,y=15 (5+9+12+15 +19)=12, 所以ŷ=3.4x+̂a恒过(3,12),所以12=3.4×3+̂a, 解得:̂a=1.8,故A正确; 当x=2时,̂y=3.4×2+1.8=8.6≠9,故B错误; 由ŷ=3.4x+1.8,令x=6,则ŷ=3.4×6+1.8=22.2, 故加工6个零件的时间大约为22.2min,故C正确; 因为ŷ=3.4x+1.8恒过(3,12),所以剩下4组数据的经 验回归方程不会有变化,故D正确. 故选:ACD. 10.BD 由f(x)=ax3-bx2+13 ,所以f'(x)=3ax2- 2bx,f″(x)=6ax-2b, 令f″(x)=0,得x=b3a ,由函数f(x)=ax3-bx2+13 的 对称中心为(-1,-1), 所以b 3a=-1 且f(-1)=-a-b+13=-1 ,解得a= -23 ,b=2,故A错误; 因为f(x)=ax3-bx2+13 的对称中心为(-1,-1), 即f(x)=f(-2-x)=-2, 令S=f(0)+f -110 +f -210 +…+f -1910 + f(-2), 则S=f(-2)+f -1910 +…+f -110 +f(0), 所以2S=[f(0)+f(-2)]+ f -110 +f -1910 + …+[f(-2)+f(0)]=-2×21=-42,所以S=-21, 故B正确; 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —79— 因为f(x)=-23x 3-2x2+13 ,则f'(x)=-2x2-4x =-2x(x+2), 所以当-2<x<0时,f'(x)>0,当x<-2或x>0时, f'(x)<0, 所以函数f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递减,在 (-2,0)上单调递增, 因此函数f(x)的极大值为f(0)=13 ,极小值为f(-2) =-73 ; 又f(1)=-73 ,f(-3)=13 ,即f(-2)f(0)<0,f(0)f(1) <0,f(-3)f(-2)<0, 所以f(x)在(-3,-2),(-2,0)和(0,1)上存在零点,所 以函数f(x)有三个零点,故C错误; 设 切 点 为 T (x0,y0),则 切 线 方 程 为 y - -23x 3 0-2x20+ 1 3 =-2(x20+2x0)(x-x0), 又切 线 过 -3,16 ,则 16 - -23x30-2x20+13 = -2(x20+2x0)(-3-x0), 化简得8x30+48x20+72x0+1=0,令g(x)=8x3+48x2 +72x+1, 则g'(x)=24x2+96x+72=24(x+1)(x+3), 当x<-3或x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增,当- 3<x<-1时,g'(x)<0, g(x)单调递减,而g(-3)=1>0,g(-1)=-31<0, x→-∞,g(x)→-∞,x→+∞,g(x)→+∞,所以g(x) 有3个零点,即方程8x30+48x20+72x0+1=0有3个不 等实根,所以过 -3,16 可以作三条直线与y=f(x)图 象相切,故D正确. 故选:BD. 11.ABD 依题意a1= 1 5 ,a2= 4 5× 1 5+ 1 5×0= 4 25 , 第n次传球之后球在乙手中,则当n≥2时,第n-1次传 球之后球不在乙手中,其概率为1-an-1, 第n次传球有15 的可能传给乙,因此an= 1 5 (1-an-1), 于是an- 1 6=- 1 5 an-1- 1 6 (n≥2),而a1-16= 1 30 ,则 an- 1 6 是 以 130为 首 项,公 比 为 - 15 的 等 比 数列, 所以 an- 1 6 = 1 30× - 1 5 n-1 ,则 an= 1 6 + 1 30× -15 n-1 =16 1- - 1 5 n ,故A、B、D正确; 因为b1=0,b2= 1 5 ,当n≥2时bn= 1 5 (1-bn-1), 则bn- 1 6=- 1 5 bn-1- 1 6 (n≥)2,又b1-16=-16, 所以 bn- 1 6 是 以 -16为 首 项,公 比 为 -15的 等 比 数列, 所以bn- 1 6=- 1 6× - 1 5 n-1 ,所 以bn= 1 6- 1 6 × -15 n-1 , 则a10= 1 6+ 1 30× - 1 5 9 =16- 1 30× 1 5 9 ,b10= 1 6 -16× - 1 5 9 =16+ 1 6× 1 5 9 , 所 以 a10 - b10 = 1 6 - 1 30 × 1 5 9 - 1 6+ 1 6× 1 5 9 =-130× 15 9 -16× 1 5 9 <0, 所以a10<b10,故C错误. 故选:ABD. 12.答案:0.042 解析:依题意,由全概率公式得这件产品是次品的概率 p=20%×5%+80%×4%=0.042. 故答案为:0.042. 13.答案:353 解析:一副扑克共54张牌,无放回地抽取两次,已知第 一次抽到的是A, 则还剩下53张牌,其中有3张A, 所以第二次抽到A 的概率P=353. 故答案为:3 53. 14.答案:3 e 2 e 解析:由x2-2x 可得x2=2x, 由指数函数y=2x 与二次函数y=x2图象可知,当x≤0 时,图象有一个交点, 当x>0时,两边取自然对数,可得2lnx=xln2,即lnxx =ln22 , 令f(x)=lnxx ,则f'(x)=1-lnxx2 ,当0<x<e时,f'(x) >0,f(x)单调递增 当e<x时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)max= f(e)=1e , 又x→0,f(x)→-∞,x→+∞,f(x)→0, ln2 2 = ln4 4 ,1 e= lne e ,由0<x<e时,f(x)单调递增知, 0<ln22 < 1 e , 所以f(x)=lnxx ,y=ln22 有2个不同交点,即lnxx = ln2 2 有2个正根, 综上可知,方程x2-2x=0的根个数为3个. 方程x2-ax=0(a>1)恰有两个根,由上述分析可知必 有一个负根, 所以当x>0时,方程只有一个正根,即x2=ax 有一个 正根, 取对数,可得2lnx=xlna,即lnxx = lna 2 , 由上述分析可知,当lna 2 = 1 e 时,即a=e 2 e 时,方程x2= ax 只有一个正根. 故答案为:3;e 2 e. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —89— 15.解:(1)因为f(x)=23ax 3-x2,所以f'(x)=2ax2-2x, 则f'(1)=2a-2=1,解得a=32 , 所以f(x)=x3-x2,则f'(x)=3x2-2x=x(3x-2), 所以当0<x<23 时f'(x)<0,当23<x<2 时f'(x)>0, 所以 f(x)在 0,23 上 单 调 递 减,在 23,2 上 单 调 递增, 又f(0)=0,f(2)=4,f 23 =-427, 所以函数f(x)在 区 间[0,2]上 的 最 小 值 为f 23 = -427 ,最大值为f(2)=4; (2)函数f(x)=23ax 3-x2 的定义域为R 且f'(x)= 2ax2-2x=2x(ax-1), 若a=0时,当x<0时f'(x)>0,当x>0时f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调 递减; 若a>0时,则当x<0或x>1a 时f'(x)>0,当0<x< 1 a 时f'(x)<0, 所以f(x)在(- ∞,0), 1a ,+∞ 上 单 调 递 增,在 0,1a 上单调递减; 若a<0时,则当x<1a 或x>0时f'(x)<0,当1a<x<0 时f'(x)>0, 所以f(x)在 -∞,1a ,(0,+ ∞)上 单 调 递 减,在 1 a ,0 上单调递增; 综上可得:当a=0时fx在(-∞,0)上单调递增,在(0, +∞)上单调递减; 当a>0时f(x)在(-∞,0),1a ,+∞ 上单调递增,在 0,1a 上单调递减; 当a<0时f(x)在 -∞,1a ,(0,+∞)上单调递减,在 1 a ,0 上单调递增. 16.解:(1)零假设 H0:周平均锻炼时长与年龄无关联. 由 2 × 2 列 联 表 中 的 数 据, 可 得 􀱽2 = 200(40×75-25×60)2 100×100×65×135 ≈5.128 , ∴􀱽2≈5.128>x0.05=3.841. 根据小概率值σ=0.05的独立性检验,我们推断 H0 不 成立, 即认为周平均锻炼时长与年龄有关联,此推断犯错误的 概率不大于0.05. 所以50岁以下和50岁以上(含50)周平均锻炼时长有 差异. (2)抽取的10人中,周平均锻炼时长少于4小时的有10 ×40100=4 人, 不少于4小时的有10×60100=6 人, 所以X 所有可能的取值为1,2,3,4,5, 所以P(X=1)= C16C44 C510 =142 ,P(X=2)= C26C34 C510 =521 , P(X=3)= C36C24 C510 =1021 ,P(X=4)= C46C14 C510 =521 ,P(X=5) = C56C04 C510 =142 , 所以随机变量X 的分布列为: X 1 2 3 4 5 P 142 5 21 10 21 5 21 1 42 随机变量X 的数学期望E(X)=1×142+2× 5 21+3× 10 21 +4×521+5× 1 42=3. 17.解:(1)由 题 意 x = 1+2+3+4+55 = 3 ,y = 0.5+1+1.5+3+5.5 5 =2.3 , b̂=1×0.5+2×1+3×1.5+4×3+5×5.5-5×3×2.3 12+22+32+42+52-5×32 = 1.2,̂a=2.3-1.2×3=-1.3, 所以线性回归方程为ŷ=1.2x-1.3. (2)按(1)可得ŷ=1.2x-1.3, 根据题意可得如下数据: x 1 2 3 4 5 y 0.5 1 1.5 3 5.5 ŷ -0.1 1.1 2.3 3.5 4.7 方案① 的 残 差 平 方 和 为0.62+0.12+(-0.8)2+ (-0.5)2+0.82=1.9, 由于1.9>0.1122,故方案②非线性回归方程拟合效果 更好. 当x=6时,y=e0.59×6-1.27=e2.27≈9.68(千件), 故当年投入额为6百万元时,产品的销售量约为9.68 千件. 18.解:(1)第10行的各数之和为:C010+C110+C210+…+C1010 =210=1024. (2)杨辉三角中第2行到第15行各行第3个数之和为: C22+C23+C24+C25+…+C215=C33+C23+C24+C25+…+ C215=C316= 16×15×14 3×2×1 =560. (3)存在,理由如下: 设在第n行存在连续三项Ck-1n ,Ckn,Ck+1n ,其中n∈N* 且n≥2,k∈N*且k≥2, 有 Ck-1n C4n =38 且 Ckn Ck+1n =814 ,化简得 k n-k+1= 3 8 且k+1 n-k =814 , 即 3n+3=11k 22k-8n+14=0 ,解得k=3,n=10, 所以C210=45,C310=120,C410=210, 故这三个数依次是45,120,210. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —99— 19.解:(1)函数f(x)=ax2-(lnx)2(x>0), 则f'(x)=2ax-2lnxx ,令f'(x)=0,解得a=lnxx2 , 设p(x)=lnxx2 , 故导函数f'(x)的零点个数等价于直线y=a 与函数 p(x)=lnxx2 图象的交点个数. ∵p'(x)=1-2lnxx3 ,x>0 ∴当x∈(0,e)时,p'(x)>0,p(x)在(0,e)上单调 递增; 当x∈(e,+∞)时,p'(x)<0,p(x)在(e,+∞)上单调 递减, 故p(x)max=p(e)= 1 2e. 又当x→+∞时,p(x)→0,当x→0时,p(x)→-∞, ∴当0<a<12e 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象有2个交 点,此时导函数f'(x)有2个零点; 当a≤0或a=12e 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象有1个 交点,此时导函数f'(x)有1个零点; 当1 2e<a 时,y=a与p(x)=lnxx2 的图象没有交点,此时 导函数f'(x)没有零点. 综上,当0<a<12e 时有2个零点;当a≤0或a=12e 时有 1个零点;当12e<a 时没有零点. (2)(ⅰ)由(1)可知,不妨设0<x2<e<x1, 要证 x1-x2 lnx1-lnx2 > x1x2,即证 x1-x2 x1x2 >lnx1-lnx2= ln x1 x2 , 不妨令x= x1 x2 (0<x2<e<x1),即证 x- 1 x >lnx(x>1), 只需证明x-1- xlnx>0(x>1), 令g(x)=x-1- xlnx(x>1),则 g'(x)= x-1-ln x x (x>1), 令h(x)= x-1-ln x(x>1),则h'(x)= x-12x (x>1), 当x>1时,h'(x)= x-12x >0 , ∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,即h(x)>h(1),故g'(x) >0,g(x)在(1,+∞)上单调递增, 所以g(x)>g(1)=0,即 x1-x2 lnx1-lnx2 > x1x2. (ⅱ)由(ⅰ)可知,要证 x1-x2 lnx1-lnx2 > e,只需证明x1x2 >e, 不妨设0<x2<e<x1, ∵x1,x2是导函数f'(x)的两个零点,∴2ax21=lnx21, 2ax22=lnx22, 令t1=x21,t2=x22,即证t1t2>e2, 由2at1=lnt1,2at2=lnt2得2a= lnt1-lnt2 t1-t2 , 要证t1t2>e2成立,只需证明lnt1+lnt2>2,即证lnt1+ lnt2=2a(t1+t2)=(t1+t2)· lnt1-lnt2 t1-t2 >2, 即证lnt1-lnt2> 2(t1-t2) t1+t2 ,即证ln t1 t2 = 2t1t2 -1 t1 t2 +1 , 令m= t1 t2 ,则m>1,只需证明lnm>2 (m-1) m+1 (m>1), 令s(m)=lnm-2 (m-1) m+1 (m>1),则s'(m)= (m-1)2 m(m+1)2 >0, ∴s(m)在(1,+ ∞)上 单 调 递 增,∴s(m)>ln1- 2×(1-1) 1+1 =0 , ∴t1t2>e2,即证得 x1-x2 lnx1-lnx2 >e. 2025年普通高等学校招生仿真模拟试卷(二) 1.B 因为B={x|x2>1},则∁RB={x|x2≤1}={x|-1≤ x≤1}, 所以A∩(∁RB)={-1,0,1}. 故选:B. 2.B 因为iz=1-3i,所以z=1-3ii =-3-i , 所以|z|= (-3)2+(-1)2= 10. 故选:B. 3.D 因为a=(2,1),b=(-2,4), 所以2a+b=(2,6),λa-b=(2λ+2,λ-4), 因为(2a+b)⊥(λa-b), 所以(2a+b)·(λa-b)=(2,6)·(2λ+2,λ-4)=4λ+4 +6λ-24=0, 解得λ=2. 故选:D. 4.D 因为sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ= 1 6 , 又tanα=2tanβ,即 sinα cosα= 2sinβ cosβ , 则sinαcosβ=2cosαsinβ, 所以sinαcosβ= 1 3 ,cosαsinβ= 1 6 , 故sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ= 1 3+ 1 6= 1 2. 故选:D. 5.C 如图所示为该圆锥轴截面,设顶角为α π2<α<π , 因为其轴截面(过圆锥旋转轴的截面)是腰长为2 3m,面 积为3 3m2的等腰三角形, 所以1 2l 2sinα=12× (2 3)2×sinα=3 3,解得sinα= 3 2 ,则α=2π3 或α=π3 (舍去), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —001—