一点五题系列之双曲线第1课第一定义和标准方程讲义-2025届高三数学一轮专题复习

一点五题系列之双曲线第1课 第一定义和标准方程 一、知识点梳理 （一）双曲线第一定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹（或集合）叫双曲线。 即。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 注意：①当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是两条射线；当时，轨迹不存在。②双曲线的第一定义具有“将一个焦点的问题转化到另一焦点去解决”的功能！ （二）双曲线标准方程： 根据定义推导双曲线标准方程： 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是（），则，又设与距离之差的绝对值等于()（常数）， ，， ， 化简，得， 由定义, 令代入，得， 两边同除得，此即为双曲线的标准方程。 它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的双曲线方程。其中。注意若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程。 如果双曲线的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是双曲线的标准方程。 双曲线标准方程： （1）它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的双曲线方程。其中 （2）它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的双曲线方程。其中 注意：两种形式的标准方程焦点是在轴还是在轴上，即看分母的正负。 ②标准方程是平方差等于1的形式. ③标准方程的统一形式：或 二、知识点应用 ①求双曲线标准方程 1．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ． 2．经过点的双曲线的标准方程为 ． 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 4．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整．如图①是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图②是其中截面最细附近处的部分图象，已知上、下底面与地面平行．现测得下底面直径米，上底面直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，若在最细处建立如图③的平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 ． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . ②双曲线的第一定义 1．已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . （多选）2．设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 （多选）3．下列结论正确的是（     ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 4．已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 5．设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点作平分线的垂线，垂足为，则 . ③与双曲线有关的轨迹方程问题 1．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 2．已知△ABC的顶点A（－5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则CA－CB＝ ，顶点C的轨迹方程是 . 3．已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 4．已知向量，，且，则点的轨迹方程是 . 5．我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . ④与双曲线有关的最值问题 1．已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 2．设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为 . 3．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 4．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 5．已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为 .   1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一点五题系列之双曲线第1课 第一定义和标准方程 一、知识点梳理 （一）双曲线第一定义： 平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹（或集合）叫双曲线。 即。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 注意：①当时，轨迹是双曲线；当时，轨迹是两条射线；当时，轨迹不存在。②双曲线的第一定义具有“将一个焦点的问题转化到另一焦点去解决”的功能！ （二）双曲线标准方程： 根据定义推导双曲线标准方程： 取过焦点的直线为轴，线段的垂直平分线为轴。设为双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是（），则，又设与距离之差的绝对值等于()（常数）， ，， ， 化简，得， 由定义, 令代入，得， 两边同除得，此即为双曲线的标准方程。 它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的双曲线方程。其中。注意若坐标系的选取不同，可得到双曲线的不同的方程。 如果双曲线的焦点在轴上（选取方式不同，调换轴）焦点则变成,只要将方程中的调换，即可得，也是双曲线的标准方程。 双曲线标准方程： （1）它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是，中心在坐标原点的双曲线方程。其中 （2）它所表示的双曲线的焦点在轴上，焦点是,中心在坐标原点的双曲线方程。其中 注意：两种形式的标准方程焦点是在轴还是在轴上，即看分母的正负。 ②标准方程是平方差等于1的形式. ③标准方程的统一形式：或 二、知识点应用 ①求双曲线标准方程 1．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为 ． 【详解】椭圆的长轴端点为，焦点为，因此以为顶点，为焦点的双曲线虚半轴长为，方程为. 2．经过点的双曲线的标准方程为 ． 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 3．已知双曲线的上、下焦点分别为，，动点与点在曲线上，且满足，则该双曲线的标准方程为 . 【详解】依题意， 即，故，又点在曲线上，所以，即， 故双曲线的标准方程为. 4．单叶双曲面是最受设计师青睐的结构之一，它可以用直的钢梁建造，既能减少风的阻力，又能用最少的材料来维持结构的完整．如图①是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，图②是其中截面最细附近处的部分图象，已知上、下底面与地面平行．现测得下底面直径米，上底面直径米，与间的距离为80米，与上下底面等距离的处的直径等于，若在最细处建立如图③的平面直角坐标系，则该双曲线的方程为 ． 【详解】依题意可得，则，，； 设双曲线方程为，则， 解得，故所求的双曲线方程为． 5．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上，且，则双曲线的方程为 . 【详解】由过的直线与双曲线右支交于点，若在线段的中垂线上， 可知，则，即， 又因为，得解得，故双曲线方程为. ②双曲线的第一定义 1．已知双曲线上一点P与它的一个焦点的距离等于5，那么点P与另一个焦点的距离等于 . 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以，，所以，，. 由双曲线的定义可知，令，则. （多选）2．设分别是双曲线的左、右焦点，若点P在双曲线上，且，则（　　） A．5 B．3 C．7 D．6 【详解】由双曲线的定义可知，即，所以或． 故选：BC． （多选）3．下列结论正确的是（     ） A．椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8 B．椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为6 C．双曲线上一点到一个焦点的距离为1，则点到另一个焦点的距离为 D．双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则点到另一个焦点的距离为1 【详解】对于A：椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为，正确； 对于B：椭圆上一点到右焦点的距离的最大值为，B错误； 对于C：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为，C正确； 对于D：根据双曲线的定义，双曲线上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为，这里，所以到另一个焦点的距离为或，D错误. 故选：AC. 4．已知圆与直线交于两点，与轴交于两点，直线与交于点，则 . 【详解】设，且， 又，，， 根据直径所对圆周角是直角，知道，则， 则，，即， 则点在以为焦点的双曲线上，. 5．设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线在第一象限部分上的任意一点，过点作平分线的垂线，垂足为，则 . 【详解】如图所示，延长交于点， 由为的平分线及，可得， 所以，根据双曲线的定义，可得， 即，即，在中，由和分别为 的中点，所以. ③与双曲线有关的轨迹方程问题 1．在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 . 【详解】因为， 所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为， 则，，可得，， 所以轨迹的方程为. 2．已知△ABC的顶点A（－5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则CA－CB＝ ，顶点C的轨迹方程是 . 【详解】 如图，△ABC与圆的切点分别为E，F，G， 则有AE＝AG＝8，BF＝BG＝2，CE＝CF， 所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义， 所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的 双曲线的右支(不包含右顶点)，方程为－＝1(x＞3). 3．已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 4．已知向量，，且，则点的轨迹方程是 . 【详解】由题意，，， 所以，，又因为， 所以，所以与定点，的距离之差为4，等于两定点间的距离，符合双曲线的定义，是双曲线的一支，则. 则点的轨迹方程是 5．我国著名数学家华罗庚说“数缺形时少直观，形少数时难入微：数形结合百般好，隔离分家万事休”，包含的意思是：几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，通过“数”与“形”的相互转化，常常可以巧妙地解决问题，所以“数形结合”是研究数学问题的重要思想方法之一.比如：这个代数问题可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点可得，方程的解为 . 【详解】原方程可化为，其几何意义为点到，距离之差的绝对值等于，则该点的轨迹满足双曲线的定义，根据双曲线的定义得：，，，所以，又因为双曲线焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为：，令得，所以原方程的解为。 ④与双曲线有关的最值问题 1．已知双曲线的方程为，点，是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是 ． 【详解】由题意可得，，即， 则，的坐标分别为，， 由双曲线的定义，得， 又是圆上的点，设圆的圆心为， 半径为，由图可知，， 所以， 当且仅当、、、四点共线（、在之间）时取等号， 所以的最小值为. 2．设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为 . 【详解】由双曲线为，则，为双曲线右支上一点， 则，即 故， 当且仅当点、、三点共线，且点在点、之间时， 等号成立，由题意可得，又，则，即， 代入得，，化简得， 故或，由，故舍去， 则，即点，则. 3．在平面直角坐标系中，，分别是双曲线：的左，右焦点，设点是的右支上一点，则的最大值为 . 【详解】双曲线中，，则， 设，， 由双曲线的定义可得，则 ， 当且仅当，即，即，时取等号， 所以的最大值为． 4．设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为 ． 【详解】根据题意可得，， ，，所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 5．已知圆与轴的交点分别为双曲线的顶点和焦点，设分别为双曲线的左，右焦点，为右支上任意一点，则的取值范围为 . 【详解】因为与轴交点的坐标分别为，， 由题意可知：，， 因为为右支上任意一点，根据双曲线的定义 有，即， 令，则， 因为在上为增函数，所以， 所以，所以，即. 故答案为：.    1 学科网（北京）股份有限公司 $$