精品解析：福建省泉州市永春县第一中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年秋永春一中九年级月考数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 2x﹣y＝1 B. x2﹣2＝ C. x2＝0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，对选项逐个判断即可，一元二次方程是指只含有一个未知数，且未知数最高次数为2次的整式方程． 【详解】解：A、含有两个未知数，且未知数的最高次数为1，选项不符合题意； B、含有，不是整式方程，选项不符合题意； C、含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，为整式方程，选项符合题意； D、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，选项不符合题意； 故选C 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的概念是解题的关键． 2. 线段是由线段平移得到的，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的对应点为，可知横坐标由变为2，向右移动了3个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位，以此规律可得D的对应点的坐标． 【详解】解：点的对应点为，可知横坐标由变为2，向右移动了3个单位，3变为5，表示向上移动了2个单位， 于是的对应点D的横坐标为，点D的纵坐标为， 故． 故选：B． 【点睛】此题考查了坐标与图形的变化----平移，根据变为的规律，将点的变化转化为坐标的变化是解题的关键． 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、不能合并，故C错误； D、，故D错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 4. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设长为x步，根据题意列出一元二次方程即可，弄懂题意得到宽与长是关键． 【详解】解：设长为x步，根据题意得， ． 故选：A． 5. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个圆 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 【答案】B 【解析】 【分析】相似图形的定义：形状相同的两个图形是相似形；如果各角分别相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形；根据这两个定义即可判断得解． 【详解】解：A、两个圆的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个菱形的各角不一定相等，故不一定相似，故选项B符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题考查了相似图形的概念，熟练掌握相似形与相似多边形的概念是解答此题的关键． 6. 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 24 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，与是位似比为的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、的坐标分别为、， ∴且相似比为， ∴的面积的面积， ∵的面积是6，， ∴的面积为24， 故选：C 7. 如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ） A. （0，1） B. （0，） C. （0，2） D. （0，3） 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 8. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小. ∵OD⊥BC，BC⊥AB，∴OD∥AB. 又∵OC=OA，∴OD是△ABC的中位线， ，∴DE=2OD=6.故选C. 【知识拓展】因为点O是定点，由于直线外一点与直线上各点连接的所有线段中垂线段最短，所以当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小. 9. 自然数n满足，这样的n的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，有理数的乘方，根据题意分3种情况讨论，然后分别求解即可． 【详解】解：①当 时，无论指数为何值等式成立． 解方程得，（不合题意，舍去）； ②当 时， ∴ ∴n不为自然数； ③当时，当n为自然数，则， 所以等式成立． 解方程得 ，． 综上所述，满足条件的n值有3个， 故选B． 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，然后代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k， ∴Δ＝（2a）2−4a（b＋1）＝0，即：4a( a−b−1)＝0， 又∵ab≠0， ∴a−b−1＝0， 即a＝b＋1， ∴ax2＋2ax＋a＝0， 解得：x1＝x2＝−1， ∴k＝−1， ∵＝， ∴当−1＜a＜0时，a−1＜0，a（a−1）＞0， 此时＞0，即； 当0＜a＜1时，a−1＜0，a（a−1）＜0， 此时＜0，即； 故A、C错误； 当时，即＞0， ＞0， 解得：a＞1或a＜0， 故B错误； 当时，即＜0， ＜0， 解得：0＜a＜1， 故D正确 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键． 二、填空题（本题共16题，每小题4分，共24分．） 11. 若，则 __ 【答案】##0.4 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，理解比例的基本性质是解题的关键．令，代入求解即可． 【详解】解：令， ， 故答案为： ． 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 【答案】## 【解析】 【分析】根据点E是AB的黄金分割点，可得，代入数值得出答案． 【详解】∵点E是AB的黄金分割点， ∴． ∵AB=2米， ∴米． 故答案为：（）． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用，掌握黄金比是解题的关键． 14. 如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么的值为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的重心的概念和性质、平行线分线段成比例定理分别计算，得到答案．由三角形的重心定理得出，，由平行线分线段成比例定理得出，即可得出结果． 【详解】解：∵CE是△ABC的中线， ∴AE＝EB， ∵EF∥BC， ∴＝＝1， ∴＝， ∵△ABC的两条中线AD和CE相交于点G， ∴点G是△ABC的重心， ∴EG＝CG，DG＝AG， ∵EF∥BC， ∴＝＝，即DG＝2FG， ∵AF＝FD， AF＝3FG， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例性质和重心的性质，解题关键是熟练运用平行线分线段成比例的性质列出比例式． 15. 若m是的一个实数根，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】把m代入方程得到，，再把原式变形即可求解． 【详解】∵m是的一个实数根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：3． 【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知一元二次方程根的定义． 16. 如图，矩形中，，，E为线段上一动点，作点B关于的轴对称点F，连接，，G为中点．当D，F，E三点共线时，的长为___________；在E的整个运动过程中，C，G两点距离的最小值为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接AF，取AD中点H，连接GH，GC，HC，设CE=x，由折叠的性质可得AF=AB=3，BE=EF=4-x，∠AFE=∠B=90°，当点E、F、D三点共线时，Rt△AFD中由勾股定理可得DF，Rt△DCE中由勾股定理建立方程求解可得CE；由三角形中位线的性质可得HG=AF，勾股定理求得HC，根据三角形三边关系可得当点G在直线HC上时，CG最小； 【详解】解：如图，连接AF，取AD中点H，连接GH，GC，HC， 四边形ABCD是矩形，则AB=CD=3，AD=BC=4，∠B=90°， 由折叠的性质可得AF=AB=3，BE=EF，∠AFE=∠B=90°， 设CE=x，则BE=EF=4-x， 当点E、F、D三点共线时，AF⊥DE， Rt△AFD中，DF=， Rt△DCE中，DE2=DC2+CE2， ∴（+4-x）2=x2+9， -2（+4）x+23+8=9， 解得：x=； ∵H为AD中点，G为DF中点， ∴HG为△DAF中位线， ∴HG=AF=， Rt△DHC中，HC=， 当点G不在直线HC上时， △GHC中，GC＞HC-HG， 当点G在直线HC上时，GC=HC-HG， ∴CG的最小值为； 故答案为：，； 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形三边关系，三角形中位线的性质；此题综合性较强，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本题共8小题，共86分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先二次根式乘除法则计算，再化简计算． 【详解】 ； 18. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的求解．运用公式法解方程即可． 【详解】解：， ，，， ， ， ，． 19. 已知：如图，，，，，，求，的长． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理即可解决问题，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． 20. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，． （1）求证：； （2）若，则的度数为______°． 【答案】（1）证明：在和中 ∵，, ∴, ∴, 又∵是边上中线, ∴, ∴, ∴． （2）110. 【解析】 【分析】(1)先证,根据BD=DC代换即可; (2) 用相似证明,,把已知角与所求角集中到一个三角形中,运用三角形内角和定理求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知， ∴, ∵，， ∴, ∴, ∴, ∴中， ． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质,熟记三角形相似的判定方法和性质是解题的关键. 21. 已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． （1）当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）； （2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，以及解不等式组，掌握三角形的三边关系和二次根式的化简和性质是解决本题的关键． （1）把代入三角形的三边中，化简后计算出三角形的周长； （2）把三角形的三边求和，利用二次根式的性质化简并确定x的取值范围． 【小问1详解】 解：当， 则， ∵， ∴的最长边的长度是3； 【小问2详解】 解：由二次根式有意义的条件得， 解得：， ∴，， ∴ ． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式的求值，掌握“利用根与系数的关系构建整体，再代入求值”是解本题的关键． （1）将代入方程即可求出； （2）利用根与系数的关系求出m的值，即可得到，即，代入代数式化简即可求出答案． 【小问1详解】 解：是方程的一个根，代入方程得：， 即， ； 【小问2详解】 解： a与（）分别是关于x的方程的两个根， ，， 与都是整数， 与同为整数， ， ， ， ， 将代入， 原式， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． （1）求a，b，m的值； （2）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，则，，利用相似三角形的性质得，进而解方程得，则，利用待定系数法求得直线的表达式为，联立方程组得，根据题意，方程有且只有一个实数根，利用根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，将代入中， 得，则， 将代入中， 得，则， ∴， 将代入中， 得，则； 【小问2详解】 解：如图，设点，则，， ∵与相似， ∴只能在点左侧， ∴， 若，则，即， ∴，即， 解得， ∵， ∴，则， 设直线的表达式为， 则，解得， ∴直线的表达式为， 联立方程组，得， ∵有且只有一点， ∴方程有且只有一个实数根， ∴，解得； 故满足条件的k值为． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数的综合、反比例函数与几何的综合，涉及待定系数法、相似三角形的性质、坐标与图形、一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用分类讨论思想求解是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋永春一中九年级月考数学 （时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. 2x﹣y＝1 B. x2﹣2＝ C. x2＝0 D. 2. 线段是由线段平移得到的，点的对应点，则点的对应点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了一个问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长与阔几何？”其大意是：矩形面积是864平方步，其中长与宽的和为60步，问长与宽各多少步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个圆 B. 两个菱形 C. 两个等腰直角三角形 D. 两个等边三角形 6. 如图，与是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、的坐标分别为、，的面积是6，则的面积为（ ） A. 18 B. 12 C. 24 D. 9 7. 如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（ ） A. （0，1） B. （0，） C. （0，2） D. （0，3） 8. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（　　） A. 10 B. 8 C. 6 D. 5 9. 自然数n满足，这样的n的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ） A. 若﹣1＜a＜1，则 B. 若，则0＜a＜1 C. 若﹣1＜a＜1，则 D. 若，则0＜a＜1 二、填空题（本题共16题，每小题4分，共24分．） 11. 若，则 __ 12. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 13. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所做将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为2米，则线段的长为______米． 14. 如图，已知△ABC的中线AD、CE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么的值为____． 15. 若m是的一个实数根，则________． 16. 如图，矩形中，，，E为线段上一动点，作点B关于的轴对称点F，连接，，G为中点．当D，F，E三点共线时，的长为___________；在E的整个运动过程中，C，G两点距离的最小值为___________． 三、解答题（本题共8小题，共86分．） 17. 计算：． 18. 解方程： 19. 已知：如图，，，，，，求，的长． 20. 如图，在中，是边上的中线，是上一点，． （1）求证：； （2）若，则的度数为______°． 21. 已知三条边的长度分别是，，，记的周长为． （1）当时，的最长边的长度是 （请直接写出答案）； （2）请求出（用含x的代数式表示，结果要求化简）； 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 已知关于x的一元二次方程． （1）若是方程的一个根，求m的值； （2）若m为正整数，关于x的一元二次方程的两个根都是整数，a与的分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与x轴交于点，点C在反比例函数图象上． （1）求a，b，m的值； （2）过A，C两点的直线与x轴负半轴交于点D，点E与点D关于y轴对称．若有且只有一点C，使得与相似，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $