精品解析：湖北省宜昌市远安县第一高级中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试卷

远安一高2025届高三10月月考数学试卷 满分：150分 限时：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知b，，虚数是方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 3. 已知，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 4. 已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为（ ） A. 3 B. C. D. 5. 若角满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 6. 设函数在内有定义．对于给定的正数K，定义函数设函数．当时，令有零点，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 8. 设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分． 9. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为 B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 11. 已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C方程为： B. 设，则周长的最小值为4 C. 若，则直线的斜率为或 D. 轴上存在一点N，使为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数______ 13. 在的展开式中，若的系数为，则______． 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________. 四、解答题：本题共4小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求AB边上的中线长. 16. 如图，四边形与均为菱形，且， （1）求证：平面平面 （2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 17. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 18. 已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程． 19. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远安一高2025届高三10月月考数学试卷 满分：150分 限时：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，解得，所以. ，所以，所以. 所以. 故选：A 2. 已知b，，虚数是方程的根，则（ ） A. B. C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意利用根与系数的关系即可求解. 【详解】是方程的根，则方程另一根为， 故， . 故选：. 3. 已知，，且，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，求出的值，再求出的坐标， 由平面向量坐标模长公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得，所以， ，所以. 故选：B. 4. 已知某圆锥的侧面积是其底面积的两倍，则圆锥的高与底面半径的比值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由题意得得，接着由圆锥结构特征得即可求解. 【详解】设圆锥的高与底面半径以及母线长依次为， 则由题意，即， 所以由圆锥结构特征得. 故选：B. 5. 若角满足，则（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用二倍角的正弦公式，化简条件，再代入二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，，， 所以，则， ， 所以. 故选：B 6. 设函数在内有定义．对于给定的正数K，定义函数设函数．当时，令有零点，则b的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图像，再结合分段函数的性质作出当时图象，数形结合求解即可； 【详解】图像，如图所示： 当时，， 如图所示： 故选：B. 7. 已知随机变量，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性求得，利用基本不等式求得正确答案. 【详解】根据正态分布的知识得，则， ， 当且仅当，即时取等. 故选：D 8. 设函数，若，则a，b满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得在定义域上单调增且零点为，且在定义域上单调减且零点为，即可得到两函数的零点重合，从而得到结果. 【详解】， 且恒成立，在定义域上单调增且零点为， 在定义域上单调减且零点为， 故与在定义域内函数值正负相反且零点重合，则. 故选：C 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有错选的得0分，部分选对的得部分分． 9. 某制药公司为了研究某种治疗高血压的药物在饭前和饭后服用的药效差异，随机抽取了200名高血压患者开展试验，其中100名患者饭前服药，另外100名患者饭后服药，随后观察药效，将试验数据绘制成如图所示的等高条形图，已知，且，则下列说法正确的是（ ） A. 饭前服药的患者中，药效强的频率为 B. 药效弱的患者中，饭后服药的频率为 C. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 D. 在犯错误的概率不超过0.01的条件下，不能认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等高条形图即可得饭前饭后药效强和弱的人数，即可判断AB，计算卡方与临界值比较即可判断CD. 【详解】对于A，饭前服药的100名患者中，药效强的有80人，所以频率为，故A正确； 对于B，饭前服药的有20人药效弱，饭后服药的有70人药效弱，所以药效弱的有90名患者，饭后服药的频率为，故B错误； 对于C，D，因为， 故在犯错误的概率不超过0.01的条件下，可以认为这种药物饭前和饭后服用的药效有差异，故C正确，D错误． 故选：AC 10. 设函数，则（ ） A. 是的极小值点 B. C. 不等式的解集为 D. 当时， 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：求导，利用导数判断的单调性和极值； 对于B：根据解析式代入运算即可；对于C：取特值检验即可； 对于D：分析可得，结合的单调性分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为R， 且， 当时，；当或时，； 可知在，上单调递增，在上单调递减， 所以是函数的极大值点，故A错误； 对于选项B：因为，故B正确； 对于选项C：对于不等式， 因为，即为不等式的解，但， 所以不等式的解集不为，故C错误； 对于选项D：因为，则， 且，可得， 因为函数在上单调递增，所以，故D正确； 故选：BD. 11. 已知抛物线的准线方程为，过抛物线C的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线C方程为： B. 设，则周长的最小值为4 C. 若，则直线的斜率为或 D. 轴上存在一点N，使为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，运用准线方程求出p,求出抛物线方程判断A；B选项，表达出周长，数形结合当A，C与点Q三点共线时，求出最小值；C选项，设直线AB的方程为，联立，设，，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求解得到答案；D选项，设，表达出，即存在点使得为定值0． 【详解】A选项，抛物线的准线方程为，所以，则， 所以抛物线，故A正确； B选项，如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于，， 根据抛物线的定义可得， 所以周长为， 由图可知，当A，C与点Q三点共线时，有最小值， 最小值为Q到准线的距离为， 所以， 所以周长的最小值是，故B错误； C选项，设直线AB的方程为， 联立，整理可得：，易知， 设，，可得，， ∵，，解得，， ，解得，，因此C正确； D选项，设在x轴上存在一点， 则 ， 故当时，，即存在点使得为定值0．故D项正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数在点处的切线与直线相互垂直，则实数______ 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求得斜率，再根据直线垂直的斜率关系列方程，从而求得的值. 【详解】， 直线的斜率为， 由于在点处的切线与直线相互垂直， 所以切线的斜率为，即. 故答案为： 13. 在的展开式中，若的系数为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式的展开式可求得，进而可得，裂项相消法可求值. 【详解】由二项式的展开式的通项公式可得第， 令，可得的系数为， 所以， 则， 则. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于x的不等式的解集中有且仅有2个正整数，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】原不等式的解集有且只有两个整数解等价于的解集中有且仅有两个正整数，利用导数讨论后者的单调性后可求参数的取值范围. 【详解】设，则， 而的定义域为，故为上的奇函数， （不恒为零），故为上的单调减函数， 又即为：， 也就是，故， 故的解集中有且仅有两个正整数， 若，则当时，， 此时不等式的解集中有无数个正整数解，不合题意； 若，因为，， 故的解集中不会有1,2，其解集中的正整数解必定大于等于3， 不妨设，则的解集中有且仅有两个正整数， 设，， 故在上为增函数，由题设可得， 故， 故答案为：. 【点睛】思路点睛：不等式解集中的正整数解的个数问题，可通过参变分离转化水平的动直线与确定函数图像的位置关系来处理. 四、解答题：本题共4小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求AB边上的中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理求得，利用向量法求得AB边上中线长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得. 又因为，则，所以. 整理得，即. 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，且， 则有， 又，故. 设边上中线为CM，则， ，故边上中线长为. 16. 如图，四边形与均为菱形，且， （1）求证：平面平面 （2）求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 【答案】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，，且O为AC中点，， ， 又，平面BDEF， ∴平面BDEF，又平面， 所以平面平面。 （2） 【解析】 【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，由线面垂直的判定定理证明平面BDEF，再得到平面平面即可； （2）连接DF，先由线面垂直的判定定理证明平面ABCD，再建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABF的法向量，代入空间线面角的向量公式求解即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 17. 某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复. （1）计算王同学第2天去餐厅用餐的概率. （2）记王同学第天去餐厅用餐概率为，求； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用全概率公式计算可得结果； （2）依题意得出与之间的递推关系式，再由等比数列通项公式可得. 【小问1详解】 设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅， 根据题意得，，，， 所以. 【小问2详解】 设表示第天去餐厅用餐，则，， 根据题意得，， 由全概率公式得，， 即， 整理得，，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即. 18. 已知椭圆，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，过点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，当最小时，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】 （1）设，根据题中条件求出，得出，根据椭圆的定义，求出，得出，，即可得出椭圆方程； （2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，设，，根据韦达定理、弦长公式，以及题中条件，得到，求出其取最小值时对应的的值，即可得出结果. 【详解】（1）设，则，则， ∴，则由椭圆定义， ∴，则， 故椭圆的标准方程为； （2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线， 联立方程得， ∵设，， 由题意，， 由韦达定理，， 则，∴， ∵，∴，∴， 又， ∴， 当且仅当即时取等号． 此时直线的方程为或． 【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及椭圆中的最值问题，熟记椭圆方程的求法，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型. 19. 函数的导函数记为，若对函数的定义域内任意实数，存在实数，使得不等式成立，则称函数为上的＂函数＂． （1）判断函数是否是上的“函数”，请说明理由； （2）若函数是上的“函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数是上的“函数”．若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值． 【答案】（1）不是，理由如下： 因为，则， 由于，即对任意的不恒成立， 所以函数不是上的“函数”. （2）； （3）6. 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）结合定义可得对任意的恒成立，进而得到对任意的恒成立，令，进而结合导数分析单调性求得最值即可求解； （3）先根据定义得到对任意的恒成立，分类讨论求得，再结合题意可得，令，，进而结合导数分析求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 令，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以， 因为函数是上的“函数”， 所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，对任意的，上式恒成立，符号题意； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即； 当时，恒成立， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 所以，即. 综上所述，. 若对任意的，当时，都有成立， 不妨设，则，于是有， 即， 令，， 则存在，使得在上为增函数， 于是存在，使得， 即对任意的恒成立， 可得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 而函数在上单调递增，所以，即， 另一方面，当，时，，， 可得知恒成立，满足题意， 所以实数的最大值为6. 【点睛】方法点睛：与函数的新定义有关的问题的求解策略： 1.通过给出一个新的函数定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的； 2.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $