3.6《三角形的面积》（教学设计）-五年级数学上册精品课堂系列（北京版）

第三单元 3.6《三角形的面积》 教学设计 【学习目标】  1、通过拼一拼,摆一摆的活动让学生体验三角形面积公式的推导过程。     2、通过分析、比较的活动让学生理解并掌握三角形面积的计算公式。      3、能用三角形的面积计算公式，解决相对应的实际问题。      4、培养学生观察能力、动手操作能力和类推迁移的能力，进一步体会转化方法在图形中的应用。 【教学重点】   掌握三角形面积计算公式，能正确计算三角形面积。 【教学难点】     三角形面积计算公式的推导。 【学情分析】 在此之前，学生已经初步认识了各种平面图形的特征，掌握了长方形、正方形、平行四边形的面积计算方法，对于面积的计算学生学习时并不陌生。在前面的图形教学中，学生学会了运用折、剪、拼、量、算等方法探究有关图形的知识，在学习方法上也有一定的基础。通过上节课的学习学生有了平行四边形面积公式的推导基础，因此学生会想到把三角形转化成已学过的图形，通过求出学过图形的面积进而求得三角形的面积。在学习方法上学生能够通过实际操作来探索三角形面积的计算。 【核心素养】 “三角形的面积”的学习是以面积的含义及长方形、正方形、平行四边形面积计算等知识为基础，重点在于感悟“变未知为已知，用已知获新知”的数学化归思想，这种思想方法是学生探究梯形及组合图形面积计算的重要基础。《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求“引导学生运用转化的思想，推导平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式，形成空间观念和推理意识”。空间观念主要是指对空间物体或图形的形状、大小及位置关系的认识，有助于理解现实生活中空间物体的形态与结构，是形成空间想象力的经验基础。三角形的面积是在长方形和正方形面积、平行四边形面积等知识的基础上学习的，为接下来学习梯形的面积、组合图形的面积等知识奠定基础。教材安排了两部分内容：一是推导三角形的面积计算公式，教材以实际问题“怎样算出红领巾的面积？”为载体，以小组合作的形式展现学生探索交流的过程，呈现学生操作活动的多样性。与此同时，教材暗含着根据平行四边形面积计算公式推导的方法把三角形也转化成已学过的图形来解决的思路。二是运用三角形的面积计算公式解决简单的实际问题。 【教学准备】 教学课件、学习任务单、方形模块 教学流程 创设情境，新课导入 【设计意图：三角形面积计算公式的推导过程与平行四边形面积计算公式推导过程类似，都要将其转化成已知图形来推导。因此，复习平行四边形面积计算公式的推导，可为学习新知打下基础，方便学生找准认知停靠点，促进教与学的迁移。】 一、谈话导入 师：同学们，前面我们学习了平行四边形的面积，谁能说一说，平行四边形的面积是怎样计算的？生：平行四边形的面积等于底乘高。 （板书：平行四边形的面积=底×高）师：那平行四边形的面积公式是如何推导的呢？  生：把一个平行四边形转化成长方形来计算的。师：说得很好，这里用到了数学上一个很重要的思想，转化的思想。你想知道我们每日佩戴的红领巾的面积吗？要想知道红领巾的面积，其实就是求三角形的面积，那我们今天就一起来探究三角形的面积吧。 （板书：三角形的面积） 学习任务一：初步探究直角三角形面积的计算方法 【设计意图：推导三角形的面积计算公式有拼摆与割补的方法。拼摆的方法是学生最容易理解的，因此，让学生探索用两个完全相同的三角形推导面积计算公式，确保所有学生能掌握这种方法。。】 师：我们一起来看，这是钉子板，利用钉子板可以让我们的学习更直观，老师在钉子板上围了一个等腰直角三角形，这个等腰直角三角形的面积怎么计算呢？谁来说说你的想法？ 生1：用数方格的方法。 师：真善于思考，还有不同的方法吗？ 生：用皮筋再围一个和直角三角形大小一样的直角三角形，两个直角三角形组成一个正方形，直角三角形的面积正好是正方形面积的一半。 师：大家听懂了吗？请你上来演示一下，再给大家具体讲一讲吧。 现在听懂了吗？ 生：懂了 师：谢谢你，你的思路让这个问题迎刃而解，把掌声送给他。 师：现在老师在钉子板上又围了一个直角三角形，这个三角形的面积怎么求呢？先独自想一想再和你的同桌交流。现在开始吧。 师：同学们讨论的非常激烈，谁到前面来分享一下你的想法？请你来。 生：再围一个和直角三角形完全一样的直角三角形，两个完全一样的直角三角形组成一个长方形，直角三角形的面积就是这个长方形面积的一半，所以直角三角形的面积就是长方形的面积除以2. 师：大家同意吗？ 师：你的思路非常清晰，把掌声送给他。 师：同学们通过动手、动脑，找到了不同的方法计算直角三角形的面积，请大家观察一下，转化后的长方形与原来的直角三角形有什么关系？从中你能找到直角三角形面积的计算方法吗？同桌之间互相说一说你们的发现。 师：谁来说说你们的发现？ 生：长方形的长是直角三角形的底，长方形的宽是直角三角形的高，长方形的面积是长乘宽，三角形的面积是长方形面积的一半，所以直角三角形的面积是底乘高除以2。 师：你们真善于总结，我们把刚才的思路再回顾一下，一起来看大屏幕，把长方形的一条边作为直角三角形的底（点课件，出现底），另一条边就是底边上的高（点课件，出现高）。直角三角形的面积是这个长方形面积的一半，根据长方形的面积计算方法，所以直角三角形的面积就是底乘高除以2。 师：同学们可真不简单，运用“转化”的思想，推导出了直角三角形面积的计算计算方法是底乘高除以2。 学习任务二：进一步探究锐角（钝角）三角形的面积计算方法 【设计意图：学生在平行四边形面积推导的基础上，运用转化的数学思想，通过动手操作，推导出三角形的面积计算公式。在操作、观察、分析、推理、概括的过程中，培养学生的合作能力、动手能力、解决问题的能力。同时，让学生体会到解决问题方法的多样性，进一步培养学生的创新意识，开阔学生的思维，使学生也体会到学习数学的乐趣。】 我们已经知道了直角三角形面积计算方法，那锐角三角形和钝角三角形面积的计算方法是什么呢？ 师：想不想进一步深入探究？ 生：想 师：那我们就分小组进行研究，老师为大家提供了两个方案，第一个方案，请同学们从学具袋中拿出三角形，拼一拼，看能转化为我们学习过的什么图形？通过探究能得到锐角三角形和钝角三角形面积公式吗？第二个方案，通过画一画的方法，把方格纸上的三角形转化为我们学过的图形，通过探究能得到锐角三角形和钝角三角形面积公式吗？要求清楚了吗？开始行动吧！ 师：同学们讨论的非常激烈，哪个小组愿意先来汇报？ 组1：我们用两个完全一样的锐角三角形拼成了一个平行四边形。平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以，三角形的面积是底乘高除以2。 师：哪个小组是用钝角三角形进行研究的？请你们上来展示一下研究结果。 组2：我们用两个完全一样的钝角三角形拼成了一个平行四边形。平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以，三角形的面积是底乘高除以2。 师：我们把刚才同学们的推导过程再回顾一下，先把两个完全一样的三角形重合，再绕着一个顶点旋转180度，再平移，拼成一个平行四边形。平行四边形的底等于三角形的底，三角形的高等于平行四边形的高，三角形的面积等于平行四边形面积的一半，所以锐角三角形和钝角三角形的面积等于底乘高除以2. 师：哪个小组是用第二个方案进行研究的，上来展示一下。 组3：我们画了一个和锐角三角形、钝角三角形完全一样的三角形，组成了平行四边形，三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高，三角形的面积是平行四边形面积的一半，所以，三角形的面积是底乘高除以2。 师：同学们很善于合作研究，巧妙地运用转化的思想，推导出了锐角三角形和钝角三角形面积的计算公式。我们来看（多媒体演示）：两个完全一样的三角形通过旋转、平移都能拼成一个平行四边形。（点课件出结论） 拼成的平行四边形的底等于三角形的底，拼成的平行四边形的高等于三角形的高，也就是说平行四边形和三角形等底等高，每个三角形的面积等于所拼成的平行四边形面积的一半。平行四边形的面积等于底乘高，所以锐角三角形或钝角三角形的面积＝底×高÷2。 学习任务三：观察思考，发现关系。 【设计意图：给孩子搭建平台，充分放手让学生自己动手操作验证自己的想法，并进行展示说明，学生在操作中感受数学的乐趣，在汇报中提升自己的想法。】 1、出示探究要求 师：那么，转化后的平行四边形和原来的三角形有什么关系呢？你想继续探究吗？找同学来读探究要求。仔细观察拼成的平行四边形和原来的三角形，独立思考以下问题，并完成探究单。 （1）你发现了什么？ （2）你能推导出三角形的面积公式吗？ 2、学生自主探究 3、学生汇报 生1： 我研究：两个完全一样的（锐角）三角形拼成的平行四边形。 我发现： ①拼成的平行四边形的面积是原来三角形面积的（2倍）。 ②拼成的平行四边形的底和原来三角形的底（ 相等 ）。 ③拼成的平行四边形的高和原来三角形的高（ 相等 ）。 我推导： 因为：平行四边形的面积= __底×高____ 所以：三角形的面积=___底×高÷2____ 生2继续汇报钝角三角形，生3汇报直角三角形。 师：由以上三种情况可以看出：拼成的平行四边形的面积是原来三角形的2倍，我们也可以反过来说，三角形的面积是拼成的平行四边形的一班，那我们用平行四边形的面积除以2，就能得到原来三角形的面积。（板书） 我们还发现了拼成的平行四边形的底和原来三角形的底相等，拼成的平行四边形的高和原来三角形的高相等。（板书） 那么你能推导出三角形的面积吗？ 生汇报。 ①师板书公式：三角形的面积=底×高÷2。 ②用字母表示三角形面积计算公式。S=ah÷2 师小结：利用转化的思想，我们用一个三角形无法将它转化成已学过图形时，我们选择两个完全一样的三角形实行拼摆。不论是两个完全一样的锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，最后都能拼成一个平行四边形。通过观察我们发现，原三角形的底与拼成的平行四边形的底相等，原三角形的高与拼成的平行四边形的高相等，原三角形的面积是拼成的平行四边形的面积的一半。发现两者之间的等量关系，推导出三角形的面积。 黑板上展示：（用两个完全一样的三角形摆拼）（两锐角三角形）（两钝角三角形）（两直角三角形）（两等腰直角三角形。    底×高÷2   底×高÷2      长×宽÷2   边长×边长÷2 学习任务四：达标练习，巩固成果 【设计意图：设计一些有梯度的练习，从简到难，激发学生的兴趣，使学生逐步地把所学的知识灵活运用到解决问题中，拓展学生思维。】 1.计算红领巾的面积 师：同学们，生活中有很多物体的形状是三角形的，比如同学们胸前佩戴的红领巾。现在你能求出这条红领巾的面积了吗？ （点课件）出示例题 师：好，开始吧！怎么不动手呢？ 生：没有数据。 师：你还需要知道哪些数据？ 生：高。 师：老师已经测量出了红领巾这条底相对应的高，（出示高），现在能计算了吗？谁来说说怎样算？ 生：100×33÷2 师：你为什么这样列式？ 生：三角形面积计算公式。 师：其实我们在计算时就是把数据带入公式来计算。你来说,我来写。 生：s=ah÷2。 师：对，先写出三角形面积的字母公式，注意上下等号要对齐。 （板书计算过程） 师：单位是什么？ 生：平方厘米。 师：对，要带面积单位。我们一起来答。 生：这条红领巾的面积是1650cm。 2.计算交通标志的面积 师：同学们，生活处处有三角形，你们认识这些交通标志吗？看来同学们都很有生活经验。想要知道做这个交通标志牌需要多少铁皮？要知道哪些信息？你上来指一指。 生：至少需要知道一组底和高。 师：根据这些信息，算一算吧。说说你是怎么做的？ 生：9×7.8÷2=35.1平方分米。 师：你有不同想法。通过对这道题的解答，你有什么要提醒大家注意的？ 生：我们在计算三角形的面积时，底和高必须是相对应的，才可以相乘。 师：看来同学们解决问题的能力都很强。 【拓展延伸】 【设计意图：将中华传统文化与小学数学相结合，灵活运用各种策略与方法出入相补，提升学生思维水平，促进学生数学学科核心素养的提升。】 同学们，这节课大家表现都很棒，都能推导出三角形的面积公式，其实早在两千年前，我国数学名著《九章算术》中就论述了三角形的算法：“圭田术曰，半广以乘正从”。意思就是说：三角形的面积=底×高÷2。我国古代数学家刘徽也利用出入相补原理转化图形。我们可以这样出入相补，也可以这样出入相补。（课件出示）实际上，我们还可以像这样，用折叠的方法，折成长方形来研究。有兴趣的同学课下可以自己研究一下。（课件动态演示） 【知识总结】 【设计意图：让学生带着问题走进课堂，又带着收获走出课堂，并渗透数学文化和数学思想，进一步激发学生学习数学的热情。】 师：一节课的时间过得可真快。我们一起来回顾一下今天所学的知识：首先我们用两个完全一样的三角形拼成了一个平行四边形，这里用到了一个很重要的思想，就是转化；接着，我们通过观察拼成的平行四边形和原来的三角形，找到了二者之间的关系，这一步叫做找关系；最后，根据这些关系，推导出了三角形的面积公式，这一步可以说就是推导。转化，找关系，推导，是研究平面图形面积常用的数学思想方法，今后我们还会继续学习和探索。 【作业设计】 1.完成练习册上与本节课内容相关的练习题。 2.卢浮宫前有一个玻璃金字塔，将古老的宫殿改造成了现代化的美术馆。玻璃金字塔四个侧面均由高为27米，底为34米的三角形玻璃墙组成，求玻璃墙的总面积。 【板书设计】   三角形的面积  三角形的面积＝拼成的平行四边形的面积÷2 三角形的面积＝底×高÷2 S＝ah÷2 1 学科网（北京）股份有限公司 $$