大题突破3：与函数性质有关的解答题6考点复习指南（讲+练）-【题海探秘】2024-2025学年高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册）

2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破3：与函数性质有关的解答题 4考点复习指南 考点1 函数的单调性 1．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 2．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 3．（20-21高一上·天津南开·期中）已知函数. (1)当时，求出的解析式并用定义证明在为单调递减； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 4．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 6．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 考点2 函数的最值 10．（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 11．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 12．（2024高一上·江苏·专题练习）已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 16．（22-23高一上·山东聊城·期中）设为实数，函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集． 17．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 考点3 函数的奇偶性 18．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值; (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明; 19．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 20．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 21．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 22．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 (1)确定函数的解析式； (2)判断在定义域上的单调性（不用证明），并解不等式. 23．（12-13高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 24．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 25．（23-24高一上·天津·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 26．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 27．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 28．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 29．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 30．（24-25高一上·广西·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 31．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 考点4 函数的周期性和对称性 32．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 33．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数，满足以下三个条件：①；②；③存在集合. (1)判断函数的奇偶性，并说明现由； (2)求，的值； (3)判断命题p：“是周期函数”的真假，并说明理由. 34．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求 的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 35．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知函数的定义域为R，其图象关于点对称. (1)求实数a，b的值； (2)求的值. 36．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）若函数的定义域为R，且 (1)求的值，并证明函数是偶函数； (2)判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值 1．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 3．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)写出的单调递减区间（无需证明）. 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 8．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 10．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 11．（23-24高一上·四川内江·期中）已知奇函数， (1)求实数的值；并作出的图象； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围． 12．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知过点，且满足 (1)若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. (2)求在上的最小值 (3)若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 13．（17-18高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 14．（24-25高一上·广西·期中）已知函数. (1)若有两个不相等的负根，求的取值范围； (2)求在上的最大值； (3)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 15．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 16．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 17．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知定义在上的函数满足. (1)求； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 19．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 20．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． (1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值； (2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； (3)设，求的最小值． 21．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 22．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 23．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）定义域在上的偶函数满足：当时， (1)若成立，求实数m的取值范围； (2)设函数若对于任意的都有成立，求实数a的取值范围. 25．（20-21高一上·天津南开·期中）已知对称轴为的二次函数满足对于任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求解析式； (3)若当时，恒成立，求的最大值. 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 27．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 28．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 29．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025高一上学期数学期中考考点复习指南（人教A版2019必修第一册） 大题突破3：与函数性质有关的解答题 4考点复习指南 考点1 函数的单调性 1．（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知函数 ，图象经过点 ，且 . (1)求的值； (2)用定义法证明函数 在区间 上单调递增. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到方程组，可求出答案； （2），且，变形判断符号可得结论. 【详解】（1）由题意得， 解得 （2）由（1）可知， ，且， ， 因为，所以， 又，所以， 所以，即，所以， 所以函数在区间上单调递增. 2．（23-24高一上·山东滨州·期中）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，，且． (1)求的值，并证明：当时，； (2)判断的单调性，并证明； (3)若，求不等式的解集． 【答案】(1)，证明见解析； (2)在上单调递减，证明见解析； (3). 【分析】（1）令，可得，令，结合已知即可得证； （2）设，令，结合的范围即可判断，得证； （3）利用赋值法求出，然后根据单调性去掉函数符号，解一元二次不等式可得. 【详解】（1）令，则，又，所以． 证明：当时，，所以， 又，所以，所以； （2）在上单调递减． 证明：设，则 ， 又，所以，所以， 又当时，，当时，， 所以，即， 所以在上单调递减； （3）因为，所以， 所以，即， 又在上单调递减，所以， 解得，所以不等式的解集为． 3．（20-21高一上·天津南开·期中）已知函数. (1)当时，求出的解析式并用定义证明在为单调递减； (2)若在上单调递增，求的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用换元法求出解析式，再利用定义证明函数单调性即可； （2）对用分离常数法化简，再利用换元法求出解析式，根据图象变换及单调性列出不等式即可求解. 【详解】（1）当时，， 令，则，， 所以， ，且， ， ， ，即， 所以在为单调递减. （2）因为， 令，，则，则， 所以，， 又在上单调递增，，， 所以的取值范围为. 4．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知函数，． (1)证明：函数在上单调递增； (2)若存在且，使得的定义域和值域都是，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）任取，且，确定，的大小关系，结合单调性证明结论， （2）结合单调性求函数在上的值域，由条件可得为关于的方程的两个不相等的正实数根， 【详解】（1）任取，且， 则， 因为，， 所以，所以，故， 所以，所以函数在上单调递增． （2） 由（1）可知函数在上单调递增， 因为的定义域和值域都是， 所以， 所以为关于的方程的两个不相等的正实数根， 化简方程可得， 则，， 又因为，所以解得， 所以的取值范围为． 5．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)当时，判断的单调性并证明； (2)已知条件，条件，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明，任取且，然后化简变形，再判断其符号，从而可得结论； （2）将问题转化为在恒成立，再转化为在恒成立，然后根据的单调性可求得结果. 【详解】（1）在上单调递增，证明如下： 任取且， 因为，所以 所以，即， 所以在上单调递增； （2）因为是的充分条件，所以若，则为真， 即在恒成立， 所以在恒成立； 由（1）知在上单调递增，所以在上单调递增， 所以，即 6．（23-24高一上·重庆·期中）已知二次函数满足：且． (1)求的解析式； (2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出的解析式，利用待定系数法求出即得. （2）利用（1）的解析式，分段讨论求出单调递增区间，再借助集合包含关系求解即得. 【详解】（1）设二次函数， 则， 由，得，解得，又， 即，于是， 所以的解析式是. （2）由（1）得， 当时，的单调递增区间为，依题意，，则； 当时，的单调递增区间为，依题意，， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 7．（23-24高一下·贵州六盘水·期中）已知函数的定义域为，对任意，都满足，且.当时，，且. (1)求，的值； (2)用函数单调性的定义证明在上单调递增； (3)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法可得与； （2）利用赋值法可得，且当时； （3）结合抽象函数的性质及函数的单调性可得不等式，即，根据二次函数最值可知，解不等式即可. 【详解】（1）由， 则， 又当时，， 则， ； （2）令，则，即， 当时，，且， 即， 即在上恒成立， 由，可知， 令，，且，即， 则， 所以， 即在上单调递增； （3）由已知， 又由（1）得， 所以， 又函数在上单调递增， 则恒成立， 所以恒成立， 又， 即， 解得. 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知函数， (1)若，试用定义法证明：为单调递增函数； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据函数单调性的定义，分区间讨论即可得证； （2）由二次不等式的恒成立，列出不等式式组得解. 【详解】（1）证明：当时，， 当时， ， 由于，则，，， 则，，即； 当时，， 由于，则，则， ，即； 当时，， 由于，则， ，即； 综上，为单调递增函数； （2）①当时，恒成立，即恒成立， 或，解得； ②当时，恒成立，即恒成立，即在上恒成立，则； 综上，实数的取值范围为． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且．当时，． (1)求； (2)证明：函数在为增函数； (3)如果，解不等式． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对抽象等式进行字母赋值计算即得； （2）将抽象函数等式变形为，利用函数单调性定义，结合条件即可证明； （3）先推理得到，再利用结论化简，最后利用抽象函数的单调性即得. 【详解】（1）∵， 令，则， ∴； （2）由，可得， 则得，， 设，由， 因时，有，依题意，，即， 所以函数在为增函数； （3）因，∴， 又由，则 ， 由可得， 即，即，因函数在为增函数 故可得，， 解得，即不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：本题主要考查利用抽象函数等式探究函数性质以及解不等式上的应用，属于难题. 解题方法主要有： （1）赋值代入法；（将字母取值，计算函数值） （2）构造函数法：(如（2）题中，对于，构造，从而得用来证明函数单调性) （3）函数单调性应用：利用函数单调性，去掉函数符号，化抽象函数不等式为具体不等式求解. 考点2 函数的最值 10．（23-24高一上·四川凉山·期中）已知函数 (1)当时，求在区间上的值域； (2)若在区间上的最大值为4，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接代入，根据二次函数的性质即可得到值域； （2）根据题意转化为，代入计算即可. 【详解】（1）当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， ， 所以在区间上的值域为. （2）因为，，开口向上， 则的最大值为和两个中的较大者， 而，要使在区间上的最大值为4，则， ， 故的取值范围为. 11．（23-24高一上·河北邯郸·阶段练习）设函数，其中. (1)若 是关于 的不等式的解，求 的取值范围； (2)若对任意的 ，不等式恒成立，求 的取值范围； (3)求函数 在 上的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）运用代入法进行求解即可； （2）根据函数的单调性，结合任意性的定义进行求解即可； （3）根据对勾函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为是关于 的不等式的解， 所以，因此的取值范围为； （2）因为对任意的 ，不等式恒成立， 所以有成立， 因为， 对于对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 对于二次函数的对称轴为，开口向上，显然， 当时，， 综上， 当时，由，所以， 当时，由，显然无实数解， 故的取值范围为； （3）因为， 所以对勾函数在单调递减，在上单调递增， 当时，即时，， 当时，即时，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由不等式恒成立，转化为. 12．（2024高一上·江苏·专题练习）已如函数，若对任意都有成立， 求的取值范围. 【答案】 【分析】结合二次函数的性质可得，解出即可得. 【详解】函数开口向上， 故对任意都有成立， 只需满足， 解得. 13．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）（1）试用函数单调性的定义证明：函数在区间上单调递增． （2）求出函数的值域． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）根据题意，任取，令，利用作差法单调性的定义分析证明； （2）根据（1）中可知：在区间上单调递增，可证在区间上单调递减，根据单调性分析最值，进而可得值域. 【详解】（1）证明：任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递增； （2）由（1）可知：在区间上单调递增， 任取，令， 则， 因为，则， 可得，即， 所以函数在区间上单调递减， 因为，且， 可知函数的最大值为，最小值为2， 所以函数的值域为． 14．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知 (1)判断并用定义法证明在上的单调性； (2)若在上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【分析】（1）借助对勾函数判断函数单调性，并根据函数单调性的定义证明函数的单调性； （2）由（1）结论，确定，的取值范围，借助的解可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，（当且仅当时取得最大值） 函数在单调递增，在上单调递减，理由如下： ，且，则 ． 当时，，， 又，， 所以即， 所以在上单调递增， 当时，， 又，， 所以即， 所以在上单调递减， （2）因为在上的值域为， 所以由（1）知， 令，即，解得或， 当时，，则有， 当时，，则有， 综上所述，的取值范围为. 15．（23-24高一上·北京·期中）已知函数的图像经过点. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并证明； (3)当时，的最小值为3，求的值. 【答案】(1) (2)在上单调递减；证明见解析 (3)1 【分析】（1）代入已知点坐标求得参数值得函数解析式； （2）根据单调性定义证明； （3）结合单调性得最小值从而可求解． 【详解】（1）由题意知函数的图像经过点， 故，解得， 故； （2）函数在上单调递减； 证明：设，且， 则 ， 因为，故， 即，故函数在上单调递减. （3）由（2）知在是减函数， 因此，解得或， 又，所以． 16．（22-23高一上·山东聊城·期中）设为实数，函数． (1)若，求的取值范围； (2)求的最小值； (3)设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）对的符号进行判定后解不等式可得结果； （2）根据解析式并对的取值范围进行分类讨论后可得其最值； （3）讨论的取值范围解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以，即． 由知， 因此的取值范围为． （2）记的最小值为． 我们有 （i）当时，．由①②知，此时． （ii）当时，． 若，则由①知；若，则． 由②知，此时． 综上得 （3）由可得； 所以等价于， 易知， 当，可得，则； 当时，可知，则， 当时，解得，此时， 当时，，此时； 当，可知，此时； 综上可知： （ⅰ）当时，解集为； （ⅱ）当时，解集为； （ⅲ）当时，解集为 17．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数. (1)当，求函数的值域. (2)若任意，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明函数在上单调递增，即可求解最值得解， （2）分离参数，即可根据函数的单调性求解最值求解. 【详解】（1）函数在上单调递增，证明如下： 任取，,，且， 则，， 则， ，即， 函数是,上的增函数,因此函数在单调递增， 故值域为 （2）由任意，使得恒成立可得对任意，恒成立， 由（1）的证明过程可推导函数在单调递减，故最小值为，故 考点3 函数的奇偶性 18．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值; (2)判断函数在区间的单调性，并用单调性定义证明; 【答案】(1)， (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）利用且，列方程组求的值并检验即可； （2）利用定义法判断并证明函数的单调性. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得， 则函数的解析式：， 经检验，，故是奇函数. 所以，. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 设，则， 由于，则，即， 又，则有，即. 所以在上单调递增． 19．（24-25高一上·江西上饶·开学考试）若函数的定义域是，且对任意的，都有成立． (1)试判断的奇偶性； (2)若当时，，求的解析式，并画出函数图象； (3)在条件（2）前提下，解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)，作图见解析 (3)或． 【分析】（1）利用奇偶性的定义求解即可； （2）根据求解即可； （3）利用函数的单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】（1）令可得：，故， 令可得：，故． 又函数的定义域是，故函数为奇函数． （2）令，则，故 ， 又，所以，， 综上可知，． 故函数图像如下：    （3）由（2）可知，函数为上的增函数， 因为． 所以． 所以，解得或． 20．（23-24高一上·吉林·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，当时，. (1)求时，函数的解析式； (2)作出的图像； (3)若函数在区间上单调递增，结合图象求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)图象见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数定义求出解析式. （2）利用二次函数图象，结合奇函数作出函数的图象. （3）由的单调性，结合函数图象，列出不等式组求解即得. 【详解】（1）设，则，于是， 又为奇函数，即， 所以当时，. （2）当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 作出在上的图象，再作出所作图象关于原点对称的图形， 如图为函数的图象， （3）观察图象知，函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则，于是，解得， 所以的取值范围是. 21．（23-24高一上·北京·期中）已知函数． (1)判断并证明的奇偶性； (2)证明在上是增函数； (3)求在上的最大值及最小值． 【答案】(1)奇函数，证明见解析； (2)证明见解析； (3)最大值、最小值分别为. 【分析】（1）直接利用函数的奇偶性定义判断并证明. （2）利用单调性定义进行判断证明：取值、作差、定号、得结论. （3）利用（2）的结论，求出函数在区间上的最值． 【详解】（1）函数的定义域为，是奇函数， 对任意的，， 所以函数为奇函数. （2）对区间上的任意两个数，且， 则， 由，则，，， 从而，即， 所以函数在区间上为增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增，，， 所以函数在上的最大值、最小值分别为. 22．（23-24高二下·浙江绍兴·期中）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且 (1)确定函数的解析式； (2)判断在定义域上的单调性（不用证明），并解不等式. 【答案】(1)， (2)在上是增函数， 【分析】（1）根据奇函数得，以及即可求解，； （2）根据单调性定义求解为增函数，进而结合奇偶性即可求解. 【详解】（1）由，恒成立，得函数是定义在上的奇函数， 则，解得，由，得，解得，即， 此时，即函数是奇函数， 所以，． （2）由（1）知，，，， 则， 由，得，，则，即， 所以函数在上是增函数. 因为函数是上的增函数，且是奇函数， 不等式， 因此，解，得或， 解，得，从而， 所以原不等式的解集为． 23．（12-13高三上·云南昆明·阶段练习）已知函数是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数在区间上单调递增，求实数a的取值范围． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据函数是奇函数，求得的解析式，比照系数，即可求得参数的值； （2）根据分段函数的单调性，即可列出不等式，即可求得参数的范围. 【详解】（1）设，则，所以． 又为奇函数，所以， 于是时，，所以． （2）由（1）可画出的图象，知在上是增函数， 要使在上单调递增． 结的图象知，所以，故实数的取值范围是． 24．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知二次函数满足：． (1)求的解析式； (2)若为定义在R上的奇函数，且当时，求在R上的解析式． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出函数的解析式，利用待定系数法求出解析式. （2）由（1），利用奇函数定义求出函数的解析式. 【详解】（1）依题意，设，由， 得，整理得， 于是，解得，， 所以的解析式为. （2）由（1）知，当时，， 由为定义在R上的奇函数，得， 当时，，， 所以在R上的解析式为. 25．（23-24高一上·天津·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； (3)求函数在上的值域 . 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的特征，，求出的值，又，求出的值，得到的解析式，并检验. （2）利用定义法证明函数单调性； （3）根据函数的单调性求值域即可. 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数， 则，即有， 且，则，解得， 则函数的解析式：，， 因为满足，所以是奇函数， 即. （2）证明：设任意满足， 则， 由于，则，，即， 又， 则有，即， 则在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上是增函数， 所以，即， 所以函数在上的值域为. 26．（22-23高一上·江苏镇江·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的值； (2)求函数在上的值域； (3)设，若对任意的，对任意的，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据恒成立和可求的值. （2）判断函数在上的单调性，再求值域. （3）根据恒成立问题求参数的取值范围. 【详解】（1）由题意： 所以. 又. 所以：，. （2）由（1）可知：. 设， 则， 因为，所以，，， 所以. 所以函数在上单调递增. 又，，所以函数在上的值域为：. （3）问题转化为，当时，恒成立. 若，则在上为增函数，由. 若，则，此时在上恒成立. 若，则在上为减函数，由. 综上可知：.即实数的取值范围是：. 【点睛】结论点睛：对任意的和，恒成立，可转化为在上的最大值小于等于在的最小值. 27．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，函数在轴左侧的图象如图所示，请根据图象； (1)画出在轴右侧的图象，并写出函数的单调区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）利用关于原点中心对称作出图象，由图象得单调区间； （2）根据奇函数定义求解析式； （3）用二次函数性质分类讨论即可求得最小值． 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，即函数的图象关于原点对称， 则函数图象如图所示． 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）根据题意， 令，则，则， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 即， 所以. （3）当时，， 则， 其对称轴为， 当时，即，则， 当时，即，则， 故. 28．（23-24高一上·安徽淮北·期中）已知函数，且其定义域为． (1)判定函数的奇偶性； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递减； (3)解不等式． 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【详解】（1）为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. （2）任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3）可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 29．（22-23高一上·广东东莞·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． (1)画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； (2)写出函数的解析式； (3)若函数，求函数的最小值． 【答案】(1)图象见解析，递增区间为， (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出的增区间； （2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可； （3）由题意可得，对称轴为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当、、时的即可. 【详解】（1） 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； （2）根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； （3）根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 30．（24-25高一上·广西·期中）已知定义在上的函数满足，当时，. (1)若，求的值. (2)证明：是奇函数且在上为增函数. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由题意可知：，利用赋值法求函数值； （2）根据题意结合奇函数和单调性的定义分析证明； （3）根据题意可得，结合单调性可得，解不等式即可. 【详解】（1）由，可得. 令，得， 令，，得，得， 令，得； 令，得. （2）由（1）知， 令，得，所以， 则是奇函数. 任取，，且，则， 则. 因为当时，， 所以，即， 所以在上为增函数. （3）由（2）可知，， 即，所以. 因为在上为增函数， 则，即， 因式分解得. 当时，不等式的解集为； 当时，不等式变为，不等式无解； 当时，不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 31．（2024高二下·安徽·学业考试）已知函数是奇函数，且 (1)求的值； (2)判断函数在上的单调性，并加以证明； (3)若函数满足不等式，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用和可求得，检验可知满足题意； （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可; （3）利用单调性及定义域列出不等式即可 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 则，解得， 所以函数， 检验：，故函数为奇函数， 所以； （2）在上单调递增． 证明如下：对于任意，且， 则， 由，得， 又， 所以，即， 故函数在上单调递增； （3）不等式， 是增函数，且，所以，解得， 所以t的取值范围是 考点4 函数的周期性和对称性 32．（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． (1)求函数图象的对称中心； (2)用定义证明在区间上的单调性； (3)已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设函数图象的对称中心为，根据函数关于点对称的性质得到，代入求解即可得到的值，从而得到对称中心. （2）根据单调性定义证明即可. （3）由题意可知函数的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，的值域可对二次函数的对称轴和区间的位置关系进行分类讨论得到，最终整合得到实数m的取值范围. 【详解】（1）设函数图象的对称中心为，则， 即， 整理得， 于是，解得， 所以的对称中心为. （2）任取，且，则 ， 所以且， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由题意得：的值域是值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 于是原问题转化为在上的值域， ①当即时，在上单调递增， 同时的图象恒过对称中心， 可知在上也单调递增，故在上单调递增， 又，，故， ，，解得，又，故此时； ②当即时，在上单调递减，上单调递增， 又过对称中心，故在上单调递增，上单调递减， 故此时， 欲使，只需，且， 解不等式得：，又，故此时； ③当即时，在上单调递减，在上也单调递减， 由对称性知在上单调递减，于是， ，故，解得，又，故此时， 综上，实数的取值范围是. 33．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知定义在上的函数，满足以下三个条件：①；②；③存在集合. (1)判断函数的奇偶性，并说明现由； (2)求，的值； (3)判断命题p：“是周期函数”的真假，并说明理由. 【答案】(1)为偶函数，理由见解析 (2)， (3)假命题，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析判断； （2）根据题意通过赋值令，运算求解即可； （3）利用周期函数的定义，举反例说明即可. 【详解】（1）由①可得，，故为偶函数. （2）在②中令可得，， 可得或. 在①中令可得，， 若，则矛盾，故， 可得，即或1. 若时，. 此时与③矛盾，故. （3）假命题，例如，， 则， 即①成立； 又因为， 即②成立； 又因为，，即③成立； 但在上递增，可知不是周期函数. 34．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期末）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数. (1)求函数图象的对称中心； (2)根据第（1）问的结论，求 的值； (3)类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数”的一个推广结论. 【答案】(1) (2) (3)答案见详解 【分析】（1）根据函数为奇函数，求出，的值； （2）根据（1）的结论，分组相加即可； （3）利用类比推理即可得出. 【详解】（1）设的对称中心为点，， 则为奇函数，即， ， ，即， ， 整理得，， ，解得，即， 函数图象的对称中心为； （2）由（1）知， ， ， 且， ； （3）推广结论：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数. 35．（23-24高一下·云南丽江·开学考试）已知函数的定义域为R，其图象关于点对称. (1)求实数a，b的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2)1011. 【分析】（1）根据对称性列方程解出a和b并验证得解. （2）根据对称性分组计算. 【详解】（1）由定义域为R的函数的图象关于点对称，得， 则 ，即，解得，则， 因此，即函数的图象关于点对称， 所以. （2），令， 则， 因此， 所以，即. 36．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）若函数的定义域为R，且 (1)求的值，并证明函数是偶函数； (2)判断函数是否为周期函数并说明理由，求出的值 【答案】(1)1，证明见解析 (2)是周期函数，理由见解析， 【分析】（1）令，可求的值；令，得可证明函数是偶函数； （2）令，有，通过代换，有，可证明周期并求值. 【详解】（1）令，则， 因为，所以． 令，则， 因为，所以， 即：，所以函数是偶函数． （2）是周期函数，理由如下． 令，则， 即：，所以， 所以，所以， 所以， 所以函数是周期为3的周期函数． 所以， 因为，令，得， 所以， 因为为偶函数，所以． 【点睛】方法点睛： 探究抽象函数题的必要技巧是赋值、换元及迭代，一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联，寻找并运用函数的周期性与奇偶性单调性，还有数形结合，先猜后证等等. 1．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)用定义法证明在上是增函数. 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断函数奇偶性； （2）根据增函数定义证明函数是增函数； 【详解】（1）的定义域为，不关于原点对称， ∴既不是奇函数也不是偶函数． （2）证明：设， 则， ∵，∴，，， ∴，即， ∴在上是增函数． 2．（24-25高一上·黑龙江鹤岗·期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且． (1)求证:为奇函数； (2)求在上的最小值； (3)若不等式:恒成立，求a的取值范围； 【答案】(1)证明见解析 (2)-6 (3) 【分析】（1）令，可得出的值，令，结合函数奇偶性的定义可得出结论； （2）先利用函数单调性的定义证明函数为R上的减函数，可知在上的最小值为，根据题意计算出的值即可得解； （3）将所求不等式变形为，利用函数的单调性可得出时， 恒成立，可求a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为R， 令，则，解得. 令，则，得， 所以函数为奇函数. （2）任取，则，因为当时，，则， 由（1）知，，即， 所以为R上的减函数，可知在上的最小值为， 因为，，， 所以，即在上的最小值为. （3）由（2）可求， 所以， 由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立， 时，，不等式恒成立； 时，有恒成立，由函数在上单调递增， 则有，所以a的取值范围为. 3．（23-24高一上·吉林延边·期中）（1）已知二次函数满足，且，求的解析式； （2）已知是上的奇函数，当时，，求的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设出二次函数解析式,代入后根据对应位置系数相等,即可求得解析式. （2）根据奇函数性质,即可求得当时的解析式,进而得整个定义域内的解析式. 【详解】（1）设二次函数，代入和， 得，化简得， ，，，； （2）设，则， 又函数为奇函数，，， 当时，由，． 故． 4．（23-24高一上·北京·期中）已知函数. (1)证明：在上单调递增； (2)求在上的最大值与最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)最小值是1，最大值是 【分析】（1）根据单调性的定义，先任取，且，然后作差，变形判断符号可得结论； （2）由在上递增，可求出其最大值和最小值. 【详解】（1）证明：，且，则 由，得，， 所以，即. 所以函数在区间上单调递增. （2）因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间的两个端点上分别取得最小值和最大值， 即时取得最小值，最小值为， 时取得最大值，最大值为. 故的最小值是1，最大值是 5．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数的图象关于原点对称，且当时， (1)试求在上的解析式； (2)写出的单调递减区间（无需证明）. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为 【分析】（1）根据奇函数的性质，结合条件即可求解的解析式， （2）由的图象即可求解单调区间． 【详解】（1）的图象关于原点对称， 是奇函数， ． 又的定义域为， ，解得． 设，则， 当时，， ， ， 所以； （2）由（1）可得的图象如下所示： 由图象可知的单调递增区间为和，单调递减区间为； 6．（23-24高一上·贵州铜仁·期中）已知函数. (1)若为奇函数，求a的值； (2)求在上的最值. 【答案】(1) (2)最大值为，无最小值 【分析】（1）由奇函数的定义判断即可； （2）利用定义判断函数的单调性，进而可求得函数的最值． 【详解】（1）由题意， ∵为奇函数，∴， 即 解得； （2）由（1）可知， ，. ∵， ∴，，∴， 即在上是增函数. ∴，无最小值. 综上所述：，无最小值. 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）定义在R上的函数是偶函数，是奇函数，且． (1)求函数与的解析式； (2)求函数在区间上的最小值． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由已知得，再结合是偶函数，是奇函数，可得，再与原等式联立可求出与的解析式； （2）由（1）得，然后分和两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）根据题意，由，① 得， 又由是偶函数，是奇函数， 则有，② 联立①②可得：，． （2）根据题意，， 当时，在区间上递减， 则其最小值为， 当时，在区间上递减，上递增， 则其最小值为． 综上，当时，在区间上的最小值为， 当时，在区间上的最小值为． 8．（21-22高一上·广东湛江·期中）已知函数，设在上单调递增，在上单调递减；． (1)若，求在上的值域； (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二次函数的性质求解值域即可； （2）先求出的等价关系，然后将问题转化为，利用真子集的定义列式求解即可． 【详解】（1）当时，， 故的值域为； （2）图象的对称轴为直线， 由题意得，即， 因为是的充分不必要条件， 所以， 则(等号不同时成立)，解得， 经检验，当或时，， 所以的取值范围为． 9．（23-24高一上·重庆沙坪坝·期中）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围； (3)若且不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）去绝对值，写出分段函数，将不等式转化，即可求解； （2）分和对函数分段，然后由函数在上单调递增得到不等式组，求解不等式组得到实数的取值范围； （3）写出分段函数，不等式对一切实数恒成立，等价于对一切实数恒成立，然后求出函数在不同区间段内的最小值，求解不等式即可. 【详解】（1）当时，故有， 则，即为或，解得：或， ∴ 不等式的解集为 （2）， 若在上单调递增，则有 ， 解得， ∴ 若在上单调递增，则实数的取值范围为 （3）设 则 不等式对一切实数恒成立，等价于不等式对一切实数恒成立． ， 当时，单调递减，其值域为， 由于，所以成立． 当时，由，知， 在处取最小值， 令，得，又，所以 综上，． 10．（10-11高一上·陕西宝鸡·期中）已知函数， (1)画出函数的图象； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)答案见解析 (2)函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增 (3)最大值为4，最小值为. 【分析】（1）由二次函数的性质作出图象即可； （2）由二次函数的性质得到分段函数的单调区间即可； （3）由分段函数的单调性和图象可得； 【详解】（1）图象如下：    （2）当时，，对称轴为，开口向上， 可得在时单调递减； 当时，，开口向下，对称轴为， 所以上单调递减；在区间上单调递增， 综上，可得函数在区间和上单调递减；在区间上单调递增. （3）由图象可得当时，最大值为， 当时，最小值为， 所以函数在区间上的最大值为4，最小值为. 11．（23-24高一上·四川内江·期中）已知奇函数， (1)求实数的值；并作出的图象； (2)若函数在区间上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)；图象见解析 (2) 【分析】（1）求出时，函数的解析式，即可求得的值，分段作出函数的图象，即可得到的图象； （2）根据图象，利用函数在区间上单调递增，建立不等式，即可求的取值范围． 【详解】（1）设，则，， 函数是奇函数，， ； 如下图： （2）由图象可知，， ， 故a的取值范围为：． 12．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知过点，且满足 (1)若存在实数，使得不等式成立，求实数t的取值范围. (2)求在上的最小值 (3)若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)6. 【分析】（1）根据已知条件直接列方程求解可得的解析式，然后将问题转化为最值问题即可得解； （2）根据二次函数单调性对分类讨论即可； （3）将条件转化为有两个不相等的正实数根，然后求出的范围，利用韦达定理将所求转化为关于的表达式，利用基本不等式求解可得. 【详解】（1）由题设可知，得， 因为，所以，解得，， 若存在实数，使得不等式成立，即，所以， 由二次函数性质可知，，因此. （2）的对称轴为 当时，在上的最小值为 当，即，在上的最小值为， 当，即时，在上的最小值为. 综上所述， （3）由得， 函数有两个不相等的不动点、，且、， 即有两个不相等的正实数根、， 即有两个不相等的正实数根、， ， 则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为 13．（17-18高一上·上海宝山·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性并用定义证明； (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得以及，列出方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由函数单调性的定义即可证明； （3）由函数的奇偶性与单调性列出不等式，即可得到结果. 【详解】（1）由奇函数的性质可知，， ， . . 经验证，满足题设. （2）函数在上单调递增， 证明：令， ， ， 即， 函数在上单调递增. （3）由已知：， 由（2）知在上单调递增， ， 不等式的解集为. 14．（24-25高一上·广西·期中）已知函数. (1)若有两个不相等的负根，求的取值范围； (2)求在上的最大值； (3)若函数的定义域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由的两个负根可列不等式组，解不等式组可得答案； （2）分时、、三种情况进行讨论，结合二次函数的性质即可得最大值； （3）分和两种情况讨论，时，原问题可转化为恒成立，列不等式组即可得答案. 【详解】（1）设的两个负根分别为，， 则 解得，即的取值范围为. （2）当时，，在上的最大值为4. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴方程为， 此时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴方程为， 此时在上单调递增，在上单调递减， 所以.所以 （3）当时，函数的定义域为，符合题意； 当时，由题意可知恒成立， 满足，解得. 综上所述，的取值范围是. 15．（15-16高二上·湖南常德·期中）设函数． (1)若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两类情况，当时采用验证法即可；当时根据一元二次不等式和二次函数之间的关系建立不等式组即可求出实数的取值范围. （2）方法一：先利用分离参数法得出；再求出函数在上的最小值即可求解.方法二：先将问题转化为在上恒成立；再分类讨论，利用函数的单调性求出函数的最大值即可求解. 【详解】（1）要使恒成立， 若，显然； 若，则，解得． 综上：实数的取值范围是． （2）方法一： 由得：，即. 因为，所以． 因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 当时，函数在上取得最小值，最小值为， 所以只需即可，所以的取值范围是． 方法二： 由，得，即. 令， 当时，在上是增函数， 则，解得，所以； 当时，恒成立； 当时，在上是减函数， 则，解得，所以． 综上所述，的取值范围是． 16．（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且． (1)判断并证明函数在上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在上单调递减，在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到和，列出方程组求得的值，结合单调性的定义和判定方法，即可求解； （2）由函数，令，可得，且，结合二次函数的图象与性质，求得的最大值和最小值，结合，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为奇函数，且， 可得，则，解得，可得， 经检验，有解析式可知，定义域，关于原点对称， 可得，所以是奇函数，满足题意 函数在上单调递减，在上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以，， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减，同理可证明函数在上单调递增． （2）解：由题意，函数，令，可得， 由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，． 所以，， 又因为对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是． 17．（23-24高二下·浙江宁波·期中）已知定义在上的函数满足. (1)求； (2)若函数，，是否存在实数使得的最小值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得到答案； （2）由（1）可得，利用换元法令，结合一元二次函数的单调性讨论即可. 【详解】（1）由可得， 联立， 解得. （2）由（1）可得， 令，则当时，， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，与矛盾， 当，即时，，解得，由可得， 综上存在实数使得的最小值为. 18．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立. (1)求的值; (2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论. 【答案】(1) (2)为上的增函数，证明见解析 【分析】（1）根据题意得，求得并检验； （2）根据单调性定义判断并证明结论. 【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 当时，，满足，符合题意， 故. （2）由（1）可知，.函数在上为增函数. 证明如下： 任取，所以， 所以 所以. 故为上的增函数. 19．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知函数有如下性质:如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数. (1)已知，利用上述性质，求函数的值域; (2)对于（1）中的函数和函数，若，使得成立，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将变形为，令，转化为求的值域，利用题干函数的性质求解； （2）求出的值域，根据题意的值域是的值域的子集，列式求解. 【详解】（1）， 设 则. 由已知性质得，在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 又当时，，当时，， 所以，即的值域为. （2）因为在上为减函数，故. 由题意，的值域是的值域的子集， . 20．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知a为实数，函数，． (1)设，，若函数的最大值等于2，求a的值； (2)若对任意，都存在，使得，求a的取值范围； (3)设，求的最小值． 【答案】(1)或. (2) (3) 【分析】（1）因为,的最大值等于2,只能在或处取到，分别讨论和的情况，即可求得结果； （2）因为对任意，都存在，使，由此可得，解不等式组即可； （3）先去绝对值，得到，对a的范围进行分类讨论，从而得出的单调性，即可求出的最小值． 【详解】（1）因为， 当时，，即，解得：（舍）或. 当时，，即，解得：（舍）或. 综上，或. （2）设在区间上的值域为A，在区间上的值域为B， 则，． 因为对任意，都存在，使， 所以得， 所以a的取值范围是 （3） ①当时，在上单调递减，上单调递增， ； ②当时，在上单调递减，上单调递增， ； ③当时，在上单调递减，上单调递增， ； 综上． 21．（20-21高一上·江苏徐州·期中）已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有． (1)求函数的解析式； (2)判断的单调性，并证明； (3)解不等式． 【答案】(1) (2)在为增函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出，再由求出，即可求出当时函数解析式，再由奇函数的性质求出时解析式； （2）利用定义法证明函数的单调性即可； （3）结合奇偶性与单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得， 因为，所以，所以， 所以当时，， 当时，， 则， 综上所述，； （2）函数在上为增函数． 证明：任取，且， 则 ， ， ，即， 故在上为增函数； （3）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又由（2）知在上为增函数， 所以，解得， 故原不等式的解集为． 22．（23-24高二下·福建福州·期中）已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，． (1)求的值； (2)试判断的单调性，并证明； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)在上单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）由赋值法即可求解， （2）利用单调性的定义即可求证， （3）由函数的单调性，列不等式即可求解. 【详解】（1）令，得，解得； （2）在上单调递减，证明如下： 不妨设， 所以 ， 又，所以，所以，所以， 即， 所以在上单调递减； （3）由（2）知在上单调递减， 若，即， 所以， 解得或，即的取值范围是． 23．（23-24高一上·北京通州·期中）设函数，函数，，用表示，中的较大者，记为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. 条件①：； 条件②：，恒成立. (1)求不等式的解集； (2)当时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值； （2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案. 【详解】（1）若选择条件①因为， 所以，故. 所以， 因为，故， 解得或， 所以不等式解集为. 若选择条件②恒成立，故最小值为， 所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①. （2）不论是条件①或是条件②均可以得到， 因为， 根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，， 所以， 又因为当，不等式恒成立， 故当，不等式恒成立， 即恒成立，. 因为， 当且仅当时等号成立，故，即. 24．（24-25高一上·河北衡水·期中）定义域在上的偶函数满足：当时， (1)若成立，求实数m的取值范围； (2)设函数若对于任意的都有成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先研究得出函数的单调性，进而将不等式转化为，再由偶函数性质得，解该不等式即可得解. （2）将“任意的都有成立”等价转化成，求出和即可计算得解. 【详解】（1）易知函数和在上都是单调递减函数， 故函数在上是单调递减函数， 又是定义域在上的偶函数，故函数在上是单调递增函数， 又，故即， 所以即，解得， 所以实数m的取值范围为. （2） 由题意得“对任意都有成立”， 所以，由（1）知的最大值为， 又， 所以，解得， 因此实数a的取值范围为 25．（20-21高一上·天津南开·期中）已知对称轴为的二次函数满足对于任意，都有，且当时，. (1)求的值； (2)求解析式； (3)若当时，恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令，则有，即可得证； （2）由对称轴为，，可求得，，根据对于任意，都有，利用判别式可求得，即可得出答案； （3）由已知，得，当时恒成立，令，对称轴为，通过对对称轴位置的讨论， 得到时，的取值范围，即可求得的最大值. 【详解】（1）证明：由题意知，当时，成立， 令，则有， 所以； （2）二次函数的对称轴为，所以，即， 由（1）知，，则，即， 所以， 又于任意，都有， 即在上恒成立， 所以，且， 整理得，则， 即，所以， 所以. （3）由（2）知，， 因为，当时恒成立， 所以，即，当时恒成立， 令，对称轴为， 当对称轴，即时，在上单调递增， 则，解得，则此时无解， 当，即时， ，解得，则， 当，即时， ，解得，则， 当，即时， ，解得，则， 综上，即的最大值为. 【点睛】结论点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 26．（23-24高一下·云南昆明·期中）若函数的定义域为，集合，若存在非零实数使得任意都有，且，则称为上的增长函数． (1)已知函数，直接判断是否为区间上的增长函数； (2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数的最小值； (3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)是增长函数 (2) (3) 【分析】（1）根据所给定义判断即可； （2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解； （3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求. 【详解】（1）的定义域为，，，， 即，所以为区间上的增长函数； （2）依题意，，恒成立， 即在上恒成立， 整理得在上恒成立， 因为，所以关于的一次函数是增函数， 所以当时，， 所以，解得， 所以正整数的最小值为； （3）由题意可得：当时，， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以当时，则， 故， 当时，，， 故为上的增长函数， 所以符合题意； 当时，则可得函数大致图象如图： 易知图象与轴交点为，， 而，， 因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上， 所以， 又因为当时，，当时，， 若时，令，则，故，不合题意； 所以，解得且， 若且，则有： 当时，则成立； 当时，则， 可得，，即成立； 当时，则，即成立； 故当且时，符合题意， 综上所述：当时，对均有成立， 故实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决； （2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论. 27．（24-25高一上·吉林白城·期中）已知函数的定义域为，，且. (1)求的值； (2)求的值； (3)讨论函数的最小值. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）利用赋值法即可得解； （2）利用赋值法依次求得，进而得到关于的函数方程组，解之即可得解； （3）利用（2）中结论，结合二次函数的性质，分类讨论对称轴与区间的位置，从而得解. 【详解】（1）因为， 令，则， 又，有，故. （2）令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 即，得， 令，有， 令，有，则， 联立，解得， 所以. （3）由（2）得，， 其图象开口向上，对称轴为，又， 当，即时，在上单调递增， 则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时， . 28．（23-24高一上·云南丽江·期中）在平面直角坐标系中，对于点，若函数满足：“，都有”，则称这个函数是点的“界函数”. (1)试判断是否是点的界函数？是否是点的界函数？ (2)若点在函数上，是否存在实数，使得函数是点的界函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)是，不是 (2)存在， 【分析】（1）根据点的“界函数”的定义分析判断即可； （2）由题意得，则，都有，然后分，，和求解函数的值域，再结合求解实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以，所以是点的界函数； 因为，，所以， 所以不是点的界函数； （2）因为在函数上，所以， 所以，都有. 当，即时，在上单调递减， 所以， 所以，得，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，， 所以，无解； 当，即时，在上单调递增， 所以，所以，得，解得或（舍去）. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 29．（23-24高一上·天津·期中）已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 30．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知函数 (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若函数在上的最小值为7，求实数的值. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. 【分析】（1）分和两种情况，利用函数奇偶性的定义分析判断即可； （2）分，，和四种情况结合二次函数的单调性，从而可求出函数的最小值，然后列方程求解即可. 【详解】（1）若，则，定义域关于原点对称， ，故是奇函数； 若，则不是奇函数， 又，故不是偶函数， 所以既不是奇函数也不是偶函数. 综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数. （2）①当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增. 所以，即， 解得（舍）或； ②当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以， 即（舍去）； ③当时，， 对称轴为， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 因为， 当时，，所以，即， 得，均舍； 当时，，则，即， 得（舍去），； ④当时，， 因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增， ，得，均舍. 综上，或. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性的判断，考查由函数的最值求参数，第（2）问解题的关键是分情况讨论去掉绝对值，转化为二次函数的闭区间的最值问题，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$