精品解析：2025届四川省绵阳中学高三模拟预测数学试题（一）

四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，再结合集合交集、补集运算即可求解. 【详解】， ， 可得： ， 故选：C. 2. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本不等式得到，把看做一个整体，解不等式即可. 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴或（舍）， ∴，当且仅当时取等号， ∴. 故选：C. 3. 已知 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，则，，，再利用作商得，可得. 【详解】，，，，， 又，，. 故选：D. 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据两角和的余弦公式和同角三角函数的平方关系得，再根据角的范围确定具体的值. 【详解】由，则， ，，， 又，， 又，， ，，， 故选：B. 5. 已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的定义域判断． 【详解】由图可知的定义域为且， 选项A，，则的定义域是，错； 选项B，，因此的定义域是，B错； 选项C，，因此的定义域是，C错； 选项D，若，则的定义域为且，只有D满足题意． 故选：D． 6. 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合导函数和一元二次函数性质得，解该不等式组即可得解. 【详解】由题意可得在上有下穿变号零点，无上穿变号零点， . 故选：A. 7. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. 为递减数列 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意公比，利用求出公比为，可判断ABC选项；利用等比数列前项和公式求判断D. 【详解】，，则， 由，且， 得，即，解得，故A对； ，不为单调数列，故B，C错； 又，故D错， 故选：A. 8. 已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 是的一个周期 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，结合对称性、奇函数的性质可得函数图象的对称中心及对称轴，再逐项判断即得. 【详解】对于A，令是函数的图象上任意一点，则在的图象上， 即，则，由为奇函数，得， 则有，函数的图象关于点对称， 又，则，函数的图象关于对称，A正确； 对于C，，即， 则，的周期，C正确； 对于D，，则，D正确； 对于B，由，得，函数的图象关于对称， 若图象关于点对称，则，即， 而没有条件确保恒成立，B错误. 故选：B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 残差绝对值最大为0.2 C. 样本相关系数 D. 当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，根据回归直线必过样本中心点可解得；对于B，根据残差的定义计算，即可判断；对于C，根据表格和相关系数的意义，即可判断；对于D，根据相关关系的定义，即可判断. 【详解】由题意知：，又， 代入方程得，所以，解得，故A正确； 1月份的残差为，2月份的残差为，3月份的残差为，4月份的残差为，5月份的残差为，所以残差绝对值最大为，故B正确； 由表格可知变量与呈正线性相关，则，故C不正确； 当解释变量每增加1，响应变量不一定增加0.85，故D不正确， 故选：AB. 10. 函数满足，，有，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 记，则在上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过赋值可判断ABC，通过特例可判断D. 【详解】令，A正确； 令，B正确； 令， 令为奇函数.C正确； 当，由可得：， 即，可用对数函数换底， 令，，则，满足 而当时，单调递增，故D错误. 故选：ABC. 11. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的，定义，分别对每个选项进行计算和分析可判断ABC，对D选项，先递推出，再利用错位相减法进行求和，即可得出，代入化简即可判断. 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，因为， ，所以，故B正确； 对于C，因为， 所以，又时，，，故C错误； 对于D，因为， 所以，，…，， ，所以， 所以， 则 ， 所以，则，.又时也成立， 所以，， 又因， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意可得，，进而得到，再根据正弦函数的性质求解即可. 【详解】由题意，函数的图象关于点对称， 所以，，即，， 又，所以，即， 当时，， 所以当，即时，. 故答案为：. 13. 已知数列满足，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用构造法，构造等比数列求通项公式. 【详解】设，解得：， 所以， 又，则， 故是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 故答案为：. 14. ，则在处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的运算法则计算，得到切线斜率，写出切线的点斜式方程，化成一般式方程. 【详解】∵， ∴，， ∴， ∴在处的切线方程为：， 整理得. 故答案为：. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据. 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 （1）已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） （2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）. 没有进步 有进步 合计 参与周日自习 30 130 160 未参与周日自习 20 20 40 合计 50 150 200 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1），141分； （2）有关. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，再根据、的公式计算即可得回归直线方程，最后将代入求解即可； （2）求出的值，再判断是否成立，即可得答案. 【小问1详解】 由表计算可得，， 所以， 所以， 故， 当时，， 由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩为141分. 【小问2详解】 ， 所以小概率值的独立性检验，周日自习与成绩进步有关. 16. 已知. （1）讨论的单调性； （2）若的零点个数大于2，求a的取值范围. 【答案】（1） ∴时：在上单调递增，在上单调递减. 当时，在和上单调递增，在和上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）由解析式得到函数为偶函数，因为函数为偶函数，所以只需讨论函数在上单调情况，分类讨论参数，由导函数的正负得到函数单调区间. （2）由于函数是偶函数，所以只需讨论函数在上的零点个数，当时，函数只有两个零点，所以讨论，由函数大致图像即可得出结论. 【小问1详解】 定义域为，又∵，∴为偶函数， 当时：，∴， （i）当时，令，∵，∴在上单调递增， 又∵为偶函数，∴在上单调递减， ∴时：在上单调递增，在上单调递减. （ii）当时，令，则，∴， 令，则， ∴在上单调递增，在上单调递减. 又∵由为偶函数， ∴在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在和上单调递减. 【小问2详解】 由（1）知为偶函数， ∴当时，的零点个数大于1个， 由（1）知：∴时：在上单调递增，在上单调递减， 故只有两个零点， ∴必有，此时：在上单调递增，上单调递减 又∵时，，时，， ，∴. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2），求的取值范围. 【答案】（1） 在锐角中，由余弦定理及，得， 由正弦定理得， 则，由，得， 所以，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理、正弦定理及和角的正弦推理求解即得. （2）利用正弦定理、和角的正弦公式及二倍角公式，结合余弦函数的性质求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在锐角中，由正弦定理得，则， 于是， 由，得，则，， 所以的取值范围是. 18. 有个正数，排成行列的数表：其中表示位于第行，第列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，已知，，. （1）求； （2）若n为偶数，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由等差数列的性质可得，进而由等比数列可得，从而由是首项为，公比为的等比数列可得结果. （2）由（1）知，进而由错位相减法即可求解. 【小问1详解】 因为每一行成等差数列，又， 所以，则第3行公差为1，. 由每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，可设每列公比为， 又，，则，即，解得， 又由，可得. 于是是首项为，公比为的等比数列，即. 故. 【小问2详解】 由（1）知：，设，， ①， ②， 由①②得： ， ，. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）记集合，若集合A的子集至少有4个，求的取值范围. 【答案】（1） 的定义域是， 当时，， 要证，只需证：即可. 令上式等价于证， 因为， 当时，；当时，； 可在在上单调递减，在上单调递增， 所以，证毕. （2） 要证：等价于证：， 由（1）知：，令， ，分别令再相加， ， . （3） 【解析】 【分析】（1）将要证明的不等式转化为，利用换元法、构造函数法以及导数等知识证得不等式成立. （2）将要证明的不等式转化为证明，利用（1）的结论不等式成立. （3）将集合A中对应的不等式进行转化，利用换元法，结合（1）的结论，得到的解不止一个，利用构造函数法，结合导数以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由于集合A的子集至少有4个，所以 A中元素至少个，说明至少存在2个， 使得成立. ， 即：. 令. 由（1），令， 令恒成立， 现在又有时，， 中元素不止一个说明：的解不止一个. 令. 讨论：①当时：在上单调递增， 此时的零点最多一个，舍去； ②当时，令， 当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减. 又注意到：时，，当时：， 要的零点不止一个，的极大值也即是最大值， 令， 易知在上单调递增， 且，则不等式的解集为， 所以的取值范围. 【点睛】方法点睛：．利用导数证明不等式的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳中学2025届高考适应性月考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知 则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，且，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知的部分图象如图，则可能的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在上有极大值，无极小值，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列是公比为的等比数列，前项和为，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为递增数列 C. 为递减数列 D. 8. 已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（ ） A. 关于对称 B. 关于点对称 C. 是的一个周期 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 残差绝对值最大为0.2 C. 样本相关系数 D. 当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 10. 函数满足，，有，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 为奇函数 D. 记，则在上单调递减 11. 对于数列，定义：，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，数列的前项和为，则 D. 若，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数的图象关于点对称，则在上的最小值为______. 13. 已知数列满足，且，则______. 14. ，则在处的切线方程为______. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为了了解某校学生每天课后自主学习数学的时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，学校数学组老师进行了一些调研，得到以下数据. 学习时间 20 30 40 50 60 数学成绩 59 72 82 97 110 （1）已知与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为85分钟时的数学成绩（结果精确到整数）；（参考数据：，） （2）由于新高考改革，对于同学们自主学习提出了更高的要求，所以某校提倡学生周日下午学生返校自习，实施一段时间后，抽样调查了200位学生.按照是否参与周日自习以及成绩是否有进步，统计得到列联表.依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周日自习与成绩进步”是否有关（结果精确到0.01）. 没有进步 有进步 合计 参与周日自习 30 130 160 未参与周日自习 20 20 40 合计 50 150 200 附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16. 已知. （1）讨论的单调性； （2）若的零点个数大于2，求a的取值范围. 17. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，. （1）求证：； （2），求的取值范围. 18. 有个正数，排成行列的数表：其中表示位于第行，第列的数，数表中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有列公比相等，已知，，. （1）求； （2）若n为偶数，求. 19. 已知函数. （1）当时，求证：； （2）求证：； （3）记集合，若集合A的子集至少有4个，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $