精品解析：2024-2025学年人教版 九年级上册数学10月作业

2024年10月九年级数学作业 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题3分 共8题24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 刻舟求剑 B. 从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C. 方程在实数范围内有解 D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 3. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. B. C. D. 5. 学校为了丰富学生课余活动，开展了一次“爱我深圳，唱我深圳”的歌咏比赛，共有名同学入围，他们的决赛成绩如下表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩(分) 人数 A. B. C. D. 6. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ） A. B. C D. 8. 如图，平面直角坐标系中，点A坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 二、填空题（每题3分共30分） 9. 班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为______． 10. 在甲、乙两位射击运动员10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”“乙”中的一个）． 11. 已知关于的方程中，当________时，它是一元二次方程． 12. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为_________． 13. 有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 14. 如图，是的直径，，，则的度数是______°． 15. 如图，A、B、C、D都是上的点，，垂足为E，若．则______． 16. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______． 17. 如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是______． 18. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 三、解答题（共96分） 19. 解一元二次方程 （1） （2） 20. 为了加强心理健康教育，某校组织九年级学生进行了心理健康常识测试（根据答对的题目数量得分，成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分），张老师从参加测试的学生中，随机抽取了30名学生的测试情况，整理并绘制成如下统计图根据以上信息，解答下列问题： （1）这30名学生测试成绩的中位数为 分，众数为 分； （2）求这30名学生的平均成绩； （3）若该校九年级共有930名学生，请估计测试成绩不低于4分的学生有多少名？ 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课．三位航天员演示了球形火焰、奇妙“乒乓球”、动量守恒以及又见陀螺四个实验．张老师组织全班同学观看四个实验后，准备让学生分享观看其中一个实验后的收获．他将以上实验依次记为1，2，3，4，并将这四个编号分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后，每位同学随机抽一张，做好记录后放回洗匀，再让下一名同学抽取． （1）小斌抽到动量守恒实验的概率是______； （2）用列表法或画树状图法，求小斌和小军刚好抽到同一个实验的概率． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 23. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O内接正n边形的一边，求n的值． 24. 某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年投入资金比2018年投入资金多投入1600万元． （1）从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2020年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于360万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房360天计算，求2020年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 25. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 26. 如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 27. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 28. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动． （1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °； （2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论） （3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年10月九年级数学作业 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（每题3分 共8题24分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； B，是一元二次方程，符合题意； C，，含有两个未知数，不是一元二次方程，不合题意； D，不是整式方程，不是一元二次方程，不合题意； 故选B． 2. 下列事件中，属于随机事件是（ ） A. 刻舟求剑 B. 从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形 C. 方程在实数范围内有解 D. 在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、刻舟求剑，是不可能事件，不符合题意； B、从长度分别为、、、的4根小木棒中，任取3根为边拼成一个三角形，是随机事件，符合题意； C、方程在实数范围内有解，是不可能事件，不符合题意； D、在装有10个红球的口袋内，摸出一个白球，是不可能事件，不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法中正确的说法有（ ）个 ①同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆； ②长度相等的两条弧是等弧； ③相等的圆心角所对的弧相等； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧； A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆相关定义，垂径定理，圆周角定理，逐项分析判断即可求解．本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆的认识，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解答本题的关键． 【详解】解：①到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，故①正确； ②同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故②错误， ③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故③错误； ④垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，故④正确； 故正确的是①④，只有两个， 故选：B． 4. 如图是用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为，高为，则这个圆锥的侧面积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】勾股定理求得母线长，然后根据圆锥的侧面积公式，即可求解． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为，高为， ∴圆锥的母线长为， ∴这个圆锥的侧面积是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面积，掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 5. 学校为了丰富学生课余活动，开展了一次“爱我深圳，唱我深圳”的歌咏比赛，共有名同学入围，他们的决赛成绩如下表，则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） 成绩(分) 人数 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数和众数的概念即可得出答案． 【详解】中位数:将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 由此可知，这组数据的中位数为 ; 众数:一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数． 由此可知，这组数据的众数为9.6． 故选：B． 【点睛】本题主要考查中位数和众数，掌握中位数和众数的概念是解题的关键． 6. 如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样的路，余下部分种植草坪．要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据实际问题列一元二次方程．熟练掌握平移性质，矩形性质和面积公式，是解决问题的关键． 设道路的宽为x米，根据平移性质，余下部分草坪的长为米，宽为米，根据矩形的面积公式可列方程． 【详解】解：设道路的宽为x米， 根据题意得． 故选：D． 7. 直角三角形的两直角边分别为a，b，外接圆的半径为R，内切圆的半径为r，则a，b，R，r 四者之间的关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆与内切圆，正方形的性质和判定，切线的性质，切线长定理等知识点的综合运用．切于E，切于F，切于D，得出正方形推出，根据切线长定理结合三角形的周长求出，即可求出答案． 【详解】解：如图，切于E，切于F，切于D，连接， 则，， ∴四边形是正方形， ∴， 由切线长定理得：， ∵直角三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r， ∴， 即的周长是 ， ∴， 故选：A． 8. 如图，平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B是上一点，的半径为2，将绕O点顺时针方向旋转得，连接，则线段的最小值为（ ） A. B. C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， 点B是上一点，则点是上一点，当点三点共线，即点在上时，最小． 【详解】解：如图，把绕O点顺时针方向旋转得，过点作轴于点，过点作轴于点，以点为圆心作，使的半径为2， ，， ， ， ， ， 过作于点，， 在中，， 点B是上一点，则点是上一点，， 当点三点共线，即点在上时，最小， ， 故线段的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的基本概念，动点问题，勾股定理，全等三角形的判定和性质，本题的关键是作出正确的辅助线，运用数形结合的思想方法． 二、填空题（每题3分共30分） 9. 班级联欢会上举行抽奖活动，把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生23人，女生22人，老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式即可求解． 【详解】解：老师闭上眼睛从摇匀的小纸条中随机抽出1张，恰好抽到女同学名字的概率为＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查概率的求解，解题的关键是熟知概率公式的运用． 10. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相同，方差分别为，则考核成绩更为稳定的运动员是________（填“甲”“乙”中的一个）． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，根据方差越小，成绩越稳定即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴考核成绩更为稳定的运动员是乙， 故答案为：乙． 11. 已知关于的方程中，当________时，它是一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】m2=2且m. 【详解】根据一元二次方程的一般形式可知，未知数的最高次数是2，即m2=2且m，求得m=. 【点睛】二次项系数不为0容易遗漏，是易错点. 12. 已知一元二次方程的两根分别为m，n，则的值为_________． 【答案】． 【解析】 【分析】由根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可． 【详解】解：一元二次方程的两根分别为， ， ，， ， 故答案：． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于、两根之积等于是解题的关键． 13. 有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，共比赛了45场，则根据题意列出方程__． 【答案】 【解析】 【分析】先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为． 【详解】解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场， 共比赛场数为， 共比赛了45场， ， 故答案为． 【点睛】此题由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系． 14. 如图，是的直径，，，则的度数是______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，圆的基本性质；可求，从而可求，由等腰三角形的性质可求；掌握“同弧所对的圆心角相等”是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 15. 如图，A、B、C、D都是上的点，，垂足为E，若．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，熟练掌握相关的性质，是解题的关键．连接，根据，得出，证明，根据，得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 如图，是的内接正六边形的一边，点在上．且是的内接正十边形的一边，若是的内接正边形的一边，则______． 【答案】##十五 【解析】 【分析】本题考查正多边形和圆，连接，求出的度数，利用360度除以的度数即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵是的内接正六边形的一边， ∴， ∵是的内接正十边形的一边， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，中，，，．点在边上，点是边上一点（不与点、重合），且，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切时，即可求出的最小值，当圆与相交时，即可求出的最大值，综合起来即可． 【详解】以为圆心，的长为半径画圆，当圆与相切，如图①，时， ， ∴， ∵ ∴ ， ∵到的最短距离为2 ∴ 当圆与相交时，如图②，若交点为和，则， ∴ 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，含角的直角三角形的性质，以D为圆心的长为半径画圆分类讨论是解题的关键． 18. 如图，在中，，，，点D为线段上一动点．以为直径，作交于点E，连，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．连接，可得，从而知点在以为直径的上，继而知点、、共线时最小，根据勾股定理求得的长，即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ， 点在以为直径的上， ， ， 当点、、共线时最小， ， ， ， 的最小值为16， 故答案为：16． 三、解答题（共96分） 19. 解一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法．熟练掌握直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，是解本题的关键． （1）根据直接开平方法解一元二次方程； （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴． 20. 为了加强心理健康教育，某校组织九年级学生进行了心理健康常识测试（根据答对的题目数量得分，成绩分别为5分，4分，3分，2分，1分），张老师从参加测试的学生中，随机抽取了30名学生的测试情况，整理并绘制成如下统计图根据以上信息，解答下列问题： （1）这30名学生测试成绩的中位数为 分，众数为 分； （2）求这30名学生的平均成绩； （3）若该校九年级共有930名学生，请估计测试成绩不低于4分的学生有多少名？ 【答案】（1）3.5，4 （2）3.3分 （3）465名 【解析】 【分析】（1）根据中位数与众数的定义进行求解即可； （2）根据平均数的定义进行计算即可； （3）由成绩不低于4分的学生所占比例乘以930，可求得测试成绩不低于4分的学生的人数． 【小问1详解】 中位数是：， 众数：4分的有10个，则众数为4； 故答案为：3.5，4； 【小问2详解】 （分）， 答：这30名学生的平均成绩是3.3分； 【小问3详解】 （名）， 答：估计测试成绩不低于4分的学生有465名． 【点睛】本题主要考查众数，中位数，平均数，用样本估计总体，解答的关键是理解清楚题意，分析出坐位体前屈相应分数段的人数与跳绳人数的关系． 21. 2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站正式开讲，这是中国航天员首次在梦天实验舱内进行授课．三位航天员演示了球形火焰、奇妙“乒乓球”、动量守恒以及又见陀螺四个实验．张老师组织全班同学观看四个实验后，准备让学生分享观看其中一个实验后的收获．他将以上实验依次记为1，2，3，4，并将这四个编号分别写在四张完全相同的卡片上，背面朝上洗匀后，每位同学随机抽一张，做好记录后放回洗匀，再让下一名同学抽取． （1）小斌抽到动量守恒实验的概率是______； （2）用列表法或画树状图法，求小斌和小军刚好抽到同一个实验的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小斌和小军刚好抽到同一个实验的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小斌抽到动量守恒实验的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中小斌和小军刚好抽到同一个实验的结果有4种， 小斌和小军刚好抽到同一个实验的概率为． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）证明：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： （2）若方程的两个实数根分别为，且，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再由已知条件建立方程组求出，据此代值计算即可． 【小问1详解】 证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程总有两个不相等的实数根： 【小问2详解】 解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 23. 如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝120°，点E在弧AD上，连接OA、OD、OE、AE、DE． （1）求∠AED的度数； （2）当∠DOE＝90°时，AE恰好为⊙O的内接正n边形的一边，求n的值． 【答案】（1）∠AED=120°；（2）12. 【解析】 【分析】（1）如图，连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）如图，连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得； 【详解】解：（1）如图，连接BD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠BAD=60°， ∵AB=AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD=60°， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABD=180°， ∴∠AED=120°； （2）连接OA， ∵∠ABD=60°， ∴∠AOD=2∠ABD=120°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOE=∠AOD﹣∠DOE=30°， ∴． 24. 某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年投入资金比2018年投入资金多投入1600万元． （1）从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ （2）在2020年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于360万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房360天计算，求2020年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励． 【答案】（1）从2018年到2020年，该地投入异地安置资金年平均增长率为50%；（2）2020年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为x，根据：2018年投入资金×(1+增长率)2=2020年投入资金，列出方程求解可得； （2）设2020年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据：前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的奖励总和≥360万，列不等式求解可得． 【详解】解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x， 根据题意得：1280(1+x)2＝1280+1600， 解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（舍去）． 答：从2018年到2020年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%． （2）设2020年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励， 根据题意得：8×1000×360+5×360(a﹣1000)≥3600000， 解得：a≥1400． 答：2020年该地至少有1400户享受到优先搬迁租房奖励． 【点睛】本题主要考查一元二次方程与一元一次不等式的应用，由题意准确抓住数量关系，列出方程或不等式是解题的关键． 25. 已知：点是外一点． （1）尺规作图：如图，过点作出的两条切线，，切点分别为点、点．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）在（1）的条件下，若点在上（点不与，两点重合），且．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2）或 【解析】 【分析】（1）①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画圆，两圆交于点两点，作直线交于点，②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线， （2）根据切线的性质得出，根据四边形内角和得出，进而根据圆周角定理以及圆内接四边形对角互补即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ①连接，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点两点，作直线交于点， ②以点为圆心，为半径画圆，与交于两点，作直线， 则直线即为所求； 【小问2详解】 如图所示，点在上（点不与，两点重合），且， ∵是的切线， ∴， ∴， 当点在优弧上时，， 当点在劣弧上时，， ∴或． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形对角互补，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26. 如图，内接于，为的直径，点是弧的中点，交于，交于，． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、同角的余角相等、勾股定理、角平分线的性质、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，得，由，得，由，，得，所以，即可证明是的切线； （2）由，，得，则； （3）作于点，则，由勾股定理得，则，可求得，所以，即可由，求得． 【小问1详解】 证明：是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ，， ， ， 是的半径，且， 是的切线． 【小问2详解】 证明：， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：作于点， ，平分， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长是． 27. 在矩形中，已知，点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动；同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动．当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）分别用含t的代数式表示与； （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用．关键是熟练掌握线段长的表达式，矩形面积公式，三角形面积公式． （1）依据点P和点Q运动的速度和时间可求得的长，然后依据可求得的长； （2）中，依据勾股定理可得到关于t的方程，从而可求得t的值； （3）先求得矩形的面积，然后由五边形的面积可求得，然后依据列出关于t的方程，从而可求得t的值． 【小问1详解】 ∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度运动， ∴． ∵， ∴． ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度运动， ∴． 【小问2详解】 在中，依据勾股定理得：． 即． 解得： （不合题意舍去），． 故当秒时，的长度等于． 【小问3详解】 存在秒，使得五边形的面积等于．理由如下： ∵长方形的面积是：，五边形的面积等于， ∴的面积为：． ∴． 解得：（不合题意舍去），． 故当秒时，使得五边形的面积等于． 28. 如图，在平面直角坐标系中，⊙A的半径为1，圆心A点的坐标为（2，1）．直线OM是一次函数y=－x的图象．将直线OM沿x轴正方向平行移动． （1）填空：直线OM与x轴所夹的锐角度数为 °； （2）求出运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式；（可直接用（1）中的结论） （3）运动过程中，当⊙A与直线OM相交所得的弦对的圆心角为90°时，直线OM的函数关系式． 【答案】(1)45;(2) y=－x+3－或y=－x+3+;(3) y=－x+2或y=－x+4． 【解析】 【分析】（1）利用直线y＝−x上点的坐标特征易得直线y＝x为第二、三四象限的角平分线，则直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°； （2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D．求出点E坐标，利用待定系数法即可解决问题，再根据对称性解决另一种相切情形； （3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y＝−x＋2．再根据对称性解决另一种情形. 【详解】解：（1）∵直线y=－x上点到x轴和y轴的距离相等， ∴直线y=x为第二、四象限的角平分线， ∴直线OM与x轴所夹的锐角度数为45°； 故答案为45． （2）如图1中，设⊙A与x轴相切于点C，平移后的直线OM与⊙A相切于点E，交x轴于P，连接AE，AC，作ED⊥AC于D． ∵∠OPE=45°， ∴∠EPC=135°， ∵∠AEP=∠ACP=90°， ∴∠EAD=45°， ∵AE=1， ∴AD=DE= ∴CD=1－ ∴E（2－，1－）， 设直线PE的解析式为y=－x+b， 则有1－=－（2－）+b， ∴b=3－， ∴平移后直线OM的解析式为y=－x+3－． 根据对称性可知，直线PE向右平移个单位直线与⊙A相切于点E′，此时直线OM的解析式为y=－x+3+． 综上所述，运动过程中⊙A与直线OM相切时的直线OM的函数关系式为y=－x+3－或y=－x+3+． （3）当平移后的直线OM经过点C（⊙A与x轴的切点）时，弦EC所对的圆心角为90°，此时直线EC的解析式为y=－x+2． 根据对称性可知，当直线EC继续向右平移2个单位，与⊙A交于点D，E′，此时∠DAE′=90°，此时直线的解析式为y=－x+4． 综上所述，满足条件的直线OM的解析式为：y=－x+2或y=－x+4． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了切线的性质、垂径定理、等边三角形的判定与性质和等腰直角三角形的判定与性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题；学会解决动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$